DINÀMICA 2: La resolució de problemes de moviment amb la segona llei.

Transcripción

1 DIÀMICA : La reslució de prblemes de miment amb la segna llei. Dinàmica 0 5 B) Miment de ds més csss en cntacte units amb un il. La tercera llei de ewtn Ara que estudiarem el miment de ds csss que es an una rça mútua, arem un cp d ull a la 3 a llei. Se n diu el principi d acció i reacció. Es sl enunciar així: Quan un cs a una rça acció) a un altre cs, aquest cntesta amb una rça igual i de sentit cntrari reacció) eta sbre el primer. Si ens hi ixem bé, aquesta llei, que més aiat que llei, és una bseració un cmentari, ens diu mltes cses.. erquè existeixi una rça, cal que hi hagi ds csss, el que la a i el que la rep.. erò si el que la rep cntesta sempre amb una d igual i de sentit cntrari, l dir que una rça tta sla n pt existir. Les rces sempre an de dues en dues. 3. De qualsel de les dues rces en pdem dir acció i l altra serà la reacció. Quan em l estudi del miment de ds csss que estan en cntacte i una rça els empeny units amb un il i una rça els estira, a més de les rces que reben dels csss de l entrn, cm ara la rça F que els mu, el pes, el regament F, la resistència del pla, etc, hi ha una altra rça, la mútua F m, que es an entre ells i que si es a a traés d un il, se n diu tensió del il. Diem una rça mútua però de et són dues, iguals i de sentit cntrari, una a cada cs. Abans de er prblemes de miment, estudiarem l exemple següent: Exemple sem una plitja a cada extrem d una taula i hi em passar un il. A cada cap del il hi pengem un cs de 400 g. Digues quina tensió té el il. F mg 0, er saber la tensió del il, hi psem un dinamòmetre. Què marca el dinamòmetre? ria una d aquestes pssibilitats.? F F a) Cm que són dues rces iguals i de sentit cntrari, s anul len i el dinamòmetre senyala zer, 0. b) Cm que un cs l estira amb una rça F 4 i l altre també, són dues rces que es sumen. El dinamòmetre senyala c) Quan diem que es a una rça en realitat se n an dues. Aquí hem de dir que es a una rça de 4. 4 Ja eiem de seguida que la slució crrecta és la c). Els pess estiren el il amb una rça de 4. La 3 a llei ens diu que per er una rça cal realment er-ne dues d iguals i de sentit cntrari. Ja pdem er prblemes de miment Exemple Ds csss m kg i m 3 kg estan units amb un il. Una rça F 30 estira m. Hi ha un ceicient dinàmic de regament μ 0,. Calcula la tensió del il er trbar l acceleració quan una rça mu ds més csss que estan en cntacte units amb un il, dibuixarem, cm sempre, ttes les rces que reben, tenint present que ara hi haurà una rça més a cada cs que és la rça mútua F m que es an entre ells i que en direm tensió si es a a traés d un il. F, F, F 30 m kg μ 0, m 3 kg

2 Calculem primer les rces de regament: F μ m g 0, 0 4, F μ m g 0, 3 0 6,, Dinàmica 0 6 Ara apliquem la segna llei a cada cs i sumem les equacins resultants. És eident que: F,, m a m a [] [] a a a F,, F,, m m ) a a 4 [3] m m 6 4 Aquesta órmula inal [3] ens diu que hem aplicat la a llei a tt el sistema, amb ttes les rces exterirs i la suma de les masses. díem haer cmençat el prblema calculant l acceleració amb aquesta darrera expressió i cntinuar tal cm ara arem: Amb l equació [] que és la a llei del primer cs: m a F 4 4, F m a i amb l equació [] que és la a llei del segn cs: Surt el mateix alr de la perquè és la mateixa rça. És una única rça que els csss es an mútuament., És interessant d estudiar cm s han et serir els 30 de la rça F. Fem-h: Aquesta rça F 30 a les accins següents: ) Dóna una acceleració a 4 m/s al cs m. 3 kg Això l dir una rça F m a 3 4 Queden: ) Venç el regament F, 6 Queden: 8 6 Aquests és la tensió del il. És una rça que el il transmet a l altre cs m. 3) Dóna una acceleració a 4 m/s al cs m kg. Això l dir una rça F m a 4 8 Queden: 8 4 4) Venç el regament F, 4 Frça ha estat utilitzada cmpletament: Aplicació de la a llei a tt el sistema er er serir la a llei, tant si es tracta d un sl cs cm si n hi ha més, a bé cnsiderar-la així: suma a de rces que prdueixen miment suma de ttes les masses suma de rces del sistema que s' hi psen Les rces les agaem psities em serir els mòduls de les rces) i supsant que la elcitat a l inici del prblema també és psitia zer, l acceleració que ens surti, prtarà el seu prpi signe i així eurem si el miment és accelerat retardat. Si guanyen les rces que muen, l acceleració serà psitia i el miment serà accelerat, si guanyen les que s hi psen, l acceleració serà negatia i el miment inicialment serà retardat. En aquest darrer cas, les rces que s hi psen acabaran aturant el sistema i si cntinuen actuant, prduiran un miment accelerat en sentit cntrari. Això darrer h trbarem a l Exemple 6 Exemple 3 Una crda passa per una plitja penjada al sstre. Hi ha ds csss penjats, un a cada cap, les masses són: m 3 kg i m kg. Supsem que tant la plitja cm la crda n tenen massa. Calcula la tensió de la crda. rimer hem de calcular l acceleració amb què es muen. Si prescindim del signe, l acceleració és la mateixa per tts ds perquè estan units amb la crda. dem aplicar-hi la segna llei directament a tt el sistema tal cm hem dit a l apartat. m g m g m m 3 0 a m m m m m m 3 g Aquí l acceleració és psitia. Això l dir que tts ds csss tenen un miment accelerat. Les elcitats les agaem ttes dues cm a psities i ttes dues augmenten. Ara apliquem la a llei a cada cs: 3 m kg m 3 kg Sistema és el cnjunt de csss que hi ha en el prblema i dels quals estudiem el miment. D aquesta órmula [3] en parlarem a l apartat : Aplicació de la a llei a tt el sistema. 3 ambé em cm abans: rça que mu, menys rça que s hi psa.

3 A m : A m : m a m g m a m g m a 0 a m 4 Dinàmica 0 7 Exemple 4 Un cs m kg penja en un il que passa per una plitja i arrssega un altre cs m 3 kg que llisca per un pla hritzntal amb un regament μ 0,. Calcula la tensió del il F m 3 kg μ 0, m kg Calculem primer la rça de regament: F μ m g 0, i, cm abans, apliquem la a llei a tt el sistema per btenir l acceleració: a m m mg m m 0 6,8 3 Ara la a llei a cada cs i tindrem la tensió del il: A m : A m : m a m g m a 0,8 0 5,6 4, 4 F m F m a 6 3,8 4, a 4 Exemple 5 Una rça F 6 mu el sistema de la igura estirant el cs m 8 kg. Aquest cs en té un altre al cim m kg. Hi ha un regament μ 0,3 entre els ds csss i de μ 0, amb el terra. Calcula la tensió del il. m kg F, F 6 F, μ 0,3 μ 0, m 8 kg Calculem les rces de regament. rimer la que a el cs petit m amb el grs m. Aquí la rça nrmal és el pes. F, F μ μ μ m g 0,3 0 6, Ara la que a el grs m amb el terra. És eident que la rça nrmal serà la suma dels pess i : Apliquem la a llei a tt el sistema: F m m a,,, ) F μ μ ) μ m m ) g 0, 8) 0 0, F a,, m m, La rça de regament del petit amb el grs l hi hem hagut de psar dues egades perquè rena tts ds csss. Això h pdem cmprar aplicant la a llei a cada cs i sumant. H arem al mateix temps que busquem la tensió del il: a llei a m F, ma a llei a m F,, ma m a F 3 6, F m a,, Sumant: F F m m a tenim l expressió del planteig inicial.,, )

4 Dinàmica 0 8 Exemple 6 Des de baix de tt d un pla inclinat de 5 m de llarg i que puja a una altura de 3 m, disparem un cs de massa m kg amb una elcitat ο 8 m/s. Hi ha un regament de ceicient μ 0,5. Calcula: a) L acceleració, l espai i el temps de pujada. b) L acceleració, el temps i la elcitat inal de baixada. F 5 m sin 0,6 cs 0,8 3 m F puja baixa Amb les mides del pla inclinat hem trbat sin i cs i així ja pdem calcular les rces resultants que actuen en el cs quan puja i quan baixa: 4 F t mg sin 0 0,6 F n mg cs 0 0,8 6 F μ F 0,5 6 n 4 a) Quan puja n hi ha cap rça que mgui. ts dues rces F t i F s hi psen. La a llei serà: 0 t 4 a 8 m amb l acceleració ja pdem calcular, per cinemàtica, el temps i l espai recrregut: x ο 0, ο 8 m/s, a - 8 m/s ) at 0 8 t s ; x x t at 0 8 8) 4 m a 8 aδx també: Δ x 4 m a 0 8 8) b) Quan baixa, F t prdueix el miment i F s hi psa. La a llei ara serà: 4 a 4 m Calculem el temps i la elcitat inal: x ο 0, ο 0, a 4 m/s, x 4 m) 5,66 0 aδx ,66 ; at t,4 s a 4 3. El prblema dels signes quan em serir la a llei Es diu que quan el alr d una magnitud es representa amb una lletra, per exemple l acceleració de la graetat amb la lletra g, aquesta lletra és cm una capsa i a dins hi ha tres cses: el signe ), el alr numèric 9,8 0) i les unitats m/s ). Quan en una órmula hi ha la magnitud g, lem dir: - 9,8 m/s -0 m/s. erò, en la pràctica, a egades, n és ben bé així. er exemple: Si em serir la órmula de la elcitat d un MRUV: gt, aquí si que la g és g 9,8 g 0 amb signe, alr numèric i unitats. Emperò, si ens pregunten el pes d un cs de massa m, arem el càlcul amb mg, i la g la arem serir sense signe i el alr del pes demanat el dnarem psitiu. Anàlgament si ens pregunten l energia ptencial d un cs de massa m que es trba a una altura h. La calcularem amb U π mgh i també dnarem un resultat psitiu. En aquests cass la g n cnté cap signe pdem dir que l hem supsat psitiu. Ara arem un prblema de miment de ds csss en cntacte i discutirem aquestes dues pssibilitats de psar n el signe a dins dels símbls de les magnituds. Exemple 7 Una caixa de massa m kg penjada en un il té un cs de massa m 3 kg a dins. El cnjunt es mu segns el gràic. Calcula per t 5 s: a) La tensió del il. b) La rça mútua entre el cs m i la caixa m Ja eiem que la caixa amb el cs a dins pugen durant 8 s i es paren. El pendent del gràic és l acceleració. Calculem-la: 4 m/s) 8 t s) 4 El càlcul de les rces que actuen sbre un cs que es mu per un pla inclinat s ha discutit a l Exemple 4 de Dinàmica 0.

5 a t t a) er calcular la tensió del il, hi dibuixem ttes les rces i arem serir la a llei. H pdem er de dues maneres: Dinàmica 0 9.Cm que el gràic ens diu que el sistema puja renant, ja eiem que ha de ser, és a dir, les rces que tiren aall superen en mòdul a les que tiren amunt. Agaarem ttes les rces i l acceleració amb signe psitiu. La a llei ens queda psitia a cada cstat del signe igual, així: m m ) a m g m g m m ) a )3 35 m kg. Ara h arem agaant tts els signes de ttes les acceleracins: m m a ) m m ) a m g m g 3) 3) 0) 3 0) 35 m 3 kg b) er calcular la rça mútua: Aplicarem la a llei al cs m. De ttes dues maneres:. t amb signes psitius. Aquí eiem que F m perquè, tal cm hem dit abans, puja renant. indrem: m. enint present tts els signes: m a F m m g m a m F m a F m m a m g 3 3) 3 0) Fm m 3 kg ambé pdem trbar la rça mútua aplicant la a llei a la caixa m :. Amb signes psitius. Ara tenim que F m F m ma F m m a mg 3 0) 35. Cada magnitud amb el seu signe: m F m a F m m a m g 3) 0) 35 m kg Fm