Definición de un árbol Rojinegro
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- Cristián García Álvarez
- hace 7 años
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1 Definición de un árol Rojinegro Árol inrio esrico (los nodos nulos se ienen en cuen en l definición de ls operciones odo nodo oj es nulo) Cd nodo iene esdo rojo o negro Nodos oj (nulos) son negros L rí es negr (es condición se impone pr simplificr lguns operciones) Se cumplen ls condiciones: 1. Un nodo rojo iene dos ijos negros. 2. Todo cmino de l rí culquier oj ps por el mismo número de nodos negros. Noción: Nodo rojo Nodo negro Nodo su suárol socido (puede ser un nodo nulo) L segund condición se puede epresr de mner equivlene definiendo el concepo de lur negr de un nodo (de or en delne l denoremos por l ler, pr diferencirl de l lur norml, ). L lur negr de un nodo es igul l lur del nodo cundo sólo se ienen en cuen los nodos negros del suárol cu rí es el nodo. De mner más forml, si n es un nodo se puede clculr su lur negr sí: má((n.ido), (n.dco)) + 1 si n es negro (n) = { má((n.ido), (n.dco)) si n es rojo L segund condición de los roles rojo-negro se puede epresr de l siguiene form: 2. Pr odo nodo inerno (que no se oj, es decir nulo), l lur negr de su ijo iquierdo es igul l lur negr de su ijo dereco. Se dee cumplir, enonces: Nodo rojo o negro (d igul) +1 Se cumplen ls propieddes siguienes (se supone un árol inicil que cumpl ls condiciones): Cmir un nodo de rojo negro no fec l condición 1, pero fec l condición 2 (lur negr se incremen en odos los nodos scendienes). Cmir un nodo de negro rojo puede fecr l condición 1 (si el pdre o lguno de los ijos es rojo) mién l condición 2 (lur negr se decremen en odos los nodos scendienes). Si como resuldo de un operción l rí ps ser rojo, se puede cmir negro direcmene sin fecr ls condiciones. Borrr un nodo rojo no fec ls condiciones, pero orrr un nodo negro sí (lur negr decrece en los scendienes).
2 Inserción de un nodo L inserción de un nodo se reli inicilmene igul que en un árol inrio de úsqued. Al nuevo nodo se le d el color rojo. De és mner no se viol l segund condición (lur negr), unque se puede violr l primer (el pdre del nodo inserdo puede ser rojo). Cso Trivil: Si el pdre del nodo inserdo es negro, no se reli ningún juse (el árol es correco). En cso conrrio se enr en un ucle donde represen el nodo que se esá comprondo. es un nodo rojo, los csos se refieren siuciones en que su pdre eise es mién rojo: Cundo el pdre no eis, simplemene se cmi el color de (que es l rí) negro se ermin el ucle, si el pdre eise es negro se ermin direcmene el ucle. Dependiendo del cso, se relirán un serie de operciones o ien coninurá el ucle ( ps ser oro nodo) o ien se erminrá. En cd cso se supone que el nodo que se comprue () es rojo, su pdre () eise es rojo, su uelo () eise (no puede ser rí un nodo rojo). El nodo ermno del pdre se denomin ío (). Aención: En lo que sigue se consider que el pdre de (nodo )es un ijo iquierdo. Eisen oros cinco csos no riviles cundo se un ijo dereco, que son olmene siméricos respeco los eplicdos. Cso 1: Tío rojo, nodo iquierdo o dereco. Solución: Se cmi de color los nodos,. Puede drse el prolem de que el pdre de se rojo se viole de nuevo l primer condición Ierción siguiene: El nodo que se comprue or es. Cso 2: Tio negro, nodo es ijo dereco. Solución: Se efecú un roción -. Eso no resuelve el prolem, pero ce que or el nodo que que compror se un ijo iquierdo por lo no se plique el cso siguiene. Ierción siguiene: El nodo que se comprue or es. Se cerá en el Cso 3.
3 Cso 3: Tío negro, nodo es ijo iquierdo. Solución: Se efecú un roción -, se cmi de color e. Eso resuelve el prolem. Ierción siguiene: El rol cumple ls condiciones. Se ermin el ucle.
4 Borrdo de un nodo L operción se llev co de l mism mner que en los ároles inrios de úsqued: Se usc el nodo orrr (como los nodos ojs son nodos nulos, en cso de eisir el nodo orrr dee ener siempre dos ijos). Si es un nodo con dos ijos no nulos, se usc el mor nodo (el más l derec) de su suárol iquierdo (lo llmmos ), se inercmi sus dos con el nodo orrr se ps orrr el nodo. Como es el nodo más l derec, su ijo dereco será nulo. Como consecuenci de lo nerior, l operción de orrdo siempre fec un nodo con un ijo nulo (o los dos, en ese cso uno culquier de ellos le considermos como un nodo norml l oro como nulo). El esquem de un orrdo será enonces: p p es el nodo que se orr, es el ijo no nulo o uno culquier de los ijos si mos son nulos, es el pdre del nodo orrdo e es el nodo ermno del nodo orrdo. Pr jusr el árol rs el orrdo es necesrio conocer los nodos. El nodo puede ser nulo (l igul que ), pero el nodo dee eisir (es decir, el cso en que se eng que orrr el nodo rí se r como un cso especil simplemene se elimin l rí si el nuevo nodo rí es de color rojo se cmi su color negro). L operción de juse (reesrucurción) consisirá en un comproción de los csos riviles (ver coninución). Si no se esá en un cso rivil se enr en un ucle, en cd ierción punn nodos del árol con l siguiene esrucur: +1 Los nodos e no son nulos el nodo puede serlo. Se comprue en cuál de los cinco csos no riviles esmos, se efecú l operción decud se decide si se coninú l siguiene ierción. Aención: En lo que sigue se consider que es un ijo iquierdo. Eisen oros cinco csos no riviles cundo se un ijo dereco, que son olmene siméricos respeco los eplicdos.
5 Nodo orrdo es rojo: Csos riviles El árol sigue siendo rojo-negro, por lo que no que relir ningún juse. En lo que sigue considermos que el nodo orrdo es negro. p El ijo,, es rojo: En ese cso se incumple l condición de que los ijos de engn l mism lur negr. Cmindo el color de negro se reslece l condición. +1 p En lo que sigue, enonces, considerremos que el nodo orrdo su ijo son negros. Pr deecr los csos es necesrio fijrse en el color del nuevo pdre (), sore odo, en el del ermno (). En un cso incluso que ener en cuen el color de los sorinos (los ijos de ). Se dee ener presene que no como pueden ser nulos (serín nodos negros) que si un nodo es rojo enonces oligorimene no es nulo por lo no iene ijos. ermno negro nulo: Csos imposiles: Si el ermno de es negro nulo iene lur negr 1. Por lo no deerí ener (rs el orrdo) un lur un unidd menor, es decir 0. Pero es un nodo negro, unque se nulo endrí lur 1. Por lo no, no se puede dr que se negro esé desequilirdo respeco un ermno nulo: El ermno dee eisir.
6 Cso 1: ermno rojo, pdre negro Solución: Se ce un roción pdre-ermno se cmin sus colores. El nodo ps ener como nuevo ermno l nodo, sigue eniendo un lur menor en uno que l de su ermno, pero or su pdre es rojo por lo no cer en lguno de los siguienes csos (dependiendo del color de ): Cso 3, 4 o 5. Ierción siguiene: Se vuelve compror con los mismo nodos, se grni que no se ce en ése cso. Cso 2: (ermno negro no nulo, sorinos negros, pdre negro) Solución: Se cmi el color del ermno () rojo. Con ello los nodos e psn ener l mism lur negr. El prolem es que l lur de disminuido. Ierción siguiene: Se vuelve compror, or el nodo llmdo es el nodo el nodo llmdo es el pdre de. No: Si es el ri el rol cumple ods ls condiciones se ermin el ucle. Cso 3: (ermno negro no nulo, sorinos negros, pdre rojo) Solución: Se cmi el color del ermno () rojo el del pdre () negro. Con ello los nodos e psn ener l mism lur negr. L lur de sigue siendo l mism. Ierción siguiene: El rol cumple ods ls condiciones. Se ermin el ucle.
7 Cso 4: (ermno negro no nulo, sorinos rojo/negro, pdre culquier color) Solución: Se reli un roción ermno-sorino iquierdo se cmin sus colores. Los ijos del sorino iquierdo eisen (unque pueden ser nulos) son negros, que el sorino iquierdo es rojo. El nodo ps ener como ermno l nodo sigue eniendo un lur negr menor en uno que l de su ermno. Ierción siguiene: Se vuelve compror con los mismo nodos, se cer en el cso 5 que el ermno sigue siendo negro los sorinos son negro rojo. Cso 5: (ermno negro no nulo, sorinos culquier/rojo, pdre culquier color) Solución: Se reli un roción pdre-ermno se cmi el color de l siguiene form: El pdre () ps ser negro, el ermno () om el mismo color que el que ení originlmene, el sorino dereco ps de rojo negro (ese sorino deí eisir que er rojo). Ierción siguiene: El rol cumple ods ls condiciones. Se ermin el juse. Considerciones: En ningún cso se cmi el color de, por lo que puede perfecmene ser un nodo nulo.
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