56. Halla los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, sabiendo que el segundo es 20 y la suma de los cuatro primeros es 425.

Transcripción

1 TALLER 03, MATEMATICAS BASICAS. ADMINISTRACION FINANCIERA. 4. En un progresión ritmétic, el undécimo término excede en uniddes l octvo, y el primero y el noveno sumn 6. Clcul l diferenci y los términos menciondos. Solución. El undécimo término excede en uniddes l octvo: =8+ El primero y el noveno sumn 6: +9=6 Aplicndo l definición de termino generl cd termino de ls ecuciones propuests, se consigue un sistem de dos ecuciones con dos incógnits (, d). =++0d; 8=+7d =8- +0d=+7d+ ; 3d= 9=+8d +9=6 ++8d=6 ; +8d= 6 ; +4d=3 3d = +4d=3 Por sustitución d=/3 = /3 = +0d= /3. /3 = 7 8= +7d= /3+7. /3 =5 9= +8d= /3+8. /3 =7/3 56. Hll los cutro primeros términos de un progresión geométric, sbiendo que el segundo es 0 y l sum de los cutro primeros es 45. lguns fórmuls importntes: n = ()r^(n-) l fórmul nterior quiere decir que el término de posición n de un progresión geométric es igul l primer término por l rzón elevd l n-

2 Sn = [(n)r - ] / (r - ) = sum de los primeros n términos, conocidos el primero, el último y l rzón Sn = (r^n - ) / (r - ) = sum de los primeros n términos, conocido el primero y l rzón Problem ) Nos dn: = 0 S4 = 45 utilicemos l fórmul de l sum, conocido el primer término y l rzón: Sn = (r^n - ) / (r - ) dtos: n = 4 Sn = 45 = /r = 0/r sustituimos: Sn = (r^n - ) / (r - ) => 45 = (0/r)(r⁴- ) / (r - ) => 45r(r - ) = 0r⁴- 0 => 45r² - 45r = 0r⁴- 0 => 0r⁴- 45r² + 45r - 0 = 0 los vlores de r que stisfcen l ecución nterior (hecho con el Método de Ruffini): r₁= r₂= r₃= r₄= 4 tommos como solución r = 4, entonces:

3 = /4 = 0/4 = 5 = 0 3 = (4) = 0(4) = 80 4 = 3(4) = 80(4) = 30 Presentdo: An Mrí Rubino Jiménez

4 ANGELA MARIA PARRA OCAMPO EJERCICIO 3 Sbiendo que el quinto término de un progresión ritmétic es 8 y l diferenci es, hll l sum de los nueve primeros términos de l sucesión. R/ hllo 5= +(n-)d 8= +4x = 8-8 = 0 9=0+6 9=6 Sn= ( + n)ⁿ S9= ( + ) ⁿ S9= (0 + 6)ᴧ9 = 6 es l sum de los nueve términos 9 EJERCICIO 45 Hll l sum de los diez primeros términos de l progresión geométric 3, 6,, 4, R/ = 3 r= Sn= (nr ) r- S0= 3 (¹º ) =

5 ASTRID YAMILE POSADA MANRIQUE (EJERCICIOS 5 Y 47) EJERCICIO 5 Un progresión ritmétic limitd de 0 términos, es tl que l sum de los extremos es igul 0 y el producto del tercero y el octvo es 75. Formr los 0 primeros términos de l progresión. SOLUCION Esto quiere decir que si tenemos 0 términos, el primero seri seri 0 y el último Tenemos entonces que + 0 =0 Por ser un progresión limitd de 0 términos tenemos entonces que + 9 = = 0 Y... que el producto del tercer término y el octvo es 75, entonces 3. 8 = 75 Pr esto desrrollremos sí: SUSTITUIMOS 8 = 0-3.(0 ) 75 ENTONCES = 0 IGUALAMOS A CERO DEJANDO LA EXPRESION AL LADO DERECHO: SOLUCIONAMOS POR ECUACION CUADRATICA PARA ENCONTRAR LOS TERMINOS 3 Y 8 3 b b 4c

6 De hí que = b = -0 c = 75 3 () ( 0) 0 4()(75) = 3 = 3 TENEMOS ENTONCES QUE: REEMPLAZANDO ENTONCES, 8 = = HALLADOS LOS TERMINOS DEL TERCER Y OCTAVO TERMINO, CORRESPONDIENTES A 5 Y 5, NOS DISPONEMOS ENTONCES A CONOCER LA DISTANCIA PARA CALCULAR LOS 0 TERMINOS DE LA PROGRESION. CONOCIDOS DOS TERMINOS ENTONCES, n d n m m d d 3 8 Teniendo l distnci, nos disponemos encontrr el primer término, n ( n ). d 3 (3 )., = 5.( ) 9

7 Entonces si el primer término es 9 y l distnci es, tenemos que los términos de l progresión son: 9,7,5,3,,9,7,5,3, Ahor sí, L sum del primero y el ultimo es = 0 El producto del 3 y el octvo es = 75 EJERCICIO 47 Hllr l sum de los términos de l progresión ilimitd 8,4,,.. Indgndo nos dmos cuent que es un sum de infinitos términos de un progresión geométric decreciente ilimitd, cuyos números tienden llegr cero en lgún momento, tenemos que se desrroll con l siguiente fórmul: S n r SOLUCIÓN: Tenemos entonces que: 8,4,,,,, Anlizndo l progresión de términos, estos se obtienen dividiendo cd término entre, que es lo mismo que decir que multiplicmos por ½, por esto decimos que l rzón es ½ r Y reemplzndo esto en l formul dd, entonces: 8 Sn 8 Sn Sn 6

8 MATEMATICAS BASICAS TALLER 03 Alumn Denis Yneth Vlenci Profesor Jorge Zpt Universidd de Clds Mnizles mrzo 05

9 MATEMATICAS BASICAS TALLER Un coronel mnd 5050 solddos y quiere formr con ellos un triángulo pr un exhibición, de modo que l primer fil teng un solddo, l segund dos, l tercer tres, etc. Cuánts fils tienen que hber? Solución: El número de solddos que hy en cd fil es el término de l sucesión:,, 3,4 etc. = d= n =? n = + n- n = n Sn = +n n Sn = 5050 n( + n) = (5050) n + n = 0.00 n + n = 0 n + n 0.00 = 0 = b= c= n = b ± b 4c n = ± 4 ()( 0.00) () n = ± )

10 ± 40.40) n = n = ± 0 n = +0 n= 00 = 00 n = 0 = 0 n= -0 L solución de est ecución son n= 00 y n= -0 como n h de ser un numero nturl myor que cero l respuest correct es 00 fils. 63. Un progresión geométric tiene cinco términos, l rzón es igul l curt prte del primer término y l sum de los dos primeros términos es 4. Hll los cinco términos. r = 4 + = 4 r = 4 = 4r + = +. r = 4r + 4r. r = 4 4r + 4r 4 =0 r + r 6 = 0 = b = c = -6

11 r = b ± b 4c r = ± () 4()( 6) () r = r = ± + 4 ± 5 r = ± 5 r = + 5 r = = 4 r = 5 r = -3 = 6 r = = 4.=8 = 8.=6 3 = 6.=3 4 = 3.=64 5 = 64.=8 r = -3 = 4. (-3)= - = -. (-3)=36 3 = 36. (-3)= = -08. (-3)= 34 5 = 34. (-3)= - 97

12 TALLER 3 DE MATEMATICAS BASICAS ADMINISTRACION FINANCIERA 7. Sbiendo que ls medids de los tres ángulos de un triángulo están en progresión ritmétic y que uno de ellos mide 00º, clcul los otros dos. RESPUESTA: 3 (00 d) (00-d) d + 00 d + 00 = d = d = = 3d 0 = 3d 0 = d d= Divide el número en tres prtes enters que formn un progresión geométric tl que el tercer término sobreps l primero en 36. RESPUESTA: X, Y, Z = Y= X * r Z= x * r Z X = 36 X + Y + Z = X + (X * r) + (X + r ) = X ( +r + r ) = X = ( +r + r ) Z X = 36 X * r X = 36

13 X (r ) = 36 X = 36 (r ) X = X = 36 ( +r + r ) (r ) (r ) = 36 ( +r + r ) r = r + 36r r 36 36r 36r = 0 85r 36r 357 = 0 r = - ( 36) ± ( 36r) 4 (85)(-357) (85) r = 36 ± r = 36 ± r = 36 ± r = r = r = 3 X = ( +r + r ) X = ( ) X = ( )

14 X = 3 X= 7 Z= x * r Z = 7 * 3 Z = 7 * 9 Z= 53 Y= X * r Y= 7 * 3 Y = 5

15 Dniel Molin Rendón Ejercicio Nº L sum de n números nturles consecutivos torndos prtir de es 75. Cuántos términos hemos sumdos? Sn = + n. n n= + (n-).d Sn= + (n + 0).n = 75 (n+).n =3430 n² + n 3430 = 0 Formul Cudrátic = b= c=-3430 n= - ²-4()(-3430) = n= () () n=- ± 9 n = 49 n=-70 Se tom solo el vlor positivo porque un progresión de términos no puede ser negtiv R/= 49 Ejercicio Nº 44 Hll el producto de los 8 primeros términos de l progresión 3,6,,4..=3 r= n=? n=.rⁿ ¹ n=8 8=3.⁷ 8=3. 8 8=384

16 Pn= (¹. n)ⁿ P8= (3. 384)⁸ P8=(3. 384)⁴ P8=5⁴ P8=76 X 0¹²

17 Dniel Orozco Cno Ejercicios 6) l sum de 3 números en progresión ritmétic es 33 y su producto 87 Hll estos números. ++3= 33 Considerndo los tres términos como un progresión limitd, y teniendo en cuent l constnci de l sum de términos equidistntes y que es el término centrl +3= Sustituyendo en l ecución nterior + = 33 = ;;3= =33 (+3= x x 3 = 87 ( x 3=7 3= - (-)= =0 ( ) ( ) =. =3 3=- 3=9 =9 3=- 3=3

18 = 9; ;3 =3; ; 9 48) Hll 3 números en progresión geométric sbiendo que l sum es 6 y su producto 6., r, y r + r+ r = 6 3. r =6 r=(6/3) /3 = (6 3 /3) /3 =6/ + r+ r = 6 = + (6/) + (6/) 6= / =6= =6= = 0 resolvemos est ecución de grdo = 0 =.... ( 0) (0) = 0+6/= 8 =0-6/= =;6;8

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20 Documento de problems propuestos de l temátic PROGRESIONES ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA pr MATEMÁTICAS BÁSICAS en ADMINISTRACIÓN FINANCIERA de l UNIVERSIDAD DE CALDAS sede MANIZALES. Los problems se publicn con el objeto de que cd lumno pued solucionr los problems signdos y envíe l redcción de ls soluciones en un documento de WORD con l utilizción de ls herrmients propids pr l redcción de ls formuls.. El nombre del documento en WORD debe ser el nombre completo del lumno l que se le signó l solución del problem.. Envir el documento en WORD djunto un mensje de correo jorge.zpt@uclds.edu.co, colocr en sunto "MATEMÁTICAS BÁSICAS - TALLER 03" 3. L fech máxim pr el envío es el dí LUNES 3 DE MARZO hst ls : 00 pm. 4. Por el volumen de problems, no se consider que se pued relizr l verificción de ls soluciones ntes de ser publicdos, lo hré posterior l publicción. Por lo nterior se solicit que le dediquen el myor esfuerzo en l solución correct de cd uno de los problems. 5. Después de recibids ls soluciones envids, se publicrn de form individul en solución de exámenes en éste sitio web, prtir del dí MARTES 4 DE MARZO después de ls :00pm.

21 . Cuántos términos hy que sumr de l progresión ritmétic, 8, 4,... pr obtener como resultdo 064? Primer término= A= Diferenci= 6 D=6 El termino (n) será igul: n= +(n-).d ( sub uno) n=+6(n-) Como en un progresión ritmétic l sum es: sn= +n *n Reemplzndo.064=+(+6(n-)) *n.064=4+6n-6 *n.064=(6n-).n.8=6n-n (6n elevdo l dos) 6n-n-.8=0 ( 6n elevdo l dos) 6n-n-.8=0 ( 6n elevdo l dos) Dividiendo entre 3n-n-.064=0 (3n con exponente dos) Aplicndo ecución cudrátic N=-b ms o menos ríz cudrd de (b) con exponente dos 4c N= ms o menos l ríz cudrd de () con exponente dos -4(3)(-.064) 6

22 N= ms o menos ríz cudrd de N= ms o menos l ríz cudrd de N=+3 6 Se descrt l respuest con el signo menos por dr negtivo N=4 6 N=9 43. El volumen de un ortoedro es de 3375 cm3. Hll l longitud de sus rists, sbiendo que están en progresión geométric y que l rist intermedi mide 0 cm. más que l menor. A sub dos= sub uno + 0 cm L rzón es p= sub uno+0 Como: sub uno n = sub uno * r elevdo (n-) sub 3= sub * r elevdo l sub 3= sub ( sub +0) sub uno v= sub.( sub +0).( sub uno+0) este préntesis elevdo l dos sub v= sub ( sub +0).( sub +0) este préntesis elevdo l dos y elimino sub del préntesis sub con exponente

23 v= sub ( sub +0)( sub uno+ 0) este préntesis elevdo l dos y elimino sub uno v=( sub con exponente +0ª con exponente )( sub con exponente +0ª sub +00) v= sub ( sub +0)( sub uno+0) este préntesis elevdo l dos sub uno v=( sub +0)( sub elevdo l +0ª sub +00) v= sub con exponente 3+30ª con exponente dos de sub v= sub exponente 3 +0ª con exponente dos+00ª sub +0ª sub uno y exponente dos+00ª sub +000 v= sub con exponente 3+30ª sub con exponente dos+300ª sub = sub con exponente 3+30ª sub con exponente dos+300ª sub Se buscn ls ríces A sub =5 stisfce l ecución A sub =5 A sub = sub +0 A sub= 5 A sub 3=( sub+0) con exponente dos. sub A sub A sub 3=(5+0) con exponente dos *5 5

24 A sub 3=(5) con exponente dos *5 5 A sub 3= 3 con exponente dos*5 A sub 3= 9*5 A sub 3=45

25 TRABAJO ELABORADO POR: GUSTAVO ADOLFO VARGAS ARANGO PROBLEMA 7: Clcul los ldos de un tríngulo rectángulo sbiendo que sus medids, expresds en metros, están en progresión ritmétic de diferenci 3. d 3 n. d n 0 (3) 3m (3) 6m 3(3) 9m cteteo cteto hipotenus ( 6) ( 3) ordenemos ( 9)( 3) 9 Re spuest : ldo = 9 ldo = ldo 3= 5 PROBLEMA 39: Sbiendo que el séptimo término de un progresión geométric es y l rzón es, hll el primer término. r.r n n 7 7.( )

26 3. Hll los seis primeros términos de un progresión ritmétic sbiendo que los tres primero sumn -3 y los tres últimos = = 4 ( + 3 ) 3 = 3 ( ) 3 = 4 3 = + d 6 = 4 + d d= 4 4 = d = 0 *3 Despejo * = 3 3d = 3( d) = d 3 3 = d *4 Despejo * 4 3d 4 = = 3 4 = 8 d *5 Reemplzo en *3 (8-d)-(--d)-3= 0 8-d++d-3d= 0-3d+9= 0 3( 8 d) = 8 d 3

27 d= 9 3 d= 3 Reemplzo en *4 = 3 = 4 = 4 Reemplzo en *5 4 = 8 3 = 5 4 = Tres números están en progresión geométric; el segundo es 3 uniddes myor que el primero y el tercero, 96 uniddes myor que el segundo. Hll los números. [,, 3 ] = + 3 { 3 = + 96 n = k r n k = r r 3 = 3 r = r = r

28 r + 3r = r r = 96 r = 3 Reemplzo en * = r = 3 3 = + 3 = 3 = 3 = 6 = r = 6(3) = 48 3 = r 3 = 48(3) = 44

29 MATEMÁTICAS BÁSICAS - TALLER Sbiendo que el primer término de un progresión ritmétic es 4, l diferenci 7 y el término n-ésimo 88, hll el número de términos. 4 n 88 d 7 ( n ). d n 88 4 ( n ) n n n 9 7n 9 7 n 3 n 35. En un sl de cine, l primer fil de butcs dist de l pntll 86 dm, y l sext, 34 dm. En qué fil estrá un person si su distnci l pntll es de 30 dm? 86dm 6 34dm fil? 30dm ( n ).d n (6 ).d (5).d d 48 5.d 48 5 d 9,6 d ( n ).9, , 6n 9, ,4 9,6n 30 76,4 9,6n 53,6 9,6n 53,6 9,6 6 n n Cundo l distnci de l pntll es de 30dm, l person se encontrr en l fil n=6

30 MATEMATICAS BASICAS TALLER Hll l frcción genertriz del número deciml 0, Como sum de los términos de un progresión geométric ilimitd. k+ + 0,73 = lim 73 0 i = 73 0 i n i= i= 68. Ddo un cudrdo de m. de ldo, unimos dos dos los puntos medios de sus ldos; obtenemos un nuevo cudrdo, en el que volvemos efectur l mism operción, y sí sucesivmente. Hll l sum de ls infinits áres sí obtenids. l l,, l, l, l, l, l 4, l 8,. l S = = l = l

31 MATEMATICAS BASICAS TALLER 03 PROGRESIONES 6. Hll los ángulos de un triángulo sbiendo que están en progresión ritmétic. :90 d 90 (30) 30 :90 d :90 90 d 90 d d d 90 3d d d Ls dimensiones de un ortoedro están en progresión geométric. Clcul ests dimensiones sbiendo que su perímetro es 40 m. y su volumen m. El volumen es el producto de sus dimensiones: v,, 3 Si están en progresión geométric: r; r r r es igul r 8000 r 3 r El perímetro es l sum de sus ldos: p p 4 ( ) 3 4 ( ) ( 3) 4 ( ) 05 3

32 Tller 3 Mtemátics básics Administrción finncier Ejercicios El producto de cinco números en progresión ritmétic 30 su sum 40. Hll estos números sbiendo que son enteros. x + (x + d) + (x + d) + (x + 3d) + (x + 4d) = 40 5x + 0d = 40 x + d = 8 x(x+d)(x+d)(x+3d)(x+4d) = 30 (8-d)(8-d)(8)(8+d)(8+d) = 30 (8-d)(8-d)(8+d)(8+d) = 540 (8-d)(8-d)(8+d)(8+d) = **5**7 (8-d)(8-d)(8+d)(8+d) = *5**4 8 d = r = 3 x + 6 = 8 = Los numeros son:, 5, 8, y 4 5. determin cutro números en progresión geométric de mner que los dos primeros sumen 0,5 y los dos últimos 0,5., el primero r, el segundo r², el tercero r³, el curto

33 + r = 0,5 r² + r³ = 0,5 r²( + r) = (0,5)/4 r²(0,5) = (0,5)/4 r² = /4 r = / + r = 0,5 ( + r)= / [ + (/)] = / (3/) = / = /3 = (/3)(/) =/6 3= (/6)(/) 3=/ 4= (/)(/) 4= (/4) (/3) + (/6) = 3/6 = / = 0,5 (/) + (/4) = 3/4 = /8 = 0,5

34 MATEMÁTICAS BÁSICAS - TALLER 03 DOCENTE Jorge Enrique Zpt Aris ALUMNA Lin Mrcel Cstellnos Hernández UNIVERSIDAD DE CALDAS ADMINISTRACIÓN FINANCIERA MANIZALES 05 -

35 MATEMÁTICAS BÁSICAS - TALLER 03" Ejercicios Propuestos: 9. Clcule l sum de los múltiplos de 59 comprendidos entre 000 y 000. Primero se debe clculr el primer y último múltiplo de 59, entre el rngo de vlores que se nos h ddo (000 y 000) 000 = 7 Primer múltiplo 7 x 59 = 003 Primer término de l progresión = 33 Segundo múltiplo 33 x 59= 947 Último término de l progresión 59 Se verigu l cntidd de posiciones (n), que hy entre mbos términos de l progresión, pr lo que se utiliz l siguiente fórmul: n = + (n ) d n = 947 Último término de l progresión = 003 Primer término de l progresión d= 59

36 Se reemplzn los vlores: 947= (n- ) = 59n 59 Despejo n : = 59n 003 = 59n 003 = n n= 7 59 Como se pide hllr l sum de los múltiplos, se emple l fórmul: Sn= + n n Se reemplzn los vlores: S7 = S7= 950 x 7 S7 = 5050 S7= 5075 L sum de los múltiplos de 59 comprendidos entre 000 y 000 es 5075.

37 4. Descompón el número 4 en tres sumndos que formen progresión geométric, siendo 96 l diferenci entre el myor y el menor. Expresdo de otr mner serí: ) 4 = ) 3 = 96 Por definición, los términos y 3 se expresn en un PG sí: = * r 3= * r Reemplzo y 3 en l ecución : ) 4 = = + *r + *r Se hll fctor común (que serí ):4= (+ r+ r ) Reemplzo 3 en l ecución : ) 3 = 96. r - = 96 Se hll fctor común (que serí ): (r - ) = 96 Despejo : = 96 (r )

38 Se reemplz en l ecución, de es form qued tod expresd en r : 4= (+ r+ r ) 4= 96 (+ r+ r ) (r ) 4 (r ) = 96 (+ r+ r ) 4r 4 = r + 96r 4r - 96r 96r = r 96r= 0 8r 96r- 0= 0 = 8 b= -96 c= - 0 Se resuelve el trinomio con l fórmul: - b + b 4c - (-96) (8 *- 0) (8) (-660)

39 = = r=5 Reemplzo r = 5 en = 96 (r ) = 96 (5 ) = 96 = 96 = 4 (5 ) (4) Se debe recordr que los términos y 3, se hbín expresdo según l PG sí: = * r 3= * r Se reemplz entonces el vlor de y de r : = * r = 4 * 5 = 0 3= * r 3= 4 * 5 3= 4* 5 3= 00 Los términos son 4, 0 y 00. Al sumrlos d 4. Si se rest el tercer término (00), del primero (4), el resultdo es 96.

40 Trbjo elbordo por: Miguel Ocmpo Vrgs PROBLEMA 6: Interpol cutro medios ritméticos entre los números 7 y 7. n n (n ).d 7 7 n 6 (número de términos) 7 7 (6 ) d d 5d d 4 5 L progresión es 7,, 5, 9, 3, 7 Por lo tnto los términos pedidos son:, 5, 9 y 3. PROBLEMA 38. En un progresión geométric de primer término 7 y rzón, un cierto término es 867. Qué lugr ocup dicho término? n n r.r n lugr del término Primer término de l progresión rzón n n n Log4096 ( n ) Log Log4096 n Log n n 3

41 EJERCICIOS DE MATEMATICAS TALLER 3. L diferenci de un progresión ritmétic es 4. El producto de los cutro primeros términos es 585. Hll los términos Solución Formul: n= +(n-).4.(+4).(+8).(+)=585;.(+4).( +0+96)=585.( )=585; = =0 El polinomio de grdo cutro que prece se resuelve y se obtiene un únic solución rel =, =5; 3=9; 4=3 54. Hll tres números en progresión geométric cuyo producto es 38509, sbiendo que el myor excede en 5 l sum de los otros dos. En un progresión geométric de rzón r, tres términos se expresn sí:, *r, *r^ Si el producto es entonces: * *r * *r^ = <--> ^3 * r^3 = Si, por otro ldo, el myor excede en 5 l sum de los otros dos: *r^ = + *r + 5 <--> *r^ - *r - = 5 <--> <--> *(r^ - r - ) = 5 Así que nos qued un sistem no linel de dos ecuciones con dos incógnits, que son y r: ^3 * r^3 = * (r^ - r - ) = 5 Resolviéndolo por sustitución: Despejo "" en l segund ecución: = 5 / (r^ - r - ) --> --> ^3 = (5^3) / (r^ - r - )^3 (desrrollndo el cubo) --> ^3 = / (r^6-3r^5 +5r^3-3r - ) Sustituyendo en l primer ecución: * (r^3) / (r^6-3r^5 +5r^3-3r - ) =

42 Dividiendo mbos términos por 67 y psndo el denomindor de l izquierd l derech multiplicndo: 5 * r^3 = 7 * (r^6-3r^5 +5r^3-3r - ) Operndo y regrupndo: 7r^6-8r^5 + 0r^3-8r - 7 = 0 Así que 3 es un ríz enter. Luego r=3 y si despejmos de l primer ecución: ^3 = / r^3 --> = ríz cúbic (67) = 3 Así que los números buscdos son 3, 3 * 3 y 3 * 3^: 3, 69 y 07.

43 9. Clcul tres números sbiendo que están en progresión ritmétic, que su sum es 8 y que l sum del primero y del segundo es igul l tercero disminuido en dos uniddes. x + y + z = 8 x + y = z z + z = 8 z = 8 + z = 0 z = 0 x + y + 0 = 8 x + y = 8 0 x + y = 8, 6, 0 5. Cuántos términos se hn tomdo en un progresión geométric, sbiendo que el primer término es 7, el último 448 y su sum 889? = 7 = 448 s = 889 formuls n = r n s = nr r 889 = 448r 7 r 889r 889 = 448r 7 889r 448r = r = 88 r = r =

44 448 = 7() n = n 64 = n = n n = 6 n = 6 + n = 7 terminos 7, 4, 8, 56,, 4, 448,

45 MATEMATICAS BASICAS TALLER 3 ALUMNA NATALY CASTAÑO ARANGO PROFESOR JORGE ZAPATA SEPTIMO SEMESTRE ADMINISTRACION FINANCIERA UNIVERSIDAD DE CALDAS MARZO DE 05

46 EJERCICIOS TALLER 3 Progresiones Cpítulo. Ejercicio 5 En un progresión ritmétic, los términos segundo y tercero sumn 9, y los términos quinto y séptimo sumn 40. Hálllos. Sn = p, + p, + p, 3 + p, 4 + p, 5 + p, 6 + p ( + p) + ( + p) = 9 + p + + p = p = 9 (4 + p) + (6 + p) = p = p 3 p = = = 7 = 3 p = p = p = p = 0 p = (3) , 3 + 5, (3) + 5, 3(3) + 5, 4(3) + 5, 5(3) + 5, 6(3) + 5. Sn = 5, 8,, 4, 7, 0, 3 do y 3er termino = 8 + = 9 5to y 7mo termino = = 40 Cpítulo. Ejercicio 57 Hll los ángulos de un cudrilátero, si se sbe que están en progresión geométric y que el myor es 7 veces el menor.

47 + r + r 3 = r + r 3 = 360 r 3 = 7 3 r 3 3 = 7 r = = = 360 = = 9 Sn =

48 . Hll cutro números en progresión ritmétic, conociendo su sum, que es, y l sum de sus cudrdos, 66. Simplifico: y = = 53. L sum de los siete primeros términos de un progresión geométric de rzón 3 es 765. Hll el primero y el séptimo términos. S₇ = 765 Rzón q = 3

49 ₁ ₇ ₁ (q⁷ - ) S₇ = ₁ q (3⁷ - ) 765 = ₁ = ₁ 765 = ₁ = ₁ = ₁ RESPUESTA ₇ = ₁ q⁷ ¹ ₇ = 7 3⁶ ₇ = 503 RESPUESTA

50 4. Se considern 6 términos consecutivos de un progresión ritmétic. L diferenci de los dos extremos es 6, y l sum del curto y el decimotercero es 8. Clcul los extremos. Si son 6 términos y l diferenci de los extremos es 6, es decir que l diferenci entre cd termino es, por lo tnto: (x + 3) + (x + ) = 8 x y = 6 Despejmos x x x + = 8 x = 3 x =,5 =,5 d = 6=? 6=,5 + 6() 6= 7,5 R/ El primer término es,5 y el último es 7,5 46. L sum de los ocho primeros términos de un progresión geométric es 7 veces l sum de los cutro primeros. Hll el vlor de l rzón. S 8=7 S 4 = S8 S 4=7 S 8= (r 8 ) r

51 S 4= (r 4 ) r Tenemos S 8 S 4=7 (r 8 )/(r ) (r 4 )/(r ) = 7 Simplificmos ( ), (r ) (r 8 ) (r 4 ) = 7 Diferenci de cudrdos (r 8 ) = (r 4 ) Simplificmos (r 4 ) = (r4 )(r 4 + ) (r 4 ) = 7 = r 4 + = 7 r 4 6 = 0 Diferenci de cudrdos r 4 6 = (r ) 6 (r 4)(r + 4) = 0 Tenemos r 4 = 0 r = 0 (r )(r + ) = 0 r = r =

52 Tenemos (r + 4) = 0 r = 4 r = ± ( 4) No existe en los reles R / r = {, }

53 MATEMATICAS BASICAS TALLER 03 PROGRESIONES 4. Hllr el primer término de un progresión ritmétic y l diferenci, sbiendo que 3= 4 y 0= ? d? 3 0 ( n ) d n (3 ) d 3 4 d d 4 ( n ) d n (0 ) d d 9d 66 4 d 66 9d Método de igulción : 4 d 66 9d d 9d d 4 d d d 4 (6) 4

54 36. Clcul el término undécimo de un progresión geométric cuyo primer término es igul y l rzón es. n r k n k

55 EJERCICIOS PROGRESION ARITMETICA Y GEOMETRICA 5. El término sexto de un progresión ritmétic es 4 y l diferenci ½. Hll el termino 0. 6= 4 d= 0=? 0= 6 + (0 ½) d 0= 4 + 9/ (/) 0= 3 =,5 37. El quinto término de un progresión ritmétic es 8 y el primero es. Hll los cinco primeros términos de un progresión. 5=8 = q= 4 8/ q= 3 = 3 = (3)= 3 3= 3(3)= 9 4= 9(3)= 7 5= 7(3)= 8

56 Mtemátics básics Tller numero 3 Progresiones VIVIANA PATRICIAECHEVERRY MARIN 9. Los seis ángulos de un hexágono están en progresión ritmétic. L diferenci entre el myor y el menor es 60º, Clcul el vlor de cd ángulo. Solucion, 6, 5,4,3,, (+x) (+x) (+3x)(+4x)(+5x) (+5x)-= 60 +5x-= 60 5x=60 x=60/5 x= El vlor de cd ángulo es Se sumn los ángulos sí, Formul=80 (n-) =80 (6-) =80 (4) = 70 Entonces: ++x++x++3x++4x++5x=70

57 6 +5x= 70 6=70-5x 6=70-5() 6= =540 =540/6 =90 As, el vlor de cd ángulo es: 6= 90 5=0 4=4 3=6 =38 =50 6. En un progresión geométric, los términos primero y decimoquinto son 6 y 54, respectivmente. Hll el término sexto. Solución, An=.r (n- A 5=.r (5-) =6.r 4 54/6=r 4 9=r 4 R 4 = r 4 = 4 9

58 R=.6 Entonces, A 6=.r (n-) A 6= 6*.6 (6-) A 6=6*.6 (5) A 6=6*.0 A 6=.6

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60 TALLER 03 PROGRESIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS MATEMATICAS BASICAS PRESENTADO A: JORGE ENRIQUE ZAPATA POR: VANESSA RIVAS A UNIVERSIDAD DE CALDAS MANIZALES 05

61 . Hll tres números que estén en progresión ritmétic y tles que, umentdos en 5, 4 y 7 uniddes respectivmente, sen proporcionles 5, 6 y 9. En mtemátics, un progresión ritmétic es un serie de números tles que l diferenci de dos términos sucesivos culesquier de l secuenci es un constnte, cntidd llmd diferenci de l progresión o simplemente diferenci, y se denot por d. Luego tus tres números serán, si l primero le llmmos, ; +d; +d si los uments en 5, 4 y 7, se convertirán en: +5; +4+d; +7+d y te dicen que son proporcionles 5, 6 y 9, o se; +5 = 5k +4+d = 6k +7+d = 9k Es decir los números umentdos de l progresión son múltiplos de 5, de 6 y de = 5k = (5k 5) = 5 (k ) +4+d = 6k Reemplzo 5k d = 6k -5+4+d=6k-5k +d = k d = k + +7+d = 9k Vuelvo reemplzr x y tmbién reemplzo d 5k (k + ) = 9k 5k + + k + = 9k 4+7k=9k 4=9k-7k 4= k k = Por tnto = 5k 5 = 5 porque k= entonces reemplzo =5()-5=5 d = k + = 3 porque k= entonces reemplzo d=+=3 Lo que quiere decir que: =5 d=3 Luego los números son: 5; 8; ;

62 Según l formul A n = +(n-)d entonces reemplzo pr hllr l 4 t, 5 t, 6 t 7 t posición y donde = 5 y d=3 A 4 = +(n-)d A 4 =5+(4-)3 A 4 =5+(3)3 A 4 =4 A 5 = +(n-)d A 5 =5+(5-)3 A 5 =5+(4)3 A 5 =7 A 6 = +(n-)d A 6 =5+(6-)3 A 6 =5+(5)3 A 6 =0 A 7 = +(n-)d A 7 =5+(7-)3 A 7 =5+(6)3 A 7 =3. En un progresión geométric se sbe que el término decimoquinto es igul 5 y que el término décimo es igul 6. Hll el primer término y l rzón. En éste me dn dtos sobre dos términos: el que está en l posición 5, y el que está en l posición 0. Me dice que: 5 = 5 0 = 6 Pr cd uno, plnteo l fórmul y reemplzo con lo que me dn: "n" (l posición), y el vlor del término que está en es posición: n =.r n- 5 =.r 5-5 =.r 4

63 n =.r n- 0 =.r 0-6 =.r 9 Me quedron dos ecuciones con dos incógnits: (el primer término) y "r" (l rzón). Con ells formo un sistem de ecuciones y lo resuelvo: 6 =.r 9 5 =.r 4 Un form práctic de resolver un sistem sí es dividiendo miembro miembro ls ecuciones. Porque l se v simplificr, y sí qued solmente l incógnit "r": 5.r = r 9 3 = r 4-9 (Como son potencis de l mism bse, se dividen restndo los exponentes) 3 = r = r = r Y encontrmos l rzón "r". Entonces pr encontrr podemos reemplzr con ese vlor en lgun de ls dos ecuciones: 6 =.r 9 6 =. 9 6 =.5 6/5 =

64 /3 = Ahí encontré ls dos coss que me pedín: l rzón es r =, y el primer término es = /3. Y podrí verificr si está bien, buscndo los 5 primeros términos de l progresión, ver si el décimo y el décimo quinto son 5 y 6 respectivmente: = /3 = (/3). = /6 3 = (/3).. = /8 4 = (/3)... = /4 5 = (/3)... = / 6 = (/3)... = 7 = (/3)... = 8 = (/3)... = 4 9 = (/3)... = 8 0 = (/3)... = 6 = (/3)... = 3 = (/3)... = 64 3 = (/3)... = 8 4 = (/3)... = 56 5 = (/3)... = 5

65 . El décimo término de un progresión ritmétic es 45 y l diferenci es 4. Hll el primer término d 4? ( n k) d n 0 k ( 0)4 45 ( 9) Un esquidor comienz l pretempord de esquí hciendo pess en un gimnsio durnte un hor. Decide incrementr el entrenmiento 0 minutos cd dí. Cuánto tiempo deberá entrenr l cbo de 5 dís? Cuánto tiempo en totl hbrá dedicdo l entrenmiento lo lrgo de todo un mes de 30 dís? 60 d ?? ( n ) d n (5 )0 60 (5 ) ( n ) d n (30 )0 60 (30 ) Tiempo dedicdo en 30 dís: S S S S n S n n _ min

66 MATEMATICAS BASICAS TALLER 03 YENI LICETH GUZMÁN LOAIZA EJERCICIOS 7 Y Tres números en progresión ritmétic tienen por producto 6640; el más pequeño vle 0. Hll los otros dos. x x 3= 6640 = 0 =0; =0+d; 3=0+ d=6640 0(0 +d) (0+d)=6640 (0+d) (0+d)= =83 (0+d) x (0+d) =83 (0+d) (0+d)= 83 =46 d + 30d =0 d + 30d-6=0 =; b= 30; c=-6 b b 4c = (30) 30 4()( 6) () = = = = = d= 6 =0; =6; 3= 3 d= -36

67 =0; =-6; 3= Clcul el producto de los once primeros términos de un progresión geométric sbiendo que el término centrl vle. n= 8 n- = - = = =048 = 048

68 MATEMATICA APLICADA MARIA ALEJANDRA GRISALES CARDONA PROFESOR: JORGE ZAPATA ASIGNATURA: MATEMATICA UNIVERSIDAD DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS JURIDICA Y SOCIALES ADMINISTRACION FINANCIERA MARZO 3 DE 05

69 .Por el lquiler de un cs se cuerd pgr pts. l mes durnte el primer ño, y cd ño se umentrá el lquiler en 6000 pts. mensules. Cuánto se pgrá mensulmente l cbo de ños? n ( n ) d n d 6000 n ( )6000 n Al cbo de ños se deberá pgr mensulmente pesets. Hll x pr que x -, x +, (x + ) estén en progresión geométric x, x ( x ) ( x ) / ( x ) ( x )( x ) x ( x ) x x x x x x x 3 Reemplzmos x ( x ) 3 ( x ) 3 4 ( x ) (3 ) 8

70 Presentdo por: PAULA ANDREA VILLEGAS GRISALES 8- Hll ls dimensiones de un ortoedro sbiendo que est 疣 en progresi ritm 騁 ic, que sumn 78 m. y que el volumen del ortoedro es de 5470 m3. Pr que se un progresion ritmetic debe exixstir emos que rzon "r"... solo sbemos que l progresion ritmetic de tres terminos que corresponden sus dimensiones: L (lrgo), H (ltur), y A (ncho) PA L + H + A = 78 L * H * A = 5470 Sum de n terminos de un progresion ritmetic Sum = ((primer termino + ultimo) * ( numero de terminos)) / Reemplzo: 78 = ( L +A ) * ( 3 ) / 78 * / 3 = ( L + A ) = 78 * / 3 ( L + A ) = 56 / 3 ( L + A ) = 5 L + H + A = 78 H = 78 - ( L + A ) L+ A = 5 L = 5 - A Reemplzo en el volumen H = 78 5 H = 6 L * A * H = 5470 ( 5 A ) * A * H = 5470 ( 5 A ) * ( A ) = 5470 / 6

71 5A - A イ (l cudrdo)= = A イ (l cudrdo) 5A ( A 35 ) ( A 7 ) A 35 = 0 A - 7 = 0 A = 35 A = 7 Uno de estos resultdos es el ncho y el otro es el lrgo. Entonces ls dimensiones son : A = 7 H = 6 L = Hll cutro n 伹 eros en progresi geom 騁 ric sbiendo que l sum de los dos primeros es 8 y l sum de los dos 伃 timos 75. X + Y +Z + W =? Y = X * r ( ) Z = X * rイ (l cudrdo) ( ) W = X * rウ (l cubo) ( 3 ) X + Y = 8 Z + W = 75 X + ( X * r ) = 8 cubo) ) = 75 ( X * r イ (l cudrdo) ) + ( X * r ウ (l Fctor comun X ( + r ) = 8 X * r² (l cudrdo) ( + r ) = 75 X = 8 / ( + r ) 4 5 X = 75 / r イ (l cudrdo) ( + r ) Se iguln 4 y 5 8 / ( + r ) = 75 / r イ (l cudrdo) ( + r ) 8 * r イ (l cudrdo) * ( + r ) / ( + r ) = 75

72 8 * r イ (l cudrdo) = 75 r イ (l cudrdo) = 75 / 8 r イ (l cudrdo) = 5 / 4 Ѵ r イ (l cudrdo) = Ѵ 5 / 4 r = 5 / Se reemplz r en 4 X = 8 / r + x = 8 / + 5 / X = 8 / +5 / X = 8 / 7 / X = 56 / 7 X = 8 Se reemplz en Y = X * r Y = 8 * 5 / Y = 40 / Y = 0 Se reemplz en Z = X * r² (l cudrdo) Z = 8 * ( 5 / )² (l cudrdo) Z = 8 * 5 / 4 Z = 00 / 4 Z= 50 Se reemplz en 3 W = X * r ウ (l cubo) W = 8 * (5 / ) ウ (l cubo) W = 8 * 5 / 8 W = 5

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74 ,4 Ejercicio 4) (Interés compuesto) por cd $ 00 invertidos en préstmos comerciles con grntí, un bnco recibe $ 6.64 después de dos ños est cntidd represent el cpitl y el interés compuesto nulmente. Cul es l ts de interés nul? Interés l 5% = 0,05x Interés l 8% = 0,08 x 0,05x + 0,08 x = 840 0,x = Así que x = $4.000 que es el dinero invertido l 5% Como el invertido l 8% es el doble, será $8.000 Ts de interés nul es del 8%.4 4) L distnci de P l punto A (,) es dos veces su distnci l punto B (-,3) X= () X = (-) Y = () Y = (3) d= (--) +(3-) d= 9 +4= 3= 3,6055 d =P:A d=3,6055 d=3,6055/=.807 d= P:B ; 4.3 ) (Reducciones de inventrios) l tiend el myorist tiene 650 uniddes del rticulo X en bodeg y su promedio de vents por dí de este rtículo es de 5 uniddes. ) Si y represent el inventrio (de rtículos X en bodeg) l tiempo t (medido en dís), determine l relción linel entre Y y t (use t = pr representr el término del primer dí, Etcéter.) b) Cuánto llevr vcir l bodeg?

75 c) En cuántos dís de vents deberán hcer un nuevo pedido si hn decidido hcerlo cundo el nivel de l bodeg se de 5 uniddes? ) y = 5t y = 5() = 5 b) 6 dís dur el inventrio 650 = 5. t = t = 6 dis c) 5 = 5t t = 5 5 = = dis A los dís se hrá el siguiente pedido

76 33. Ls eddes de cutro hermnos formn un progresión ritmétic, y su sum es 3 ños. El myor tiene 6 ños más que el menor. Hll ls eddes de los cutro hermnos. sn sn 3 n 4? n n ( ) 4 3 ( ) 4 3 ( )4 4 6 ( ) 4 n El myor tiene 6 ños msque el menor

77 n n 4 d? d d d d n n d 5 7 d Ls eddes de los cutro hermnos son 5, 7, 9, respectivmente.

78 65. A un cuerd de 700 m. de longitud se le dn dos cortes, de modo que uno de los trozos extremos tiene un longitud de 00 m. Sbiendo que ls longitudes de los trozos están en progresión geométric, determin l longitud de cd trozo. sn n 3 r? r r r n 3 r n 00 * r n 3 n 00* * 400