; f(x) = 3 x 5 2) Halla los límites laterales de las siguientes funciones en los valores de x que se indican: -5x + 4); f(x) = 2 ; f(x) =

Transcripción

1 º BT Mat II CNS PROBLEMAS ANALISIS 1) Halla los dominios de las siguientes funciones: f() = 9 ; f () = Ln ( -5 + ); f() = ; f() = Problemas Análisis Pág ; f() = 5 ) Halla los límites laterales de las siguientes funciones en los valores de que se indican: + si 0 1 f() = en = 0, 1, g()= en = -1,0, si > ) Halla y clasifica los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: + > 1 si 1 f() = + g()= = 5 si = 1 < ) Determina los valores de a y b para que las siguientes funciones sean continuas R a. e si < 0. e si < 0 f()= be si 0 1 g()= + a + b si 0 < si > 1 / si 5) Halla, caso de que eistan, los siguientes límites: a) lim d) lim g) lim j) lim b) + 5 lim + e) lim 9 h) lim ( + ) k) lim ( + 1) 6) Halla las funciones derivadas de las siguientes funciones: 8 c) + 1 lim + 5 f) lim i) lim l) lim + 5 a)f()=ln + 1 b) f()= (sen( 1 1+ cos )) c)f()= ln 1 cos e)f()=arc sen (cos( +1) f)f()=5 arctg 1 g) f()= 5 cos( 1). Ln( ) 7) Representa gráficamente las siguientes funciones: d)f()=e sen(-) a) f()= - b)f()=ln( -+) c) f()= 9 d) f()= +/ e) f()=(+ )/ f)f()= + 1 g)f()= h) f()= ln i)f()= 8) Halla los puntos en los que las tangentes a la curva f()= son paralelas al eje OX 9) Halla la parábola f()= +b+c que es tangente a la recta y = en el punto (1,1). 10) Estudia si eiste algún punto de la curva f()= en el que la correspondiente tangente forma con el eje OX un ángulo de 5. 11) Halla las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva f()= 1 en el punto de abscisa =0. 1) Demuestra que cualquiera que sea el valor de m la ecuación 5 ++m=0 no puede tener más de una raíz real. 1) Halla el punto de la curva f()= más próimo al punto (,0). 1) Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta a 8 euros/m y la de los otros a 6 euros/m. Halla las dimensiones del campo de mayor superficie que puede vallarse con 1688 euros.

2 º BT Mat II CNS 15) De todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de 1 m de radio, halla las dimensiones del que tiene área máima. 16) La suma de todas las aristas de un prisma recto de base cuadrada es 8 cm. Halla las dimensiones que deber tener ese prisma para que su volumen sea máimo. 17) Un triángulo isósceles ABC (b = c) de perímetro 0 cm. gira alrededor de la altura correspondiente al lado a, engendrando un cono. Halla a para que el volumen de dicho cono sea máimo. 18) A un espejo rectangular de 15 dm. de largo y 10 dm. de ancho se le ha roto en una esquina un pedazo de forma triangular del modo indicado en la figura adjunta (corte horizontal 5 y vertical ). Halla las dimensiones del mayor espejo rectangular que puede construirse con la parte que ha quedado. 19) Halla el punto del eje OX tal que la suma de sus distancias a los puntos (,) y (6,8) sea mínima. 0) Demuestra que la función f() = e posee mínimo absoluto para = 0. Eiste máimo absoluto? 1) a) Halla el dominio de la función f() = + +.b) Es continua la función f? c) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los etremos relativos de f. ) Dada la función f()=, determina: a)asíntotas. b)crecimiento y decrecimiento. Máimos 1+ y mínimos relativos. c) Concavidad, conveidad y puntos de infleión. d) Gráfica de f. ) Dada la función f()= arc tg + arc tg (1/), comprueba que para todo 0 se verifica que f '()=0. Calcula f(1) y f(-1) y dibuja la gráfica de f. ) Es creciente la función f()=/(1+ ) en = 0? y la función g() = 5 en = 0? Justifica las respuestas. 5) Halla los puntos de la curva y = cuya distancia al punto (,0) es mínima. 6) Sea la función 1 si < f()= Halla a y b para que f sea derivable en todo R. Representa la + a + b si gráfica de la función que obtengas. 1 cos 7) Consideramos la función: f() = Ln a) Halla su dominio. b) Halla sus puntos de corte 1 + cos con los ejes. c) Demuestra que es una función periódica. d) Halla la recta tangente a la curva en el punto de abscisa =π/. 8) Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente 1 si < 0 f()= Realiza la gráfica de la función. + 1 si 0 9) Sea la curva f()= /(+1). Determina los puntos de dicha curva en los que la tangente sea paralela a alguna de las bisectrices de los cuadrantes. 0) Halla a para que el determinante siguiente a ) Sea la función f() = Ln(1 + sen ). Se pide: i) Hallar el dominio de definición. ii) Ecuación de la recta tangente en el origen. iii) Probar que f tiene periodo π. iv) Localizar en el intervalo [0,π] las abscisas de los etremos e infleiones. ) Se quiere construir un canal en forma de trapecio. La base y los lados del canal deben ser de metros de anchura y los lados deben estar igualmente inclinados respecto a la base. Demostrar que la capacidad máima se obtiene cuando hay cuatro metros de abertura superior. a tome el máimo valor posible. Problemas Análisis Pág

3 º BT Mat II CNS ) Sea la función f()= + 1. Demuestra que f tiene un único cero en (-,0). ) Demuestra que f()= + 1 tiene una única raiz entre 0 y 1. 5) Sea la función f() = 1+.Estudiar su continuidad y derivabilidad. Halla los etremos de la función. Halla las asíntotas. Prueba que f es impar (f( -)=-f()). 6) Poner un ejemplo para mostrar que f ' (a)=0 no es condición suficiente para que f tenga un etremo relativo en a. Poner un ejemplo de función no derivable en un punto a y que tiene un máimo relativo en ese punto. Razona las respuestas. 7) Sea la función f()= e ( + 7-6). i) Calcula lim f ( ) y halla las asíntotas de la función. ii) Estudia el crecimiento y donde se localizan los etremos de f. 8) Probar que la función: [ 0, 1) f()= es derivable en = 1. Probar que la derivada lateral derecha en =0 es ( 1 + ) / [ 1, ] infinito. Representar la función f(). 9) Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, con forma de prisma recto de base cuadrada de 500 metros cúbicos de capacidad, que tenga un revestimiento de coste mínimo (área mínima). 0) Determina los puntos en los que la función f()=sen ( -1) con [ -,] tiene nula su derivada. Demuestra que f es una función par. 1) Representar la función f()= -.Hallar las derivadas laterales de la función f en =. Es esta función derivable en este punto? ) Sea f la función definida del modo siguiente: f()= Halla los valores de a y b para que la función f sea derivable en R. Con los + a + b > 0 valores obtenidos, halla los puntos de la curva y = f() en los que la recta tangente es paralela a la cuerda que une los puntos A(-,f(-)) y B(,f()). ) Un ciclista está situado en el campo, en el punto A, a 5 km. de B y a Km. de la carretera que va hacia B (ver figura). El ciclista va a 10 Km/h campo a través y a 0 Km/h en carretera. A qué punto P de la carretera debe dirigirse para tardar el menor tiempo posible en llegar hasta B? ) Sea la función f()= +. a a) Calcular a para que f ' () = 0.b) Para el valor calculado de a: i) Obtener lim f ( ) y Problemas Análisis Pág 0 + lim f ( ) ii) Con el cálculo de las asíntotas y del valor f(0), dibujar la gráfica de la curva ) Halla el área del triángulo formado por el eje OX y por las rectas tangente y normal a la curva y=9- en el punto de abscisa =. 6) Determinar los coeficientes a y b de modo que la curva y=a +b +a+b sea tangente a la recta +y=8 en el punto de ordenada y=0 7) Hallar a y b para que la derivada de la función f()= a + b < 1 sea continua para todo R 5 b + a + 1 8) Bosqueja la gráfica de la función f()= -1 - y calcula su derivada. 9) Dibuja la gráfica de las funciones f()=.ln, f()=/ln, determinando dominio o campo de eistencia, cortes con los ejes, máimos y mínimos, asíntotas y puntos de infleión. 50) La distancia de un punto P a una recta r es la mínima distancia entre P y los puntos de r. Obtén, como un problema de máimos y mínimos, la distancia entre P(1,-1,0) y la recta r que pasa por el punto A(l,-1,) y tiene vector direccional v (1,0,-). (Halla el mínimo de d =dist (P,X), X r)

4 º BT Mat II CNS 51) Estudia si la función f() = posee alguna discontinuidad evitable. + < 1 5) Sea la función: f()= + [ 1, 1) + 1 a) Halla f ' ().b) Eisten f ' (-1) y f ' (1)? Eisten lim f ( ) y lim f ( )? 1 1 c) Estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(). Tiene f() algún etremo relativo? Justifica las respuestas. 5) Se desea construir una caja rectangular cerrada, con base cuadrada, de modo que el volumen sea 7 dm y su altura no supere los dm. Obtener las dimensiones para que la superficie de la caja sea mínima. 5) Determinar el polinomio p(), de grado menor o igual que, tal que la curva y=p() sea tangente a las rectas y=-, +y=0 en los puntos de abscisas = 0 y = 1, respectivamente. 55) Hallar los valores de p y q para que la función f() = +p + q tenga un etremo relativo (máimo o mínimo) en el punto (-,0). Averigua, a continuación, si tiene algún otro máimo o mínimo. 56) De la función f() = a + b sabemos que tiene una gráfica que pasa por (1,1) y que en ese punto tiene tangente paralela a +y = 0. a) Hallar a y b. b) Hallar sus etremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus puntos de infleión. Problemas Análisis Pág

5 º BT Mat II CNS Todos los ejercicios enunciados a partir de ahora han sido propuestos en eámenes de Selectividad L.O.G.S.E. desde el curso 9/95 57) La suma de todas las aristas (incluidas las de la tapa) de una pirámide recta con base cuadrada es 1 m. Calcula sus dimensiones para que el área lateral sea máima. 58) Halla dos números naturales que sumen 1 y tales que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máimo. 59) Halla los máimos y mínimos de la función f() = Cómo se eplica que el mínimo sea 8 mayor que el máimo? 60) La función f() = + p - q tiene un valor mínimo relativo para =1. Halla p y q. 61) La suma de todas las aristas (incluídas las de la tapa y base) de un prisma recto, con base un triángulo equilátero, es 16 m. Calcular sus dimensiones para que el área lateral sea máima. 6) Hallar el dominio de definición, máimos y mínimos e intervalos de crecimiento y 1 decrecimiento de la función f() =. Encontrar las asíntotas y posibles simetrías de la curva que la representa. 6) Queremos diseñar un envase cuya forma sea un prisma regular de base cuadrada y capacidad 80 cm. Para la tapa y la superficie lateral usamos un determinado material pero para la base debemos emplear otro material un 50% más caro. Halla las dimensiones de este envase para que su precio sea el menor posible. 6) Dada la función f() = +a + 5, halla el valor de a para que tenga un etremo relativo cuando =. Encuentra, en este caso, todos los etremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento y puntos de infleión. 65) Halla el punto P de la curva c de ecuación y = / más próimo al punto Q(1,). Qué ángulo forma la recta PQ con la tangente a c en P? 1 66) Halla a para que la función f definida por f() = a sea continua para todo valor de > Una vez hallado este valor de a, halla la ecuación de la tangente a la curva que la representa en el punto de abscisa. Eiste derivada de esta función cuando vale 1? Razona la respuesta. 67) Disponemos de m. de material para hacer una valla con la que queremos delimitar un jardín de forma rectangular y con la mayor superficie posible. En uno de los lados del rectángulo tenemos que poner doble vallado. Halla las dimensiones de este jardín, indicando la del lado doblemente vallado. 68) Dada la función f() = - -1/ se pide: a) Asíntotas y simetrías de la curva y=f(). b) Etremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Dibujar la gráfica. 69) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por: + + < 1 f()= 1 1 < 1 Razona las respuestas. > 1 70) Halla las dimensiones del rectángulo de área máima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base es el lado desigual y mide 6 cm. y la altura correspondiente mide 1 cm. Suponer que un lado del rectángulo está en la base del triángulo. 71) Dada la función f() = - + /, se pide: a) Asíntotas de la curva y=f(). b) Etremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Dibujar la gráfica. 7) La derivada segunda de una función f es f () = 6(-1). Halla la función si su gráfica pasa por el punto (,1) y en ese punto es tangente a la recta -y-5=0. Problemas Análisis Pág 5

6 º BT Mat II CNS 1 7) Halla a y b para que la función f dada por f()= sea continua y derivable + a + b > 1 para todo real. Halla los puntos en los que la recta tangente a y = f() es paralela al eje OX 7) Un cono circular recto tiene una altura de 1 cm. y radio de la base de 6 cm. Se inscribe un cono de vértice el centro de la base del cono dado y base paralela a la del cono dado. Halla las dimensiones del cono de volumen máimo que puede inscribirse así ) Dada la función f definida por: f()= a + b 1 < < Se pide: a) Hallar a y b para que la función sea continua en todo real. b) Analizar su derivabilidad. c) Representación gráfica. 76) Un campo de atletismo de 00 m. de perímetro consiste en un rectángulo con un semicírculo en cada uno de dos lados opuestos. Halla las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible. 77) Un jardinero dispone de 10 m. de valla y desea delimitar un terreno rectangular y dividirlo en cinco lotes con vallas paralelas a uno de los lados del rectángulo. Qué dimensiones debe tener el terreno para que su área sea la mayor posible? 78) Comprueba que todas las funciones f() = a + b tienen un único punto de infleión. Halla a y b para que la tangente a la gráfica de dicha función en el punto de infleión sea la recta y = +. 79) Dada la función f() =, se pide: a) Asíntotas de la curva y = f(). b) Etremos relativos e ( 1) intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Dibujar la gráfica. 80) Halla los puntos de la curva y = 1 más próimos al punto (,0). Cómo se llama dicha curva? ln 1 > 1 81) Se define la función f del modo siguiente: f() = + a + b 1 Encontrar los valores de a y de b para que la función sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas. Estudiar su derivabilidad y hallar los puntos de su gráfica en los que la tangente es paralela al eje OX. (Zarag. Jun 99) e 8) Dada la función f() =, se pide: a)hallar su dominio de definición. b)hallar el punto o puntos en los que la gráfica de la curva y =f() tiene tangente horizontal. c)dibujar esta curva en un pequeño entorno de cada uno de estos puntos. (Zarag. Sept. 99) 8) Dada la función f() =, se pide: i) Hallar su dominio de definición. ii) Hallar, si los tiene, sus etremos relativos. iii) Hallar, si las tiene, las asíntotas horizontales de la curva y = f(). (Zarag. Sept. 99) 8) Hallar el punto P de la curva y = más próimo al punto Q = (19/, 0). Qué ángulo forman la recta que une P y Q y la tangente a la curva en el punto P? (Zarag. Sept. 99) 85) De la función y = + nos piden: i) Dominio de definición y asíntotas. ii) ( 1) Máimos y mínimos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. iii) Representación gráfica. (Zarag. Jun 99) 86) El barco A abandona un puerto a las 0 horas y navega directamente hacia el norte a la velocidad constante de seis nudos. El barco B se encuentra a las 0 horas a 0 millas marinas al este del puerto y navega en dirección a dicho puerto a la velocidad constante de 8 nudos. Cuándo se hallarán estos barcos lo más próimos el uno del otro? (Dar el resultado en horas y minutos). NOTA: nudo = milla marina por hora. (Zarag. Jun 99). Problemas Análisis Pág 6

7 º BT Mat II CNS 87) Halla los valores de las constantes a, b y c para que las gráficas de las funciones f() = + a + b y g() = + c pasen por el punto (1, ) y en este punto tengan la misma tangente. (Zarag. Jun 00). 88) Un triángulo isósceles mide 10 cm de base (que es el lado desigual) y 0 cm de altura. Se inscribe en este triángulo un rectángulo, uno de cuyos lados se apoya en la base del triángulo. Hallar las dimensiones del rectángulo así construido y que tenga la mayor área posible.(zarag. Jun 00) 89) Se considera la función: f() = 1 a)estudiar su continuidad y derivabilidad cuando = 1. b ) Alcanza para dicho valor de un máimo o mínimo relativo? Razonar la respuesta. c)si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, se pregunta si el etremo en cuestión es absoluto.(zarag. Jun 00) 90)De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el perímetro de una cara lateral es de 0 cm, hallar las dimensiones (lado de la base y altura) del que tiene volumen máimo. (Zarag. Sept 00) 91)Hallar a, b y c para que la función f definida en todo número real y dada por 1 si < f() = a + b + c si sea continua y derivable en todo real y además alcance un etremo relativo para =. Representar gráficamente la función f ', analizando su continuidad y derivabilidad. (Zarag Sept 00) 9)Hallar los valores de los coeficientes b,c y d para que la gráfica de la función y = +b + c + d corte al eje OY en el punto (0,-1), pase por el punto (,) y en este punto tenga tangente paralela al eje OX. Una vez hallados esos valores hallar los máimos y mínimos relativos, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la citada función. (Zarag Jun 01) 9)Un rectángulo tiene por vértices los puntos de coordenadas (0,0), (a,0), (0,b) y (a,b) de modo que el punto (a,b) tiene coordenadas positivas y esta situado en la curva de ecuación y = 1 +.De todos estos rectángulos hallar razonadamente el de área mínima. (Zarag Jun 01) 9)Hallar el punto de la curva de ecuación y = en el que la tangente a la misma tiene pendiente mínima. Escribir la ecuación de dicha tangente(zarag Jun 01) 95) Sea f la función definida para todo número real de modo que para los valores de pertenecientes al intervalo cerrado [-1,1] se tiene f() = (+1 )(-1) y para los valores de no pertenecientes a dicho intervalo se tiene f() = 0.Se pide: a)estudiar su continuidad y derivabilidad. b)hallar razonadamente su valor máimo, indicando el valor ó valores de en donde se alcanza. (Zarag Sept 01) 96) Un pequeño islote dista 1 Km de una costa rectilínea.queremos instalar en dicho islote una señal luminosa que se ha de alimentar con un tendido eléctrico La fuente de energía esta situada en la costa en un punto distante 1 Km. del punto de la costa más próimo al islote. El coste del tendido submarino por unidad de longitud es 5/ del tendido de tierra. A que distancia de la fuente de energía debe empezar el tendido submarino para conseguir un coste mínimo? (Zarag Sept 01) 97) Se sabe que la función f()= +a+b corta a la función derivada en =1 y que además en dicho punto f tiene un etremo. a)determina los valores de a y b. b)determina la naturaleza del etremo que f tiene en =1 c) Tiene f algún otro etremo? ( Zarag Jun 0) 98)Sean las funciones f ( ) = log b, g( ) = a + b (Nota : el logaritmo es neperiano) a)determina a y b para que ambas funciones sean tangentes entre sí al pasar por =1. b)determina en que puntos se anula cada una de estas funciones. c)determina cual es el dominio de la función producto h()=f().g(). (Zarag Jun 0) Problemas Análisis Pág 7

8 º BT Mat II CNS 99) Sea f()= -1. a)halla los etremos y puntos de infleión de la funcion f. b)calcula el límite de f en + y en -. ( Zarag Jun 0) 100) En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente la cuantía del máimo premio que se puede obtener en este concurso. ). (Zarag Sept 0) 101)Sea la función definida para todo número real en la forma si < 0 f()= senβ + cos β si 0 Se pide: a)determinar el valor de β para que f sea derivable en =0. b)calcular la integral de f sobre el intervalo (0,π/) Nota : Se entiende que la función f cuya integral se pide en la parte b) es la determinada previamente en la parte a) :No obstante, si alguien no ha sabido calcular el valor de β, debe integrar f dejando β como parámetro.) ( Zarag Sept 0) 1 10) Sea la función f()= a) Determinar su dominio, es decir el conjunto de puntos donde esta definida. b) Estudiar sus máimos y mínimos ( si los tiene) en el intervalo (-1,1), precisando si son absolutos o relativos respecto al intervalo indicado. ( Zarag ssept 0) 10)Sea la función f()= cos a)tiene límite en +?Justifica tu respuesta. b)calcula la integral de f entre = 0 y el primer cero positivo que tiene la función. Nota: Llamados ceros de una función a aquellos puntos donde se anula. ( Zarag Sept 0) 10) Determinar el dominio, ceros y etremos de la función f ( ) =. Ln (Zarag, Sept 0) 105) Sea la parábola y = +. a)determinar los puntos de corte con los ejes b)calcular el área encerrada entre la parábola y el eje de abscisas. c)calcular el área encerrada entre la parábola y el eje de ordenadas. (Zaragoza, Septiembre 0) 106) Sea f ( ) =. sen y sea T la recta tangente a su gráfica en =π. Determinar a)ecuación de T. b)el área encerrada entre T y los ejes coordenados. 107) Sea la función f ( ) = a)dominio b)su límite en el infinito c)etremos d)area + 1 encerrada por la gráfica de f() entre las abscisas =0 y =1. 108) Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de distintos materiales. Los dos materiales tienen precio respectivamente de y euros por cm. Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total se mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de 1 metro? (Junio-0) 109) Sea f ( ) = e. sen.determinar a)el máimo de la función en el intervalo (0,π). b)ecuación de las tangentes a la gráfica en los etremos del intervalo anterior. (junio 0) 110) Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máima. Calcular dicha suma (Sept-0) 111) Sea el polinomio p ( ) = + a + b + c a) Determinar los coeficientes a, b y c sabiendo que tiene etremos en =-1 y =1, y que pasa por el origen de coordenadas. b) Estudiar la naturaleza de ambos etremos. (Sept-0 Problemas Análisis Pág 8

9 º BT Mat II CNS 11) Sea la parábola f ( ) = a)probar que es tangente a uno de los ejes coordenados, indicando a cual. b)calcular el área encerrada entre la gráfica y los ejes coordenados. (Sept 0) + sen 11) Sea la función f()= sen Determinar el dominio de f, e indicar se f tiene límite finito en algún punto que no sea del dominio. (junio 05) 11) Calcular los etremos y puntos de infleión de la función f() = e.sen en el intervalo [0,π] ( junio 05) 115) Sea la función f() = e.sen.determinar sus etremos y sus puntos de infleión en el intervalo [-π, π] ( sep 05) ( n ) 116) Calcular razonadamente el limite de la sucesión: ( sep 05) ( n + 1) ( n 1) Problemas Análisis Pág 9