Universidad del Rosario Economía Matemática II Taller 8 - Kuhn Tucker

Transcripción

1 . En los siguientes problemas de optimización: Universidad del Rosario Economía Matemática II Taller 8 - Kuhn Tucker a. Dibuje el conjunto K de puntos factibles y las curvas de nivel de la función objetivo. b. Es el conjunto K compacto, convexo y cumple la condicion de Slater? c. Solucione el problema y justifique porque es una solución. () Max x x 2 s.a x + x 2 x, x 2 0 Solución. El conjunto K es cerrado y acotado (por lo tanto compacto), convexo y cumple con Slater (tiene puntos interiores). Todos los puntos son cualificados, por lo tanto las condiciones de Kuhn- Tucker son necesarias para ser la solución al problema de maximización. Hay dos puntos que satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker, pero el que resuelve el problema es (x, x 2 ) = ( 2, 2 ), con multiplicadores de lagrange asociados (en el orden de las restricciones) λ = 2, λ 2 = 0,λ 3 = 0. (2) Figura : Q() Min (x ) 2 + x 2 2 s.a x + x 2 2 x + x 2 2 Solución. El conjunto K es cerrado y acotado (por lo tanto compacto), convexo y cumple con Slater (tiene puntos interiores). Todos los puntos son cualificados, por lo tanto las condiciones de Kuhn- Tucker son necesarias para ser la solución al problema de minimización. Acá claramente el punto que resuelve el problema de optimización y satisface las condiciones de Kuhn-Tucker es (x, x 2 ) = (, 0), con multiplicadores de lagrange asociados (en el orden de las restricciones) λ = 0 y λ 2 = 0 (Note que las restricciones no están activas).

2 Figura 2: Q(2) (3) Max 4x + 3y s.a x 2 + y 2 x y y 0 Solución. El conjunto K es cerrado y acotado (por lo tanto compacto), convexo y cumple con Slater (tiene puntos interiores). Todos los puntos son cualificados, por lo tanto las condiciones de Kuhn- Tucker son necesarias para ser la solución al problema de maximización. El punto que resuelve el problema de optimización es (x, y ) = ( 4 5, 3 5 ), con multiplicadores de lagrange asociados (en el orden de las restricciones) λ = 5 2, λ 2 = 0 y λ 3 = 0. A = (0:8;0:6) Figura 3: Q(3) (4) Max x 2 + y s.a x 2 + y 2 4 x 2 y x, y 0 2

3 Solución. El conjunto K es cerrado y acotado (por lo tanto compacto), NO es convexo y cumple con Slater (tiene puntos interiores). Existe un punto no cualificado (x, y) = (0, 0) en donde f(0, 0) = 0, se deben verificar otros posibles puntos usando el procedimiento de Kuhn- Tucker. El punto que resuelve el problema de optimización es (x, y ) = ( 5 2, 2 ), con multiplicadores de lagrange asociados (en el orden de las restricciones) λ =, λ 2 = 0, λ 3 = 0 y λ 4 = 0. Note que en este punto la función es mayor que en el punto no cualificado, f(x, y) = 7 4. Figura 4: Q(4) 2. Considere el siguiente problema de optimización Max x s.a x 2 ( x ) 2 x, x 2 0 a. Dibuje el conjunto de puntos factibles y las curvas de nivel de la función objetivo. Es compacto y convexo? Cumple la condicion de Slater? b. Calcule las condiciones de Kuhn Tucker. Existe algún punto donde se cumplan? c. Encuentre la solución del problema. Es este punto un punto cualificado? d. Agregue la restricción adicional 2x + x 2 2. Calcule las condiciones de Kuhn Tucker. Existe algún punto donde se cumplan? Solución. El conjunto K es cerrado y acotado (por lo tanto compacto), NO es convexo y cumple con Slater (tiene puntos interiores). Existe un punto no cualificado (x, y) = (, 0) que resulta ser el óptimo. Sin la restricción adicional no hay ningún punto que cumpla las condiciones de Kuhn- Tucker, con la restricción adicional el procedimiento de Kuhn- Tucker si encuentra el punto óptimo Porqué?. 3. Resuelva el siguiente problema: máx x 2 s.a x y 2 4 x 4 y 2 3

4 Figura 5: Q2 Solución. El conjunto de restricciones K es cerrado, convexo y cumple la condición de Slater, entonces la solución del problema debe cumplir las siguientes condiciones de Kuhn-Tucker: 2x = λ + λ λ (x y 2 + 4) = 0 2 (KT) (KT2) λ 2 (x 4 + y 0 = 2yλ + 2yλ 2 λ 3 2 ) = 0 λ 3 y = 0 λ 0 (KT3) λ 2 0 λ 3 0 Figura 6: Q3 (i) Solución interior: λ = λ 2 = λ 3 = 0 x = 0, entonces los puntos (0, a) con a (0, 2) son posibles soluciones. (ii) Solución en sobre la restricción pero no en las intersecciones: λ 2 = λ 3 = 0 2x = λ (KT)+(KT2) 0 = 2yλ tenemos x = 0 o y = 0, contradicción!! x = y 2 4 4

5 (iii) Solución en sobre la restricción 2 pero no en las intersecciones: λ = λ 3 = 0 2x = λ 2 (KT)+(KT2) 0 = 2yλ 2 tenemos x = 0 o y = 0, contradicción!! x = 4 y 2 (iv) Solución en sobre la restricción 3 pero no en las intersecciones: λ = λ 2 = 0 2x = 0 (KT)+(KT2) 0 = λ 3 tenemos que (0, 0) es candidato a ser solución. y = 0 (v) Solución en A(4, 0) que es la intersección de las representaciones de las restricciones 2 y 3: λ = 0 (KT) 8 = λ 2 0 = λ 3 tenemos que (4, 0) es candidato a ser solución. (vi) Solución en B(0, 2) que es la intersección de las representaciones de las restricciones y 2: λ 3 = 0 (KT) 0 = λ + λ 2 0 = 4λ + 4λ 2 tenemos que (0, 2) es candidato a ser solución. (vii) Solución en C( 4, 0) que es la intersección de las representaciones de las restricciones y 3: λ 2 = 0 (KT) 8 = λ 0 = λ 3 tenemos que ( 4, 0) es candidato a ser solución. Conclusión: los candidatos a ser solución son los puntos (0, a) con a [0, 2], (4, 0) y ( 4, 0). Sea f(x, y) = x 2 entonces f(0, a) = 0 f(4, 0) = f( 4, 0) = 6 entonces las soluciones son (4, 0) y ( 4, 0) 4. Un granjero tiene un terreno de h hectáreas, y un tractor que puede usar por t horas. Con cada hora de tractor, planta una hectárea, que produce tonelada de soya. El precio de la soya es $ por tonelada. No tiene costos de usar la tierra, o el tractor y cualquier recurso ocioso no produce nada (no puede alquilarlo a un vecino). Para cada una de las tres posibilidades (h menor o igual que t; igual, o mayor), determine cuánto está dispuesto a pagar el granjero por agrandar un poquito su terreno. Solución: Consideramos primero el caso en que h < t: Es obvio que el granjero utilizará todas sus hectáreas, y que por tanto sus beneficios serán π = h. Tenemos entonces que dπ/dh = : Esa es la respuesta. Pero para hacerlo más largo y técnico, tenemos que el granjero debe elegir H, T para maximizar sujeto a máx mính, T } H h T t. 5

6 El Lagrangiano de este problema es L = mính, T } + λ (h H) + λ 2 (t T ). Como h es menor que t; queda L = H + λ (h H) + λ 2 (t T ) ; por lo que la condición de primer orden es λ = y H = h (esto sale de Kuhn-Tucker). Por supuesto, los beneficios son π = h (como ya sabíamos). Si queremos hacer dπ/dh, podemos hacerlo directamente, o con el Teorema de la Envolvente: como π(h) = máx H L(H; h); tenemos dπ dh = L h = λ =. Siguiendo razonamientos parecidos a este, obtenemos que en los otros casos el granjero está dispuesto a pagar 0 por ampliar su terreno. El único caso curioso. es cuando h = t; en cuyo caso las dos restricciones están activas, pero el granjero no está dispuesto a pagar nada por relajarlas. 5. Considere el problema máx xy sujeto a x 2 + a 2 y 2. Encuentre V (a) de la función de máximo valor cuando a =. Solución: El Lagrangiano de este problema es Entonces, las condiciones de primer orden son: L = xy + λ( x 2 a 2 y 2 ). L x = y 2λx = 0 y = 2λx L y = x 2λa2 y = 0 x = 2λa 2 y Entonces, x 2 = y 2 a 2. Suponga que λ > 0, y 2 a 2 + a 2 y 2 =. Entonces, y = 2 a and x = 2. Entonces, λ = 2a. Si λ = 0, x = 0, y = 0, f(0, 0) = 0 < f(x, y ) = 2 2 a. Cuando a =, V (a) = L a = 2λ a(y ) 2 = 2a 2 V () = 2. 6

7 6. Considere el siguiente problema donde a IR: máx s.a. ax + y x 2 y y x 2 (a) Qué puede decir sobre la existencia de la solución del problema (P)? Solución. Como el conjunto de restricciones es compacto y la función objetivo es continua, entonces existe al menos una solución. (b) Puede usar el teorema de Kuhn-Tucker para resolver el problema (P)? Justifique su respuesta. Solución. Como el conjunto de restricciones es cerrado, convexo y cumple Slater, entonces la solución debe cumplir las condiciones de Kuhn-Tucker. (c) Resuelva el problema (P) para todo a IR. Muestre que hay tres posibles soluciones: una para a ( ; 2], otra para a ( 2; 2) y una última para a [2; ). Solución. Las condiciones de Kuhn-Tucker son: a = 2λ x + 2λ 2 x λ (x 2 y) = 0 (KT ) (KT 2) = λ + λ 2 λ 2 (y + x 2 ) = 0 (KT 3) λ 0 λ 2 0 Si λ 2 = 0 tenemos λ = lo cual es una contradicción. Por lo tanto λ 2 0 y la solución está en la restricción 2. (i) Solución en la restricción 2 pero no en los puntos de intersección. Entonces λ = 0, λ 2 =, x = a 2, y = a2 4. En este caso x (, ), por lo tanto necesitamos que a ( 2, 2). (ii) Solución en (-,0), tenemos a = 2λ 2λ 2 λ 2 = +λ a = 2λ 2 2λ λ = a 2, λ 2 = 2 a = λ + λ Para tener λ 0 necesitamos 2 a. (iii) Solución en (,0), tenemos a = 2λ + 2λ 2 λ 2 = + λ a = 2λ λ λ = a 2 = λ + λ 2 4, λ 2 = a Para tener λ 0 necesitamos a 2. Conclusión: Cuando a ( ; 2] la solución es (x, y ) = (, 0), cuando a ( 2; 2) la solución es (x, y ) = ( a 2, a2 4 ) cuando a [2; ) la solución es (x, y ) = (, 0). (d) Encuentre cuánto cambia la función de máximo valor de (P) con respecto al parámetro a. Al igual que al solucionar el problema (P), debe encontrar tres casos que dependen de los valores que puede tomar a. Solución. La función de máximo valor es: V (a) = ax + y a si a ( ; 2] V (a) = a si a ( 2; 2) a si a [2; + ) si a ( ; 2] V (a) = a 2 si a ( 2; 2) si a [2; + ) Usando el Teorema de la Envolvente se encuentra el mismo resultado. 7

8 7. Por qué no se pueden usar las condiciones de KT para resolver este problema? máx f(x, y) = y s.a. y 3 y 2 = 0 Solución. Primero, note que (0, 0) es solución del problema de optimización. Observe que f(x, y) = (0, ) y g(x, y) = ( 2x, 3y 2 ), que en (0, 0) es g(0, 0) = (0, 0). Lo anterior indica que no es posible encontrar λ tal que f(0, 0) = λ g(0, 0), es decir, el punto óptimo no satisface la CKT. El hecho es que el vector g(0, 0) no es linealmente independiente (pues el el vector nulo). 8