Cálculo Diferencial e Integral - Integración por partes. Prof. Farith J. Briceño N.
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- Encarnación Vanesa Parra Cano
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1 Cálculo Diferencial e Integral - Integración por partes. Prof. Farith J. Briceño N. Objetivos a cubrir Integración : Integración por partes. Ejemplo : Integre ln d Código : MAT-CDI.6 Ejercicios resueltos Solución : Hacemos u = ln du = d Por lo tanto, dv = d ln d = ln d = ln ln d = v = d = ln 6 + C. ln 6 + C. Ejemplo : Integre cos d Solución : Hacemos u = du = d Resolvemos la nueva integral dv = cos d cos d = sen v = sen sen d = sen sen d, integramos otra vez por partes. Hacemos sen d u = du = d y obtenemos entonces, dv = sen d sen d = cos cos d = cos + v = cos cos d = cos + sen + C, cos d = sen cos + sen + C = sen + cos sen + C, así, la familia de primitivas es cos d = sen + cos sen + C. Ejemplo : Integre sen d Solución : Observemos que Integramos por partes, hacemos sen d = sen sen d. u = sen dv = sen d du = cos d v = cos
2 sen d = sen cos cos cos d = sen cos + cos d = sen cos + sen d = sen cos + d sen d como d = + C, tenemos que sen d = sen cos + sen d + C = sen d + sen d = sen cos + + C, de aquí, sen d = sen cos + + C = sen d = sen cos + + C. Por lo tanto, sen d = sen cos + + C Ejemplo : Integre e d Solución : Hacemos el cambio de variable p = ; dp = = p dp = d y la integral nos queda integramos por partes, hacemos e d = pe p dp = pe p dp u = p du = dp la integral se transforma, como p =, se tiene dv = e p dp pe p dp = pe p v = e p, e p dp = pe p e p + C, e e d = e + C = e + C, es decir, e d = e + C. Ejemplo : Integre csc d Solución : Escribimos la integral como Integramos por partes, hacemos csc d = csc csc d. u = csc du = csc cot d dv = csc d csc d = csc cot v = cot, cot csc cot d = csc cot csc cot d, es conocido que cot = csc,
3 así, csc d = csc cot = csc cot csc cot d = csc cot csc d + csc d = csc cot csc csc d csc d + ln csc cot + C, es decir, de aquí, csc d = csc cot csc d + ln csc cot + C, csc d = csc cot + ln csc cot + C, con lo que, csc d = csc cot + ln csc cot + C. Ejemplo 6 : Demuestre que n d = n + n n d Demostración : Escribimos la integral como n d = n d Integramos por partes, hacemos u = n dv = d du = n n d v =. n d = n n n d = n + n n d entonces, n d = n + n n d. Ejercicios. Calcular las siguientes integrales. e d. d. d. sen d. e t cos t dt 6. e d 7. d 8. d 9. sen d 0. e t sen t dt. ln d. arctan d. arcsen d. ln d. 9.. ln d 6. cos d 0. sec θ dθ. arctan d 7. θ cos θ dθ. e sen d. arcsen d 8. cos d. sen cos d 6. e d t + t + 6 cos t dt sen cos d
4 ln d 8. z e z dz. d sen 6. ln d 0. sen ln d. ln d 9. ln t e t/ dt. + e d. d 7. y e y dy. e cos d 0. e at cos bt dt. arctan d 8. e a sen b d. cos sen d 6. cos cos d + e d ln + cos d sen d ln t ln ln e d 8. t dt 9. d 0. + ln d t e t dt. + d. tan d. arctan d ln arcsen θ sen d 6. dθ 7. θ e d 8. cos cos d csc d 60. tan d 6. cos ln d 6. cos t ln sen t dt ln d 6. sen d 6. cos d 66. d cos sen d sec d e θ dθ 68. cos 69. d 70. arcsen d + ln d 7. t sen t dt 7. sen d 7. sec a + b d d 76. z cos z dz 80. ln d 8. e d e ln d θ sec θ dθ 78. sen d 8. arccos z dz 8. sen a ln tan a d 9. t arctan t dt 89. cos ln sen + cos d 98. sen ln sen cos d 00. sec a + b d e θ cos θ dθ 8. sen t sen t dt 86. arcsen sen ln sen cos d 9. sen ln sen d 96. d 90. cos ln sen cos d arcsen t ln arcsen t t a d sen t ln cos 7 t dt arcsen d cos / sen ln sen / d dt sen ln cot d
5 cos b ln sen n b cos m b d 0. senh d 0. t senh t dt 07. csc d 0. cosh d 0. e at cosh bt dt 08. d. sen b ln sen n b cos m b d d senh d cosh d. 7 d. Demostrar la fórmula de reducción cos n d = n cosn sen + n n cos n d. Demostrar la fórmula de reducción ln n d = ln n n ln n d. Demostrar la fórmula de reducción n e d = n e n n e d. Demostrar la fórmula de reducción + a n d = + a n con n. n + + na + a n d, n + 6. Demostrar la fórmula de reducción sec n d = tan secn + n n n sec n d, con n. Respuestas: Ejercicios.. e + C;.. + e + C;.. + ln ln + C;.. sen cos + C;.. cos t + t sen t + C;.6. e + C; e + C;.8. ln ln + + C; ln.9. cos + sen cos + C;.0. 6t cos t 6 sen t t cos t + t sen t + C;.. ln + C;.. arctan ln + + C;.. arcsen + + C;.. ln + ln + C; ln / + C;.6. e + C;.9. cos + sen + C;.. arctan + arctan + C;.7. cos sen + + C;.0. 9 cos θ + θ sen θ + C; cos t + sen t + t cos t + t sen t + t sen t + C; arcsen arcsen + + C; sec θ tan θ + ln sec θ + tan θ + C;.. e sen cos + C;.. 6 sen sen + cos cos + C; 6 sen + cos sen + C;.7. ln + C;.8. ln + C;
6 .9. e 9 cos + sen + C;.0. cos sen + 8 sen cos + C;.. ez 9 z + z + C;.. e t/ 8 + t + t + C;.... cot + ln sen + C;.6. e at a +b a cos bt + b sen bt + C;.. e + + C; ln + tanh + C;.7. + arctan ln C;.8... ln + ln sen cos + C;.9. ln ln + + C;.0. e + C; e a a +b a sen b b cos b + C;.. arctan + ln + + C;.. sen ln cos ln + C;.. e y + y + C;.. csc + ln csc cot + C;.6. ln sen + ln cos + C; e + C;.8. t + ln t + ln t + C;.9. ln ln ln + C; ln + C;.. 6t 6 t + t e t + C; senh + C;.. tan ln sec + C;.. + arctan arctan + ln + + C;.. + ln + C;.6. θ θ arcsen θ + C;.7. e 0 cos sen + C; sen + cos sen 6 70 sen cos 6 + C;.9. cot + ln sen + C;.60. arctan + arctan + C; + 0 cos ln + sen ln + C;.6. ln sen t sen t + C;.6. ln ln + + C;.6. sen cos + C;.6. cos 9 7 sen + sen + C;.66. sen 9 sen cos + C; tan θ sec θ + 8 sec θ tan θ + 8 ln sec θ + tan θ + C;.68. sec tan + ln sec + tan + C; e + + C;.70. arcsen + arcsen + C;.7. ln 6 + C; 6 sen t t cos t + C;.7. cos + sen cos + C;.7. a tan a + b sec a + b + sec a + b tan a + b + ln sec a + b + tan a + b + C; 8a 8a.7. ln ln + C;.76. θ tan θ ln sec θ + C;.77. ; sec a + b tan a + b + a a ln sec a + b + tan a + b + C;.79. cos z + z sen z + C; 8 cos sen + C;.8. e θ 0 sen θ cos θ + C;.8. a ln a ln + C; a.8. ln tanh + + C;.8. z arccos z z + C;.8. sen t cos t + 6 cos t sen t + C; cos t ln cos t + C;.87. e + ln.88. t t 6 arctan t + t arctan t + C;.89. arcsen + + C; ln + ln + C;.9. sen ln sen + cos ln cos + C; e e + arcsen tanh + C; + C;.9. cos ln cos + sen ln sen + C;.9. a sen a ln tan a + ln cos a + C; a.9. sen ln sen + C;.96. ln cos + sen ln cot + C;.97. sen + cos ln sen + cos + C;.98. sen ln cos sen ln sec tan + C;.99. ln csc cot + 9 cos cos ln sen cos + C; m+n b.0. m+n b sen b + b ln senn b cos m b sen b m b ln sen b cos b cos b b ln senn b cos m b cos b + n b ln cos b sen b + C; + C;.0. arcsen ln arcsen + C; 8 senh + C;.0. senh + ; 6
7 .0. cosh senh + C;.06. t 9 ln cosh t ln senh t + C;.07. e at b a b senh bt a cosh bt + C;.08. senh cosh + C;.09. csc cot + ln csc cot + C; C; C; C;. Purcell, E. - Varberg, D: Cálculo con Geometría Analítica. Novena Edición. Prentice Hall.. Stewart, J.: Cálculo. Grupo Editorial Iberoamericano. Bibliografía Cálculo Diferencial e Integral - Integración por partes. Última actualizacón: Enero 00 Prof. Farith Briceño farith 7@hotmail.com 7
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