UNA FORMA GRÁFICA DE ENSEÑANZA: APLICACIÓN AL DUOPOLIO DE. Dpto. de Métodos Cuantitativos e Informáticos. Universidad Politécnica de Cartagena.

Transcripción

1 UNA FORMA GRÁFICA DE ENSEÑANZA: APLICACIÓN AL DUOPOLIO DE COURNOT. Autores: García Córdoba, José Antono; Ruz Marín, Manuel; Sánchez García, Juan Francsco; Dpto. de Métodos Cuanttatvos e Informátcos. Unversdad Poltécnca de Cartagena. Palabras clave: Duopolo de Cournot, equlbro, hoja de cálculo. Resumen: El prncpal problema que acontece en la enseñanza de materas económcas es la falta de vsualzacón que tene el alumnado de los conceptos presentados. Una forma senclla de poder transmtr esos conocmentos consste en la utlzacón de equpos nformátcos y software de uso general accesble al alumnado como las hojas de cálculo. En este trabajo, presentamos la aplcacón de estos medos nformátcos a la eplcacón de la dnámca del duopolo de Cournot con dstntas funcones de demanda, mostrando de forma gráfca, medante una senclla programacón de la hoja de cálculo, la reaccón de una empresa ante las cantdades producdas por su competdor. Estas reaccones se van sucedendo de forma alterna hasta alcanzarse el equlbro..- Introduccón y Prelmnares. Es sobradamente conocdo el duopolo de Cournot, aunque habtualmente su eplcacón se suele lmtar al cálculo del punto de mámo benefco para ambas

2 empresas, obvando la evolucón dnámca que segurían dchas empresas en funcón de las funcones de reaccón, que más adelante calcularemos según los dstntos tpos de funcones de demanda y de costes de produccón, hasta llegar fnalmente al punto de mámo benefco. En este trabajo proponemos una metodología de enseñanza con ordenador para hacer más comprensble el proceso que sguen ambas empresas duopolstas hasta llegar al punto de equlbro. Para ello, desarrollaremos medante hoja de cálculo un modelo que muestre gráfcamente la evolucón de la produccón de ambas empresas, dependendo de las cantdades ncalmente producdas por las msmas, de manera que se observe s la evolucón de las produccones tende haca el punto de equlbro o por el contraro tene un comportamento caótco. Denotaremos por (, ), el punto de equlbro de Cournot, es decr para el nvel de produccón la Empresa mamza sus benefcos con =,. Determnaremos las llamadas funcones de reaccón, que representan la forma de reacconar de una empresa respecto de la produccón de su oponente, dependendo de cual sea el tpo de funcón de demanda que se plantea, con el objetvo de llegar al punto de equlbro. Tambén analzaremos s se puede alcanzar el punto de equlbro, medante un proceso teratvo determnado por las funcones de reaccón. Así msmo determnaremos, en los casos en que sea posble, s este punto de equlbro es únco. Sea X un espaco métrco compacto y f : X X X X una funcón contnua. Dremos que (,y) es un punto fjo de f s f(,y)=(,y). Llamaremos órbta peródca asocada al punto peródco (,y) al conjunto n {(, y),f (, y),f (, y), K,f (, y) }.

3 Dadas dos aplcacones f,:x X y g,:x X de un espaco métrco compacto X en s msmo, llamaremos aplcacón anttrangular o aplcacón de Cournot asocada a f y g a una aplcacón φ : X X X X defnda por φ (, y) = (f (y),g()). Denotemos por, las cantdades producdas por la Empresa y la Empresa respectvamente. Por lo tanto = + es la cantdad de producto total lanzado al mercado por ambas empresas. Sea p = p() la nversa de la funcón de demanda, C ( ) la funcón de costes de la Empresa (=,). Por lo tanto la funcón de benefcos para la Empresa vene dada por B ( ) = p() C ( )..- Desarrollo del juego. En esta seccón epondremos el juego del Duopolo de Cournot desde un punto de vsta dnámco. De hecho veremos que el punto de equlbro se puede epresar como el punto fjo de una aplcacón anttrangular defnda por las funcones de reaccón de ambas empresas. Consderaremos que las varacones conjeturales son cero ( = 0 para j ). j Denotemos por (, ) el punto de equlbro y = +. Entonces este punto B debe satsfacer la ecuacón = p() + p'() C '( ) = 0. Denotemos por F (, ) B = para =,. Luego F(, ) 0 =. Bajo la condcón de que la funcón de demanda sea de segunda clase (es decr contnua y dervable dos veces con dervada

4 segunda contnua) tenemos que F j es contnua. Por otro lado F (, j ) = p'( ) + p' '( ) = 0 s y sólo s p' ( ) = para j. Entonces en p'' ( ) las condcones anterores s p'( ) para =,, por el Teorema de la funcón p''( ) mplícta esten entornos U y V de y respectvamente (=, ) y funcones : U V r y : V U r úncas y contnuas tales que: F r ( ), ) 0 para todo ( = y F, r ( )) 0 para todo V ( = U. Además estas funcones verfcan que r ( ) = y r ( ) =. A estas funcones las llamaremos funcones de reaccón. Sea φ la aplcacón anttrangular asocada a r y r, tambén conocdo como Cournot Tatônnement. Entonces se verfca que φ (, ) = (r( ), r ( )) = (, ), es decr los puntos de equlbro son puntos fjos de la aplcacón anttrangular asocada a las funcones de reaccón. Obsérvese que cada terada de la funcón anttrangular denota como reaccona cada una de las dos empresas en funcón de la cantdad producda en el nstante anteror por su empresa oponente. Por lo tanto el estudo del comportamento dnámco de las aplcacones anttrangulares de alguna manera nos esta eplcando que partendo de unas produccones (, ) puede ocurrr:.- Se va a alcanzar el punto de equlbro reacconando según r y r, es decr, se alcanza el punto fjo de la aplcacón anttrangular asocada a r y r medante teradas de ésta..- No es un buen punto de partda para el juego de Cournot, es decr, s partendo de este punto nunca se llega al equlbro medante teradas, ya sea por

5 un comportamento cíclco de las empresas (el punto (, ) es un punto peródco de la aplcacón de Cournot), o smplemente porque la sucesón formada por las teradas de la aplcacón anttrangular no converge. Tambén, conocendo el comportamento dnámco de φ seremos capaces de determnar s el punto de equlbro es únco o no, e ncluso s dcho comportamento es caótco. 3.- Cálculo de las funcones de reaccón. Comportamento dnámco del modelo Funcón de demanda lneal y costes de produccón lneales. Supongamos que la funcón de demanda es lneal, es decr, p()= a b, (a,b > 0) y los costes de produccón son lneales C ( ) + = f u donde f denota los costes fjos y u los costes untaros de la empresa, =,. Para este tpo de funcón de demanda se satsfacen todas las condcones para aplcar el teorema de la funcón mplícta, obtenendo las sguentes funcones de reaccón: r a u ( ) = b r a u b () = Por lo tanto, la aplcacón anttrangular asocada a estas funcones de reaccón sería a u a u φ (, ) = (, ) Esta aplcacón tene un únco punto fjo b b u a u (, u 3b teracones de φ. u 3b a ). Veamos s este punto fjo se puede alcanzar medante

6 φ n n n a u a u n a u a u n (, ) = (( ) ( ) + ( ), ( ) ( ) + ( ) ) b 4b 4 4 b 4b 4 4 = 0 n a u + u a u + u de donde deducmos que lm φ (, ) = (, ). Por otra parte, n 3b 3b n n n+ a u a u a u n a u a u a u n φ (, ) = ( (( ) ( ) + ( ) ), (( ) ( ) + ( ) )) b b 4b = b b 4b = de donde obtenemos que lm φ n+ (, ) = a u + u a u + u (, ). Por lo n 3b 3b n a u + u a u + u tanto tenemos que lm φ (, ) = (, ). Es decr el punto n 3b 3b a ( u + u a u +, 3b 3b u ), es un punto fjo atractvo de φ. = 0 3. Funcón de demanda hperbólca y costes de produccón lneales. En este caso la nversa de la funcón de demanda es de la forma b p () =. Entonces sguendo los msmos argumentos descrtos anterormente obtenemos que las funcones de reaccón son de la forma: r b ( ) = u r b ( ) = u Para dbujar las orbtas convergentes al punto de equlbro de la aplcacón de Cournot asocada a este modelo debemos asegurarnos de conocer a partr de qué condcones ncales tenemos asegurada dcha convergenca. Esta convergenca estará asegurada en b b el ntervalo (, ) 6u 4u en el cual las funcones de reaccón r son contractvas para

7 b b b b =,. Esto no quere decr que fuera de (, )(, ) 6u 4u 6u 4u no se puedan encontrar condcones ncales de manera que la aplcacón de Cournot converja al punto de equlbro medante teradas. El punto de equlbro vene dado por la bu bu epresón: (, ). (u + u ) (u + u ) Fnalmente de forma análoga a los dos casos anterores tenemos: 3.3 Funcón de demanda lneal y costes de produccón cúbcos. La funcón de demanda es lneal, es decr, p()= a b, (a,b > 0) y los costes margnales de produccón son cuadrátcos C ( ) = s + t + h (h, s > 0 y t 0). Imponemos la condcón t 0 para que la funcón de costes tenga sentdo económco. Entonces las funcones de reaccón seran: b + t + r ( ) = (b + t ) h + 4h (a s b ) b + t + r ( ) = (b + t ) h + 4h (a s b ) Para que estas funcones de reaccón estén ben defndas, debemos suponer que s a para =,, cosa que no supone nnguna restrccón ya que a representa el preco mámo al que se puede vender el producto y s representa lo que cuesta producr la prmera undad mas los costes fjos de la empresa =,. Pero no sólo nos basta que las funcones de reaccón estén ben defndas como funcones sno que necestamos que tomen valores postvos al representar cantdades para ello se debe verfcar que:

8 a s (b + t ) a s a s (b + t) a s (, ) (, + ) (, + ). Además para b 4h b b b 4h b b condcones ncales en el producto cartesano de ntervalos defndo anterormente las funcones de reaccón son contractvas y por lo tanto está asegurada la convergenca al punto de equlbro. 4.- Resolucón medante hoja de cálculo Para facltar la comprensón por parte del alumno del duopolo de Cournot y permtr que nteractvamente pueda ver las mplcacones que puede tener la cantdad producda de partda de las dos empresas competdoras, hemos recurrdo a la hoja de cálculo Ecel, software que es de fácl acceso para la mayoría del alumnado, donde hemos representado a partr de las produccones ncales, cuales son las teracones que se dan hasta alcanzarse el punto de mámo benefco para ambas empresas. Estos cálculos se han efectuado para los tres casos descrtos anterormente, ya que la forma de las funcones de reaccón dfere entre unos y otros. Adconalmente al cálculo de los ajustes que ocurren hasta llegar al punto de equlbro, se ha efectuado una representacón gráfca para cada modelo en la que se muestran smultáneamente las dstntas teracones que se producen hasta llegar al punto de equlbro, la zona en la que está asegurada la convergenca del modelo y el propo punto de equlbro. La presentacón en el caso de funcón de demanda lneal y costes de produccón lneales es:

9 En el caso de funcón de demanda hperbólca y costes de produccón lneales es:

10 Y, fnalmente, en el caso de funcón de demanda lneal y costes de produccón cúbcos: Esta forma de mostrar las solucones fnales no aportaría en prncpo nnguna novedad respecto al sstema tradconal de enseñanza del duopolo de Cournot. Por este motvo, hemos creado una funcón de hoja de cálculo que recalcula el gráfco para cualquera de los modelos, a la cual se accede a través del botón de comando Gráfco paso a paso. Al pulsar sobre dcho botón se redbuja el gráfco ncalmente con el área de convergenca y el punto de equlbro, y comenza a dbujar partendo del punto de produccón ncal, con una lgera demora entre teracones, cada uno de los pasos que las empresas sguen de acuerdo con la funcón de reaccón, hasta llegar al punto de equlbro:

11 En muchos casos, como en la magen anteror, es posble que a partr de un determnado momento no se observe la evolucón de la trayectora de los puntos que van ocupando las empresas debdo a lo pequeñas que llegan a ser las varacones. Para remedar este efecto hemos arbtrado solucones: - Hemos ntroducdo un factor de toleranca, a partr del cual entendemos que las dferencas no son sgnfcatvas, de forma que s el punto obtendo es smlar al anteror dejamos de representar el gráfco. - S, pese a la solucón anteror, deseamos mantener un alto grado de precsón, tambén se ofrece la posbldad de ajustar la escala del gráfco según se va soluconando medante una pregunta que se hace al usuaro antes de ncar la representacón:

12 De esta forma el gráfco se va ajustando llegando a una precsón mayor y pudéndose observar mejor la trayectora de las empresas:

13 5.- Conclusones Creemos que con modelos como los presentados se puede favorecer la fácl comprensón por parte del alumno de los procesos duopolstas, ya que la utlzacón de medos gráfcos suele hacer más comprensble y más agradable el aprendzaje de procesos económcos. Además, de esta forma es posble nvolucrar al alumno en la utlzacón de herramentas ofmátcas generales como la hoja de cálculo, que tan necesaras son actualmente en el mercado laboral.