TEMA 3 TRANSFORMADA DE LAPLACE 3.1. MOTIVACIÓN 3.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

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1 TEMA TRANSFORMADA DE APACE MOTIVACIÓN En ma anrior aprndió cómo rolvr cuacion difrncial linal con coficin conan uja a condicion dada llamada d fronra o condicion inicial S rcordará qu l méodo coni n nconrar la olución gnral d la cuacion n érmino d un númro d conan arbiraria y lugo drminar a conan d la condicion dada Duran l iglo XIX uvo d moda para cinífico ingniro, ncabzado y moivado por l ingniro lcricia Haviid, uar méodo d oprador al como lo dcrio n l ma anrior para rolvr vario problma involucrando cuacion difrncial En o méodo lo oprador furon raado como ímbolo algbraico y la cuacion rulan furon manipulada d acurdo a la rgla dl álgbra Admirablmn, lo méodo condujron a rpua corrca Alguno mamáico inquio, vindo qu la manipulacion algbraica í conducían a rulado corrco, razonaron qu dbría habr alguna manra d colocar lo procdimino n una ba mamáica riguroa a invigación hacia objivo condujo al podroo méodo d la ranformada d aplac, l cual xamina n ma E méodo in vnaja obr oro méodo Primro, uando l méodo pudn ranformar cuacion difrncial dada n cuacion algbraica Sgundo, cualquira condicion inicial dada auomáicamn incorporan n l problma algbraico d modo qu no ncia hacr ninguna conidración pcial obr lla Finalmn, l uo d abla d ranformada d aplac pudn rducir l rabajo d obnr olucion lo mimo qu la abla d ingral rducn l rabajo d ingración TRANSFORMADA DE APACE Dfinición Sa f() una función dfinida para ; nonc la ingral dada por b {f()} = f()d = lím f()d llama ranformada d aplac d f, b impr y cuando la ingral convrja Simbólicamn, la ranformada d aplac d f dnoa por {f()}, y puo qu l rulado dpnd d, crib {f()} = F() Joé ui Quinro

2 b b Ejmplo Calcul {} ()d lím + = = d = lím = lím = b b b impr qu > b El uo dl ímbolo d lími vulv algo dioo, por o adopará la b noación para indicar lím ( ) b Ejmplo Drmin {} Solución S in {} = d = + d =, > Ejmplo Drmin {n()} Solución S in n() {n()} = n()d = + co()d = co()d, > co() = = 4 {n()}, > n()d 4 Dpjando {n()}: + {n()} {n()}, = = > + 4 Para una uma d funcion pud cribir [ α f() + β g()]d = α f()d + β g()d cuando amba ingral convrgn Por lo ano, in qu { α f() + β g()} = α {f()} + β {g()} = α F() + β G() Ejmplo 4 Drmin { 5n()} Solución D lo jmplo y y d la linalidad d la ranformada d aplac pud cribir 7 { 5n()} = {} 5 {n()} = 5 =, > + 4 ( + 4) El orma iguin gnraliza alguno d lo jmplo prcdn D aquí n adlan no formularán rriccion para ; obrnind qu á lo uficinmn rringido para garanizar la convrgncia d la corrpondin ranformada d aplac Joé ui Quinro

3 TEOREMA a {} = b n { } = n!, n =,,, n + a c = a d k {n(k)} = k + {co(k)} = k + f k {nh(k)} = k g {coh(k)} = k CONDICIONES SUFICIENTES PARA A EXISTENCIA DE A TRANSFORMADA DE APACE a condicion d uficincia qu garanizan la xincia d {f()} on qu f a coninua por ramo n, ) y qu f a d ordn xponncial para > T Rcurd qu una función coninua por ramo n, ) i n cualquir inrvalo a b hay, cuando mucho, un númro finio d puno k, k =,,,n (k < k) n lo cual f in diconinuidad finia y coninua n odo inrvalo abiro k < < k Dfinición S dic qu una función f d ordn xponncial c i xin conan c, M > y T >, al qu c f() M para odo > T Si f una función crcin, la condición f() c M, > T ólo xpra qu la gráfica d f n l inrvalo (T, ) no crc con má rapidz qu la gráfica d la función xponncial c M, dond c una conan poiiva a funcion f() =, f() = y f() = co on oda d ordn xponncial c = para > porqu, rpcivamn,, y co (vr figura ) Joé ui Quinro

4 Figura Ordn xponncial para alguna funcion Una función como f() = no d ordn xponncial porqu, u gráfica crc má rápido qu cualquir poncia linal poiiva d para > c > En ma udiarán olamn funcion qu on coninua par por par y d ordn xponncial Sin mbargo, hac noar qu a condicion on uficin pro no ncaria para la xincia d la ranformada d aplac a función f() = / no coninua par por par para pro u ranformada d aplac xi (vr jrcicio propuo) TEOREMA Si f() coninua por ramo n l inrvalo, ) y d ordn xponncial c para > T, nonc {f()} xi para > c < Ejmplo 5 Evalú {f()} cuando f() = Solución {f()} = f()d = d + d = =, > 4 A TRANSFORMADA INVERSA Uando la dfinición ingral d la ranformada d aplac d una función f drmina ora función F, o, una función dl parámro d la ranformada Simbólicamn, dnoa o por {f()} = F() Ahora invir l problma, dcir, dada F() quir nconrar la función f() qu corrpond a a ranformación S dic qu f() la ranformada invra d aplac d F() y crib - f() = {F()} Joé ui Quinro 4

5 TEOREMA a = n n! b =, n =,,, n+ c = a a d k n(k) = + k co(k) = + k f k nh(k) = k g coh(k) = k Ejmplo 6 Drmin 5 Solución S muliplica y divid por 4! y lugo ua la par b dl orma S in qu - - 4! 4 5 = 5 = 4! 4 Ejmplo 7 Drmin + 7 Solución Para coincidir con la forma dl incio (d) dl orma, dfin por lo qu k = 7 S acondiciona la xprión muliplicando y dividindo por 7 : 7 = = n k = 7, TEOREMA 4 a ranformada invra d aplac ambién linal; o, para conan α y β, { F() G() } { F() } { G() } α + β = α + β, dond F y G on la ranformada d cira funcion f y g Ejmplo 8 Drminar Solución Primro rcrib la función d como la uma d do xprion, mdian diviión érmino a érmino, a coninuación: co() n() = + = + = Joé ui Quinro 5

6 5 COMPORTAMIENTO DE F() CUANDO S TIENDE A INFINITO TEOREMA 5 Si f coninua por ramo n, ) y d ordn xponncial para > T, nonc { } lím f() = Dmoración Dado qu f() coninua por ramo n T, ncariamn acoada n l inrvalo; o, f() M = M También, f() M β para > T Si M rprna l máximo d M,M y c indica l máximo d,β, nonc in qu { } (c) c M para c f() f() d M d = M = c c, in { f() }, d modo qu { f() } > Cuando Ejmplo 9 F() = no la ranformada d aplac d ninguna función coninua par por par d ordn xponncial ya qu F() no ind a cro cuando ind a infinio Por coniguin { F() } no xi 6 TEOREMAS DE TRASACIÓN No convnin uar la dfinición cada vz qu quira valuar la ranformada d aplac d una función f() En la dicuión qu igu prnarán vario orma qu prmin ahorrar rabajo y éo, a u vz, prmin conruir una lia má xna d ranformada in qu a ncario rcurrir a la dfinición d ranformada d aplac TEOREMA 6 (PRIMER TEOREMA DE TRASACIÓN) Si a un númro ral a cualquira, nonc { f()} = F( a) n dond F() = {f()} Dmoración a dmoración inmdiaa ya qu por la dfinición in a a ( a) { f()} = f()d = f()d = F( a) Por coniguin, i ya conoc {f()} = F() pud calcular { f()} in oro furzo adicional qu al raladar, o cambiar, F() por F( a) a Ejmplo Calcul 5 { } Solución o rulado dprndn dl orma { } = ( 5) 4 Ejmplo Calcul { co(4)} Solución { co(4)} + = ( ) Joé ui Quinro 6

7 a forma rcíproca dl orma 6 pud cribir como a f() { F( a) } = Ejmplo Calcul Solución + + = = = ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + + = co( = ) n( ) ( + ) + ( + ) + Ejmplo Drmin + ( ) + 8 Solución! + = + =! + ( ) + 8 ( ) ( + ) 9 ( ) ( + ) 9 = + nh() En ingniría ncunran a mnudo funcion qu pudn concar o dconcar Por jmplo, una furza xrior qu acúa obr un ima mcánico o un volaj uminirado a un circuio pudn r dconcado dpué d un ciro príodo E por lo ano, convnin dfinir una función pcial llamada función calón uniaria < a Dfinición a función U( a) dfin como U( a) = a a función calón uniaria, al r combinada con ora funcion dfinida para, runca una par d u gráfica Por jmplo, < π f() = n() U( π ) = n π En l orma 6 vió qu l muliplicar f() por una xponncial, gnra un cambio o ralación d la ranformada F() Con l próximo orma vrá qu cada vz qu F() muliplica por una función xponncial apropiada, la gráfica d f() no olo ralada ino qu admá una porción d la mima quda runcada TEOREMA 7 (SEGUNDO TEOREMA DE TRASACIÓN) Si a >, nonc Dmoración D la dfinición in a a {f( a) U( a)} = {f()} = F() a a a {f( a) U( a)} = f( a) U( a)d + f( a) U( a)d = f( a)d Ahora bin, a v = a, dv = d ; nonc Joé ui Quinro 7

8 {f( a) U( a)} = (v + a) f(v)dv = a v f(v)dv = a { f() } Ejmplo 4 Evalú {( ) U( ) } Solución { U } { }! 6 ( ) ( ) = = = 4 4 Ejmplo 5 Evalú { U( 5) } 5 Solución { U( 5) } { } 5 = = Ejmplo 6 Drmin { n U( )} π π Solución { n U( )} { n( ) U( )} { n} a π π = π π = = + a forma rcíproca dl orma 7 U f( a) ( a) { a F() } > y f() { F() } = =, n dond π / Ejmplo 7 Calcul + 9 Solución π / π π π n ( ) co() = = 9 U U + 7 DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA Si F() { f() } = y i upon qu poibl inrcambiar l ordn d drivación y l d ingración, nonc d d F() = f()d = f()d = f()d = { f() } d d Eo, { f() } { f() } d = Análogamn, d d d d d { } { } { } { } f() = f() = f() = f() = { f() } d d d d o do cao prcdn ugirn l iguin orma: TEOREMA 8 Para n,,, F() = { f() } n n n d n n d f() = ( ) f() = ( ) F(), n dond n d d = { } { } n Joé ui Quinro 8

9 Ejmplo 8 Calcul { } Solución { } { } Ejmplo 9 Calcul { n(k) } d d = = d d = ( ) Solución d d d k 6k k { n(k) } = { n(k) } = { n(k) } = = d d d ( + k ) ( + k ) Ejmplo Calcul { co } Solución { co } { co } d d ( ) + + = = d d = ( + ) + ( + ) + 8 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS El objivo inmdiao d ma aplicar la ranformada d aplac para rolvr cuacion difrncial Para llo, ncian valuar canidad como dy d y d y Si f coninua para, por ingración por par, nonc d o a { f '()} { f '()} = f '()d = f() + f()d = f() + { f() } = F() f() S upuo qu f() cuando D igual modo, in: { } { } f ''() = f ''()d = f '() + f '()d = f '() + f '() = F() f() f '() o a { f ''()} = F() f() f '() S obrva la nauralza rcuriva d la ranformada d aplac d la drivada El iguin orma dfin la ranformada d aplac d la n-éima drivada d f TEOREMA 9 Si (n) f,f ',,f (n) f () coninua por ramo n ) dond F() { f() } = { } on coninua n, ), on d ordn xponncial y i,, nonc (n) n (n) (n) (n) f () = F() f() f '() f (), Joé ui Quinro 9

10 Ejmplo Calcul { k co(k) n(k) } + Solución d d k { k co(k) + n(k) } = (n(k) = { n(k) } = { n(k) } d d = ( + k ) k = ( + k ) Ejmplo Sa f una función coninua a rozo y d ordn xponncial n [, ) Dmur qu - {F'()} = f() f '() d d Solución {f '()} = {f '()} = [F() f()] = F() F '(), nonc, d d f '() = f() - {F'()} d dond - {F'()} = f() f '() 9 CONVOUCIÓN Dfinición 4 Si do funcion f y g on coninua par por par para nonc u convolución, dnoada por f g, á dfinida mdian la ingral dada por f g = f( τ)g( τ)dτ Ejmplo a convolución d f() = y g() = n() τ n() = n( τ)d τ = ( n() co() + ) E poibl obnr la ranformada d aplac d la convolución d do funcion, como la dada con la fórmula d la dfinición 4, in qu nga qu valuar n ralidad la ingral El iguin rulado conoc como orma d la convolución TEOREMA San f() y g() coninua par por par para y d ordn f g = f() g() = F()G() xponncial Enonc { } { } { } Obrvación a convolución d f y g conmuaiva, dcir, f g = g f Obrvación Cuando g() = y G() = /, l orma d la convolución implica F() qu la ranformada d aplac d la ingral d una función f f( τ)dτ = τ Ejmplo 4 Calcul n( τ)dτ n( τ)dτ = n = = τ Solución { } { } + ( )( + ) Joé ui Quinro

11 A vc, l orma d la convolución úil para nconrar la ranformada invra d aplac d un produco d do ranformada d aplac En virud dl f g = F()G() orma in qu { } (n facor) n Ejmplo 5 Dmur qu =, n (n )! τ Solución = dτ = =, ( ) = = τdτ = = =,!! τ τ ( ) = = dτ = = = 6 6! (n facor) n =, n (n )! Al gnralizar in qu: Ejmplo 6 Drmin la ranformada d aplac d dond g() = n() U( π ) + U ( π) f() = unudu + g(), Solución {f()} = unudu + {g()}, uando propidad d linalidad Sa h() = unudu, nonc: {h()} = unudu = {unu} d d = {nu} = d d + = ( + ) ugo unudu = (( ) + ) {g()} = {n()} {n() U( π )} + { U ( π)} {g()} = π π + + ( + π ) + ( + π) Por lo ano: {f()} = + + (( ) + ) + ( + π ) + ( + π ) π π Ejmplo 7 Drmin ( )( + 4) Solución Sría poibl uar fraccion parcial, pro i F() = y G() = + 4 nonc { F() } = f() = y { } = = 4 Por lo ano pud cribir G() g() τ 4( τ ) 4 5 τ 4 5 τ 4 = f( τ )g( τ )d τ = d τ = d τ = = ( )( + 4) Joé ui Quinro

12 Ejmplo 8 Evalú ( + k ) Solución Sa F() = G() = d modo qu k f() = g() = n(k) = + k k + k k Por coniguin, n(k )n(k( ))d co(k( ) co(k d = τ τ τ = τ τ ( + k ) k k n(k) k co(k) = n(k( τ )) τ co(k) = k k k DIVISIÓN POR T TEOREMA Si f() coninua par por par para y d ordn xponncial y f() f() i xi lím y finio, nonc = F( σ )d σ, dond F() = + { f() } n() Ejmplo 9 Drmin n() Solución S pud vr qu lím = S in nonc qu: + n() dσ π = { n() } d = arcg( ) arcg() = σ = σ + El rulado pud cribir d ora forma, como igu: dσ b dσ b b = lím = lím(arcg(b) arcg()) = lím arcg arcg lím arcg b = = b b + b b + b σ + σ + Ejmplo Calcul - arcg Solución f() = arcg f() arcg co() arcg = = + g() = arcg g() = = n() + n() co() n() co() n() Por ano f() = co() = f() = TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA Si una función priódica in príodo T, ino T >, nonc f( + T) = f() a ranformada d aplac d una función priódica pud obnr ingrando obr un príodo Joé ui Quinro

13 TEOREMA Sa f() coninua par por par para y d ordn xponncial Si f() priódica d príodo T, nonc { } f() = f()d T T Dmoración a ranformada d aplac pud r cria como { } T T f() = f()d + f()d Hacindo = u + T, la úlima ingral ranforma n (u T) T u f()d = + f(u + T)du = f(u)du = T { f() } T Dpjando { f() } rula { } f() = f()d T T Ejmplo Hall la ranformada d aplac d la función priódica dada por < f() = < Solución { f() } = f()d = d d + = + ( + ) = ( ) APICACIONES A AS ECUACIONES DIFERENCIAES (n) Puo qu { } y (), n >, dpnd d y() y u n drivada calculada n =, la ranformada d aplac pcialmn adcuada para rolvr problma d valor inicial para cuacion difrncial linal con coficin conan Ea cla d cuación difrncial pud r rducida a una cuación algbraica n la función ranformada Y() para vr o, conidr l problma d valor inicial n n d y d y dy ' (n) (n) n n n n a + a + + a + a y = g(), y() = y, y'() = y,, y () = y, d d d n dond a i, i =,,,n y ' (n ) y, y,, y on conan Por la linalidad d la ranformada d aplac pud cribir n n d y d y an a n a { y} { g() } n = n d d Uando l orma 9, la xprión anrior ranforma n n n (n ) n n (n ) a n Y() y() y () + a n Y() y() y () + + ay() = G() o bin Joé ui Quinro

14 n n n (n) n (n) an + an + + a Y() = a n y + + y + a n y + + y + + G() Y() y() G() = g() Dpjando Y() ncunra y() calculando n dond = { } y { } la ranformada invra y() { Y() } = Ejmplo U la ranformada d aplac para rolvr l problma d valor inicial dy y n(), y() 6 d + = = Solución Primro calcula la ranformada d cada érmino d la cuación dy difrncial: + { y} = { n} S ab qu dy = Y() y() = Y() 6, d d 6 { n} = D modo qu: Y() 6 + Y() = Al dpjar Y() in: Y() = S xpra: ( + )( + 4) A B + C = + = + ( + )( + 4) Finalmn: y() = Como concuncia, la olución dl problma d valor inicial y() = 8 co() + n() Ejmplo Rulva 4 y'' y' + y =, y() =, y'() = 5 Solución d y dy 4 + { y} = { } d d Y() y() y'() Y() y() + Y() = Y() = + = + ( + )( + 4) ( )( )( + 4) D modo qu: { } y() = Y() = ECUACIÓN INTEGRA El orma d la convolución úil para rolvr oro ipo d cuacion n la qu aparc una función incógnia bajo un igno d ingral En l jmplo iguin obin f() rolvindo una cuación ingral dada por la forma f() = g() + f( τ)h( τ)dτ a funcion g() y h() on conocida Ejmplo 4 Obnga f() i τ f() = f( τ) dτ Solución { f() } = { } { } { f() } { } 6 6 F() = F() + F() = F() = Joé ui Quinro 4

15 6( ) 6 6 F() = = + Por lo ano, 4 ( ) 4 + +!! f() = 4 + = FUNCIÓN DETA DE DIRAC A mnudo, lo ima mcánico án omido a una furza xrior (o a una nión aplicada n l cao d lo circuio lécrico) d gran magniud qu olamn acúa duran un impo muy coro Por jmplo, una dcarga lécrica podría car obr l ala ya vibran d un avión o a un po ujo a un ror podría dárl un golp co con un marillo, o bin una ploa d golf inicialmn n rpoo podría r nviada vlozmn a lo air al r golpada con violncia por un baón o a < a palo d golf a función δa( ) = pud rvir d modlo mamáico a para al furza Para valor d a, δ a ( ) ncialmn una función conan d gran magniud qu á concada o acivada olo por un coro inrvalo d impo n orno a A la función δa( ) l llama impulo uniario ya qu in la propidad d ingración δa( )d = En la prácica convnin rabajar con oro ipo d impulo uniario, qu una función qu aproxima a δa( ) y á dfinida por l lími dado por δ( ) = lím δ ( ) Ea úlima xprión, la cual n ralidad no una función, a a pud caracrizar mdian la do propidad iguin: = a δ( ) = b δ( )d = A la xprión δ( ) l dnomina función dla d Dirac y fu crada por l fíico briánico Paul AM Dirac E poibl obnr la ranformada d aplac d ( ) δ( ) = lím δ ( ) Sabindo qu δ mdian la upoición formal { } { } { } a a a a δa( ) = nonc aplicando la rgla d Hopial: a a a lím { δa( ) } = lím = a a D a manra dfin { ( } ) = in { ()} δ no una función ordinaria puo qu pra qu { } d lo anrior qu cuano hcho d qu () cuando a δ = Ahora bin, razonabl concluir δ = E úlimo rulado daca l f() Joé ui Quinro 5

16 Ejmplo 5 Rulva y'' + y = δ( π ) uja a (a) y() =, y'() = (b) y() =, y'() = Solución Eo do problma d valor inicial podían rvir como modlo para dcribir l movimino d una maa uja a un ror qu in lugar n un mdio n l cual la amoriguación inignifican En = π gundo la maa rcib un golp co En (a) la maa ula dd l rpoo, n un puno qu á unidad dbajo d la poición d quilibrio En (b) la maa á n rpoo n la poición d quilibrio (a) a ranformada d aplac d la cuación difrncial π Y() + Y() = π o bin Y() = + Uando l gundo orma d ralación in qu, + + y() = co() + n( π) U( π ) Puo qu n( π ) = n(), la olución anrior pud cribir como co < π y() = co + n π (b) En cao la ranformada d la cuación implmn Y() = y por lo + < π ano y() = n( π) U( π ) = n π π Ejmplo 6 Encunr la olución d la cuación ingro-difrncial ( u) y'() + y(u) du = ( + δ( )), y() = Solución Uando ranformada d aplac in: {y'()} = Y() y() = Y(), uando ranformada d una drivada (-u) y(u) du = Y() {y() } = {y()} { } =, por convolución ( ) { ( + δ( ))} = { + δ( )} = { } + { δ( )} = +, uando propidad En concuncia: Y() Y() + = + + Y() = + ( ) ( ) ( ) + Y() = + ( ) Y() = + Y() = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y() = + ( ) ( ) Y() = + ( ) ( ) ( ) Enonc: - {Y()} = + u( ) ( ) u( ) Joé ui Quinro 6

17 = + u( ) ( ) u( ) = (( ) + u( )( )) Ejmplo 7 Rulva la cuación dada por uja a la condicion y() = Solución n () d { y'() } + y'''( τ)dτ + { y() } = { δ( ) } { } { } y'() + y'''( τ)dτ + y() = δ( ), y'() = y''() = y'() = y'() = Y() y() y''() y'''( τ)dτ = { y'''() } = { y'''() } { } = Y() y() y'() = y() = Y() δ( ) = { } { } Por lo ano { y'() } + y'''( τ)dτ + { y() } = { δ( ) } Y() y() + Y() y() + Y() = y() = U( ) + y()( + ) Y() y() ( + )y() + + Y() = + ( + )y() Y() = + ( + ) ( + ) y() = { Y() } = + y() + y() ( + ) + ( + ) n () y() = d = F(), dond n () n () lím = lím 4 = n () F() = { n ()} { } { co(4) } co(4) = = = + 6 n () σ = σ = σ σ + d ln( ) ln( 6) 6 σ σ + σ + 6 = ln = ln σ + 6 Por ano, En concuncia, n () 5 y() = d = ln 5 y() = U ( ) + ln ( + ) Joé ui Quinro 7

18 5 PROBEMAS PROPUESTOS Para lo iguin problma, u la dfinición para nconrar { f() } : a b c d < < f() = < < f() = 7 f() = + f() = 4 f() = n f f() = co a función gamma dfin d la forma α qu { } Γ( α + ) =, α + α Γ( α ) = d, α > Dmur / α > y u rulado para valuar { } Dmur qu la función Conidr { } / no in ranformada d aplac (Sugrncia U la dfinición d ingral f() = f()d + f()d impropia para dmorar qu f()d no xi) 4 Uando la abla d ranformada, calcul { f() } n cada cao: a f() = 5 b f() = 4 c d f g h f() = + 6 f() = ( + ) f() = + 4 f() = ( + ) f() = 4 5n() f() = nh() i f() = n() co() j f() = co() co() k l m n o p f() = f() = f() = n() 5 f() = nh() f() = ( + ) f() = n () q f() = ( ) U ( ) Joé ui Quinro 8

19 r f() = U ( ) f() = co() U ( π) f() = co() u v w x y z aa f() = nh() f() = n(6) f() = co( τ)dτ τ τ f() = τ dτ f() = n( τ)dτ f() = 4 f() = bb f() = co() cc nh() f() = dd f() = f() = b n () a 5 Uando la abla d ranformada, calcul { f() } a b c d f g h i j k F() = ( + ) F() = 4 F() = + F() = F() = 4 + F() = 6 6 F() = + 9 F() = + F() = F() = ( )( ) F() = ( + 4) n cada cao: Joé ui Quinro 9

20 l m n o p q r u v w x y z F() = ( + 4)( + ) F() = ( + ) F() = 6 + F() = F() = ( + ) F() = ( + ) F() = π F() = + F() = ( + ) F() = ( + ) F() = ln + π F() = arcg F() = ( + ) F() = ( + )( ) F() = ( + 4) 6 Ecriba la función dada n érmino d la función calón uniaria Encunr la ranformada d cada función < a f() = < b f() = < c f() = 7 Dmur la propidad diribuiva d la ingral d convolución dada por f (g + h) = f g + f h Joé ui Quinro

21 8 Si F() = { f() }, prub qu { } para nconrar { n(k) coh(a) } 9 Si a >, dmur qu { } f() coh(a) = F( a) F( a) + + U l rulado f(a) = ( /a)f( / a) Si f() coninua a rozo y d ordn xponncial, dmur qu cumpl la xprión f( τ)dτ = F() / + ( / ) f( τ)dτ a (a > ) n dond F() = { f() } a Dmur qu U( a) = ( a) U( a) Drmin ( ) U la ranformada d aplac para rolvr la cuación difrncial dada uja a la condicion inicial qu indican: a y' y = y() = b 4 y' + 4y = y() = c y'' + 5y' + 4y = y() = y'() = d y'' 6y' + 9y = y() = y'() = y'' 4y' + 4y = y() = y'() = f y'' + y = n() y() = y'() = g h y'' y' = co() y() = y'() = y''' + y'' y' y = y() = y'() = y''() = < i y' + y = f(), n dond f() = y() = 5 j y'' + 4y = f(), n dond f() = n() U ( π ), y() =, y'() = π π k y'' + y = δ + δ, y(), y'() = = l y'' + 4y' + y = δ( π ) + δ( π ), y() =, y'() = 4 U la ranformada d aplac para rolvr la cuación ingral o ingrodifrncial dada: a b c f() + ( τ)f( τ)dτ = f() = + τf( τ)dτ y'() = n y( τ)d τ, y() = 5 Dmur qu { } a a δa( ) = a Joé ui Quinro

22 6 Una viga uniform d longiud opora una carga concnrada P n x = / a viga á mporada n u xrmo izquirdo y libr n u xrmo drcho U la ranformada d laplac para drminar la dflxión y(x) a parir d la cuación 4 d y K = P 4 δ x, y() =, y'() =, y''() =, y'''() = dx 7 Calcul la iguin ingral impropia: a b c d 5 co()d d co(a) co(b) d, a y b conan poiiva n () d Joé ui Quinro

23 RESPUESTAS A OS PROBEMAS PROPUESTOS a 4 a b 6 b 4 f j o w c c 7 d ( 4) d g h i + 9 ( ) + 6 k + + ( ) ( ) ( 4) π ( + ) + cc ln + 5 a f nh(4) 4 4 ( + 4) x ( ) u ( ) + a dd ln + b p 6 + ( ) y b c 6 l 6 4 ( + ) m ( ) 4 v + ( + ) 4 ( ) + 9 ( ) + 6 z 4 ln d g co() n() h 6 5 / 4 4 aa 48 8 q bb co i j + k n() co() n() l m n n() o co() n() p ( ) U( ) q r ( ) ( ) U U ( ) u n() x y + z n() 4 4 f() = 4 U ( ) f() = 6 a { } v f() = U( ) = ( ) U( ) + ( ) U( ) + U ( ) b { f() } = + + f() = U( ) = ( ) U( ) U( ) c { f() } = f() = nh() n r f ( + ) ( 5) 9 + ( + ) ( ) + n() U ( π) w n() Joé ui Quinro

24 4 4 a y = + b y = + c d y = y = 5 y = f n() co() y = co() / co() n() 8 5 g y = + h y = ( ) i y = 5 5 ( ) U j y = co() n(( π)) U ( π) 6 k π π y = co() U + co() U l ( π) ( π) y = co() + n() + n(( π)) U( π ) + n(( π)) U( π ) 4a f() = n() b f() = c P x x x / K 4 6 < 6 y(x) = P x / x 4K 99 b 7a b ln 5 c ln a d ln5 4 n() y = n() Joé ui Quinro 4