de los vectores libres del plano. Recordemos que la operación de sumar vectores verificaba las siguientes propiedades: se cumple que u + v = v + u

Transcripción

1 FUNDAMENTOS DE LOS ESPACIOS VECTORIALES ABSTRACTOS Prmeros ejemplos. Cosderemos el cojuto V de los vectores lbres del plao. Recordemos que la operacó de sumar vectores verfcaba las sguetes propedades: Asocatva: u + ( v + w ) ( u + v ) + w para todos u, v, w V Comutatva: Para todos u, v V se cumple que u + v v + u Elemeto eutro: exste el vector ulo 0 tal que u + 0 u para todo u V Elemeto opuesto: dado cualquer vector u V u V, exste otro vector ( ) + tal que u ( u) 0 També, recordemos que el producto de u vector lbre por u úmero real verfcaba las propedades: α + α u + α v α R y todos u, v V α + β u α u + β u α β R y todo u V α β u αβ u α β R y todo u V u u para todo u V ( u v ) ( ), ( ) ( ), Sea el cojuto de los úmeros complejos, C { z a + b / a, b } Ua tera, suma de complejos: ( a + b) + ( c + d) ( a + c) + ( b + d ) Otra extera, el producto de u úmero real por u complejo: ( ) Co respecto a la suma de complejos se verfca las sguetes propedades: z + z + z z + z + z, z, z, z C Asocatva: ( ) ( ) z + z z + z, z, z C Comutatva: R. E C se defe dos operacoes: λ a + b λa + λb Elemeto eutro: exste el complejo z0 + 0, tal que z + z0 z, z C Elemeto opuesto: Dado el complejo z a + b exste z a b tal que z + z z0 Respecto del producto por úmeros reales se verfca las propedades: λ z + z λ z + λ z ( ) λ + µ z λ z + µ z λ, µ R, z, z C ( ) ( λµ ) z λ ( µ z ) z z Espacos vectorales. Pag.

2 { } Sea R R R el producto cartesao de R por R : R ( x, y) / x R, y R E R se defe dos operacoes, Ua tera, suma de pares ordeados: ( x, y) + ( x, y ) ( x + x, y + y ) Otra extera, producto de u úmero real por u par ordeado: λ ( x, y) ( λx, λy) Respecto a la suma de pares ordeados se verfca las propedades: Asocatva: ( x, y) + ( x, y ) + ( x, y ) ( x, y) + ( x, y ) + ( x, y ) Comutatva: ( x, y) + ( x, y ) ( x, y ) + ( x, y) Elemeto eutro: exste el par ordeado ( 0,0 ) tal que ( x, y) + ( 0,0 ) ( x, y) Elemeto opuesto: dado u par ordeado ( x, y ) exste otro par ( x, y) ( x, y) + ( x, y) ( 0,0) tal que Co respecto al producto de úmeros reales por pares ordeados se verfca las propedades: λ ( x, y) + ( x, y ) λ ( x, y) + λ ( x, y ) ( λ + µ ) ( x, y) λ ( x, y) + µ ( x, y) ( λµ ) ( x, y) λ µ ( x, y) ( x, y) ( x, y) Todo esto para cualquer par ordeado de R y λ, µ R. Cosderemos el cojuto P de los polomos e x co coefcetes reales y de grado meor o gual que. E P se puede defr dos operacoes: Ua tera, suma de polomos: ( ax + bx + c ) + ( ax + bx + c ) ( a + a ) x + ( b + b ) x + ( c + c ) Otra extera, producto de u úmero real por u polomo: ( ) λ + + λ + λ + λ ax bx c ax bx c Se comprueba co facldad que se verfca las cuatro propedades co la suma y las cuatro co el producto de los ejemplos aterores. Espacos vectorales. Pag.

3 Nocó de espaco vectoral sobre el cuerpo de los úmeros reales La abudaca de cojutos como los aterores, dode e todos puede defrse dos operacoes, ua tera e la que sumamos elemetos del cojuto y obteemos otro elemeto del msmo cojuto y otra extera e la que multplcamos u elemeto del cojuto por u úmero real, obteedo u uevo elemeto del cojuto, y tales que se verfca esas ocho propedades, llevó a los matemátcos a estudar todos los casos a la vez desde u puto de vsta geeral, de modo que cuatas coclusoes se obtega del estudo abstracto pueda aplcarse luego a cada caso partcular. Así, el uevo objeto de estudo será u cojuto cualquera co las dos operacoes ya mecoadas, que llamaremos espaco vectoral. Defcó: U cojuto E es u espaco vectoral sobre el cuerpo R de los úmeros reales cuado e él se ha defdo + dos operacoes, ua tera, que llamaremos suma y que se represeta por +, E E E, y otra extera, que llamaremos producto por úmeros reales, represetada por el símbolo, R E E a, b, c E y α, β R se cumple: Respecto de la operacó tera se verfca las sguetes propedades: ) Asocatva: ( a + b) + c a + ( b + c) ) Exsteca de elemeto eutro: 0 E/ 0 + a a + 0 a, a E, tal que para cualesquera ) Exsteca de elemeto opuesto: a E, a E/ a + a a + a. Al elemeto opuesto de a se le deota por ( a). 4) Comutatva: a + b b + a. Respecto de la operacó extera se verfca las sguetes propedades: ) Dstrbutva de la ley extera respecto de la tera e E : ( a b) α + α a + α b ) Dstrbutva de la ley extera respecto de la suma de R : ( α + β ) a α a + β a ) Asocatva mxta: α ( β a) ( αβ ) a 4) Neutraldad de la ley extera: a a A este cojuto co estas operacoes se le suele deotar por ( E, +,, R ), y se dce que E es u R-espaco vectoral. Los elemetos de E se llama vectores y los escrbremos co letras latas; los elemetos de R se llama escalares y los escrbmos co letras gregas. Los cuatro cojutos de los prmeros ejemplos co las operacoes allí defdas so R-espacos vectorales. Proposcó: Para todo a de u espaco vectoral E y todo α de R, se verfca: ) 0 a ) α 0 α a α a α a ) ( ) ( ) ( ) 4) ( ) a a 5) S α a, etoces α o a Espacos vectorales. Pag.

4 Demostracó: ) Teemos que a a ( ) + 0 a a + 0 a a + 0 a a a + 0 a, etoces sumado e ambos lados el opuesto de a obteemos que 0 a. ) Para todo a de E y todo α de R es ( ) etoces sumado e ambos membros el opuesto del vector ) Como α ( α ) α ( α ) ( α ) α a + α 0 α a + 0 α a α a + α 0 α a, α a obteemos que α 0. 0 a + a a + a a es el opuesto de α a, es decr ( α ) a ( α a). Aálogamete se prueba que α ( a) ( α a). 4) Utlzado lo obtedo e el apartado ateror: ( ) a ( ) a a. α, y, como a 0 α teemos α ( α ) α ( α α ) 5) Supogamos que α 0, etoces exste α s multplcamos ambos membros por a 0 a a a Proposcó: Todos los elemetos dsttos de los elemetos eutros de E y de R para las respectvas sumas verfca: S α a α b a b, α 0 S α a β a α β, a 0 Subespacos vectorales Defcó: Sea E u espaco vectoral sobre el cuerpo de los úmeros reales; se llama subespaco vectoral de E sobre R a todo subcojuto A E tal que teedo e cueta las dos operacoes (tera y extera) defdas para E, A es u espaco vectoral. Teorema (Caracterzacó de u subespaco vectoral) La codcó ecesara y sufcete para que u subcojuto A de u R -espaco vectoral E sea u subespaco a b A y α R se verfque: vectoral es que para cualquera que sea, Demostracó: a + b A α a A Codcó ecesara: S A es u subespaco vectoral de E, A es u R -espaco vectoral y obvamete se verfca las codcoes del teorema. Codcó sufcete: Supoemos que se verfca que para todos a, b A y α R es a + b A y α a A. Veamos que A es u R -espaco vectoral. Espacos vectorales. Pag. 4

5 Como α a A para todo α R, e partcular 0 a A, co lo que A cotee al vector cero, A tee elemeto eutro. Además, para todo a A está e A., ( ) a a A; por tato, el opuesto de cualquer vector de A Etoces, la suma de vectores de A tee las cuatro propedades ecesaras para ser espaco vectoral puesto que las propedades asocatva y comutatva las hereda de E (todos los vectores de E las cumple y los vectores de A també lo so de E ). De gual modo, las cuatro propedades ecesaras relacoadas co el producto de vectores de A por escalares també las hereda de E. A partr de este teorema es evdete la sguete afrmacó: La codcó ecesara y sufcete para que u subcojuto A de u R -espaco vectoral E sea u subespaco a b A y α, β R se verfque: α a + β b A vectoral es que para cualquera que sea, Ejemplos: Probar que el subcojuto ( ) {,, / 0, 0} A x y z R x + y x y + z es u subespaco vectoral de R. x + y x + y Tomamosdoselemetos a, b A a ( x, y, z) co y b ( x, y, z ) co x y + z x y + z veamosquea b A ; a b x, y, z x, y, z x x, y y, z z A puestoque: + + ( ) + ( ) ( ) ( x + x ) + ( y + y ) ( x + y) + ( x + y ) + 0 ( x + x ) ( y + y ) + ( z + z ) x + x y y z z ( x y z) ( x y z ) x + y ( x + y) 0 ( x) ( y) ( z) ( x y z) ( ) ( ) Comprobamosahoraque α a A, α R ; α a α x, y, z αx, αy, αz A puestoque: α α α α α α + α α + α 0 Por tato A es subespaco vectoral der. Comprobar s el subcojuto B ( x y z) {,, / x y z 4} R + es u subespaco vectoral de Tomamosdoselemetos a b B a ( x y z) co x y z ( ) veamossa + b B a + b ( x y z) + ( x y z ) ( x + x y + y z + z ) B puestoque ( x x ) ( y y ) ( z z ) x x y y z z ( x y z) ( x y z ) R.,,, + 4 y b x, y, z co x + y z 4 ;,,,,,, : PortatoBoessubespacovectoraldeR. Defcó: Se dce que u vector u E es combacó leal del cojuto o sstema de vectores { e e e e } de E cuado exste elemetos de R, { α α α α },,,, u α e + α e + α e + + α e Ejemplo: Dados los vectores e (,,0) y (,, ) e de,,,,, tales que: R, el vector ( 4, 5,) u es combacó leal del sstema formado por los dos vectores aterores puesto que exste α, α R tales que u α e + α e. E efecto: Espacos vectorales. Pag. 5

6 ( 4, 5,) (,,0) (,, ) ( 4, 5, ) (,, ) u α e + α e α + α α α α + α α α α 4 α + Teorema: α α 5 u e e α α Sea S u cojuto fto o fto de vectores de u espaco vectoral E. Etoces, el cojuto de todos los vectores que so combacó leal de u úmero fto de elemetos de S es u subespaco vectoral de E llamado cerre leal de S o subespaco geerado por S, que deotamos por S o S. Demostracó: Dados dos vectores cualesquera u, v S, teemos que tato u como v so combacó leal de u úmero fto de elemetos de S. Por tato para cualquer par de úmeros α, β R es evdete que α u + β v es combacó leal de u úmero fto de elemetos de S y, e cosecueca, α u + β v S. Co esto queda probado que S es u subespaco vectoral, cotedo e E. Defcó: Se dce que u sstema de vectores S es u sstema de geeradores para u espaco vectoral E, s el subespaco geerado por S cocde co E, S E. Esto quere decr que S es sstema de geeradores para E cuado cualquer vector de E se puede expresar como combacó leal de u úmero fto de vectores de S. Ejemplo: Cosderamos los vectores de {,, } S e e e es u sstema de geeradores para R e (,, ), e ( 0,, ), e (,0,). Veamos que R. (,, ) (,,) ( 0,, ) (,0,) u α e + α e + α e x y z α + α + α α + α x α + α x + y ( x, y, z) ( α + α, α + α, α α + α) α + α y α + 4α z α + α z 4x y z x + y z x + y + z α, α, α x y z x + y z x + y + z Luego u ( x, y, z) (,,) + ( 0,, ) + (,0, ) y, ecosecueca, Ses u sstema de geeradores parar. Defcó: U espaco vectoral E se dce que es de tpo fto s exste u sstema de geeradores para E co u úmero fto de elemetos. E lo sucesvo, sólo cosderaremos espacos vectorales de tpo fto. Depedeca e depedeca leal Defcó: Se dce que u sstema de vectores de u espaco vectoral E es lgado o que costtuye u sstema de vectores lealmete depedetes s exste al meos uo de ellos que sea combacó leal del resto. Espacos vectorales. Pag. 6

7 E caso cotraro se dce que el sstema es lbre o que los vectores so lealmete depedetes. Teorema (Caracterzacó de los sstemas lgados): El sstema { e e e e },,,,, formado por vectores de u espaco vectoral E, es u sstema lgado s podemos ecotrar ua combacó leal α e + α e + α e + + α e co algú α 0. Demostracó: Supogamos que el sstema es lgado; etoces, al meos uo de sus vectores es combacó leal del resto, por ejemplo e. Etoces podemos escrbr e α e + α e + + α e para certos α R, de dode se deduce que e α e α e α e, expresó que tee al meos u escalar o ulo. Recíprocamete, supogamos que e la relacó α e + α e + α e + + α e exste algú α 0, por ejemplo α 0 (s o, reordeamos el sstema). Como α 0, exste su verso y multplcado por él la relacó ateror, queda: α α α ( α e + α e + α e + + α e ) 0 e + e + e + + e α α α α α α α α e e e e α α α y, por tato, el vector e se expresa como combacó leal del resto, co lo que el sstema es lgado. Proposcó: El vector ulo depede lealmete de cualquer sstema de vectores. Cualquer vector o ulo forma u sstema lbre. Cualquer sstema de vectores que cotega al vector ulo es u sstema lgado. Cualquer sstema que tega dos vectores guales es u sstema lgado. Cualquer sstema que tega dos vectores proporcoales es u sstema lgado. Cualquer sstema de vectores que se obtega añadedo uevos vectores a u sstema lgado es també u sstema lgado. La demostracó de esta proposcó se propoe como ejercco. Ejemplos: Cosderemos e { } R el sstema S e (,0, ), e ( 0,, ), e (,, ). Veamos que S es lgado. Formamos la combacó leal α e + α e + α e que equvale a: (,0,) ( 0,, ) (,, ) ( 0,0,0) α + α + α, o lo que es lo msmo: α + α α + α, α + α, α α α,0,0 α + α α α α ( ) ( ) α α α α Co lo que el sstema tee ftas solucoes, depededo del valor que demos a α. Por ejemplo, s α α, α, co lo que el sstema es lgado y ua relacó de depedeca leal sería e e + e, es decr, e e e +. Espacos vectorales. Pag. 7

8 Cosderemos e { } R el sstema S e (,, ), e ( 0,, ), e (,0, ). Veamos que S es lbre. Formamos la combacó leal α e + α e + α e que equvale a: (,,) ( 0,, ) (,0, ) ( 0,0,0) α + α + α, o lo que es lo msmo: α + α α α + α, α + α, α α α,0,0 α + α α α α α 0 α ( ) ( ) Co lo que la úca posbldad de formar ua combacó leal ula es co α α α y, coclumos que, el sstema es lbre. Sea S { e, e, e } u sstema lbre de R es lbre. Demostrar que S { u e e, u e e, u e e } Formamos la combacó leal α u + α u + α u que equvale a: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α e + e + α e + e + α e + e α + α e + α + α e + α + α e α + α como S { e, e, e} eslbre α + α α α α S { u, u, u} eslbre. α + α Base y dmesó de u espaco vectoral Defcó: U sstema de vectores B { e e e e },,,, de u espaco vectoral E es ua base de E cuado cualquer vector v de E se expresa de forma úca como combacó leal de los elemetos de B, v α e + α e + α e + + α e para certos escalares α R. A los escalares ordeados ( α α α α ),,,, se los llama coordeadas de v respecto de la base B. A cotuacó eucamos u teorema que permte dstgur s u sstema de vectores es base de u espaco vectoral de ua forma más operatva. Teorema (de caracterzacó de bases): U sstema de vectores B { e e e e },,,, de u espaco vectoral E es ua base s y sólo s B es u sstema de geeradores para E y además es u sstema lbre. Demostracó: Supogamos que B es ua base. Es evdete que B es u sstema de geeradores por la propa defcó de base. Como todo vector v de E se escrbe de maera úca como combacó leal de vectores de B, e partcular el vector ulo se escrbe 0 e + 0 e + 0 e e y como esta forma debe ser úca, s teemos α e + α e + α e + + α e, por fuerza teemos que α α α α y etoces el sstema B es lbre. Espacos vectorales. Pag. 8

9 Recíprocamete, s B es sstema de geeradores, todo vector v E se puede expresar así v α e + α e + α e + + α e para certos escalares α R. Veamos que esta expresó es úca. S v se pudese expresar de dos formas dsttas, como combacó leal de elemetos de B: v α e + α e + α e + + α e ; α R v β e + β e + β e + + β e ; β R Restado membro a membro teemos: ( α β) ( α β ) ( α β) ( α β ) y como B { e e e e } es lbre, se deduce 0 v v e + e + e + + e,,,, ( α β ) ( α β ) ( α β ) ( α β ), es decr, α β, α β,, α β, co lo que la expresó de v e el sstema B es úca y e cosecueca B es base. Ejemplo: Cosderemos e es base de R. { } R el sstema S e ( 0,, ), e (, 0, ), e (,,0) S es sstema de geeradores: sea u R, u ( x, y, z) combacó leal de los elemetos de S.. Veamos que S, comprobemos que puede poerse como (,, ) ( 0,,) (, 0,) (,, 0) u α e + α e + α e x y z α + α + α etoces α + α x y + z x x y + z x + y z ( x, y, z) ( α + α, α + α, α + α ) α + α y α, α, α α + α z y + z x x y + z x + y z por tato u ( x, y, z) e + e + e y S es sstema de geeradores. S es sstema lbre: formamos la combacó leal α e + α e + α e que equvale a: ( 0,,) (, 0,) (,,0) ( 0, 0, 0) α + α + α, o lo que es lo msmo: α + α α α + α, α + α, α + α,0,0 α + α α α α 0 + α ( ) ( ) Etoces, la úca posbldad de formar ua combacó leal ula es co α α α, el sstema es lbre y costtuye ua base de R. y + z x x y + z x + y z La expresó u ( x, y, z) e + e + e os permte calcular, drectamete, las coordeadas de cualquer vector de R e la base S, por ejemplo s (,,4) u e la base caóca de R, u e 4 + e + e y 9 u e 5 + e + e, 9 5 co lo que u,, e la base S. Espacos vectorales. Pag. 9

10 Los espacos vectorales de tpo fto posee por lo meos ua base. S alguo tee dos bases, éstas tee el msmo úmero de elemetos. Ambas cosas sucede e todos los casos como prueba los sguetes teoremas. Teorema (de exsteca de base): Cualquer espaco vectoral de tpo fto E que o se reduce al vector ulo posee, al meos, ua base. Demostracó: Sea S { e e e e },,,, k u sstema de geeradores de E. Como E o es el espaco ulo, exste al meos u vector o ulo e S ; por tato, exste subcojutos de S que so lbres. S supoemos que S es lgado, etoces se verfca que α e + α e + + α e, co algú α 0. Supogamos que α 0 (s o, reordeamos el sstema de tal forma que el últmo escalar sea k dstto de cero). α α αk Etoces ek e e ek, como cualquer vector de E se puede escrbr como α α α k k k combacó leal de { e e e e } éste últmo cojuto, { } S el cojuto { },,,, k, y k e, e, e,, ek geera E. k k e se escrbe como combacó leal de { } e, e, e,, ek, e, e, e,, ek es lgado podemos proceder de gual modo para reducr e uo el úmero de vectores geeradores. Este proceso debe cotuar hasta cosegur u subcojuto de S que sea lbre, subcojuto que posee al meos u vector por ser el espaco E o ulo, y que será ya ua base de E. Teorema (de la base): E u espaco vectoral E de tpo fto todas las bases tee el msmo úmero de elemetos. La demostracó de este teorema se apoya e dos resultados prevos: Lema: Sea B { e e e e } α 0 α α α,,,, ua base de E y sea u u vector de E, u e + e + + e, etoces e la base B se puede susttur el vector e por el vector u de tal maera que el cojuto resultate sgue sedo base de E. Demostracó: Supogamos que el escalar dstto de cero es el prmero, s o reordeamos la base, α 0. Veamos que { } B u e e e es base de E.,,,, B es sstema de geeradores: Es sufcete co ver que los vectores de B se puede poer como combacó leal de los vectores deb. Esto es claro para los vectores e, e,, e, veámoslo para e. u α e + α e + + α e y α 0 etoces se tee que: Como e u α e α e α e, co lo que e se expresa como combacó leal de los α α α α vectores de B.. S Espacos vectorales. Pag. 0

11 B es lbre: Dada cualquer relacó λ u + λ e + λ e + + λ e, veamos que λ λ λ λ. ( ) ( λ α ) + ( λ α + λ ) + + ( λ α + λ ) λ u + λ e + λ e + + λ e λ α e + α e + + α e + λ e + λ e + + λ e e e e 0. Como B es base, cualquer combacó leal ula de los elemetos de B oblga a que los escalares sea todos cero. Etoces teemos: λα como α 0 λ λα + λ λ λα + λ λ λ λ λ λ. Por tato B es base. Teorema de Stetz (o de la base completa): Sea B { e e e e } ua base de E y sea { u u u u },,,, Etoces se cumple que k,,,, k u sstema lbre de vectores de E. y, puede elegrse coveetemete ( k ) maera que añaddos al cojuto { u u u u },,,, k forma ua ueva base de E. vectores de la base B de tal Demostracó: Como u E, etoces u α e + α e + + α e co algú α 0 (o puede ser ulos todos los α porque sería 0 u, y el sstema { u u u u },,,, k o sería lbre) Supogamos que α 0; s o fuese así reordearíamos los vectores de la base. Etoces basádoos e el Lema ateror, se deduce que B { u e e e },,,, es base de E. Como u E, etoces u β u + β e + + β e dode los escalares β, β,, β o puede ser todos cero smultáeamete pues tedríamos que u y u sería lealmete depedetes. Por tato algú 0 β para {,,, } obtee que B { u u e e }. Supogamos que β 0. Aplcado de uevo el Lema se,,,, es base de E. Se repte sucesvamete el proceso hasta susttur todos los vectores u, u, u,, uk. Es claro que k, pues s fuese k >, ua vez susttudos todos los vectores u posbles, obtedríamos {,,,, } B u u u u, base de E, y los vectores u, u,, uk prmeros, lo cual cotradce el hecho de que { u u u u } + + sería combacó leal de los,,,, k sea u sstema lbre. Por tato k y, después de susttur k de los vectores de B por los k vectores u, u, u,, uk, se obtee el sstema {,,,,,,,, } Bk u u u uk e e e k que es base de E. Demostracó del teorema de la base: Supogamos que B { e, e, e,, e } y B { u, u, u,, u } m so dos bases de u espaco vectoral E. Tomado B como base y B m como sstema lbre y aplcado el teorema de Stetz se verfca que m. Tomado después B m como base y B como sstema lbre y aplcado de uevo el teorema de Stetz se verfca que m. Por tato m, y ambas bases tee el msmo úmero de elemetos. Espacos vectorales. Pag. m

12 Defcó: Se llama dmesó de u espaco vectoral E de tpo fto al úmero de elemetos de cualquera de sus bases y se deota por dme. Corolaro : S E es u espaco vectoral de dmesó, etoces toda coleccó de vectores de E que sea lealmete depedetes etre sí costtuye ua base de E. Demostracó: Cosecueca medata del teorema de Stetz. Corolaro : E u espaco vectoral E de dmesó se verfca que todo cojuto de m vectores, co m >, es lgado. Demostracó: S fuese lbre, por el teorema de Stetz, debería ser m. Espacos vectorales. Pag.