Los números reales. 1. Números racionales e irracionales
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- Vicenta Valenzuela Aranda
- hace 7 años
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1 Los números reales. Números racionales e irracionales Calcula mentalmente el área de un cuadrado de cm de lado. Expresa de forma exacta el lado, x, de un cuadrado de cm de área. P I E N S A Y C A L C U L A A = = 4 cm x = cm Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: / π c) d), Racional. Irracional. c) Irracional. d) Racional. A P L I C A L A T E O R Í A 5 Representa gráficamente de forma exacta: 0 _ Escribe tres números racionales. _ /4, 5, / _ 0 Escribe tres números irracionales. _ 0 0, π, 6 Representa gráficamente de forma aproximada: 0 4 Escribe dos números racionales comprendidos entre / y / / + / = / + / 5 = e c) d) SOLUCIONARIO
2 c) d) 7 Halla de forma exacta la diagonal de un cubo de cm de lado y escribe qué tipo de número es. Halla un número racional y otro irracional entre los siguientes pares de números: Entre y Racional: 5/ Irracional: d = + + = Es un número irracional e 9 0 Entre y 5 Racional:, Irracional: 4,5 Entre Entre 5 y 4 Racional: 5/ Irracional: 0,9 y 7 Racional:,55 Irracional: 6,5 Entre y Racional:,5 Irracional:,5. La recta real Representa en la recta real todos los números reales x que cumplen: < x Ì P I E N S A Y C A L C U L A TEMA. LOS NÚMEROS REALES 0
3 Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos. y 5 y c) 4 y d) y 0 d(, 5) = d(, ) = 5 c) d( 4, ) = 4 d) d(0, ) = 4 Escribe en forma de desigualdad los siguientes intervalos, représentalos gráficamente y clasifícalos: (, 4) [, ) c) (, d) {x é ; < x < 4} Abierto. {x é ; Ì x < } Semiabierto y semicerrado. c) {x é ; < x < Representa gráficamente los siguientes entornos: E(, 4) E*(, ) Escribe los intervalos que se representan en los siguientes dibujos, y clasifícalos: c) d) (, 4) Abierto. [0, ) Semiabierto y semicerrado. c) (, Abierto. d) ] Semiabierto y semicerrado. Escribe los entornos que se representan en los siguientes dibujos: 0 0 E(, ) E*(0, 4) A P L I C A L A T E O R Í A Abierto. d) {x é < x Ì } Semiabierto y semicerrado. 0 SOLUCIONARIO
4 . Aproximaciones y errores Juan estima que la altura de un árbol es de 5 m. Si la altura real es de 5,5 m, cuál es el error cometido en la estimación? 5,5 5 = 0,5 m P I E N S A Y C A L C U L A Calcula la parte entera y decimal de los siguientes números:,49,4 Ent(,49) = Dec(,49) = 0,49 Ent(,4) = 4 Dec(,4) = 0,6 9 Redondea a dos cifras decimales los siguientes números y di cuáles de las aproximaciones son por defecto y cuáles por exceso: 5/7 4,597,574,57 Aproximación por defecto. 4,60 Aproximación por exceso. 0 Trunca a dos cifras decimales los siguientes números: 5/7 4,597,574,57 4,597 4,59 Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al aproximar con dos cifras decimales los siguientes números: 5/ 6 4, 4, Error absoluto = 0,00 Error relativo = 0,00069,4494,45 Error absoluto = 0,0005 Error relativo = 0,000 Expresa en notación científica los siguientes números: , ,7 0 5, 0 7 Expresa en notación decimal los siguientes números: 7,4 0, , Opera y expresa en notación científica: 5,4 5, 0 9,7 0 6 : (,5 0 4 ) 4,4 0 7, 0 A P L I C A L A T E O R Í A TEMA. LOS NÚMEROS REALES 0
5 4. Números combinatorios Calcula mentalmente los siguientes productos: 4 c) 5 4 P I E N S A Y C A L C U L A 6 4 c) 0 5 Calcula el factorial de los números siguientes: 6 6! = 70! = Calcula mentalmente los siguientes números combinatorios: 4 7 ( ) ( ) 6 c) ( ) d) ( ) 6 c) d) 6 7 Comprueba que se cumple, en cada caso, la igualdad siguiente: m ( ) ( ) = m p m p m = 6, p = m =, p = 6 6 ( ) ( ) = 4 = 5 ( ) ( ) = 5 = 5 Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad: Se tiene que: x + x + = x = 6 ( ) ( ) = x x + A P L I C A L A T E O R Í A 04 SOLUCIONARIO
6 Ejercicios y problemas. Números racionales e irracionales 9 Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: 0 /5 c) 64 d) 50 c) 4 d) Irracional. Racional. c) Racional. d) Irracional. 0 Escribe tres números racionales comprendidos entre /4 y /4 /4 + /4 = /4 + / = /4 + / 5 = 6 Representa gráficamente de forma exacta: 0 _ Representa gráficamente de forma aproximada: 5 π c) d) 4 _ 0 _ 4 _ 0 4 π Halla un número racional y otro irracional entre los siguientes pares de números: Entre y 9 Entre y 4 c) Entre y d) Entre e y π Racional: 4 Racional: / Irracional: 7 Irracional: 0,4 c) Racional: d) Racional:,9 Irracional:, Irracional: 4 Halla de forma exacta el lado de un cuadrado de 0 cm de área y escribe qué tipo de número es. 0 cm. Es un número irracional.. La recta real 5 Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos: 4 y,5 y 4,5 d( 4, ) = 4 d(,5; 4,5) =,5 4,5 6 Escribe en forma de desigualdad los siguientes intervalos, represéntalos gráficamente y clasifícalos: (, 4] [ 5, ] c) [, d) ) {x é ; < x Ì 4} 4 Semiabierto y semicerrado. TEMA. LOS NÚMEROS REALES 05
7 Ejercicios y problemas {x é ; 5 Ì x Ì } 5 Cerrado. c) {x é ; Ì x < Semiabierto y semicerrado. d) {x é < x < } Abierto. E(, ) E*(, ) c) E(, ) d) E*(, 4). Aproximaciones y errores 40 Calcula la parte entera y decimal de los siguientes números: 7,5,4 c) 4,5 d),7 7 9 Escribe los intervalos que se representan en los siguientes dibujos y clasifícalos: c) d) (, Abierto. ( 4, 4) Abierto. c) 5] Semiabierto y semicerrado. d) [ 5, ) Semiabierto y semicerrado. Representa gráficamente los siguientes entornos: E*(, 4) E(, ) c) E(, ) d) E*(0, ) c) d) Escribe los entornos que se representan en los siguientes dibujos: c) d) Ent( 7,5) = Dec( 7,5) = 0,5 Ent(,4) = 4 Dec(,4) = 0,6 c) Ent(4,5) = 4 Dec(4,5) = 0,5 d) Ent(,7) = Dec(,7) = 0,7 4 4 Redondea a dos cifras decimales los siguientes números y di cuáles de las aproximaciones son por defecto y cuáles por exceso: 5/,497 c) 7 d),6 4,75 4, por exceso.,50 por exceso. c) 6,0 6,0 por defecto. d),6 por exceso. Trunca a dos cifras decimales los siguientes números: 5/,497 c) 7 d),6 4,75 4,7,49 c) 6,0 6,0 d),6 06 SOLUCIONARIO
8 4 Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al redondear con dos cifras decimales los siguientes números: 5/ c),40 d) 0,0 Error absoluto = 0,00 Error relativo = 0,006, Error absoluto = 0,006 Error relativo = 0,0006 c),4 Error absoluto = 0,000 Error relativo = 0,0000 d),94 Error absoluto = 0,004 Error relativo = 0, Expresa en notación científica los siguientes números: c) 0, d) 0,00069,75 0 4,59 c), d), Expresa en notación decimal los siguientes números:,47 0 9, 0 7 c), 0 5 d), , c) d)0, Opera y expresa el resultado en notación científica: 7,5,4 0, 5, 0 6 c) 4,6 5 +,54 5 d) 5, : (, ) 4,, c) 5,9 5 d), Números combinatorios 47 Calcula el factorial de los números siguientes: Calcula los siguientes números combinatorios: ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) c) d) 0 Comprueba que se cumple, en cada caso, la igualdad siguiente: p m = 7, p = m = 0, p = ( ) ( ) ( ) = + 5 = = ( ) = ( ) + ( ) m ( ) ( ) ( ) = m + m Calcula los términos de la fila 7ª del triángulo de Tartaglia., 7,, 5, 5,, 7, Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad: x + x = 9 x = ( ) ( ) = 9 x p 40 x p TEMA. LOS NÚMEROS REALES 07
9 Ejercicios y problemas Para ampliar 5 Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: 5 /7 5/7 c) π d) (0, ) Irracional. Racional. c) Irracional. d) Racional. 5 Escribe en forma de entorno las siguientes desigualdades: x < x < c) x + < d) x < 4 E(, ) E(, ) c) E(, ) d) E(0, 4) 5 Escribe tres números racionales entre,5 y,7,5 +,7 =,6,5 +,6 =,55,5 +,55 =, Escribe dos números irracionales entre, y, π =,459 0 =, Expresa, mediante el número π, un número irracional que esté comprendido entre 0 y π/4 = 0,75 Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean números enteros, que contenga al + 5 número f = (, ) Escribe en forma de intervalo las siguientes desigualdades: Ì x Ì 4 x > c) < x Ì 5 d) x < [, 4] (, c) (, 5] d) 59 Redondea a dos decimales los siguientes números y di cuáles de las aproximaciones son por defecto y cuáles por exceso: 5,46 74,09 c),7 d) 9,99 5,46 por defecto. 74,0 por exceso. c),74 por exceso. d) 9,00 por exceso. Con calculadora 60 Halla con la calculadora el valor de los siguientes números con tres cifras decimales: π π c) d) 0 + 6, 6,04 c),6 d),94 6 Halla con la calculadora y expresa el resultado en notación científica:, ,6 4,9 0 0 : (,4 0 ) c),5 0 4,5 0 6 d),7, 0 9 : (,5 0 0 ) 9,5 4,45 c),5 0 0 d), SOLUCIONARIO
10 Problemas 6 Halla de forma exacta la longitud de una circunferencia de m de diámetro. Qué clase de número es? L = π,5 = π m Es un número irracional. 6 Halla de forma exacta el área de un triángulo equilátero de cm de lado. Clasifica el resultado como número racional o irracional. h = 4 = A = = cm Es un número irracional. h A = B = /4 m C = F = /6 m D = E = G = / m 66 Escribe el menor intervalo cerrado, cuyos extremos sean números enteros, que contenga a [4, 5] 67 B F A E Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean números enteros, que contenga al número π C D G Halla de forma exacta las longitudes de los segmentos siguientes y clasifica los resultados como números racionales o irracionales: cm BH CI c) AG d) AF e) AE BH = /. Número racional. CI = /. Número racional. c) AG =. Número irracional. d) AF = 5. Número irracional. e) AE = 0. Número irracional. H G A cm B C D La siguiente figura se conoce con el nombre de tangram chino. Si el lado del cuadrado mide m, halla el área de cada una de las figuras que componen el tangram. F I E ( 7, 6) La longitud de una varilla se aproxima a,4 m. Entre qué valores se hallará la longitud real si la aproximación es por defecto? Y si fuese por exceso? Entre,4 y,5 Entre, y,4 Las dimensiones de un cartón rectangular son 0,54 m y 0,54 m. Calcula su área y redondea el resultado a dos decimales. 0,9 m Se construye un ortoedro de dimensiones 5,5 cm Ò 0,6 cm Ò,6 cm para almacenar medio litro de líquido. Qué error relativo se está cometiendo? TEMA. LOS NÚMEROS REALES 09
11 Ejercicios y problemas V = 5,5 0,6,6 = 50, cm , Error relativo = = 0, AB = AC = AD = = 7 Se sabe que 4 g de hidrógeno contienen, moléculas. Calcula la masa en gramos de una molécula de hidrógeno. _ _ 4 : (, ) =, 0 4 g _ _ Para profundizar 7 Calcula la longitud del segmento AB en la figura siguiente y clasifica el resultado como número racional o irracional: cm A 74 La distancia que hay del Sol a la Tierra es de,46 0 km. Si se toma la velocidad de la luz como km/s, calcula el tiempo que tarda la luz del sol en llegar a la Tierra. t = e/v t =,46 0 : = 495, s = min 5 s A B 75 Si el radio del Sol mide 6, km, calcula el volumen del Sol suponiendo que es una esfera. x 4 V = π (6, ) =,4 km / AB = ( ) = = cm Es un número irracional. B 76 Halla el área y el volumen de un tetraedo regular cuya arista mide 5 cm. Redondea el resultado a dos decimales. 5 cm 7 Calcula la longitud de los segmentos AB, AC y AD de la figura adjunta, y representa de forma exacta en la recta real los números obtenidos: D A C I B A = a A = 5 = 4,0 cm a V = 5 V = = 4,7 cm 0 SOLUCIONARIO
12 77 Halla el área y el volumen de un octaedro regular cuya arista mide cm. Redondea el resultado a dos decimales. cm A = a A = =,6 cm a V = V = =,77 cm TEMA. LOS NÚMEROS REALES
13 Aplica tus competencias 7 Si se estima que la población de una ciudad es de habitantes, da una cota de error absoluto y otra de error relativo. Resuelto en el libro del alumnado. La altura de un árbol es de m Error absoluto < 500 habitantes. 500 Error relativo = 0, Da una cota de error absoluto y de error relativo para las siguientes estimaciones: Los participantes de una manifestación contra la guerra han sido 000 Error absoluto < 0,5 m 0,5 Error relativo = 0,04 SOLUCIONARIO
14 Comprueba lo que sabes 4 Escribe la clasificación de los números reales y pon un ejemplo de cada uno de ellos. Enteros Naturales : 0, Racionales Negativos: Reales Fraccionarios: Irracionales: Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos: y 4 4 y d(, 4) = d( 4, ) = 6 Escribe en forma de desigualdad los siguientes intervalos, represéntalos gráficamente y clasifícalos: (, ) [, ) c) ) d) [, {x é ; < x < } Abierto. {x é ; Ì x < } Semiabierto y semicerrado. c) {x é < x < } Abierto. d) {x é ; Ì x < Semiabierto y semicerrado. 4 Escribe los intervalos de los dibujos siguientes y clasifícalos: c) d) ( 4, ) Abierto. [, ) Semicerrado y semiabierto. c) (, Abierto. d) ] Semiabierto y semicerrado. Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al aproximar con dos cifras decimales los siguientes números: /5 7 =,5 5 Error absoluto = 0,00 Error relativo = 0,00 7 =,65 Error absoluto = 0,004 Error relativo = 0,006 Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad: 0 ( ) ( ) = 0 x + x + x + + x + = 0 ò x = 6 ò x = Calcula el área de un triángulo equilátero de x cm de lado. 0 x h = x ( ) = x A = x x = x 4 La masa de la Tierra es 5, kg, y la de la Luna es 7,4 0 kg. Calcula cuántas veces es mayor la masa de la Tierra que la de la Luna. 5, : (7,4 0 ) =,0 TEMA. LOS NÚMEROS REALES
15 Linux/Windows Paso a paso 0 Halla la expresión decimal con 5 dígitos del siguiente número y clasifica el resultado como decimal exacto, periódico puro o mixto. Es un número racional?: 7 Resuelto en el libro del alumnado. Halla la expresión decimal con 5 dígitos del siguiente número y clasifícalo como racional + 5 o irracional: Resuelto en el libro del alumnado. Halla el error relativo que se comete al redondear el número a dos decimales. Resuelto en el libro del alumnado. 4 5 Calcula el factorial de 5 Resuelto en el libro del alumnado. Calcula ( ) Resuelto en el libro del alumnado. Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: 6 Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad: ( ) ( ) = x x + Resuelto en el libro del alumnado. Calcula:,5 0 : (,5 0 5 ) Resuelto en el libro del alumnado. 7 Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica Halla la expresión decimal con 5 dígitos de los siguientes números y clasifícalos como racionales o irracionales: π 5 p =, Es irracional porque no es periódico. 5 =, Es racional porque es periódico, el período es Halla tres números racionales entre / y / /, 5/, 7/ 4 SOLUCIONARIO
16 Windows Derive 90 Halla el error absoluto y relativo que se comete al aproximar con dos cifras decimales los siguientes números: 5 6 5/ = 4, Error absoluto = 0,00 Error relativo = 0, =,45 Error absoluto = 0,0005 Error relativo = 0, Opera y expresa en notación científica: 5,4 5, 0 9,7 0 6 : (,5 0 4 ) 4,4 0 7, 0 9 Calcula el factorial de los números siguientes: Calcula los siguientes números combinatorios: 7 ( ) 5 ( ) c) 9 ( ) d) ( ) c) 6 d) 94 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad: 9 ( ) ( ) = 9 x x x = 6 La distancia que separa el Sol de la Tierra es de,46 0 km. Si se toma la velocidad de la luz como km/s, calcula el tiempo que tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra. t = 495, s =,6 min Si el radio del Sol mide 6, km, calcula el volumen del Sol suponiendo que es una esfera. V =,4 km TEMA. LOS NÚMEROS REALES 5
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Soluciones a las actividades BLOQUE I Aritmética. Los números reales. Potencias, radicales y logaritmos Los números reales. Números racionales e irracionales Calcula mentalmente el área de un cuadrado
Los números reales. 1. Números racionales e irracionales
Los números reales. Números racionales e irracionales Calcula mentalmente el área de un cuadrado de cm de lado. Expresa de forma exacta el lado, x, de un cuadrado de cm de área. P I E N S A Y C A L C U
a) 25 b) 81 c) d) 8 e) 16 f) 8 g) 16 Solución: Calcula: a) 33 2 b) 2,5 2 c) 0,7 3 d) 1,2 3 Solución: Solución:
Potencias y raíces. Potencias de exponente entero Calcula mentalmente las siguientes potencias: a) 5 2 b) 4 c) 0 6 d) ( 2) e) ( 2) 4 f) 2 g) 2 4 a) 25 b) 8 c) 000 000 d) 8 e) 6 f) 8 g) 6 P I E N S A Y
1Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 36
PÁGINA 6 Pág. P RACTICA Números reales a) Cuáles de los siguientes números no pueden expresarse como cociente de dos números enteros? ;,7; ;, ; ),7; ) π; b)expresa como fracción aquellos que sea posible.
b) Expresa como fracción aquellos que sea posible. c) Cuáles son irracionales? a) No pueden expresarse como cociente: 3; 3π y 2 5.
PÁGINA 9 Entrénate 1 a) Cuáles de los siguientes números no pueden expresarse como cociente de dos números enteros? 2; 1,7; ; 4, 2; ),75; ) π; 2 5 b) Expresa como fracción aquellos que sea posible. c)
4 ; 3. d) 2 y 5 3. a) 2,2 b) c) 2,24 d) 2,236 e) 2,23607
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Cuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
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