Definición de la integral de Riemann (Esto forma parte del Tema 1)
|
|
|
- Manuela Pérez Aguilar
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 de de de Riemann (Esto forma parte del Tema 1) Departmento de Análise Matemática Facultade de Matemáticas Universidade de Santiago de Compostela Santiago, 2011
2 Esquema de Objetivos del tema:
3 Esquema de Objetivos del tema: 1) Presentar una definición de de Riemann;
4 Esquema de Objetivos del tema: 1) Presentar una definición de de Riemann; 2) Interpretar mente dicha definición;
5 Esquema de Objetivos del tema: 1) Presentar una definición de de Riemann; 2) Interpretar mente dicha definición; 3) Usar lo aprendido en 1) y 2) para justificar otras aplicaciones de definida (cálculo de longitudes, volúmenes, etc.)
6 Esquema de Objetivos del tema: 1) Presentar una definición de de Riemann; 2) Interpretar mente dicha definición; 3) Usar lo aprendido en 1) y 2) para justificar otras aplicaciones de definida (cálculo de longitudes, volúmenes, etc.) Para completar el punto 1) utilizaremos tres conceptos fundamentales:
7 Esquema de Objetivos del tema: 1) Presentar una definición de de Riemann; 2) Interpretar mente dicha definición; 3) Usar lo aprendido en 1) y 2) para justificar otras aplicaciones de definida (cálculo de longitudes, volúmenes, etc.) Para completar el punto 1) utilizaremos tres conceptos fundamentales: 1.a) Partición de un intervalo;
8 Esquema de Objetivos del tema: 1) Presentar una definición de de Riemann; 2) Interpretar mente dicha definición; 3) Usar lo aprendido en 1) y 2) para justificar otras aplicaciones de definida (cálculo de longitudes, volúmenes, etc.) Para completar el punto 1) utilizaremos tres conceptos fundamentales: 1.a) Partición de un intervalo; 1.b) Suma inferior de una función relativa a una partición;
9 Esquema de Objetivos del tema: 1) Presentar una definición de de Riemann; 2) Interpretar mente dicha definición; 3) Usar lo aprendido en 1) y 2) para justificar otras aplicaciones de definida (cálculo de longitudes, volúmenes, etc.) Para completar el punto 1) utilizaremos tres conceptos fundamentales: 1.a) Partición de un intervalo; 1.b) Suma inferior de una función relativa a una partición; 1.c) Suma superior de una función relativa a una partición.
10 Motivación El problema del cálculo de un área de Problema. Dada una función acotada f : [a, b] R tal que f (x) 0 para todo x [a, b] cómo podemos asignar un valor de área al recinto del plano delimitado por la gráfica de f, el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b?
11 Motivación El problema del cálculo de un área de Problema. Dada una función acotada f : [a, b] R tal que f (x) 0 para todo x [a, b] cómo podemos asignar un valor de área al recinto del plano delimitado por la gráfica de f, el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b? En principio, vamos a aproximar dicho recinto mediante uniones de rectángulos que no se solapen.
12 Motivación El problema del cálculo de un área de Problema. Dada una función acotada f : [a, b] R tal que f (x) 0 para todo x [a, b] cómo podemos asignar un valor de área al recinto del plano delimitado por la gráfica de f, el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b? En principio, vamos a aproximar dicho recinto mediante uniones de rectángulos que no se solapen.
13 (Las usaremos para construir las bases de los rectángulos) de. Una partición de un intervalo I = [a, b] es una familia finita de puntos de I, pongamos P = {x 0, x 1,..., x n } con n N, tal que a = x 0 < x 1 < < x n = b.
14 (Las usaremos para construir las bases de los rectángulos) de. Una partición de un intervalo I = [a, b] es una familia finita de puntos de I, pongamos P = {x 0, x 1,..., x n } con n N, tal que a = x 0 < x 1 < < x n = b. Cualquier partición P = {x 0, x 1,..., x n } del intervalo I permite subdividir dicho intervalo en n subintervalos: I = [x 0, x 1 ] [x 1, x 2 ] [x n 1, x n ] (cada uno de los cuales será la base de un rectángulo).
15 (Las usaremos para construir las bases de los rectángulos) de. Una partición de un intervalo I = [a, b] es una familia finita de puntos de I, pongamos P = {x 0, x 1,..., x n } con n N, tal que a = x 0 < x 1 < < x n = b. Cualquier partición P = {x 0, x 1,..., x n } del intervalo I permite subdividir dicho intervalo en n subintervalos: I = [x 0, x 1 ] [x 1, x 2 ] [x n 1, x n ] (cada uno de los cuales será la base de un rectángulo). La longitud del intervalo [x k 1, x k ] es x k x k 1 (esta será, por tanto, la longitud de la base del rectángulo correspondiente).
16 (Son sumas de áreas de rectángulos si f 0) de Sea f : I = [a, b] R una función acotada (no necesariamente de signo constante).. La suma inferior de f relativa a la partición P = {x 0, x 1,..., x n } es el número L(f ; P) = n m k (x k x k 1 ), k=1 donde m k = inf{f (x) : x [x k 1, x k ]}, k = 1,..., n.
17 (Son sumas de áreas de rectángulos si f 0) de Sea f : I = [a, b] R una función acotada (no necesariamente de signo constante).. La suma inferior de f relativa a la partición P = {x 0, x 1,..., x n } es el número L(f ; P) = n m k (x k x k 1 ), k=1 donde m k = inf{f (x) : x [x k 1, x k ]}, k = 1,..., n. L(f ; P) consta de n sumandos!
18 (Son sumas de áreas de rectángulos si f 0) de Sea f : I = [a, b] R una función acotada (no necesariamente de signo constante).. La suma inferior de f relativa a la partición P = {x 0, x 1,..., x n } es el número L(f ; P) = n m k (x k x k 1 ), k=1 donde m k = inf{f (x) : x [x k 1, x k ]}, k = 1,..., n. L(f ; P) consta de n sumandos! Uno por cada subintervalo definido por la partición P.
19 (Son sumas de áreas de rectángulos si f 0) de Sea f : I = [a, b] R una función acotada (no necesariamente de signo constante).. La suma inferior de f relativa a la partición P = {x 0, x 1,..., x n } es el número L(f ; P) = n m k (x k x k 1 ), k=1 donde m k = inf{f (x) : x [x k 1, x k ]}, k = 1,..., n. L(f ; P) consta de n sumandos! Uno por cada subintervalo definido por la partición P. Por qué exigimos que f esté acotada?
20 (Son sumas de áreas de rectángulos si f 0) de La suma inferior L(f ; P) = n k=1 m k(x k x k 1 ), tiene la siguiente interpretación si f (x) 0 para todo x I : La suma inferior es la suma de las áreas de los rectángulos (y el área bajo la gráfica de f debería ser un número mayor que L(f ; P)).
21 (Son sumas de áreas de rectángulos si f 0) de. La suma superior de f relativa a la partición P = {x 0, x 1,..., x n } es el número n U(f ; P) = M k (x k x k 1 ), k=1 donde M k = sup{f (x) : x [x k 1, x k ]}, k = 1,..., n.
22 (Son sumas de áreas de rectángulos si f 0) de. La suma superior de f relativa a la partición P = {x 0, x 1,..., x n } es el número n U(f ; P) = M k (x k x k 1 ), k=1 donde M k = sup{f (x) : x [x k 1, x k ]}, k = 1,..., n. si f 0 en I : La suma superior es la suma de las áreas de los rectángulos (y el área bajo la gráfica de f debería ser un número menor que U(f ; P)).
23 (Son sumas de áreas de rectángulos si f 0) de Volviendo al problema de la definición del área bajo la gráfica de una función no negativa podemos afirmar que
24 (Son sumas de áreas de rectángulos si f 0) de Volviendo al problema de la definición del área bajo la gráfica de una función no negativa podemos afirmar que Las sumas inferiores dan aproximaciones por defecto del área que buscamos...
25 (Son sumas de áreas de rectángulos si f 0) de Volviendo al problema de la definición del área bajo la gráfica de una función no negativa podemos afirmar que Las sumas inferiores dan aproximaciones por defecto del área que buscamos......y las sumas dan aproximaciones por exceso
26 de de Riemann No será la única que veremos este curso... de Sea f : [a, b] R una función acotada
27 de de Riemann No será la única que veremos este curso... de Sea f : [a, b] R una función acotada (si no lo fuera no podríamos hablar de sumas inferiores o ).
28 de de Riemann No será la única que veremos este curso... de Sea f : [a, b] R una función acotada (si no lo fuera no podríamos hablar de sumas inferiores o ).. La integral de Riemann de la función f en el intervalo I = [a, b] es, si existe, el único número real A tal que L(f ; P) A U(f ; P) para cualquier partición P de I.
29 de de Riemann No será la única que veremos este curso... de Sea f : [a, b] R una función acotada (si no lo fuera no podríamos hablar de sumas inferiores o ).. La integral de Riemann de la función f en el intervalo I = [a, b] es, si existe, el único número real A tal que L(f ; P) A U(f ; P) para cualquier partición P de I. Si tal número A existe entonces se denota por A = b a f (x) dx, y se dice que la función f es integrable (en el sentido de Riemann) en el intervalo I.
30 de de Riemann Solamente cuando f 0! de Sea f : I = [a, b] R una función integrable y no negativa en I, es decir, f (x) 0 para todo x I.
31 de de Riemann Solamente cuando f 0! de Sea f : I = [a, b] R una función integrable y no negativa en I, es decir, f (x) 0 para todo x I. Por definición, b a f (x) dx es el único número real A tal que ( ) L(f ; P) A U(f ; P) para cualquier partición P de I.
32 de de Riemann Solamente cuando f 0! de Sea f : I = [a, b] R una función integrable y no negativa en I, es decir, f (x) 0 para todo x I. Por definición, b a f (x) dx es el único número real A tal que ( ) L(f ; P) A U(f ; P) para cualquier partición P de I. Ya que f 0 en I, para cualquier partición P de I sabemos que
33 de de Riemann Solamente cuando f 0! de Sea f : I = [a, b] R una función integrable y no negativa en I, es decir, f (x) 0 para todo x I. Por definición, b a f (x) dx es el único número real A tal que ( ) L(f ; P) A U(f ; P) para cualquier partición P de I. Ya que f 0 en I, para cualquier partición P de I sabemos que L(f ; P) es menor que el área bajo la gráfica de f,
34 de de Riemann Solamente cuando f 0! de Sea f : I = [a, b] R una función integrable y no negativa en I, es decir, f (x) 0 para todo x I. Por definición, b a f (x) dx es el único número real A tal que ( ) L(f ; P) A U(f ; P) para cualquier partición P de I. Ya que f 0 en I, para cualquier partición P de I sabemos que L(f ; P) es menor que el área bajo la gráfica de f, y U(f ; P) es mayor que el área bajo la gráfica de f.
35 de de Riemann Solamente cuando f 0! de Sea f : I = [a, b] R una función integrable y no negativa en I, es decir, f (x) 0 para todo x I. Por definición, b a f (x) dx es el único número real A tal que ( ) L(f ; P) A U(f ; P) para cualquier partición P de I. Ya que f 0 en I, para cualquier partición P de I sabemos que L(f ; P) es menor que el área bajo la gráfica de f, y U(f ; P) es mayor que el área bajo la gráfica de f. Así pues, el área bajo la gráfica de f coincide con A = b a f (x) dx.
36 Norma de una partición de Se define la norma de una partición P = {x 0, x 1,..., x n } como P = max{ x k x k 1 : k = 1, 2,..., n}.
37 Norma de una partición de Se define la norma de una partición P = {x 0, x 1,..., x n } como P = max{ x k x k 1 : k = 1, 2,..., n}. Es decir, P es la mayor de las distancias entre dos puntos consecutivos de la partición.
38 Norma de una partición de Se define la norma de una partición P = {x 0, x 1,..., x n } como P = max{ x k x k 1 : k = 1, 2,..., n}. Es decir, P es la mayor de las distancias entre dos puntos consecutivos de la partición. Ejemplo. La partición {0, 1/2, 1} de [0, 1] tiene norma 1/2; la partición {0, 2/3, 1} tiene norma 2/3.
39 Norma de una partición de Se define la norma de una partición P = {x 0, x 1,..., x n } como P = max{ x k x k 1 : k = 1, 2,..., n}. Es decir, P es la mayor de las distancias entre dos puntos consecutivos de la partición. Ejemplo. La partición {0, 1/2, 1} de [0, 1] tiene norma 1/2; la partición {0, 2/3, 1} tiene norma 2/3. Si P y Q son dos particiones de un intervalo [a, b] y P Q entonces P Q.
40 Norma de una partición de Se define la norma de una partición P = {x 0, x 1,..., x n } como P = max{ x k x k 1 : k = 1, 2,..., n}. Es decir, P es la mayor de las distancias entre dos puntos consecutivos de la partición. Ejemplo. La partición {0, 1/2, 1} de [0, 1] tiene norma 1/2; la partición {0, 2/3, 1} tiene norma 2/3. Si P y Q son dos particiones de un intervalo [a, b] y P Q entonces P Q. Ejercicio. Si P Q entonces P Q?
41 de Riemann También son sumas de áreas de rectángulos si f 0 de Sea f : I = [a, b] R una función acotada.. La suma de Riemann de f relativa a la partición P = {x 0, x 1,..., x n } y a los puntos intermedios y k [x k 1, x k ] (k = 1, 2,..., n) es el número n S(f ; P) = f (y k )(x k x k 1 ). k=1
42 de Riemann También son sumas de áreas de rectángulos si f 0 de Sea f : I = [a, b] R una función acotada.. La suma de Riemann de f relativa a la partición P = {x 0, x 1,..., x n } y a los puntos intermedios y k [x k 1, x k ] (k = 1, 2,..., n) es el número n S(f ; P) = f (y k )(x k x k 1 ). Si f 0 entonces... k=1...la suma de Riemann es una suma de áreas de rectángulos con base x k x k 1 y altura f (y k ).
43 Segunda definición de integral Usando sumas de Riemann en lugar de sumas de Teorema. Sea f : I = [a, b] R una función acotada. Los siguientes enunciados son equivalentes: 1 La función f es integrable en I y su integral vale A; 2 Existe A R tal que para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si P es una partición de I con P < δ entonces S(f ; P) A < ε, con independencia de los puntos intermedios escogidos para construir S(f ; P);
44 Segunda definición de integral Usando sumas de Riemann en lugar de sumas de Teorema. Sea f : I = [a, b] R una función acotada. Los siguientes enunciados son equivalentes: 1 La función f es integrable en I y su integral vale A; 2 Existe A R tal que para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si P es una partición de I con P < δ entonces S(f ; P) A < ε, con independencia de los puntos intermedios escogidos para construir S(f ; P); 3 Existe A R tal que lim S(f ; P) = A, P 0 con independencia de los puntos intermedios escogidos para construir S(f ; P).
UNIDAD II. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. Tema: LA INTEGRAL DEFINIDA
UNIDAD II. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Tema: LA INTEGRAL DEFINIDA La integral definida Anteriormente se mencionó que la Integral Indefinida da como resultado una familia de funciones
Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas
Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas 1. Introducción Las integrales nos van a permitir calcular áreas de figuras no geométricas. En nuestro caso, nos limitaremos a calcular el área
Funciones integrables en R n
Capítulo 1 Funciones integrables en R n Sean un subconjunto acotado de R n, y f : R una función acotada. Sea R = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] un rectángulo que contenga a. Siempre puede suponerse que f está
Integrales dobles. Integrales dobles
Integrales dobles Integrales iteradas b g2 (x) a g 1 (x) f(x, y) dydx ó d h2 (y) c h 1 (y) f(x, y) dxdy Los límites interiores de integración pueden ser variables respecto a la variable exterior de integración,
Volumen de Sólidos de Revolución
60 CAPÍTULO 4 Volumen de Sólidos de Revolución 6 Volumen de sólidos de revolución Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l, se genera un cuerpo geométrico denominado sólido
Por ser f continua y R compacto, existen x 0, y 0 en R tales que f(x 0 ) = sup{f(t) : t R} y f(y 0 ) = inf{f(t) : t R}
Proposición. Sea un rectángulo en R n, y sea f : R una función continua. Entonces f es integrable en. Conjuntos de Demostración: Como f es continua en, y es compacto, f es acotada en, y uniformemente continua.
Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la unidad, por tanto su área es 1/2.
LA INTEGRAL DEFINIDA En los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas de una función, descubriendo distintos procedimientos para el cálculo de primitivas, es decir, se han encontrado
1. Construcción de la Integral
1. Construcción de la Integral La integral de Riemann en R n es una generalización de la integral de funciones de una variable. La definición que vamos a dar reproduce el método de Darboux para funciones
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
CALCULO INTEGRAL CONCEPTOS DE AREA BAJO LA CURVA. (Se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)
CALCULO INTEGRAL CONCEPTOS DE AREA BAJO LA CURVA El problema del área, el problema de la distancia tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto
Integrales múltiples
ntegrales múltiples Cálculo (2003) El objetivo de este capítulo es definir y aprender a calcular integrales de funciones reales de varias variables, que llamamos integrales múltiples. Las motivación más
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Análisis Matemático I: La integral de Riemann
Contents : La integral de Riemann Universidad de Murcia Curso 2006-2007 Contents 1 Definición de la integral y propiedades Objetivos Definición de la integral y propiedades Objetivos 1 Definir y entender
Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.
Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Contenidos 1 Introducción 2 3 4 5
Cálculo diferencial e integral 4
Cálculo diferencial e integral 4 http://academicos.fciencias.unam.mx/nataliajonard/calculo-4 menos que indiquemos lo contrario, R siempre denotará un rectángulo de la forma con a i < b i. R = [a 1, b 1
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
INTEGRACIÓN NUMÉRICA En los cursos de Cálculo Integral, nos enseñan como calcular una integral definida de una función contínua mediante una aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo: Teorema Fundamental
Derivadas e integrales
Derivadas e integrales Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M a M salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es ÍNDICE Matemáticas Cero Índice. Definiciones 3. Herramientas 4.. Reglas de derivación.......................
Teoremas de convergencia y derivación bajo el signo integral
Capítulo 8 Teoremas de convergencia y derivación bajo el signo integral En este capítulo estudiaremos sucintamente bajo qué circunstancias puede intercambiarse el orden de la integral con las operaciones
EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO DE ÁREAS POR INTEGRACIÓN
EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO DE ÁREAS POR INTEGRACIÓN.- Calcular el área encerrada por la función: y = 9, el eje OX, y las rectas = f 9 Se trata de un triángulo de base y altura 9 9 El área sombreada
MATEMÁTICAS 2º BACH CC y TECN INTEGRAL DEFINIDA
1. APROXIMACIÓN DE ÁREAS BAJO UNA CURVA Hay infinidad de funciones extraídas del mundo real (científico, económico, física )para las cuales tiene especial relevancia calcular el área bajo su gráfica. Vamos
LA INTEGRAL DEFINIDA
LA INTEGRAL DEFINIDA Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto
LA INTEGRAL DEFINIDA IES MURILLO
LA INTEGRAL DEFINIDA IES MURILLO Un poco de Historia El concepto de integral definida surge para resolver el problema del área de figuras limitadas por arcos de curva. Algunos matemáticos que trabajaron
CÁLCULO II. Grado M+I. Sucesiones y series de funciones. Sucesiones y series de funciones 1 / 27. Grado M+I () CÁLCULO II
CÁLCULO II Grado M+I Sucesiones y series de funciones Sucesiones y series de funciones 1 / Sucesiones funciones. Convergencia puntual Sucesión de funciones Definición Una sucesión de funciones será cualquier
Volumen y conjuntos de medida cero
Capítulo 2 Volumen y conjuntos de medida cero En la recta real normalmente las funciones se integran sobre intervalos. En R n es deseable poder considerar integrales de funciones sobre conjuntos más complicados
IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Ejercicios de continuidad y derivabilidad. Selectividad de 008, 009, 00 y 0 Anális 008 Ejercicio.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f() = + a + b y g() = c e -(+). Se sabe que las gráficas
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Tema 2 Resolución de EcuacionesNo Lineales
Tema 2 Resolución de Ecuaciones No Lineales E.T.S.I. Informática Indice Introducción 1 Introducción 2 Algoritmo del método de Bisección Análisis del 3 4 5 6 Algoritmo de los métodos iterativos Interpretación
TEMA. Cálculo integral. [2.1] Cómo estudiar este tema? [2.2] Concepto de integral. [2.3] Propiedades del cálculo integral
![TEMA. Cálculo integral. [2.1] Cómo estudiar este tema? [2.2] Concepto de integral. [2.3] Propiedades del cálculo integral](/thumbs/53/32356239.jpg "TEMA. Cálculo integral. [2.1] Cómo estudiar este tema? [2.2] Concepto de integral. [2.3] Propiedades del cálculo integral")
Cálculo integral [2.1] Cómo estudiar este tema? [2.2] Concepto de integral [2.3] Propiedades del cálculo integral [2.4] Ampliación del concepto de integral TEMA Esquema TEMA 2 Esquema Ideas clave 2.1.
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
APLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión
Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión Alberto Rodríguez Casal 25 de septiembre de 2015 Definición Una clase (no vacía) A de subconjuntos de Ω se dice que es un álgebra si A es cerrada
Las particiones y el Teorema de Bolzano
Miscelánea Matemática 41 (005) 1 7 SMM Las particiones y el Teorema de Bolzano Carlos Bosch Giral Departamento de Matemáticas ITAM Río Hondo # 1 Tizapán San Angel 01000 México D.F. México bosch@itam.mx
Cálculo Diferencial en una variable
Tema 2 Cálculo Diferencial en una variable 2.1. Derivadas La derivada nos proporciona una manera de calcular la tasa de cambio de una función Calculamos la velocidad media como la razón entre la distancia
1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Solución:
RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD DE ANÁLISIS. I Departamento de Matemáticas 1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS
ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto
Álgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones
Álgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
5. Integrales dobles de Riemann.
68 Integrales paramétricas e integrales dobles y triples. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 5. Integrales dobles de Riemann. El desarrollo de la teoría de integrales múltiples de Riemann lo haremos con
I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS
Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES
UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en
PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia
INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES
COLEGIO SAN ALBERTO MAGNO MATEMÁTICAS II INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. 008 MODELO OPCIÓN A. Ejercicio. [ 5 puntos] Dadas las funciones f : [0,+ ) R y g : [0, + ) R definidas por y calcula el área del
Clase No. 20: Integrales impropias MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14
Clase No. 2: Integrales impropias MAT 251 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) 26.11.211 1 / 14 Integrandos con singularidades (I) Cuando el integrando o alguna de sus derivadas de bajo orden
Aplicación: cálculo de áreas XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS
XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS El estudiante, hasta este momento de sus estudios, está familiarizado con el cálculo de áreas de figuras geométricas regulares a través del uso de fórmulas, como el cuadrado,
Tema 13: Distribuciones de probabilidad. Estadística
Tema 13: Distribuciones de probabilidad. Estadística 1. Variable aleatoria Una variable aleatoria es una función que asocia a cada elemento del espacio muestral, de un experimento aleatorio, un número
MYP (MIDDLE YEARS PROGRAMME)
MYP (MIDDLE YEARS PROGRAMME) 2014-2015 Fecha 19/05/2015 APUNTES DE GEOMETRÍA 2º ESO 1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa
Instituto Tecnológico de Saltillo
Instituto Tecnológico de Saltillo CÁLCULO INTEGRAL Enero-Junio 2012 Programa de Unidades I. Teorema Fundamental del Cálculo (Diferenciales). II. La integral Indefinida. III.Técnicas de Integración Indefinida.
TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES
TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES.-LA RECTA REAL Los NÚMEROS RACIONALES: Se caracterizan porque pueden expresarse: En forma de fracción, es decir, como cociente b a de dos números enteros:
EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.
FUNCIONES I: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVAVILIDAD 1- Sea : definida por a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1/2 y que la recta tangente en el punto de
BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE
BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE El concepto de derivada. Relación entre continuidad y derivabilidad. Función derivada. Operaciones con derivadas. Derivación de las funciones
Definición 1. Definición 3. Un numero critico de una función f es un numero c en el dominio de f tal c ) no existe.
CALCULO DIFERENCIAL Definición. Una función f ( ) tiene un máimo absoluto (o máimo global) en c si f ( c ) f ( ) D, donde D es el dominio de f. El numero f ( c ) se llama valor máimo de f en D. De manera
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA. Calcular las siguientes integrales definidas: b) d e d c) + d d) d e) sen d f) + d d ( ) En primer lugar se ha calculado una primitiva de f() Barrow. y después
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,
Figura 1. Círculo unidad. Definición. 1. Llamamos número π (pi) al valor de la integral
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. La función f(x) = 1 x 2 es continua en el intervalo [ 1, 1]. Su gráfica como vimos es la semicircunferencia de radio uno centro el origen de coordenadas.
PAIEP. Complemento Ortogonal
Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Complemento Ortogonal Veamos ahora una aplicación de los vectores ortogonales a la caracterización de subespacios
Precálculo 1 - Ejercicios de Práctica. 1. La pendiente de la línea (o recta) que pasa por los puntos P(2, -1) y Q(0, 3) es:
Precálculo 1 - Ejercicios de Práctica 1. La pendiente de la línea (o recta) que pasa por los puntos P(2, -1) y Q(0, 3) es: a. 2 b. 1 c. 0 d. 1 2. La ecuación de la línea (recta) con pendiente 2/5 e intercepto
LA INTEGRAL DEFINIDA Y EL CÁLCULO DE ÁREAS
LA INTEGRAL DEFINIDA 001. Calcula la integral de f() =, en el intervalo [1, ] 00. Calcula 0 ( + ) d LA INTEGRAL DEFINIDA Y EL CÁLCULO DE ÁREAS 01 ACTIVIDAD PROPUESTA Calcula el área limitada por la función
Límites y continuidad
Límites y continuidad Podríamos empezar diciendo que los límites son importantes en el cálculo, pero afirmar tal cosa sería infravalorar largamente su auténtica importancia. Sin límites el cálculo sencillamente
PLAN DE CURSO PC-01 FO-TESE-DA-09 DIRECCIÓN ACADÉMICA DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA. Según Corresponda CALCULO INTEGRAL TURNO: 1201/1 251
No. DE EMPLEADO: SEMANA: 5 NO. DE ALUMNOS: O PROPOSITO GENERAL DE LA 1. Teorema fundamental del cálculo. - Contextualizar el concepto de - Visualizar la relación entre cálculo diferencial y el cálculo
Definición matemática de Relación y de Función
Fecha: 05/0 Versión: DOCENTE: ANTONIO ELI CASTILLA Definición matemática de Relación de Función En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto,
Es importante recordar el concepto de intervalo abierto notado. (a, b)={x R/a x bt} donde a y b no pertenecen al intervalo abierto
INICIACION AL CALCULO LIMITE DE UNA FUNCION EN UN PUNTO Cuando se inicia un trabajo de cálculo, es importante aclarar,que históricamente a partir del siglo xviii y con los trabajos de Newton en Inglaterra
PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS
PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Integración por partes. Mediante la integración por partes, hallar una primitiva de la función y = Ln (1 + x) Calcular una primitiva de una función, es hallar su
Funciones reales. Números complejos
Funciones reales. Números complejos Funciones reales 1. Encuentra todos los números reales x que verifican: a) (x 1)(x 3) > 1 b) x + 1 > 1 1 x c) x 1 + x + 1 < 1 d) 5 < x 2 14x + 5 < 26 2. Si la gráfica
PROGRAMA DE MATEMÁTICA DIVERSIFICACIÓN CIENTÍFICA SEGUNDO AÑO DE BA CHILLERATO REFORMULACIÓN 2006 AJUSTE 2010 INTRODUCCIÓN
PROGRAMA DE MATEMÁTICA DIVERSIFICACIÓN CIENTÍFICA SEGUNDO AÑO DE BA CHILLERATO REFORMULACIÓN 2006 AJUSTE 2010 INTRODUCCIÓN El programa se estructura en tres Bloques Temáticos: NÚMERO, ANÁLISIS MATEMÁTICO
Práctica 4 Límites, continuidad y derivación
Práctica 4 Límites, continuidad y derivación En esta práctica utilizaremos el programa Mathematica para estudiar límites, continuidad y derivabilidad de funciones reales de variable real, así como algunas
Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones
![Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones](/thumbs/49/25360651.jpg "Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones")
Semana 09 [1/28] 29 de abril de 2007 Semana 09 [2/28] Definición Sucesión Una sucesión real es una función: f : N R n f (n) Observaciones Para distinguir a una sucesión de las demás funciones, se ocupará
f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).
TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS SUCESIONES DE FUNCIONES En primer curso estudiamos el concepto de convergencia de una sucesión de números. Decíamos que dada una sucesión de números reales (x n ) n=1 R, ésta
IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 del 011 [ 5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular
y = 2x + 8x 7, y = x 4. y = 4 x, y = x + 2, x = 2, x = 3. x = 16 y, x = 6 y. y = a x, y = x, x y = a. (1 x)dx. y = 9 x, y = 0.
. Encuentre el área de la región limitada por las curvas indicadas:.. y = x, y = x +... x = y, x = y +... y = x +, y = x +, y = x....5..6..7..8..9..0....... y = x + 8x 7, y = x. y = x, y = x +, x =, x
11. Integrales impropias
11. Integrales impropias 11.1. Definición de Integrales Impropias Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de
Interpretación geométrica de la derivada
Interpretación geométrica de la derivada Ya estudiamos una interpretación geométrica de la razón de cambio instantánea. Ahora vamos a profundizar un poco más en este concepto recordando que la derivada
CONTENIDOS MÍNIMOS del ÁREA DE MATEMÁTICAS
Dpto. de Matemáticas IES Las Breñas 4º ESO OPCIÓN B CONTENIDOS MÍNIMOS del ÁREA DE MATEMÁTICAS 1: Números reales. Septiembre-2016 Números no racionales. Expresión decimal - Reconocimiento de algunos irracionales.
TEMA 1: NÚMEROS REALES 1.1 Numeros racionales Ejemplo:
TEMA : NÚMEROS REALES. Numeros racionales Ejemplo: 4... Entonces puedo expresar el "" de infinitas formas, siendo su fracción generatriz la que es irreducible. En nuestro caso Otro ejemplo de número racional
MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial
INDICE Prefacio 1 Preliminares del cálculo: funciones y limites teoremas escogidos con demostraciones formales
INDICE Prefacio XIII 1 Preliminares del cálculo: funciones y limites 1 1.1. Qué es el calculo? 3 1.1.1. el limite: la paradoja de Zenón 5 1.1.2. la derivada: el problema de la tangente 6 1.1.3. la integral:
Tema 6. Variables aleatorias continuas
Tema 6. Variables aleatorias continuas Resumen del tema 6.1. Definición de variable aleatoria continua Identificación de una variable aleatoria continua X: es preciso conocer su función de densidad, f(x),
Cálculo Integral LA INTEGRAL DEFINIDA DE RIEMANN: UNA APROXIMACIÓN CON DERIVE.
Cálculo Integral 85 6. CÁLCULO INTEGRAL. 6.. LA INTEGRAL DEFINIDA DE RIEMANN: UNA APROXIMACIÓN CON DERIVE. La integral definida de Riemann surge a partir del problema del cálculo de áreas de superficies
Cálculo en varias variables
Cálculo en varias variables Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga Resumen Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 1 Límites y continuidad
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA Pobre del estudiante que no aventaje a su maestro. LA LÍNEA RECTA Leonardo da Vinci DESEMPEÑOS Identificar, interpretar, graficar
Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad
página / Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad Hoja. Calcula la derivada de f ()= +3 8 +9 +3. Encuentra tres números no negativos que sumen 4 y tales que uno sea doble de otro y la
2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto
Límite de una función
Idea intuitiva de límite Límite de una función El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es
Continuidad. 5.1 Continuidad en un punto
Capítulo 5 Continuidad 5.1 Continuidad en un punto Definición 5.1.1 (Aplicación continua en un punto). Sean (X, τ) e (Y, τ ) dos espacios topológicos, y sea f : X Y una aplicación entre ellos. Diremos
MATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS
MATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS Extremos relativos La función f tiene un máximo relativo en el valor c si hay un intervalo (r, s), que contiene a c, en el cual f(c) f(x) para toda x entre r y s. Si además,
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre 015 ax + b [ 5 puntos] Halla los valores a, b y c sabiendo que
Proyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta
Geometría Analítica Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas Isidro Huesca Zavaleta La Integración de dos Ciencias La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
UNIDAD DE APRENDIZAJE I
UNIDAD DE APRENDIZAJE I Saberes procedimentales 1. Define en forma correcta el concepto de desigualdad y el de valor absoluto. 2. Explica la diferencia entre constante, parámetro y variable. 3. Define
Repaso de Geometría. Ahora formulamos el teorema:
Repaso de Geometría Preliminares: En esta sección trabajaremos con los siguientes temas: I. El Teorema de Pitágoras. II. Fórmulas básicas de geometría: perímetro, área y volumen. I. El Teorema de Pitágoras.
IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N 13 CÁLCULO I
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N CÁLCULO I Profesor: Carlos Ruz Leiva MÁXIMOS Y MÍNIMOS Criterio de la segunda derivada Supongamos que
Espacios topológicos. 3.1 Espacio topológico
Capítulo 3 Espacios topológicos 3.1 Espacio topológico Definición 3.1.1. Un espacio topológico es un par (X, τ), donde X es un conjunto, y τ es una familia de subconjuntos de X que verifica las siguientes
INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS.
INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS. 1. ÁREA LIMITADA POR UNA FUNCIÓN. INTEGRAL DEFINIDA. Si tenemos una función f(x) con una forma conocida, por ejemplo una recta, una semicircunferencia,... podemos calcular
Aplicaciones de la Integral Definida
CAPITULO 7 Aplicaciones de la Integral Definida 1 Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)
La Lección de hoy es sobre el Perímetro y la Circunferencia. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante m.3.g.2
Perímeter & Circunsference-M.3.G.2-Jerry Haynes La Lección de hoy es sobre el Perímetro y la Circunferencia. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante m.3.g.2 Primeramente hablaremos
PROGRAMACIÓN DE LOS CONTENIDOS DE MATEMÁTICAS EN LA PREPARACIÓN DE LA PARTE COMÚN DE LA PRUEBA DE ACCESO A LOS C.F.G.S. (Opción C)
PROGRAMACIÓN DE LOS CONTENIDOS DE MATEMÁTICAS EN LA PREPARACIÓN DE LA PARTE COMÚN DE LA PRUEBA DE ACCESO A LOS C.F.G.S. (Opción C) I.E.S. Universidad Laboral de Málaga Curso 2015/2016 PROGRAMACIÓN DE LA
Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.7: Aproximación de funciones. Desarrollo de Taylor. Aproximación lineal. La aproximación lineal de una función y = f(x) en un punto x = a es la
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA ERROR GUIÓN PARA EL TEMA CONCEPTOS BÁSICOS
ERROR GUIÓN PARA EL TEMA CONCEPTOS BÁSICOS REPASO de conceptos de dígito significativo y de orden, para números en notación decimal. Para señalar la diferencia entre el concepto de dígito significativo