UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO DEPARTAMENTO DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS. Prof. J.L.Cotto

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1 UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO DEPARTAMENTO DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MAEC 2140: Méodos Cuaiaivos Prof. J.L.Coo DISCUSION Y EJEMPLOS SOBRE EL TEMA FUNCIONES EXPONENCIALS El valor del diero e el iempo INTRODUCCION El pricipio fudameal de ua iversió, es que el diero debe aumear su valor e el iempo coforme sea la asa de ierés (r) y el iempo que se deje la iversió madurado (). Si es e érmios de obeer algua Uilidad e el fuuro, deomiamos la caidad que obedremos al iverir por periodos y asa de ierés r como FV (Valor Fuuro, Fuure Value ). Eso se ampara e el pricipio de fiazas que esablece que u dólar e las maos hoy, vale más (o es más valioso) que u dólar a ser recibido e el fuuro porque si lo ego hoy, lo puedo iverir, gaar iereses y ermiar co más que u dólar e el fuuro. Por oro lado, cuado hablamos del cocepo de Valor Presee (PV) de ua iversió, se hace mirado desde ae mao el valor fuuro de la iversió a la asa de ierés ofrecida, descoado el valor de esa caidad fuura, eso es raerla al Valor Presee (PV), para comparar su valor co el precio ofrecido y compararlo co la caidad que se iee a la mao. U ejemplo secillo os ilusra el pricipio: Supogamos que hay u acivo e el mercado que pagara $ e cico años y eemos $ dólares a la mao para iverir. U baco esá ofreciedo 5% de ierés e u CD por cico años. Calculado el valor fuuro (FV) co ua de las fórmulas que uilizaremos más adelae, obeemos que al cabo de cico años el Valor Fuuro de $ será de $ Debo comprar el CD? Si el valor acual del CD es exacamee $100.00, pues esamos e u puo de idiferecia, o obsae a que vamos a gaar diero, porque esaríamos al vez mirado oras oporuidades que rida más que el 5%. Si el precio acual es de meos de $100.00, pues resula obvio que debemos iverir porque ecesio meos diero para llegar a los $ Si el CD se esá vediedo e más de $100.00, es obvio ambié que o debo iverir ya que el redimieo va a ser meos del 5%, dicho de ora forma, ego que iverir más de $ para llegar a la mea cuado lo puedo lograr de pra forma.

2 El Ierés Compueso E la Coferecia sobre Fucioes Expoeciales esablecimos la base maemáica del porque las formulas co las cuales calculamos los iereses compuesos gaados por ua iversió origial gaa valor e el iempo de forma expoecial. Si examiamos co cuidado la formula base de ua fució expoecial FV PV (1 r) (FV = Valor fial, PV es el valor pricipal o deposio iicial, r es la asa de ierés y los periodos o para uesros propósios los años) veremos que el fudameo de ese crecimieo es que el deposio pricipal al iempo cero, eso es cuado hacemos el deposio origial va a ir gaado lo que deomiamos ierés sobre el ierés o ierés compueso. De ahí que su crecimieo expoecial. Eso lo podemos ver más claramee co u ejemplo secillo. Si PV = $5.00 r=3% y = 4 años eoces si susiuimos e la formula edremos lo siguiee FV 4 $5.00(1.03) = 5.00(1.03)(1.03)(1.03)1.03)= (5.15)(1.03)(1.03)(1.03) = (5.3045)(1.03)(1.03) = ( )(1.03) ) Como puedes ver el PV, e uesro caso $5.00 se muliplica por el primer érmio de 1.03, y ese oal se muliplica por el segudo ermio de 1.03 hasa el oal de cuaro veces, que lo deermia el expoee dado por los años. Eso es lo que la formula hace. Claro esá, cuado resolvamos los problemas, el cómpuo os lo faciliara la calculadora cieífica co la fució de expoeciació la cual debes domiar. EJEMPLOS La fórmulas coeidas e los ejemplos so las que se ecuera e el documeo iulado Coferecia: Fucioes Expoeciales. Los ejemplos relacioados a las fórmulas bajo el ópico Moo Compueso (Valor Fial de ua Iversió) o Ierés Compueso e forma periódica e la coferecia aes mecioada, los ecorarás e la preseació e PPT Ejemplos de Tasas Periódicas.

3 Moo Compueso (Valor Fial de ua Iversió) o Ierés Compueso FV = Valor fial (o FV Fial Value ) PV =Iversió iicial (o PV Prese Value)) r = Tasa de ierés periódica = periodos(i.e., años) Caidad Secilla FV PV(1 r) 1) Hallar el Valor Fuuro (FV) de ua iversió (PV) de $2, a u 7% de ierés por ocho (8) años FV =? PV = $2, r = 7% = 8 ***oa: la asa de ierés iee que ser cambiada a decimal siempre aes de iserarla e la formula. Solució FV PV(1 r) 8 = 2,000(1.07) resolver el expoee primero = 2,000(1.7182) redodeamos el facor a cuaro lugares FV = $3, Ierés Compueso I = FV-PV Ierés Compueso = FV-PV es el ierés que gao e periodos Ese cómpuo secillo lo demos aplicar e odas las fórmulas dode hemos calculado el FV de ua iversió. E el ejemplo aerior eemos

4 I= $3, $2, = $1, Valor Presee de ua caidad secilla a ser recibido e el fuuro PV FV (1 r) Halle el valor presee (PV) si se omó 5 años e madurar y se uilizó ua asa de ierés de u 11.75% Solució FV 12, , PV = = $6, r 5 (1 ) (1.1175) Tasa de ierés r S P 1 Número de años (o periodos equivalees) S l P l 1 r Halle la asa de ierés que se uilizó si origialmee se deposiaro (P) $3, y la iversió madura e cico (5) años hasa alcazar u valor fial (S) de $5, Solució r S 1 P 5,000 5 = 5-1 = ,000 = =.1075 = 10.75% Las asas de ieres se expresa e %

5 Número de años (o periodos equivalees) S l P l 1 r Noa: la fució l se ecuera e u calculadora cieífica Calcule el úmero de años que ardó ua iversió de $4, e alcazar u valor fial de $10, si la asa de ierés fue de u 15% Solució: S 10, l l 4, l P = = = = 6.52 l 1 r l1.15 l = 6.52 años. Valor Fuuro de PV caidades a ser recibidas al cabo de períodos años. FV= valor fial 1 PV = la caidad a ser recibida e el período r = la asa de ierés = el úmero oal de períodos (años, ec) = el período e paricular FV PV 1 r Halle el valor fuuro del siguiee flujo de efecivo a ua asa de ierés de u 8.5% por los próximos 5 años (1) $100 (2) $100 (3) $100 (4) $100 (5) $100 Noa: Cuado los flujos de efecivo(o depósios) so iguales, se le cooce como ua Aualidad. Es imporae que los depósios o flujos se muesre e el orde que va a ocurrir, pricipalmee si o se raase de ua aualidad, o sea depósios de magiudes disias. La razó, como veremos es que el deposio o flujo e paricular se le va a asigar el expoee e la fórmula de acuerdo al momeo o iempo que ocurre y eso afeca su valor fial a madurez.

6 Solució: 1 1 FV PV r = 100(1.085) + 100(1.085) + 100(1.08) (1.085) + 100(1.085) = 100[ ] facorizamos a100 = 100[ ] = 100(6.4291) = FV = $6, Para faciliar la visualizació de lo que quiere decir, y o cofudirlo e el expoee, secillamee miramos los periodos () oales. Recordemos que los depósios iee que esar e orde. El primer deposio, llevara el expoee más alo coforme a los periodos oales y se va adjudicado e orde descedee hasa el úlimo. Eso es relevae si o es ua Aualidad ya que los depósios será de caidades disias y de o eer esa precaució, u depósio podría esar más o meos iempo madurado (depediedo de como se adjudique el expoee) y eso afecaría el cómpuo fial. Deermie el valor fuuro (FV) de los siguiees flujos de efecivo (depósios) por los periodeos esipulados a a asa de ierés de u 9.25%. (1) $200 (2) $400 (3) $600 (4) $100 Aquí =4, esa vez obviaremos e la formula FV PV 1 r 200(1.0925) + 400(1.0925) + 600(1.0925) + 100(1.0925) = = 200(1.4246) + 400(1.3040) + 600(1.1936) + 100(1.0925) = = = FV = $1, Valor Presee de ua serie de efecivo a ser recibido e disios períodos e el fuuro PV FV 1 (1 r) FV= valor de la caidad a ser recibida e el período PV = el valor presee de la suma de las caidades a ser recibidas e el fuuro r = la asa de ierés

7 = el úmero oal de períodos (años, ec.) = el período e paricular Esa fórmula o fució, es de paricular ierés porque es el modelo que se uiliza para valorar ua empresa e érmios de su valor presee e ese caso, los valores de FV podría ser ao posiivos como egaivos. La fórmula o fució ambié es uilizada para valorar u flujo de efecivo de ua iversió, sea ipo aualidad o de diversas caidades. Deermie el Valor Presee del siguiee flujo de efecivo a ser recibidos al fial de cada periodo (años) esipulado a ua asa de ierés de u 4.25%: (1) $200 (2) $400 (3) $600 (4) $100 Solució: PV FV 1 (1 r) FV= valor de la caidad a ser recibida e el período PV = el valor presee de la suma de las caidades a ser recibidas e el fuuro r = la asa de ierés = el úmero oal de períodos (años, ec.) = el período e paricular FV PV = = (1 r) (1.0425) (1.0425) (1.0425) (1.0425) = = (1.0425) (1.0868) (1.1330) (1.1811) = = $1, PV = $1,174.14

8 Valor Presee de ua Empresa Habíamos mecioado que la fució o formula que esamos pracicado se uiliza para valorar las empresas. E esa ocasió, los flujos de efecivo podría ser gaacias o pérdidas a esperarse e esos periodos. Por la ao la fució os ayuda a coesar la pregua del Valor Presee de ua empresa que muesre deermiado comporamieo fiaciero e el fuuro. E esa ocasió, si uo de los flujos de efecivo fuese ua perdida, debemos eer cuidado de iserarlo e la formula co su correspodiee sigo egaivo. Uilizado los mismos daos del ejemplo aerior, supogamos que esos represea las gaacias o pérdidas e milloes de ua empresa e u periodo de cuaro (4) años. Supogamos que el periodo 4 se esima que habrá pérdida. Cuál será el valor presee PV de la empresa? FV PV = = (1 r) (1.0425) (1.0425) (1.0425) (1.0425) = = (1.0425) (1.0868) (1.1330) (1.1811) = ( ) = $1, PV = $1,004.80M La empresa muesra u valor posiivo al presee.