Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 José Vasconcelos Calderón

Transcripción

1 1 Problema 1. os piezas cuadradas y tres piezas rectangulares se acomodan para formar un rompecabezas cuadrado como muestra la figura. Si cada una de las dos piezas cuadradas tiene 72cm de perímetro y las otras tres piezas son iguales entre sí, cuál es el perímetro de cada una de estas tres piezas?

2 2 Problema 2. En la figura, los círculos pequeños tienen radio 1 y los círculos grandes tienen radio 2. uál es el área de la región sombreada?

3 3 Problema 3. En la figura, EF es un hexágono regular y es un círculo con centro en. Si el área del hexágono es igual a 1, a cuánto es igual el área sombreada? F E H

4 4 Problema 4.,,,,E,F,G y H son los vértices de un cubo, como se indica en la figura. uánto vale el ángulo G? F E G H

5 5 Problema 5. En un círculo de radio 3 está inscrito un rectángulo. Sean I, J, K y L los puntos medios de los lados de, como se indica en la figura. uál es el perímetro del cuadrilátero IJKL? L I K J

6 6 Problema 6. Tenemos 7 barras iguales acomodadas en dos líneas horizontales y separadas todas a la misma distancia, como se muestra en la figura. Si las medidas son las indicadas, cuánto vale x? 14cm 80cm x x

7 7 Problema 7. La figura representa unas cuantas calles de una pequeña ciudad. La distancia de a P es la misma que la de a Q y es de 500m. El camino de P a Q que pasa por es 215m más largo que el camino de P a Q que pasa por. ómo es el camino de P a Q pasando por con respecto al camino de de P a Q pasando por? Q P

8 8 Problema 8. En la figura, los lados del cuadrado pequeño son paralelos a los del grande. El área del cuadrado más grande es 16 y el área del cuadrado más chico es 4. uál es el área del cuadrado mediano?

9 9 Problema 9. Si la figura representa un cuadrado con vértices,, y, y el ángulo ON mide 60, cuánto mide el ángulo OM? M O N

10 10 Problema 10. En la figura WXYZ es un rectángulo, TV es paralela a ZY y U es un punto sobre YZ de forma que UY mide el doble que UZ. Si el área del cuadrilátero TUVX es 12, cuánto vale el área del rectángulo WXYZ? W T Z U X V Y

11 11 Problema 11. En la siguiente figura los círculos son tangentes (se tocan en un sólo punto), todos los círculos son del mismo tamaño y tienen radio igual a 2. uál es el área de la región sombreada?

12 12 Problema 12. En la figura, = =. uánto mide el ángulo α? 48 α

13 13 Problema 13. En la siguiente figura, el valor de x es x

14 14 Problema 14. En la figura el ángulo en y el ángulo en son rectos y el área de es el triple del área de. uánto vale área() área()?

15 15 Problema 15. onsidera el paralelogramo con los puntos P, Q y R indicados. Si RQ = 150, QP = 35 y P = 45, cuánto vale PQR? P Q R

16 16 Problema 16. Un cuadrado de papel se cortó en 6 piezas rectangulares, como se muestra en la figura. Si la suma de los perímetros de todas las piezas es 120cm, cuál es el área del cuadrado original?

17 17 Problema 17. El diagrama muestra tres cuadrados. El cuadrado mediano tiene como vértices los puntos medios del cuadrado grande. El cuadrado pequeño tiene como vértices los puntos medios del cuadrado mediano. El área del cuadrado pequeño es 6cm 2. uál es la diferencia entre las áreas del cuadrado pequeño y del cuadrado grande?

18 18 Problema 18. En la figura se muestran 7 monedas tangentes con radio 1cm y una liga que se ajustó a su alrededor. uál es el largo de la liga?

19 19 Problema 19. En la figura, las diagonales y del cuadrilátero se intersectan perpendicularmente en el punto P. Si el área de es 7, el área de es 12 y el área de P es 5, cuál es el área del cuadrilátero? P

20 20 Problema 20. En la figura, es un rectángulo, mide 120cm, mide 100cm y P mide 125cm. uánto mide la altura del triángulo P que se ha dibujado en la figura? P

21 21 Problema 21. Hazell tiene cinco rectángulos iguales y con ellos forma un rectángulo más grande, como se muestra en la figura. Si el área del rectángulo grande es 60cm 2, cuánto mide el lado más chico de los rectángulos originales?

22 22 Problema 22. En la figura es un rectángulo, P es el punto de intersección de sus diagonales y M es el punto medio del segmento P. Si la medida de es 4cm y la de es 3cm, cuál es el área del triángulo M? M P

23 23 Problema 23. El rectángulo sombreado tiene área 13cm 2, y son los puntos medios de dos de los lados del trapezoide, como se indica en la figura. uál es el área del trapezoide?

24 24 Problema 24. En la figura es perpendicular a, R es el punto medio de, RS es paralela a, P es el punto medio de RS, la longitud de es 4 y la de es 5. uánto se obtiene al dividir el área del rectángulo SR entre el área del cuadrilátero PS? R P S

25 25 Problema 25. Un piso rectangular de 8m 10m está cubierto con mosaicos de 50cm 50cm como el de la figura. uál es el tamaño de la superficie del piso que es blanca?

26 26 Problema 26. El siguiente zigzag está formado por cuadrados iguales, cada uno de ellos con lados que miden 20cm. uántos cuadrados debe tener un zigzag para que su perímetro sea m?

27 27 Problema 27. En la figura, si el lado de cada cuadrado mide 30cm. uánto mide el área del triángulo?

28 28 Problema 28. En la figura se muestra un cuadrado de lado 12, donde la longitud de P es 4, la de Q es 3 y el ángulo RQ es recto. uánto mide R? 4 R P 12 3 Q

29 29 Problema 29. En la estrella de la figura se han marcado los valores de algunos ángulos. uál es el valor del ángulo marcado con x? x 58

30 30 1 Instrucciones: En equipos de tres integrantes, resuelvan los siguientes problemas. Escriban la solución de forma correcta y clara. Una solución consiste en un reporte que le dice al lector cómo resolviste el problema y cual es tu respuesta. Para escribir tu solución toma en cuenta las siguientes sugerencias. a) Ten en mente a un lector que conoce el material pero no la solución. b) Escribe tu solución con expresiones de ideoma claras y gramaticalmente correctas. c) Explica las cosas en forma lógica y clara, de tal forma que el lector no pierda tiempo tratando de explicar pasos que omitiste. d) Siempre que hagas una afirmación, di por qué es cierta. e) uando uses una definición, teorema, etc., asegúrate de mencionarlo. f) Revisa tu solución; nunca la entregues sin revisarla. Problema 1. os piezas cuadradas y tres piezas rectangulares se acomodan para formar un rompecabezas cuadrado como muestra la figura. Si cada una de las dos piezas cuadradas tiene 72cm de perímetro y las otras tres piezas son iguales entre sí, cuál es el perímetro de cada una de estas tres piezas? a) 60cm b) 56cm c) 44cm d) 36cm e) 30cm Problema 2. En la figura, los círculos pequeños tienen radio 1 y los círculos grandes tienen radio 2. uál es el área de la región sombreada? a) π b) 2π c) 4π d) 6π e) 8π Problema 3. En la figura, EF es un hexágono regular y es un círculo con centro en. Si el área del hexágono es igual a 1, a cuánto es igual el área sombreada? F E H a) 1 3 b) 1 2 c) 2 3 d) 2 4 e) 4 5 Problema 4.,,,,E,F,G y H son los vértices de un cubo, como se indica en la figura. uánto vale el ángulo G? F E a) 30 b) 45 c) 60 d) 75 e) 90 G H 1 Manual para urso de sesores de Olimpiadas de Matemáticas. Victor M. Pérez-breu, Instituto de Matemáticas UNM, 2012

31 31 Problema 5. En un círculo de radio 3 está inscrito un rectángulo. Sean I, J, K y L los puntos medios de los lados de, como se indica en la figura. uál es el perímetro del cuadrilátero IJKL? L I K J a) 6 b) 9 c) 12 d) 4 3 e) depende del rectángulo Problema 6. Tenemos 7 barras iguales acomodadas en dos líneas horizontales y separadas todas a la misma distancia, como se muestra en la figura. Si las medidas son las indicadas, cuánto vale x? 14cm 80cm x a) 1cm b) 2cm c) 3cm d) 5cm e) 8cm x Problema 7. La figura representa unas cuantas calles de una pequeña ciudad. La distancia de a P es la misma que la de a Q y es de 500m. El camino de P a Q que pasa por es 215m más largo que el camino de P a Q que pasa por. ómo es el camino de P a Q pasando por con respecto al camino de de P a Q pasando por? Q a) 275m más largo b) 215m más largo c) 430m más largo d) 43m más corto e) igual P Problema 8. En la figura, los lados del cuadrado pequeño son paralelos a los del grande. El área del cuadrado más grande es 16 y el área del cuadrado más chico es 4. uál es el área del cuadrado mediano? a) 8 b) 8.5 c) 10 d) 10.5 e) 12 Problema 9. Si la figura representa un cuadrado con vértices,, y, y el ángulo ON mide 60, cuánto mide el ángulo OM? O M a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 35 N

32 32 Problema 10. En la figura WXYZ es un rectángulo, TV es paralela a ZY y U es un punto sobre YZ de forma que UY mide el doble que UZ. Si el área del cuadrilátero TUVX es 12, cuánto vale el área del rectángulo WXYZ? W T Z U a) 16 b) 19 c) 21 d) 24 e) 26 X V Y Problema 11. En la siguiente figura los círculos son tangentes (se tocan en un sólo punto), todos los círculos son del mismo tamaño y tienen radio igual a 2. uál es el área de la región sombreada? a) 2π b) 4π c) 6π d) 8π e) 10π Problema 12. En la figura, = =. uánto mide el ángulo α? 48 α a) 24 b) 29 c) 33 d) 40 e) 42 Problema 13. En la siguiente figura, el valor de x es x 13 a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) Problema 14. En la figura el ángulo en y el ángulo en son rectos y el área de es el triple del área de. uánto vale área() área()? a) 2 b) 3 2 c) 1 d) 5 2 e) 2 3 Problema 15. onsidera el paralelogramo con los puntos P, Q y R indicados. Si RQ = 150, QP = 35 y P = 45, cuánto vale PQR? P Q a) 50 b) 60 c) 65 d) 70 e) 75 R

33 33 Problema 16. Un cuadrado de papel se cortó en 6 piezas rectangulares, como se muestra en la figura. Si la suma de los perímetros de todas las piezas es 120cm, cuál es el área del cuadrado original? a) 48cm 2 b) 64cm 2 c) 11025cm 2 d) 144cm 2 e) 256cm 2 Problema 17. El diagrama muestra tres cuadrados. El cuadrado mediano tiene como vértices los puntos medios del cuadrado grande. El cuadrado pequeño tiene como vértices los puntos medios del cuadrado mediano. El área del cuadrado pequeño es 6cm 2. uál es la diferencia entre las áreas del cuadrado pequeño y del cuadrado grande? a) 6cm 2 b) 9cm 2 c) 12cm 2 d) 15cm 2 e) 18cm 2 Problema 18. En la figura se muestran 7 monedas tangentes con radio 1cm y una liga que se ajustó a su alrededor. uál es el largo de la liga? a) 10+4πcm b) 12+πcm c) 12+2πcm d) 6+2πcm e) 9+πcm Problema 19. En la figura, las diagonales y del cuadrilátero se intersectan perpendicularmente en el punto P. Si el área de es 7, el área de es 12 y el área de P es 5, cuál es el área del cuadrilátero? a) 14 b) 14.6 c) 15.6 d) 16 e) 16.8 P Problema 20. En la figura, es un rectángulo, mide 120cm, mide 100cm y P mide 125cm. uánto mide la altura del triángulo P que se ha dibujado en la figura? P a) 50cm b) 60cm c) 82cm d) 96cm e) No se puede calcular Problema 21. Hazell tiene cinco rectángulos iguales y con ellos forma un rectángulo más grande, como se muestra en la figura. Si el área del rectángulo grande es 60cm 2, cuánto mide el lado más chico de los rectángulos originales? a) 2cm b) 3cm c) 4cm d) 5cm e) 6cm Problema 22. En la figura es un rectángulo, P es el punto de intersección de sus diagonales y M es el punto medio del segmento P. Si la medida de es 4cm y la de es 3cm, cuál es el área del triángulo M? M P a) 3 4 cm2 b) 1cm 2 c) 3 2 cm2 d) 5 3 cm2 e) 5 2 cm2

34 34 Problema 23. El rectángulo sombreado tiene área 13cm 2, y son los puntos medios de dos de los lados del trapezoide, como se indica en la figura. uál es el área del trapezoide? a) 22cm 2 b) 23cm 2 c) 24cm 2 d) 25cm 2 e) 26cm 2 Problema 24. En la figura es perpendicular a, R es el punto medio de, RS es paralela a, P es el punto medio de RS, la longitud de es 4 y la de es 5. uánto se obtiene al dividir el área del rectángulo SR entre el área del cuadrilátero PS? R S P a) 1 b) 2 5 c) 4 5 d) 5 7 e) Falta información Problema 25. Un piso rectangular de 8m 10m está cubierto con mosaicos de 50cm 50cm como el de la figura. uál es el tamaño de la superficie del piso que es blanca? Problema 26. El siguiente zigzag está formado por cuadrados iguales, cada uno de ellos con lados que miden 20cm. uántos cuadrados debe tener un zigzag para que su perímetro sea 201.2m? Problema 27. En la figura, si el lado de cada cuadrado mide 30cm. uánto mide el área del triángulo? Problema 28. En la figura se muestra un cuadrado de lado 12, donde la longitud de P es 4, la de Q es 3 y el ángulo RQ es recto. uánto mide R? 4 R P 12 3 Q Problema 29. En la estrella de la figura se han marcado los valores de algunos ángulos. uál es el valor del ángulo marcado con x? x a) 42 b) 51 c) 55 d) 66 e) 80