U.T.N. F.R.C.U. Seminario Universitario Matemática. Módulo 6. Trigonometría

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1 U.T.N. F.R.C.U. Seminrio Universitrio Mtemáti Módulo 6 Trigonometrí L mtemáti ompr los más diversos fenómenos y desubre ls nlogís serets que los unen Joseph Fourier TRIGONOMETRÍA Pr omenzr trbjr on trigonometrí neesitmos primero onoer que es un ángulo orientdo. Considermos un semirret OM que puede girr lrededor de su origen O. Si est rotión se efetú en sentido ontrrio l de ls gujs del reloj, diremos que l semirret h rotdo en sentido positivo, en so ontrrio, el sentido será negtivo. L semirret OM h girdo en sentido positivo hst oupr l posiión ON, engendrndo el ángulo positivo α. O α N M Como el sentido de giro es negtivo, el ángulo engendrdo por l semirret OM l girr lrededor del punto O hst oupr l posiión ON, es negtivo. O α M N Ls semirrets OM y ON reiben el nombre de ldo iniil y ldo terminl respetivmente.

2 SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Sistem sexgesiml Módulo 6 De los sistems de mediión ngulr el más usdo es el sexgesiml, uy unidd es el grdo sexgesiml que se define omo l novent v prte de un ángulo reto: R = 90 En este sistem hy dos submúltiplos de l unidd: ) el minuto sexgesiml: que es l sesent v prte de un grdo: = ; 60 b) el segundo sexgesiml: que es l sesent v prte de un minuto: 60 = = = En este sistem, es usul expresr l mplitud de un ángulo en form omplej: α = 4 0 pero vees es neesrio expresr l mplitud del ángulo omo un número expresdo en un sol unidd (form inomplej). 0 α = 4 0 = = 4, Observión: l myorí de ls luldors hen est onversión utomátimente, onsult en el mnul. Sistem Cirulr Considermos un sistem de ejes rtesinos y un irunfereni C on entro en el origen del sistem. Si entrmos un ángulo orientdo α, vemos que éste determin sobre l irunfereni un ro AB, orientdo según el mismo sentido que α. y B O α A x En el sistem irulr, se sign omo medid del ángulo l longitud del ro subtendido por el mismo, tomndo omo unidd el rdio de l irunfereni, por esto es que suele deirse que el ángulo está medido en rdines. S En símbolos: α = r Donde S: longitud del ro y r: rdio de l irunfereni.

3 U.T.N. F.R.C.U. Seminrio Universitrio Mtemáti Si onsidermos un ángulo de 60 (un giro), l longitud del ro es l longitud de l irunfereni: π / r 60 = = π / r Es deir, un ángulo de 60 equivle π (rdines). De est equivleni podemos deduir, dividiendo m..m por y por 4 respetivmente: 80 = π π 90 = Pr onvertir un ángulo expresdo en el sistem sexgesiml l irulr nos vldremos de un regl de tres simple. Por ejemplo: Expresr 0 en el sistem irulr: 80º π 0º π π 0º x= = 80º 6 Observión importnte: en el sistem irulr, l mplitud de un ángulo está dd por un número rel (sin uniddes). Si queremos expresr un ángulo del sistem sexgesiml ddo en form omplej en el sistem irulr, ntes de her l regl de tres, es neesrio psrlo l form inomplej. El psje del sistem irulr l sexgesiml se he de l mism mner. ACTIVIDAD ) Expresr en el sistem irulr los siguientes ángulos ddos en el sistem sexgesiml: )45 b) α = ) β = d ) γ = 0 0 ) Expresr en el sistem sexgesiml los siguientes ángulos ddos en el sistem irulr: π π ) δ = b) ε = ) λ = 0,87 d) θ =,6 6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO B C Reordemos los elementos de un triángulo retángulo: Hipotenus: Es el ldo opuesto l ángulo reto. Ctetos: Son los ldos que formn el ángulo reto. α b A

4 4 Módulo 6 Si onsidermos el ángulo gudo α, el teto se denomin teto opuesto (es el que no determin el ángulo α) y el teto b es el teto dyente, que junto l hipotenus, form el ángulo α. b b Con los ldos del triángulo podemos formr seis rzones: ; ; ; ; ; b b. Se puede demostrr que ests rzones no dependen de ls longitudes de los ldos sino que dependen exlusivmente del ángulo gudo α, por eso reiben el nombre de funiones trigonométris. Cd un de ells reibe un nombre espeil: Seno no: Se llm seno de un ángulo l oiente entre el teto opuesto l mismo y l hipotenus. senα = Coseno: Se llm oseno de un ángulo l oiente entre el teto dyente l mismo y l hipotenus. b osα = Tngente: Se llm tngente de un ángulo l oiente entre el teto opuesto y el teto dyente. tgα = b Cotngente: Es el oiente entre el teto dyente y el teto opuesto. b otg α = Sente: Es el oiente entre l hipotenus y el teto dyente. se α = b Cosente: Es el oiente entre l hipotenus y el teto opuesto. ose α = Enuniemos hor lguns reliones importntes entre ls funiones trigonométris de un mismo ángulo: ) Relión PitgóriP itgóri: L sum de los udrdos del seno y del oseno de un mismo ángulo es igul : sen α + os α =. ) L tngente de un ángulo es igul l oiente entre el seno y el oseno del senα mismo: tgα =. osα ) L otngente de un ángulo es igul l oiente entre el oseno y el seno del osα mismo: otgα =. senα 4) L sente de un ángulo es el vlor reíproo de su oseno: 5) L osente de un ángulo es el vlor reíproo de su seno: se α =. osα ose α =. senα

5 U.T.N. F.R.C.U. Seminrio Universitrio Mtemáti Identiddes trigonométris Ls identiddes trigonométris son igulddes estbleids entre dos expresiones trigonométris que se stisfen pr ulquier vlor de los ángulos que figurn omo rgumentos. Ls reliones entre ls funiones de un mismo ángulo son identiddes, omo sí tmbién los sos triviles tles omo osα = osα, et... Verifir un identidd trigonométri signifi reduir sus dos miembros un mism expresión. En l verifiión de identiddes no está permitido her psjes de términos o ftores (lo que signifi que debemos trbjr on el primer y segundo miembro por seprdo). Ejemplo: Verifir l identidd + tg α = se α sen α + = os os α α os α + sen α = os α os α = os α os α ACTIVIDAD Verifir ls siguientes identiddes: ( ) ( ) osα ) os α + tg α otg α = tgα b) sen α + = se α sen α se α ) os 4 4 α sen α ( senα + α ) os = os α sen α + senα osα FUNCIONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Reordemos que dos ángulos son omplementrios si su sum es igul un ángulo reto. En un triángulo retángulo, sus ángulos gudos son omplementrios, y que: ˆ A + ˆ B + ˆ C = R B pero ˆ A = R ˆ B + ˆ C = R Notemos demás, que el teto es opuesto pr el ángulo Ĉ pero dyente pr el ángulo ˆB ; lgo similr ourre on b: es dyente pr el Ĉ, pero opuesto pr el ˆB. En onseueni: C b A 5

6 Módulo 6 ˆ senc = = os ˆ B os ˆ b C = = sen ˆ B Utilizndo ls reliones entre funiones de un mismo ángulo: sen ˆ os ˆ ˆ C B tg C = = =otg ˆ B os ˆ C sen ˆ B Si hemos lo mismo on ls demás funiones veremos que, ls funiones y ofuniones de un ángulo, son respetivmente ls ofuniones y funiones de su omplemento. (oseno, quiere deir, justmente seno del omplemento...) CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Es un irunfereni on entro en el origen de un sistem de oordends y rdio unitrio. y O r = x Pr ulquier número rel, existe un ro de l mism que tiene longitud y en onseueni qued determindo un ángulo entrl uy medid en rdines es tmbién. y A (x; y) ρ O x y x El extremo libre del ro determin el punto A uys oordends son (x; y). El segmento OA reibe el nombre de rdio vetor. Podemos hor definir ls funiones trigonométris del número rel en funión de ls oordends del punto A. Result: 6

7 U.T.N. F.R.C.U. Seminrio Universitrio Mtemáti ordend y sen = = rdio vetor ρ bsis x os = = rdio vetor ρ ordend y tg = = bsis x bsis x otg = = ordend y rdio vetor ρ se = = bsis x rdio vetor ρ ose = = ordend y De uerdo l udrnte l que pertenez el punto A, ls funiones trigonométris tendrán diferentes signos, que dependen de los signos de su bsis y su ordend. (El rdio vetor es siempre positivo.) y Segundo udrnte: bsis negtiv y ordend positiv O Terer udrnte: bsis y ordend negtiv Primer udrnte: bsis y ordend positiv Curto Cudrnte: bsis positiv y ordend negtiv x Podemos resumir los signos de ls funiones en el siguiente udro: seno oseno tngente otngente sente osente I C II C + + III C + + IV C + + ACTIVIDAD 7 ) Si sen α = α I C, lulr ls demás funiones. 5 ) Sbiendo que os α = sen α < 0, lulr ls demás funiones. 5 7

8 Módulo 6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES Los ángulos notbles son: 0, 0, 45, 60 y 90. Sus funiones trigonométris se obtienen por métodos geométrios. No dremos quí ls demostriones sino que simplemente mostrmos un udro de sus vlores. seno oseno tngente otngente sente osente Estos vlores son fáiles de reordr teniendo en uent l siguiente regl mnemoténi: Los senos de los ángulos notbles son respetivmente 0 4 ; ; ; ;. Es n deir, todos tienen l form on n = 0;;;;4. Teniendo en uent que 0 y 90, 0 y 60 son omplementrios y que 45 es omplemento de sí mismo, l olumn orrespondiente l funión oseno, es l del seno esrit en form invers. Pr ls demás funiones, se utilizn ls reliones entre ls funiones de un mismo ángulo. ACTIVIDAD 4 Hllr el vlor exto de ls siguientes expresiones: ) sen60 os 45 + os 60 se 60 sen 45 otg0 = os 0 + os 60 os 0 os 60 ) + = sen0 sen90 sen0 + sen90 LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS Son segmentos uys medids, tomndo l rdio de l irunfereni trigonométri omo unidd, representn los vlores y signos de ls funiones trigonométris de los ángulos. 8

9 U.T.N. F.R.C.U. Seminrio Universitrio Mtemáti L E A F D 0 B C H t sen α = med BA osα = med OB tgα = med CD otgα = medef se α = medoh ose α = med OL Ls rets t y se llmn respetivmente ejes de tngentes y de otngentes. Como tividd te proponemos grfir ls línes trigonométris pr ángulos de los demás udrntes. Importnte: Los ejes de tngentes y de otngentes no mbin de posiión. GRÁFICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ) y = sen x: Sinusoide o Senoide Crterístis: ) Es ontinu b) Es periódi (período π) ) Su dominio es R. d) Su reorrido es {y / y } e) Alnz su vlor máximo pr x = π y todos sus ongruentes. f) Alnz su vlor mínimo pr x = π y todos sus ongruentes. g) Sus eros son x = 0 + k π ; x = π + k π Observión: k π, k Z indi un número exto de giros, l sumrlo l ángulo estmos indindo todos sus ongruentes. 9

10 ) y = os x: Cosinusoide o Cosenoide Crterístis: ) Es ontinu b) Es periódi (período π) ) Su dominio es R. Módulo 6 d) Su reorrido es {y / y } e) Alnz su vlor máximo pr x = 0 + k π. f) Alnz su vlor mínimo pr x = π + k π. g) Sus eros son π π x = + k π ; x = + k π ) y = tg x: Tngentoide Crterístis: ) Es disontinu, present sltos infinitos en π π x = + k π ; x = + k π b) Es periódi (período π) ) Su dominio es: π π R { + k π ; + k π} d) Su reorrido es R e) No tiene vlor máximo ni mínimo f) Sus eros son x = 0 + k π. 4) y = otg x: Cotngentoide Crterístis: ) Es disontinu, present sltos infinitos en x = 0 + k π ; x = π + k π b) Es periódi (período π) ) Su dominio es: R {0 + k π ; π + k π} d) Su reorrido es R e) No tiene vlor máximo ni mínimo f) Sus eros son x = π + k π 0

11 U.T.N. F.R.C.U. Seminrio Universitrio Mtemáti 5) y = se x: Sentoide Crterístis: ) Es disontinu, present sltos infinitos en π π x = + k π ; x = + k π. b) Es periódi (período π) ) Su dominio es: π π R { + k π ; + k π} d) Su reorrido es Re = {y/ y } e) No tiene vlor máximo ni mínimo f) No tiene eros. 6) y = ose x: Cosentoide Crterístis: ) Es disontinu, present sltos infinitos en x = 0 + k π ; x = π + k π. b) Es periódi (período π) ) Su dominio es: R {0 + k π ; π + k π} d) Su reorrido es Re = {y/ y } e) No tiene vlor máximo ni mínimo f) No tiene eros. INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Llmremos problem direto l siguiente: Ddo un ángulo, enontrr el vlor de un funión trigonométri, por ejemplo, hiendo uso de l luldor: os º5 = 0,9879 El problem inverso es: Ddo el vlor de un funión trigonométri, hllr el ángulo. Por ejemplo: Si sen α = 0,44; hllr α Se die que α es el ro seno de 0,44 y se expres: α = r sen 0,4 α = 5º 44 6 De igul mner se proede pr ls demás funiones. Pero notemos que el vlor de α no es únio, porque demás de los infinitos ongruentes on él, existe otro ángulo menor que un giro que es soluión del problem. Pr ello, reordemos que el seno es positivo en el primer y segundo udrnte, entones, el ángulo del segundo udrnte es: 80º (5º 44 6 ) = 54º 5 54

12 Módulo 6 Es onveniente trbjr siempre on el vlor positivo de l funión (entones obtendremos un ángulo del primer udrnte) y después, de uerdo l signo de l funión, ubir los ángulos orrespondientes de l siguiente form: Llmndo α l ángulo del primer udrnte: ) Segundo udrnte: 80º α b) Terer udrnte: 80º + α ) Curto udrnte: 60º α Ejemplo: Si tgα =, hllr α. α = r tg ( ) omo l tngente es negtiv, los ángulos que umplen on est ondiión son del segundo o del urto udrnte. Busmos r tg = 60 En onseueni, el ángulo del segundo udrnte es α = = 0 y el del urto udrnte es α = = 00. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo retángulo es lulr sus elementos teniendo omo dtos dos de ellos. Se dn utro sos, llmdos sos lásios:. Dtos: L hipotenus y un ángulo gudo. Dtos: Un teto y un ángulo gudo. Dtos: L hipotenus y un teto 4. Dtos: Los dos tetos. Pr resolver triángulos retángulos son sufiientes ls definiiones de seno, oseno y tngente y el teorem de Pitágors. No desrrollremos quí los sos lásios, que pueden onsultrse en ulquier texto de trigonometrí, sino que veremos pliiones problems. Ejemplo : Clulr l longitud de l sombr que proyet un poste vertil de m de ltur, undo el sol está 48 sobre el horizonte. Resoluión: Es fundmentl her un gráfio de l situión pr sber qué debemos plir: 48 Sombr: x Poste: h = m

13 U.T.N. F.R.C.U. Seminrio Universitrio Mtemáti Como se desprende del gráfio, lulr l longitud de l sombr es hllr el teto dyente l ángulo de 48, onoiendo el teto opuesto que es l ltur del poste. El siguiente pso es busr un funión trigonométri del ángulo ddo omo dto, que relione l ltur del poste (teto opuesto) on l longitud de l sombr (teto dyente). Dih funión es l tngente. En onseueni: m m tg48 = x = =,70m x tg48 Ejemplo : L bse de un retángulo mide 4 m y su ltur m. Clulr: ) l longitud de su digonl; b) el ángulo que form l digonl on l bse. 4 m Resoluión: Pr hllr l longitud de l digonl, vemos que ést es l hipotenus del triángulo retángulo que tiene por tetos l bse y l ltur del retángulo. Por teorem de Pitágors: ( ) ( ) d = 4m + m = 6m + 4m = 0m = 5 m Pr lulr el ángulo, busmos un funión del mismo que vinule los dtos, est funión es l tngente: m tgα = = 4m α = r tg α = 6 54 α d m RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Pr resolver triángulos obliuángulos (no retángulos), pliremos dos teorems que no demostrremos: ) Teorem del Coseno En todo triángulo, el udrdo de un ldo es igul l sum de los udrdos de los otros dos, menos el doble produto de los mismos multiplido por el oseno del ángulo que ellos formn. A ˆ = b + b os A ˆ b = + osb ˆ = + b b osc B b C

14 Módulo 6 ) Teorem del Seno En todo triángulo los ldos son proporionles los senos de los ángulos opuestos. A b = = sen ˆ A sen ˆ B sen ˆ C b B C Ejemplo: Sobre un uerpo tún dos fuerzs de 75 N y 5 N. Si ls direiones de ls fuerzs formn un ángulo de 50º 0, enontrr l intensidd de l resultnte y el ángulo que form on l fuerz más grnde. Resoluión: Primermente hgmos un gráfio de l situión: D C =75 b =? A = 5 B =75 Vemos ómo hemos luldo el ángulo ˆB : En el prlelogrmo ABCD: DAB ˆ + ˆ B + BCD ˆ + ˆ D = 60 Pero, omo los ángulos opuestos son ongruentes: ( DAB ˆ ˆ B ) + = 60 Entones: DAB ˆ + ˆ B = 80 ˆ B = 80 DAB ˆ = = 9 50 Aplindo el teorem del oseno: b = os9 50 b = 69, 89 b = 69, 89 b = 6,9N Pr hllr el ángulo que l resultnte form on l fuerz de 5 N, plimos el teorem del seno: 75 6, 9 75 sen9 50 = senα = = 0,7007 senα sen9 50 6, 9 α = r sen 0, 7007 α = 40 4

15 U.T.N. F.R.C.U. Seminrio Universitrio Mtemáti ÁREA DE UN TRIÁNGULO b h Todos onoemos l fórmul A =, pero existen otrs expresiones que permiten lulr el áre de un triángulo: ) El áre de un triángulo es igul l semiproduto de dos ldos, multiplido por el seno del ángulo que ellos formn: Áre = b sen ˆ A B A b C ) Fórmul de Herón: Áre = p ( p ) ( p b ) ( p ), donde p se denomin semiperímetro y es + b + p =. FUNCIONES DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS Ls funiones trigonométris no son distributivs on respeto l sum ni l rest de ángulos. Ls expresiones que permiten hllr el seno, oseno y tngente de l sum o difereni de dos ángulos son ls siguientes: ) Seno de l sum y difereni de dos ángulos sen α + β =senα osβ + osα senβ ( ) ( ) sen α β = senα osβ osα senβ b) Coseno de l sum y difereni de dos ángulos os α + β = osα os β senα senβ ( ) ( ) os α β = osα os β + senα senβ ) Tngente de l sum y difereni de dos ángulos tgα + tgβ tg ( α + β ) = tgα tgβ tgα tgβ tg ( α β ) = + tgα tgβ Ejemplo: Hllr ls funiones de 75, hiendo 75 = 45º + 0º. Resoluión: ( + ) sen 75 = sen ( ) = sen 45 os 0 + os 45 sen 0 = + = 4 5

16 Módulo 6 ( ) os 75 = os ( ) = os 45 os 0 sen 45 sen0 = = 4 + tg 45 + tg0 + / + tg75 = tg ( ) = = = = = + tg 45 tg0 / ACTIVIDAD 5 Clulr: ) sen ( α β ), sen ( α β ), os ( α β ), os ( α β ) + +, si + si tg α = y sen β =. 4 ) tg ( α β ), tg ( α β ) sen α = y os β =. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DUPLO Ls funiones del ángulo duplo pueden deduirse muy fáilmente de ls funiones de l sum de dos ángulos, hiendo α = α + α. Ls fórmuls orrespondientes son: ( ) ( ) sen α = senα osα ( α ) os α = os α sen α tg tgα = tg α Ejemplo: Clulr ls funiones de 80 sbiendo que es el duplo de 90. Resoluión: ( ) ( ) sen80 = sen 90 = sen90 os90 = 0 = 0 os80 = os 90 = os 90 sen 90 = 0 = Surge un problem pr lulr l tngente de 80 pues neesitmos l de 90, pero ést no está definid. Entones, en lugr de usr l fórmul de l tngente del duplo de un ángulo hemos: sen80 0 tg80 = = = 0 os80 ACTIVIDAD 6 sen α y os α si osα =. Clulr ( ) ( ) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RICAS DEL ÁNGULO MITAD α Ddo un ángulo α, el ángulo mitd es. Ls fórmuls que proporionn ls α funiones de l mitd del ángulo,, onoiendo l de os α son: 6

17 U.T.N. F.R.C.U. Seminrio Universitrio Mtemáti α osα sen = α + osα os = α tg = osα + os α Por ejemplo, lulremos ls funiones de 0, que es el ángulo mitd de 45 : os 45 sen 0 = = = = = os os 0 = = = = = 4 os 45 / tg 0 = = = = = + os / ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) = = = = = 4 rionlizndo = = rionlizndo nuevmente ACTIVIDAD 7 Verifir ls siguientes identiddes: α tg α α α α α α ) sen os : = osα ) + = + α α os sen sen os sen tg TRANSFORMACIONES EN PRODUCTO En osiones es onveniente expresr l sum o difereni de dos senos o dos osenos omo un produto de funiones trigonométris, (en otrs, onviene expresr un produto omo un sum o rest). Pr ello nos vldremos de ls siguientes fórmuls: ) Trnsformión en produto de l sum de dos senos α + β α β senα + senβ = sen os 7

18 Módulo 6 Ejemplo: sen 60 + sen0 = sen os = sen 45 os5 = os5 = os5 b) Trnsformión en produto de l difereni de dos senos α + β α β senα senβ = os sen ) Trnsformión en produto de l sum de dos osenos α + β α β osα + os β = os os d) Trnsformión en produto de l difereni de dos osenos α + β α β osα os β = sen sen Ests fórmuls sirven tmbién pr lulr l sum o difereni entre un seno y un oseno, por ejemplo: ( ) sen0 + os 50 = os os 50 = os 60 + os 50 = por ser ángulos omplementrios os os = os55 os5 ACTIVIDAD 8 ) Aplindo trnsformiones en produto, hllr el vlor numério de ls siguientes expresiones: ) sen 5 + os5 = b) os 75 sen 75 = ) Verifir l identidd: sen x + sen x + sen x = tg x osx + os x + os x 8

19 U.T.N. F.R.C.U. Seminrio Universitrio Mtemáti SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS Atividd : π ) ) 4 b) 0, ),7077 d )5,58840 ) )0 b)70 ) d )7 4 Atividd : A rgo del lumno Atividd : ) osα = ; tgα = ; otgα = ; seα = ; ose α = ) senα = ; tgα = ; otgα = ; se α = ; ose α = Atividd 4: ) ) Atividd 5: ) sen ( α + β) = sen ( α β) = os ( α + β) = os ( α β) = ) tg = = ( α β) tg ( α β) 4 5 = = 9 9 Atividd 6: sen ( α ) os ( α ) Atividd 7: A rgo del lumno. Atividd 8: 8 6 ) ) b) ) A rgo del lumno (sugereni: soir ls funiones de x y de x pr plir trnsformiones en produto). 9