7. Difracción n de la luz

Transcripción

1 7. Difracción n de la luz 7.1. La difracción 1

2 7. Difracción de la luz. 2

3 Experiencia de Grimaldi (1665) Al iluminar una pantalla opaca con una abertura pequeña, se esperaba que en la pantalla de observación apareciera un salto brusco de irradiancia entre la zona iluminada y la zona de sombra. 7. Difracción de la luz. 3

4 Experiencia de Grimaldi (1665) Sin embargo, se observa una zona de penumbra y, si las dimensiones de la abertura son muy pequeñas, aparecen incluso zonas iluminadas en la región que tendría que ser de sombra según la óptica geométrica. 7. Difracción de la luz. 4

5 La difracción A este fenómeno se le llama Difracción y se observa con todo tipo de aberturas. 7. Difracción de la luz. 5

6 La difracción Universidad de Vigo. Departamento de F Física Aplicada El fenómeno de la difracción se manifiesta cuando la luz encuentra en su propagación obstáculos cuyas dimensiones son comparables a la longitud de onda. En ese caso, después del obstáculo se observa una variación de irradiancia entre ciertos valores extremos (I max e I min ): análoga a la interferencia Desde este punto de vista, la difracción se explicó como la interferencia de ondas elementales que parten de la abertura. 7. Difracción de la luz. 6

7 La difracción Principio de Huygens y Fresnel Cada punto de frente de onda se comporta como un nuevo foco de ondas elementales (esféricas en los medios homogéneos e isótropos). 7. Difracción de la luz. 7

8 Comparación: Experiencia de Young vs. Difracción n de una rendija Interferencia de 2 ondas Interferencia de N ondas Hipótesis: Frente de onda plano perpendicular al plano de las aberturas. Plano de observación muy alejado. 7. Difracción de la luz. 8

9 La difracción Con las hipótesis anteriores y geometrías sencillas: una o dos aberturas rectangulares, N aberturas rectangulares equiespaciadas (red de difracción), simplemente sumando ondas elementales (Física 2), se obtienen resultados que se ajustan a lo observado en la práctica. 7. Difracción de la luz. 9

10 Difracción n de Fraunhofer de una rendija (campo lejano) 7. Difracción de la luz. 10

11 La difracción Sin embargo, si la pantalla de observación está cerca de la abertura, el obstáculo presenta una geometría complicada, la descripción del fenómeno de la difracción mediante una suma sencilla de ondas elementales deja de ser válida y se hace necesario el empleo de una teoría más rigurosa. 7. Difracción de la luz. 11

12 Difracción n de Fresnel de una rendija (campo cercano) Pantalla de observación lejos de la abertura Pantalla de observación cerca de la abertura 7. Difracción de la luz. 12

13 La difracción Un planteamiento riguroso del problema de la difracción que permita obtener la expresión del campo óptico después de sobrepasar un obstáculo cualquiera requiere resolver la ecuación vectorial de la onda electromagnética considerando las condiciones de frontera adicionales impuestas por la geometría y la naturaleza del obstáculo. 7. Difracción de la luz. 13

14 La difracción La resolución este problema para obtener la expresión vectorial de la onda difractada es muy complicada. No se ha encontrado una solución general. Se pueden obtener: Soluciones analíticas en contados casos particulares relativamente simples. Soluciones numéricas en situaciones específicas. 7. Difracción de la luz. 14

15 La experiencia demuestra que cuando: La difracción tanto la fuente como la pantalla de observación se encuentran muy alejados del obstáculo, el obstáculo tiene dimensiones transversales mucho mayores que la longitud de onda, los efectos de la polarización no son significativos y el campo de la onda se puede tratar como una variable escalar que verifica 7. Difracción de la luz. 15

16 La difracción En estas condiciones nos encontramos en el ámbito de la Teoría a escalar de la difracción Si la onda está linealmente polarizada, la teoría escalar de la difracción proporciona resultados exactos. En caso contrario permite obtener una solución aproximada del problema de la difracción. 7. Difracción de la luz. 16

17 7. Difracción n de la luz 7.2. Teoría a escalar de la difracción 17

18 7. Difracción de la luz. 18

19 Teoría a escalar de la difracción. Fórmula de Sommerfeld-Rayleigh Amplitud = 1 La onda difractada en un punto P es: 7. Difracción de la luz. 19

20 Teoría a escalar de la difracción. Fórmula de Sommerfeld-Rayleigh Amplitud = 1 La integración se realiza sobre el área de la abertura A y 7. Difracción de la luz. 20

21 Teoría a escalar de la difracción. Fórmula de Sommerfeld-Rayleigh Significado de la expresión: onda esférica que, partiendo de la abertura, llega a P suma ponderada de ondas esféricas originadas en A factor de oblicuidad (Principio de Huygens-Fresnel) 7. Difracción de la luz. 21

22 Universidad de Vigo. Departamento de F Física Aplicada Teoría a escalar de la difracción. Aproximaciones La fórmula de Sommerfeld-Rayleigh se suele simplificar mediante aproximaciones para obtener expresiones más sencillas. Para todas estas aproximaciones se considera que la distancia entre el obstáculo y la pantalla d es mucho mayor que las dimensiones transversales de la abertura y de la región en que se observa el patrón de difracción. Cuanto vale entonces de forma aproximada? 7. Difracción de la luz. 22

23 Teoría a escalar de la difracción. Aproximaciones Abertura Región de observación y, por tanto, pero 7. Difracción de la luz. 23

24 Teoría a escalar de la difracción. Aproximaciones Veamos un ejemplo en que Datos: Amplitud: Fase: 7. Difracción de la luz. 24

25 Teoría a escalar de la difracción. Aproximaciones La fase de las ondas elementales se aproxima en la cual y se puede desarrollar en serie de Taylor con 7. Difracción de la luz. 25

26 ... de forma que resulta Teoría a escalar de la difracción. Aproximaciones Aproximación n de Fraunhofer Aproximación n de Fresnel 7. Difracción de la luz. 26

27 Difracción n de Fresnel Se tiene cuando se puede considerar que y es despreciable frente a los términos de menor orden. La onda difractada se expresa entonces 7. Difracción de la luz. 27

28 Difracción n de Fresnel En aproximación de Fresnel, los frentes de las ondas elementales (el lugar geométrico de los puntos en que la fase de la onda tiene un mismo valor) cumplen la ecuación que, como d = z o z, se puede interpretar como una familia de paraboloides de revolución. Luego, la aproximación de Fresnel consiste en tomar ondas elementales parabólicas en vez de esféricas. 7. Difracción de la luz. 28

29 Difracción n de Fresnel Ejemplo: Cómo tiene que ser la distancia d desde una abertura de 1 mm de diámetro a una pantalla de observación cuadrada de 1 cm de lado para que al iluminarla con un láser de λ = 633 nm se pueda estudiar la difracción en aproximación de Fresnel? Se ha de cumplir que para cualquier combinación de un punto de la pantalla (x o,y o ) y un punto de la abertura (x,y). 7. Difracción de la luz. 29

30 Difracción n de Fresnel Los puntos de la abertura y de la pantalla más separados entre sí son los dispuestos como se muestra en la figura. El valor máximo del cuadrado de la separación entre puntos de la abertura y de la pantalla es, pues Y, despejando, se llega a que ha de ser 7. Difracción de la luz. 30

31 Difracción n de Fresnel Como hemos visto en el ejemplo, la aproximación de Fresnel se puede aplicar relativamente cerca de la abertura, por ello se le suele llamar también: Aproximación de campo cercano 7. Difracción de la luz. 31

32 Difracción n de Fraunhofer Se tiene cuando se puede considerar, además, que y es despreciable frente a los demás términos. La onda difractada se expresa 7. Difracción de la luz. 32

33 Difracción n de Fraunhofer En aproximación de Fraunhofer, los frentes de las ondas elementales cumplen la ecuación que, teniendo en cuenta que d = z o z, se puede interpretar como una familia de planos. Luego, la aproximación de Fraunhofer consiste en tomar ondas elementales planas en vez de esféricas. 7. Difracción de la luz. 33

34 Difracción n de Fraunhofer Ejemplo: Para qué distancias es válida la aproximación de Fraunhofer de la difracción producida por una abertura circular de 1 mm de diámetro iluminada con un láser de λ = 633 nm? Se ha de cumplir que para cualquier punto de la abertura (x,y). El máximo valor de Y, al despejar, resulta 7. Difracción de la luz. 34

35 Difracción n de Fraunhofer Universidad de Vigo. Departamento de F Física Aplicada Como hemos visto en el ejemplo, la aproximación de Fraunhofer sólo se puede aplicar muy lejos de la abertura, por ello se le suele llamar también: Aproximación de campo lejano NOTA: para observar la difracción de Fraunhofer sin tener que alejar tanto la pantalla, se puede colocar una lente convergente frente a la abertura y observar la difracción en su plano focal, que es donde convergen los rayos de luz que, de otra manera coincidirían en un punto del infinito (muy alejado). 7. Difracción de la luz. 35

36 Dominio de las aproximaciones Teoría general Sommerfeld-Rayleigh Campo cercano Fresnel Campo lejano Fraunhofer 7. Difracción de la luz. 36

37 Dominio de las aproximaciones Sommerfeld-Rayleigh Sommerfeld Rayleigh Fresnel Fresnel Fraunhofer Fraunhofer 7. Difracción de la luz. 37

38 Se toman ondas elementales: Interpretación n geométrica de las aproximaciones Fraunhofer Sommerfeld-Rayleigh Esféricas Planas Fresnel Parabólicas 7. Difracción de la luz. 38

39 Difracción n de Fraunhofer y transformada de Fourier Tenemos que en aproximación de Fraunhofer Si se definen las frecuencias espaciales como la onda difractada se puede expresar donde se integra sobre la abertura A. 7. Difracción de la luz. 39

40 Difracción n de Fraunhofer y transformada de Fourier Si se define la función de transmitancia de la abertura como se puede extender la integral a todo R 2, y resulta Transformada de Fourier de t (x,y) 7. Difracción de la luz. 40

41 Ejemplos de difracción n de Fraunhofer: Abertura rectangular 7. Difracción de la luz. 41

42 Ejemplos de difracción n de Fraunhofer: Abertura rectangular 7. Difracción de la luz. 42

43 Ejemplos de difracción n de Fraunhofer: Abertura rectangular Abertura rectangular: b > a 7. Difracción de la luz. 43

44 Ejemplos de difracción n de Fraunhofer: Abertura cuadrada Abertura cuadrada: b = a 7. Difracción de la luz. 44

45 Ejemplos de difracción n de Fraunhofer: Abertura circular 7. Difracción de la luz. 45

46 Ejemplos de difracción n de Fraunhofer: Abertura circular 7. Difracción de la luz. 46

47 Ejemplos de difracción n de Fraunhofer: Abertura circular (diámetro intermedio) Disco de Airy ~90% potencia Abertura circular 7. Difracción de la luz. 47

48 Ejemplos de difracción n de Fraunhofer: Abertura circular (diámetro grande) Abertura circular 7. Difracción de la luz. 48

49 Ejemplos de difracción n de Fraunhofer: Doble abertura circular Doble abertura circular (diámetro pequeño) 7. Difracción de la luz. 49

50 Ejemplos de difracción n de Fraunhofer: Abertura triangular Abertura triangular equilátera 7. Difracción de la luz. 50

51 7. Difracción n de la luz 7.3. Resolución. Criterio de Rayleigh 51

52 7. Difracción de la luz. 52

53 Imagen de un punto limitada por la difracción. Resolución La imagen de una fuente de luz puntual a través de una lente con borde circular no es un punto, sino un patrón de difracción de Airy. R Airy = 7. Difracción de la luz. 53

54 Criterio de resolución n de Rayleigh Si dos puntos están angularmente muy próximos, sus imágenes (patrones de Airy) puede que se solapen y se vean como una sola imagen. Abertura circular de diámetro D Dos fuentes puntuales incoherentes Pantalla alejada de la abertura 7. Difracción de la luz. 54

55 Criterio de resolución n de Rayleigh Universidad de Vigo. Departamento de F Física Aplicada El criterio más utilizado, aunque no el único existente, para decidir si es posible resolver las imágenes de dos puntos (esto es, si se pueden distinguir como dos imágenes separadas en vez de una sola) es el Criterio de resoluci Criterio de resolución de n de Rayleigh Las imágenes de dos puntos adyacentes pueden distinguirse (están resueltas) si la separación entre sus centros es mayor o igual que el radio del disco de Airy del sistema óptico que las ha formado. 7. Difracción de la luz. 55

56 Criterio de resolución n de Rayleigh S S R Airy R Airy 7. Difracción de la luz. 56

57 S < R Airy Imágenes no resueltas Criterio de resolución n de Rayleigh S = R Airy Límite de resolución S > R Airy Imágenes resueltas 7. Difracción de la luz. 57