I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

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1 Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Curso XI-010 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El amn consta d dos opcions, A y B. El alumno dbrá lgir UNA Y SÓLO UNA d llas y rsolvr los cuatro jrcicios d qu consta. No s prmit l uso d calculadoras con capacidad d rprsntación gráfica. PUNTUACIÓN: La calificación máima d cada jrcicio s indica n l ncabzaminto dl mismo. Timpo: 90 minutos. OPCIÓN A Ejrcicio 1.- Calificación máima: puntos Halla a y b para qu s puda aplicar l torma d Bolzano a la función f y halla l punto c (, ) al qu hac mnción l torma: cos si 0 b si 1 f() = a si 0 < < 1 Ejrcicio.- Calificación máima: 3 puntos a) ( puntos). Driva y ( sn ) =. b) (1 punto). Halla un punto d la gráfica d paralla a la rcta y = 3 8. y = 5 n l cual la rcta tangnt sa Ejrcicio 3.- Calificación máima: 3 puntos Sa la función 4 3 f() = a b c 7. a) (0,5 puntos). Calcula c sabindo qu su rcta tangnt n l punto d abscisa = 0 s horizontal. b) (1 punto). Para l valor d c ncontrado n l apartado antrior, halla a y b sabindo qu sta función tin un trmo rlativo n l punto d abscisa = y qu corta al j X n = 1. c) (1,5 puntos). Para los valors obtnidos n los otros apartados, calcula los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la función, sus trmos rlativos y haz una rprsntación gráfica aproimada. Ejrcicio 4.-. Calificación máima: puntos Calcula los siguints límits: 1 cos( 1) a) (1 punto). lím 1 (ln) b) (1 punto). 1 lím 3

2 Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso OPCIÓN B Ejrcicio 1.- Calificación máima: puntos Calcula los siguints límits: a) (1 punto). lím 4 lím 1 cos b) (1 punto). ( ) 1 cos Ejrcicio.- Calificación máima: puntos 1 Dada la función f : lr lr dfinida por f() =, dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n su punto d inflión. Ejrcicio 3.- Calificación máima: 3 puntos S considra la función: n si < f() = 3 m si a) ( puntos). Dtrmina m y n para qu s cumplan las hipótsis dl torma dl valor mdio n l intrvalo 4,. b) (1 punto). Halla los puntos dl intrvalo cuya istncia garantiza dicho torma. Ejrcicio 4.- Calificación máima: 3 puntos S quir construir una piscina n forma d parallpípdo rcto d bas cuadrada. Disponmos d 19 m d baldosas para rcubrir las pards y l fondo d la piscina. Halla las dimnsions d la piscina d manra qu su capacidad sa máima y dtrmina dicha capacidad.

3 Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso OPCIÓN A, Ejrcicio A.1 SOLUCIONES Halla a y b para qu s puda aplicar l torma d Bolzano a la función f y halla l punto c (, ) al qu hac mnción l torma: cos si 0 b si 1 f() = a si 0 < < 1 Para qu s vrifiqu l Torma d Bolzano s ncsario qu s cumplan dos hipótsis: Hipótsis 1.- La función f s continua n,. Los únicos problmas d discontinuidad s pudn prsntar n los puntos d ruptura, s dcir, n la intrscción d los tramos d función. Obligamos a qu sa continua: En = 0 : En = 1 : lím f() = lím cos = 1 a = 1 = = 0 lím f() lím(a ) a 0 = = ( ) a 1 b b = lím f() = lím = b 1 lím f() lím(a ) a ( ) b = Hipótsis : El signo d f s distinto n los trmos dl intrvalo: f( ) = cos ( ) = 1 < 0 f( ) = > 0 signo f( ) signo f( ) Bajo sta hipótsis s cumpl qu c (, ) f(c) = 0. Pus vamos a calcularlo: ( ) cos c = 0 con c 0 = 0 con 1 c (imposibl) c f(c) = 0 1 c = 0 con 0 < c < 1 (imposibl) ( ) c = (, ). Ejrcicio A. a) ( puntos). Driva y ( sn ) =. b) (1 punto). Halla un punto d la gráfica d paralla a la rcta y = 3 8. y = 5 n l cual la rcta tangnt sa a) Al sr una función potncia n la qu tanto la bas como l ponnt son funcions dpndints d, s prciso aplicar l procso d drivación logarítmica:

4 Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso y ( sn) ln y ln ( sn) ln y ln ( sn) = = = y 1 1 cos = ln ( sn) y sn 1 1 cos y = ln ( sn ) ( sn ) sn. b) Tnmos la función Nos dicn qu y = 5 y = 1. r y = 3 8 m = 3 y = 3 1 = 3 = 1 t rt. Calculamos su sgunda coordnada: y(1) = = 7 y ya tnmos l punto dond la rcta tangnt s paralla a la rcta dada: P(1,7). Su cuación s r t y 7 = 3 ( 1) ó r t y = 3 4 Ejrcicio A.3 Sa la función 4 3 f() = a b c 7. a) (0,5 puntos). Calcula c sabindo qu su rcta tangnt n l punto d abscisa = 0 s horizontal. b) (1 punto). Para l valor d c ncontrado n l apartado antrior, halla a y b sabindo qu sta función tin un trmo rlativo n l punto d abscisa = y qu corta al j X n = 1. c) (1,5 puntos). Para los valors obtnidos n los otros apartados, calcula los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la función, sus trmos rlativos y haz una rprsntación gráfica aproimada. a) f() = a b c 7 f () = 4 3a b c Si la rcta tangnt s horizontal, no tin inclinación y por lo tanto su pndint ha d sr cro: 3 m = f () = a 0 b 0 c = 0 c = 0. b) f() = a b 7 f () = 4 3a b. Imponmos las dos condicions para sacar l valor d los parámtros: f ( ) = 0 4 ( ) 3a ( ) b ( ) = 0 3 1a 4b = 0 3a b = 8 3 (1) f(1) = 0 1 a 1 b 1 7 = 0 a b 8 = 0 a b = ( ) () 4 (1) () 4a = 0 a = 0 b = 8 f() = 8 7. c) Calculamos la drivada d la función y la igualamos a cro: 3 3 f () = 4 16; f () = = 0 4 ( 4) = 0 = 0; = ±.

5 Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso Estudiamos l signo d la drivada a ambos lados d los valors qu la anulan: f - Mínimo rlativo Máimo rlativo - Mínimo rlativo f DECRECIENTE - CRECIENTE 0 DECRECIENTE CRECIENTE f ( 10) < 0 ; f (1) > 0 ; f (1) < 0 ; f (10) > 0. Por lo tanto: La función f s dcrcint (, ) (0,). La función f s crcint (,0) (, ). La función f tin mínimos rlativos n los puntos (, 9) y (,9). La función f tin un máimo rlativo n l punto (0,7). Su rprsntación gráfica quda dtrminada por los puntos críticos y por los puntos d cort: Ejrcicio A.4 Calcula los siguints límits: 1 cos( 1) b) (1 punto). lím b) (1 punto). 1 (ln) 1 lím 3 a) cos( 1) sn( 1) sn( 1) sn( 1) lím = lím = lím = lím = 1 (ln) ln 1 ln L Hôpital (ln) L Hôpital 0 0 sn( 1) cos( 1) sn( 1) cos( 1) = lím = lím = L Hôpital 1.

6 Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso b) 1 (1 ) 3 5 lím 1 ( 1) lím ( 1) lím ( 1) 10 5 lím lí m = = = = = OPCIÓN B, Ejrcicio B.1 SOLUCIONES Calcula los siguints límits: a) (1 punto). lím 4 lím 1 cos b) (1 punto). ( ) 1 a) Estos límits con radicals s calculan fácilmnt multiplicando por la prsión conjugada, aunqu, a vcs, también pud rsultar sncillo aplicar la rgla d L Hôpital: lím = lím = lím = 4 4 ( 4) ( ) 1 1 = lím = lím = = ( ) ( ) ( ) cos b) En st caso, utilizamos la propidad d los límits dl númro : 1 cos 1 ( 1 ) lím (1 cos 1) lím cos cos cos lím 1 cos = = = ( ) Ejrcicio B. 1 Dada la función f :lr lr dfinida por f() =, dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n su punto d inflión. En primr lugar tnmos qu localizar su punto d inflión y sa información nos la aporta su sgunda drivada. Así qu, manos a la obra: f () ( 1) = = = = ( ) ( ) ( ) Vamos a por la sgunda: f () ( ) (1 ) 1 = = = =. ( ) ( ) ( ) f () = 0 1 = 0 = 1. Comprobamos qu, fctivamnt, s trata d un punto d inflión: f Pto. d Inflión f CONVEXA 1 CÓNCAVA

7 Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso f (0) < 0 ; f () > 0 Por lo tanto, la función tin un punto d inflión n (1, ). Ya podmos calcular la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función s s punto: 1 = r t y ( 1) = ó r y = 1 3 t. r y f (1) ( 1) t Ejrcicio B.3 S considra la función: n si < f() = 3 m si a) ( puntos). Dtrmina m y n para qu s cumplan las hipótsis dl torma dl valor mdio n l intrvalo 4,. b) (1 punto). Halla los puntos dl intrvalo cuya istncia garantiza dicho torma. a) Hipótsis 1: f s continua n l intrvalo 4,. lím f() = lím ( n) = 4 n 3 lím f() = lím ( m ) = 8 4m Hipótsis : f s drivabl n l intrvalo ( 4,). 8 4m = 4 n 4m n = 1 m n = 6 (1) n si < = 3 m si f () ; = f ( ) 4 n f ( ) = 1 4m 4 n = 1 4m 4m n = 16 () () (1): m = 10 m = 5 La función quda: f() = 4 si < 3 5 si (1) n = 4. 4 si < f () = 3 10 si b) Bajo stas hipótsis, l Torma dl Valor Mdio garantiza qu f() f( 4) c ( 4,) f (c) = = = =. ( 4) Vamos a vr n qué puntos dl intrvalo 4, s vrifica: c 4 = 3 si < c = 5 3 ( 4, ) f (c) = ( ) 3c 10c = 3 si 9c 30c = 0 ( ) c = 5 3 0, (,) 30 ± ± 88 = = ,6577 (,) 6 Gráficamnt, sta s la situación:

8 Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso Ejrcicio B.4 S quir construir una piscina n forma d parallpípdo rcto d bas cuadrada. Disponmos d 19 m d baldosas para rcubrir las pards y l fondo d la piscina. Halla las dimnsions d la piscina d manra qu su capacidad sa máima y dtrmina dicha capacidad. Variabls d dcisión. Longitud dl lado d la bas cuadrada d la piscina (m) y Profundidad d la piscina (m) y Rlación ntr las variabls. (Suprfici a rcubrir) 19 4y = 19 y = 4 Función objtivo. (Maimizar su capacidad) f(, y) = y Plantaminto y rsolución. 19 y = 4 = f(, y) y SUSTITUCIÓN 3 3 f() = = = 48 Calculamos su drivada para localizar l máimo d la función: f () = 48 ; f () = 0 48 = 0 48 = = = 64 = Comprobamos qu, fctivamnt, s trata d un máimo: 3 = = < f alcanza l valor máimo n = 8. f () ; f (8) 1 0 Calculamos la profundidad d la piscina y l volumn: y = = = 4 ; 4 3 Toma d dcisión. f(8, 4) = 8 4 = 56 La bas cuadrada d la piscina db tnr 8 mtros d lado y su profundidad ha d sr d 4 mtros. D sta forma consguirmos una capacidad máima d 56 m 3 ó litros.