TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES

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1 TEM VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES

2 VECTORES Y MTRICES MTRICES: OPERCIONES ELEMENTLES Cocepo de riz Eleeos Tipos de rices Su y difereci de rices Produco de u úero por u riz Trsposició de rices Propieddes Produco y poeci de rices Propieddes Rgo de u riz 6 Ivers de u riz Propieddes

3 VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES CONCEPTO DE MTRIZ ORDEN ELEMENTOS (/) U riz rel de orde o diesió es u cojuo de úeros reles esrucurdos e fils y colus Ls rices ecierr es esrucur ere préesis Pr referiros l eleeo siudo e l fil i-ési y l colu j-ési uilizos l oció de eleeo ij De es for u riz de orde se escrie de for geéric de l siguiee for: direos ié que ( ij ) i j ediedo l orde o diesió de u riz podeos eer vrios ipos de rices: Mriz recgulr que es u riz de orde co Mriz fil que es u riz de orde Mriz colu que es u riz de orde Mriz cudrd que es u riz de orde co De ls rices cudrds se suele decir que iee orde

4 VECTORES Y MTRICES EJEMPLO Deerir el orde de ls rices y clsifícls: C 6 D 9 9 E MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES CONCEPTO DE MTRIZ ORDEN ELEMENTOS (/) IGULDD DE DOS MTRICES Dds dos rices j i ij ) ( y j i ij ) ( direos que so igules si y solo si verific: ) Tiee el iso orde ) Los eleeos que ocup u iso lugr so igules es decir ij ij pr odo j i ; EJEMPLO: Deeri los vlores de los práeros cd pr que ls rices y se igules: d c

5 VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES CONCEPTO DE MTRIZ ORDEN ELEMENTOS (/) ELEMENTOS DE UN MTRIZ ILS COLUMNS Pr referiros l colu j-ési de u riz uilizos l siguiee oció: j ; y pr referiros l fil i-ési de u riz uilizreos l siguiee oció: i EJEMPLO ; ; E u riz cudrd los eleeos ii cosiuye l digol pricipl de l riz y los eleeos ij co i j cosiuye l digol secudri de l riz

6 VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES CONCEPTO DE MTRIZ ORDEN ELEMENTOS (/) EJEMPLOS: Ideific e cd u de ls siguiees rices los eleeos e idic sus órdees 6 6 Dds ls rices: y ) Deeri sus órdees clsifícls e fució del orde ) Deeri los siguiees eleeos: y c) Clcul d) Clcul

7 VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES CONCEPTO DE MTRIZ ORDEN ELEMENTOS : EJERCICIOS Deeri los vlores que h de eer c d pr que ls siguiees rices se igules: d ) 9 c c ) c c d c Se l riz clcul: ) 6 ) c) 6 d) U epres de rjo eporl dispoe de cico cdidos pr res puesos de rjo diferees H represedo l idoeidd de cd spire segú el siguiee esque: Cdiddos Pueso C C C EJERCICIOS: Liro : Proles y cuesioes de álger liel P Oreg Pág 99: ejercicios: Escrie l riz que represe esos resuldos (No: uiliz si el cdido es idóeo pr el pueso y e cso corrio)

8 VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES TIPOS DE MTRICES CLSIICCIÓN DE MTRICES CUDRDS SEGÚN L DISPOSICIÓN DE SUS ELEMENTOS Mriz rigulr superior: es quell riz que iee ulos odos sus eleeos por dejo de l digol pricipl es decir ij si i j Mriz rigulr iferior: es quell riz que iee ulos odos sus eleeos por eci de l digol pricipl es decir ij si i j Mriz digol: es quell riz que es rigulr superior e iferior es decir cuyos eleeos siudos fuer de l digol pricipl so ulos: ij i j Mriz siéric: es quell riz que iee sus eleeos siéricos igules (odo coo eje de sierí l digol pricipl) es decir ij ji pr odo i j Mriz isiéric: es quell riz que verific isiéric l digol pricipl esá ford por ceros ij ji E u riz

9 VECTORES Y MTRICES EJEMPLOS: So rices rigulres iferiores: 9 So rices digoles: So rices siérics: So rices isiérics: MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES TIPOS DE MTRICES LGUNS MTRICES CUDRDS IMPORTNTES Mriz ul de orde : riz cudrd ford od ell por Pr cd orde eeos u riz ul Mriz ideidd de orde : riz digol que iee odos los eleeos de l digol igules Pr cd orde eeos u riz ideidd que se suele ideificr de l for I

10 VECTORES Y MTRICES Clsific ls siguiees rices segú l disposició de sus eleeos: C D E Cosruye res rices digoles de orde diferees que coeg los eleeos Clsific ls siguiees rices cudrds segú l disposició de sus eleeos: C D E 9 9 G 9 9 H I Deeri qué vlores dee eer los práeros y c pr que ls siguiees rices se isiérics: ) ) c c) c C MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES TIPOS DE MTRICES EJERCICIOS

11 VECTORES Y MTRICES ) MTRIZ OPUEST Se u riz de orde Se defie l riz opues de y se deo por - l riz de orde que se oiee cido de sigo odos los eleeos de l riz Si ) ( ij eoces ) ( ij Si es l riz opues de se verific que +=O siedo O l riz ul de orde EJEMPLO Clcul l opues de MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES SUM Y DIERENCI DE MTRICES PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MTRIZ TRSPOSICIÓN DE MTRICES ) SUM DE MTRICES Dds dos rices ) ( ij y ) ( ij del iso orde l su de ls rices y es or riz C del iso orde que los sudos l que C siedo ) ( ij ij C EJEMPLOS: ) )

12 VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES SUM Y DIERENCI DE MTRICES PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MTRIZ TRSPOSICIÓN DE MTRICES C) DIERENCI DE DOS MTRICES Dds dos rices y de orde se defie l difereci de rices y se deo por - l operció que resul de sur l prier l riz opues de l segud es decir -=+(-) EJEMPLO: PROPIEDDES DE L SUM DE MTRICES Dds C res rices de orde se verific: Propiedd couiv: +=+ Propiedd sociiv: (+)+C=+(+C) Exiseci de eleeo euro Exise u riz de orde O que verific que +O= (O es l riz ul de orde ) Tod riz iee socid u riz - deoid riz opues que se oiee cido de sigo odos los eleeos de l riz verificádose que +(-)=O

13 VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES SUM Y DIERENCI DE MTRICES PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MTRIZ TRSPOSICIÓN DE MTRICES PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MTRIZ Dd u riz ( ij ) de orde se defie el produco de u úero rel k por l riz l operció k cuyo resuldo es or riz de orde cuyos eleeos se oiee uliplicdo por k cd eleeo de l riz es decir k ( kij) Se eoces k k k k k k k k k k EJEMPLO: si eoces

14 VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES SUM Y DIERENCI DE MTRICES PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MTRIZ TRSPOSICIÓN DE MTRICES PROPIEDDES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO REL POR UN MTRIZ Dds dos rices de orde y k h R se verific: Propiedd disriuiv respeco de l su de rices: k ( ) k k Propiedd disriuiv respeco de l su de úeros reles: ( k h) k h Propiedd pseudosociiv: ( k h) k ( h ) Exiseci de eleeo uidd: El úero rel verific que

15 TRSPOSICIÓN DE MTRICES: VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES SUM Y DIERENCI DE MTRICES PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MTRIZ TRSPOSICIÓN DE MTRICES Se u riz de orde Se defie l riz rspues de y se deo coo o ie l riz de orde que se oiee colocdo ls fils de coo colus de EJEMPLO: eoces ' Propieddes de l rsposició de rices: Si es u riz de orde eoces se verific que ( ')' Si es u riz siéric de orde eoces se verific ' Si so rices de orde eoces ( )' ' ' Si es u riz de orde y k u úero rel o ulo eoces ( k )' k ' Si es u riz de orde x de orde xp es de orde xp y ( ) = VER EJEMPLOS DE ESTS PROPIEDDES

16 VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES SUM Y DIERENCI DE MTRICES PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MTRIZ TRSPOSICIÓN DE MTRICES PROPIEDDES SIMPLIICTIVS: Se C rices de orde Si +C=+C eoces = Si es u riz de orde y k es u úero rel disio de cero eoces se verific que k k Si es u riz o ul de orde y h k dos úeros reles eoces se verific que h k h k EJEMPLO: d c d c d c EJEMPLOS ) Se ls rices: C Clcul: ) ) C c) C d) ) ( e) ) Coprue que si y so dos rices siérics de orde c y d e e d eoces ) ( es u riz siéric

17 VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES SUM Y DIERENCI DE MTRICES PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MTRIZ TRSPOSICIÓN DE MTRICES EJERCICIOS ) Se y 6 C Clcul: ) C ) ( ) C ) ( c) ) 6 ( C d) C C ) ( e) f) C ) Si y clcul ) ( ) (

18 VECTORES Y MTRICES ) PRODUCTO DE UN MTRIZ IL POR UN MTRIZ COLUMN Se ls rices ) ( j de orde (riz fil) y ) ( i de orde (riz colu) Defiios el produco i i i es decir EJEMPLO: Efecú los siguiees producos de rices fil por rices colu: ) ) ( ) 9 c) MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES PRODUCTO Y POTENCI DE MTRICES

19 VECTORES Y MTRICES ) PRODUCTO DE MTRICES Se ls rices ) ( ij u riz de orde y se ) ( ij u riz de orde p Se defie el produco de ls rices y l riz C de orde p e l que cd el eleeo ij c de C se oiee uliplicdo l fil i-ési de por l colu j-ési de : j i ij c Por ejeplo si y l riz C será de orde y sus eleeos se oiee de l siguiee for: c ; c ; 6 c ; c ; c ; c L riz C será: 6 C MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES PRODUCTO Y POTENCI DE MTRICES

20 EJEMPLO: VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES PRODUCTO Y POTENCI DE MTRICES Clcul si es posile: C C C C siedo 6 C c)propieddes DEL PRODUCTO DE MTRICES ) Propiedd sociiv Dds res rices uliplicles es decir de orde de orde r y C de orde r s se verific que ( ) C ( C) ) Si es u riz cudrd de orde e I l riz ideidd de orde eoces se verific que: I I ) No se verific l propiedd couiv Se u riz de orde y u riz de orde uque exis los producos y e geerl ) Propiedd disriuiv respeco de l su de rices - Se u riz de orde y dos rices y C de orde r Se verific: ( C) C - Se y dos rices de orde y C u riz de orde r Se verific: ( )C C C ) No se verific l propiedd cceliv: Si C eoces o podeos segurr que C 6 6 Por ejeplo y si ergo EJERCICIOS: Liro: Proles y cuesioes de álger liel P Oreg Pág ejercicio 6) Si (siedo l riz ul del orde correspodiee) eoces y o iee por qué ser ecesriee rices uls Por ejeplo

21 EJEMPLO VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES PRODUCTO Y POTENCI DE MTRICES Se ls rices: coprue que 6 D) POTENCI DE MTRICES Se u riz cudrd de orde Se defie l poeci -ési de coo el resuldo de uliplicr por sí is veces: veces EJEMPLO: Se clcul ls siguiees poecis de l riz : Podrís deducir el vlor de?

22 VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES RNGO DE UN MTRIZ Se defie el rgo de u riz de orde coo el úero áxio de fils o de colus lielee idepediees que iee l riz Se suele deor por rg() Se verific que rg( ) í{ } EJEMPLO: Clculr el rgo de: C 9 Méodo de Guss pr l oeció del rgo de u riz Pr hllr el rgo de u riz de orde plicos el éodo de Guss pr oeer u riz esclod es decir u riz cuyos eleeos por dejo de l digol pricipl se ulos El rgo de l riz será el úero de fils o uls que coeg l riz esclod fil El Méodo de Guss perie relizr res ipos de rsforcioes eleeles ere ls fils (o colus) de u riz: ) Iercir dos fils ere sí siudo l fil i-ési e el lugr de l fil j-ési y vicevers es decir i j ) Susiuir u fil i por el resuldo de uliplicrl por u úero o ulo es decir i k i k ) Susiuir u fil por u coició liel de es co or u ors fils es decir i i j EJEMPLO (co l riz C erior) OSERVCIÓN El rgo de u riz coicide co el rgo de su rspues: rg( ) rg( )

23 VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES RNGO DE UN MTRIZ EJERCICIOS ) Clcul el rgo de ls siguiees rices: 6 C 6 D 6 9 G ) Deerir el vlor que h de eer los práeros y pr que ls siguiees rices eg rgo áxio: C EJERCICIOS: Liro Proles y cuesioes de álger liel P Oreg Pág ejercicio 6

24 VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES 6 INVERS DE UN MTRIZ ) CONCEPTO DE MTRIZ INVERS Se u riz cudrd de orde Direos que l riz de orde es l ivers de y lo deoreos por si se verific que I dode I es l riz ideidd de orde EJEMPLO Dds ls rices y coprue que es l ivers de ) CONDICIÓN DE INVERTIILIDD U riz cudrd de orde iee ivers si y sólo si rg()= Ls rices que iee ivers se ll rices regulres o o sigulres y ls rices que o iee ivers se ll sigulres EJEMPLO: Clcul si exise l ivers de ls siguiees rices: C D E

25 VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES 6 INVERS DE UN MTRIZ c) Méodo de Guss pr el cálculo de l ivers Pr el cálculo de l ivers de u riz o sigulr de orde cosideros u riz que cos de dos loques: u prier loque que coiee los eleeos de l riz y u segudo loque que coiee l riz ideidd I de orde : I El éodo de Guss cosise e relizr rsforcioes disiles co ls fils de es riz pr coseguir que l suriz de l izquierd se covier e l riz ideidd de orde E l suriz de l derech oedreos l riz ivers: I I Recuerd que ls rsforcioes disiles so: - Iercir dos fils - Muliplicr u fil por u úero disio de cero - Sur u fil l coició liel de ors fils

26 VECTORES Y MTRICES c) Méodo de Guss pr el cálculo de l ivers EJEMPLO: MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES 6 INVERS DE UN MTRIZ

27 EJEMPLO: VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES 6 INVERS DE UN MTRIZ Clcul si exise l ivers de ls siguiees rices: C EJERCICIOS ) Coprue que es l riz ivers de ) Deeri el vlor que h de eer x pr que ls siguiees rices eg ivers: x x x 6 C D x x ) Coprue que si es u riz que verific I eoces iee ivers y Ls rices que verific ess propieddes se ll rices orogoles EJERCICIOS: Liro Proles y cuesioes de álger liel P Oreg Págs: 6-- Ejercicios 6