MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas"

Transcripción

1 Universidad de ádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTIAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 5 La circunferencia Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa González Montesinos

2

3 Índice 1. Ecuación de la circunferencia 1 2. Determinación de una circunferencia 2 3. Intersección de la circunferencia con otra línea Intersección de una circunferencia con una recta Intersección de dos circunferencias Eje radical de dos circunferencias Potencia de un punto respecto de una circunferencia Eje radical de dos circunferencias Ejercicios propuestos 7

4

5 Tema Ecuación de la circunferencia Definición 1.1 Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro. Y P(x,y) Q r (a, b) x a y b M X Figura 1: ircunferencia de centro (a,b) y radio r. Expliquemos brevemente la definición teniendo en cuenta la figura 1: sea (a,b) el centro. ualquier punto P, Q, M,..., está a la misma distancia equidista de. Esta distancia recibe el nombre de radio, r. Abreviadamente, el lugar geométrico viene dado por el conjunto = { P(x,y) R 2 / d(p,) = r }. (1) Para deducir la ecuación de la circunferencia, expresemos analíticamente (1): d(p,) = (x a) 2 + (y b) 2 = r = (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. (2) Desarrollando la ecuación anterior, se obtiene que usualmente se escribe en la forma x 2 2ax + a 2 + y 2 2by + b 2 = r 2, x 2 + y 2 + Ax + By + = 0, (3) donde A = 2a, B = 2b y = a 2 + b 2 r 2. Nótese que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas, su ecuación viene dada por x 2 + y 2 = r 2.

6 2 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Ejemplo La ecuación de la circunferencia cuyo centro es (1, 2) y cuyo radio es igual a 2 viene dada por (x 1) 2 + (y + 2) 2 = Dada la circunferencia (x+3) 2 +(y 2) 2 = 9, su centro es el punto ( 3,2) y su radio es r = Dada la circunferencia x 2 + y 2 4x + 6y 3 = 0, determinar su centro y su radio. Agrupamos los términos en x e y para expresar la ecuación de la circunferencia como en (2): (x 2 4x) + (y 2 + 6y) = 3. Para obtener el cuadrado de una suma o diferencia en x e y, sumamos y restamos, respectivamente, 4 y 9 a los dos paréntesis: (x 2 4x + 4) 4 + (y 2 + 6y + 9) 9 = 3 = (x 2) 2 + (y + 3) 2 = 16. De este modo, el centro de la circunferencia es (2, 3) y el radio es r = Determinación de una circunferencia Para hallar la ecuación de una circunferencia, se precisan varios datos que irán formulados de forma explícita o implícita en el enunciado del problema. En general, se reducirán a los siguientes: a) Si los datos son las coordenadas del centro, (a,b), y el radio, r, la ecuación es inmediata. b) onocidos tres puntos no alineados de la circunferencia tres puntos no alineados determinan una única circunferencia, bastará sustituir sus coordenadas en (2) o en (3), lo cual nos proporcionará un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Ejemplo 2.1 alcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos M(1, 4), N(1, 0) y P(3,2). Si : x 2 + y 2 + Ax + By + = 0 es la ecuación de la circunferencia que buscamos, debemos hallar los coeficientes A, B y. Para ello imponemos que los tres puntos pertenezcan a la circunferencia: =. M(1,4) = A + 4B + = 0 N(1,0) = A + 0B + = 0 P(3,2) = A + 2B + = 0 A + 4B + = 17 A + = 1 3A + 2B + = 13 Resolviendo este sistema resulta A = 2, B = 4 y = 1, de modo que la circunferencia pedida es : x 2 + y 2 2x 4y + 1 = 0. Otra forma de resolver el problema consistiría en tener en cuenta que la perpendicular en el punto medio, mediatriz, de cualquier cuerda de la circunferencia pasa por el centro, con lo que bastaría hallar la intersección de las mediatrices de MP y NP, pues se cortan en el centro de la circunferencia. c) Puede ocurrir que los datos sean distintos de los contemplados en los dos casos anteriores. Pero este hecho es sólo aparente, pues un examen cuidadoso del enunciado nos permite reducir cualquier problema a los dos casos precedentes.

7 Tema 5 3 Ejemplo Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(1, 2) y tiene su centro en (2,0). Este problema se puede englobar en el caso a), pues d(p,) = = 5 = r. Así, la ecuación de la circunferencia viene dada por : (x 2) 2 + y 2 = alcular la ecuación de una circunferencia de centro (2, 1), sabiendo que es tangente a la recta t : x y + 4 = 0. Éste también queda dentro del caso a), ya que el radio r es perpendicular a la tangente en el punto de contacto véase la figura 2 : r P t Figura 2: La recta tangente, t, a una circunferencia es perpendicular al radio, r, de ésta en el punto, P, de tangencia. d(,t) = ( 1) = 5 2. La circunferencia pedida es pues (x 2) 2 + (y 1) 2 = Intersección de la circunferencia con otra ĺınea Para calcular los puntos de intersección de dos líneas cualesquiera, se resuelve el sistema formado por las ecuaciones correspondientes a dichas líneas. Veámoslo para algunos casos sencillos: 3.1. Intersección de una circunferencia con una recta Se resuelve el siguiente sistema: : x 2 + y 2 + Ax + By + = 0 s : y = mx + n }.

8 4 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Sustituyendo y = mx + n en la primera ecuación, resulta una ecuación de segundo grado en x: ax 2 + bx + c = 0, donde a, b y c son coeficientes conocidos. Esta ecuación podrá tener dos soluciones, una o ninguna, según el valor del discriminante, = b 2 4ac: > 0: secante = 0: tangente < 0: exterior Ejemplo Determinar la posición de la circunferencia (x 2) 2 + (y + 4) 2 = 4 y de la recta x y = 0. { (x 2) Resolviendo el sistema 2 + (y + 4) 2 = 0 x = y, se obtiene la ecuación 2x2 + 4x + 16 = 0, cuyo discriminante es = < 0, por lo que la recta es exterior a la circunferencia. 2. La circunferencia x 2 + y x 7y 60 = 0 y la recta y = 2x 8 se cortan en los puntos P(4,0) y Q(3, 2), como debe comprobar el alumno. ( 3. La recta 2x y 10 = 0 es secante a la circunferencia x 2 + y 5 ) 2 = 125 en los puntos 2 4 P(5 + 30,2 30) y Q(5 30, 2 30), como puede comprobar el alumno Intersección de dos circunferencias Las coordenadas de los puntos comunes han de verificar las ecuaciones de ambas circunferencias, es decir, han de ser solución del sistema x 2 + y 2 } + Ax + By + = 0 x 2 + y 2 + A x + B y +, = 0 que es equivalente al que resulta de sustituir una ecuación por una combinación lineal de las otras: x 2 + y 2 } + Ax + By + = 0 (A A )x + (B B )y +. = 0 La segunda ecuación, que corresponde a la de una recta, se ha obtenido restando las dos ecuaciones del sistema anterior. Así, la intersección de dos circunferencias queda reducida a la intersección de una cualquiera de ellas con la recta que pasa por los puntos comunes, si existen. Ejemplo 3.2 Para determinar la posición de las circunferencias, se restan las dos ecuaciones y obtenemos el sistema equivalente x 2 + y 2 2x 4y + 3 = 0 10y + 10 = 0 { x 2 + y 2 2x 4y + 3 = 0 x 2 + y 2 2x + 6y 7 = 0 que admite dos soluciones, (0,1) y (2,1), que son las coordenadas de los puntos de corte. },

9 Tema Eje radical de dos circunferencias 4.1. Potencia de un punto respecto de una circunferencia La potencia de un punto P respecto de una circunferencia está definida como el valor constante de los productos de las distancias entre dicho punto y los puntos determinados en la circunferencia por cualquier secante que pasa por P, y se denotará por Pot (P). Según la figura 3, Y N (a, b) M A d P(x 0,y 0 ) B X Figura 3: Potencia de un punto respecto de una circunferencia. Pot (P) = PM PN = = PA PB = = ( P A ) ( P + B ) = (d r)(d + r) = d 2 r 2, donde d = P y r es el radio de la circunferencia. omo d 2 = P 2 = (x 0 a) 2 + (y 0 b) 2, se obtiene la expresión analítica de la potencia: o bien Pot (P) = d 2 r 2 = (x 0 a) 2 + (y 0 b) 2 r 2, Pot (P) = x y2 0 + Ax 0 + By 0 +. Nótese que la primera expresión es el resultado de sustituir en el primer miembro de la ecuación de la circunferencia (x a) 2 + (y b) 2 r 2 = 0 las coordenadas del punto P, mientras que la segunda se obtiene sustituyendo dichas coordenadas en la ecuación de la forma x 2 + y 2 + Ax + By + = 0. omo d 2 r 2 0, un punto P(x 0,y 0 ) es exterior, pertenece a la circunferencia o es interior, según se verifique, respectivamente, x y2 0 + Ax 0 + By Ejemplo La potencia de P( 2,3) respecto de la circunferencia : x 2 + y 2 2x 4y + 1 = 0 es Pot (P) = ( 2) ( 2) = 6.

10 6 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas e e Secantes e P Tangentes Exteriores Figura 4: Eje radical de dos circunferencias. 2. Los puntos M(1,4) y N(1,1) están, respectivamente, en la circunferencia y en el interior del círculo, como puede comprobar el alumno Eje radical de dos circunferencias El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ellas, es decir, si y son dos circunferencias, el eje radical está definido por e(, ) = { P R 2 /Pot (P) = Pot (P) }. (4) Si P(x,y) es un punto cualquiera de dicho lugar geométrico, y : x 2 + y 2 + Ax + By + = 0 y : x 2 + y 2 + A x + B y + = 0, en virtud de (4) se tiene que x 2 + y 2 + Ax + By + = x 2 + y 2 + A x + B y +, de donde e(, ) : (A A )x + (B B )y + = 0, (5) esto es, el eje radical de dos circunferencias es una recta. Es más, puede probarse sin ninguna dificultad que el eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta que une los centros de ambas circunferencias. Dadas dos circunferencias, si éstas son secantes, el eje radical es la recta que une los puntos de corte; si son tangentes, el eje radical es la recta tangente a las dos en su punto de contacto. Si son exteriores, el eje radical se construye del siguiente modo: se traza una circunferencia auxiliar arbitraria que sea secante a ambas circunferencias, se trazan las rectas secantes correspondientes y éstas se cortarán en un punto P; el eje radical es la recta perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias y y que pasa por el punto P. Todo ello puede verse en la figura 4.

11 Tema 5 7 Ejemplo 4.2 El eje radical de las circunferencias : x 2 +y 2 4x+6y 10 = 0 y : x 2 +y 2 +2x 4y 8 = 0 viene dado por e(, ) : 3x 5y + 1 = Ejercicios propuestos (1) Halla las ecuaciones de las circunferencias cuyo centro y radio son: a) (3, 2), r = 4; b) (0,3), r = 3; c) (2,3), r = 1. (2) Determina las coordenadas del centro y el radio de las circunferencias siguientes: a) x 2 + y 2 4x 6y 12 = 0; b) x 2 + y 2 + 3x + y + 10 = 0; c) 4x 2 + 4y 2 4x + 12y 6 = 0; d) 1 2 x y2 + 3x + y + 5 = 0. (3) alcula la ecuación de la circunferencia que a) tiene su centro en (2, 3) y pasa por el punto (1,4); b) tiene su centro en (2, 3) y es tangente al eje de abscisas; c) tiene su centro en el punto de intersección de las rectas x + 3y + 3 = 0 y x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5; d) tiene su centro en ( 1,4) y es tangente al eje de ordenadas; e) tiene su centro en (2,0) y es tangente a la bisectriz del primer cuadrante; f) tiene su centro en (1,3) y es tangente a la recta 3x + 4y + 10 = 0; g) tiene su centro en la recta 5x 3y 2 = 0 y pasa por los puntos (4,0) y (0,4); h) tiene su centro en la recta x + y = 2 y pasa por los puntos A(2,1) y B( 1,5); i) pasa por el punto ( 2,2) y es tangente a las rectas 4x + 3y 8 = 0 y 4x 3y + 24 = 0; j) tiene por diámetro el segmento AB, con A(2,0) y B( 6,6). (4) Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos a) A(3, 2), B(4,0), (0,5); b) A(1, 1), B( 2, 3), ( 1, 1). (5) Halla las coordenadas de los puntos de intersección, si existen, de la circunferencia x 2 + y 2 4x + 2y 20 = 0 con cada una de las siguientes líneas: a) x + 7y 20 = 0; b) 3x + 4y 27 = 0; c) x + y 10 = 0; d) x 2 + y 2 6x 2y 14 = 0; e) x 2 + y 2 + 6x 4y + 10 = 0.

12 8 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas (6) Dada la circunferencia x 2 + y 2 6x + 10y 66 = 0, halla las ecuaciones de las tangentes paralelas a la recta 4x 3y + 2 = 0. (7) Dados los puntos de coordenadas (0,2) y (0, 2), se pide: a) Escribir la ecuación general de todas las circunferencias que pasen por esos puntos; b) de estas circunferencias, determinar el centro y el radio de aquella que es tangente a la recta y = 3x + 2. (8) Determina la longitud del segmento de tangente trazado desde el punto (9, 4) a la circunferencia x 2 + y 2 4x 2y 4 = 0. (9) alcula las distancias máxima y mínima del punto (8, 3) a la circunferencia x 2 +y 2 +6x 4y+9 = 0. (10) Halla sobre la circunferencia x 2 + y 2 = 1 el punto más alejado del (1,0) y el punto más cercano al (5,5). (11) Halla las ecuaciones de las tangentes y de las normales, en los puntos de abscisa 2, a las circunferencias a) x 2 + y 2 = 4; b) x 2 + y 2 + 4x + 6y = 12; c) x 2 + y 2 10x 2y = 1. (12) Respecto de las tres circunferencias del ejercicio anterior: a) calcula las potencias de los puntos ( 2,3) y (2, 1), indicando en cada caso sus posiciones respecto al círculo correspondiente; b) halla las ecuaciones de sus ejes radicales, tomadas las circunferencias dos a dos. (13) Demuestra analíticamente que el eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta que une sus centros. (14) Dadas las circunferencias x 2 + y 2 = 4 y 1 2 x y2 3x 4y = 3, encuentra las coordenadas de un punto que tiene igual potencia respecto de las dos circunferencias, y equidista de los ejes coordenados. (15) Halla las ecuaciones de las circunferencias y el área del círculo correspondiente, si sabemos de cada una que: a) es tangente a la bisectriz del segundo cuadrante y tiene su centro en ( 5,0); b) pasa por el punto (1,4) y es concéntrica con x 2 + y 2 + 6x 4y = 0; c) pasa por el punto (3,0) y es tangente a la circunferencia x 2 +y 2 2x+4y 24 = 0 en el punto (3,3); d) es tangente al eje de abscisas en el punto M(2,0) y a la recta y = x. (16) alcula la longitud de la cuerda: a) determinada por la recta x + 1 = y con la circunferencia x 2 + y 2 = 25; b) determinada por la intersección de las circunferencias siguientes: (x 2) 2 + (y + 1) 2 = 9 y (x 3) 2 + (y + 1) 2 = 17. (17) alcula el área del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos de intersección de los ejes coordenados con la circunferencia x 2 + y 2 4x 11y 12 = 0.

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene: a) el centro en el punto (, 5) y el radio es igual a 7. b) un diámetro con extremos los puntos (8, -) y (, 6). a) La

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO Si un hombre es perseverante, aunque sea duro de entendimiento se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en fuerte Leonardo Da Vinci TRASLACION DE

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 4 La recta en el plano Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa

Más detalles

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z GEOMETRÍA Junio 94. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia (x 1) (y ) 1. Razónalo. [1,5 puntos]. Dadas las ecuaciones de los

Más detalles

Aplicaciones de vectores

Aplicaciones de vectores Aplicaciones de vectores Coordenadas del punto medio de un segmento Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos. Ejemplo: Hallar las coordenadas del

Más detalles

Geometria Analítica Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas

Geometria Analítica Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas 1. Verificar las identidades siguientes: 1) P (3, 3), Q( 1, 3), R(4, 0) Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas 2) O( 10, 2), P ( 6, 3), Q( 5, 1) 2. Demuestre que los puntos dados forman un triángulo isósceles.

Más detalles

4.- Deduce la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son A=(6,0) y B=(0,-2). Sol: x-3y-6=0.

4.- Deduce la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son A=(6,0) y B=(0,-2). Sol: x-3y-6=0. Tipos de rectas. Vector director. Pendiente. Paralelas y perpendiculares. 1.- Encuentra la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por los puntos A=(3,2) y B=(1,-1). Sol: (x,y)=(3,2)+t(2,3);

Más detalles

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta PROBLEMAS MÉTRICOS Página 3 REFLEXIONA Y RESUELVE Diagonal de un ortoedro Halla la diagonal de los ortoedros cuyas dimensiones son las siguientes: I) a =, b =, c = II) a = 4, b =, c = 3 III) a =, b = 4,

Más detalles

5 Geometría analítica plana

5 Geometría analítica plana Solucionario Geometría analítica plana ACTIVIDADES INICIALES.I. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(, ) y B(8, ). El punto medio es M(, 8)..II. Dibuja un triángulo isósceles

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 RECTAS - EJERCICIOS TEÓRICOS 1- Demostrar que la ecuación

Más detalles

9 Geometría. analítica. 1. Vectores

9 Geometría. analítica. 1. Vectores 9 Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C

Más detalles

8 Geometría. analítica. 1. Vectores

8 Geometría. analítica. 1. Vectores Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado

Más detalles

Resolución Guía de Trabajo. Geometría Analítica.

Resolución Guía de Trabajo. Geometría Analítica. Universidad de la Frontera Facultad de Ingeniería TEMUCO, Agosto 8 de 2013 Departamento de Matemática y Estadística Resolución Guía de Trabajo. Geometría Analítica. Fundamentos de Matemáticas. Profesores:

Más detalles

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO UNIDAD 6 RECTA Y PLANO EN EL EPACIO Página 1 1. Puntos alineados en el plano Comprueba que los puntos A (, ), B (8, ) y C (1, ) no están alineados. A (, ) B (8, ) C (1, ) AB = (, 1); BC = (, ) No tienen

Más detalles

DIBUJO TÉCNICO. UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V)

DIBUJO TÉCNICO. UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V) UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V) ÍNDICE Página: 1 CURVAS CÓNICAS. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS.. 2 2 TRAZADO MEDIANTE RADIOS VECTORES 4 3 RECTAS TANGENTES A CÓNICAS 5 3.1 CIRCUNFERENCIAS FOCALES 6 3.2

Más detalles

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta.

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta. Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Desigualdades 1.1. Introducción. Intervalos Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta. 1 0 1 5 3 Sean a y b números y supongamos que

Más detalles

MÉTODOS DE ELIMINACIÓN Son tres los métodos de eliminación más utilizados: Método de igualación, de sustitución y de suma o resta.

MÉTODOS DE ELIMINACIÓN Son tres los métodos de eliminación más utilizados: Método de igualación, de sustitución y de suma o resta. ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. Dos o más ecuaciones con dos incógnitas son simultáneas cuando satisfacen iguales valores de las incógnitas. Para resolver ecuaciones de esta

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA 2º Curso de Bachillerato 22 de mayo de 2008

GEOMETRÍA ANALÍTICA 2º Curso de Bachillerato 22 de mayo de 2008 1. Sean los puntos A (1, 0,-1) y B (,-1, 3). Calcular la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y B. Calculemos la recta que pasa por A y B. El vector AB es (1,-1,4) y por tanto

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el LA PARABOLA Señor... cuando nos equivoquemos, concédenos la voluntad de rectificar; y cuando tengamos razón... no permitas que nos hagamos insufribles para el prójimo. Marshall En la presente entrega,

Más detalles

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

TEMA 5: CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

TEMA 5: CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO TEMA 5: CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán 1. INTRODUCCIÓN... 1 2. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO... 1 3. MEDICIÓN DE ÁNGULOS... 3 4. ÁNGULOS EN

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID. PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 2001-2002 OPCIÓN A

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID. PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 2001-2002 OPCIÓN A UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 2001-2002 MATERIA: DIBUJO TÉCNICO Junio Septiembre R1 R2 INSTRUCCIONES GENERALES La prueba consiste

Más detalles

Caracterización geométrica

Caracterización geométrica Caracterización geométrica Ahora vamos a centrar nuestra atención en la elipe. Esta figura geométrica tiene la misma esencia que la circunferencia, pero ésta está dilatada en uno de sus ejes. Recuerda

Más detalles

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define. VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

x y y x 2x y x y x 2y 2 5 x 2y 2 5 EJERCICIOS PROPUESTOS

x y y x 2x y x y x 2y 2 5 x 2y 2 5 EJERCICIOS PROPUESTOS Solucionario 6 CÓNICAS 6.I. Calcula las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos e identifícalos. a) Puntos que equidistan de A(3, 3) y de B(, 5). b) Puntos que equidistan de r: y 0 y s: y 0. c)

Más detalles

Matemáticas. Segundo de Bachillerato. I.E.S. Los Boliches. Departamento de Matemáticas

Matemáticas. Segundo de Bachillerato. I.E.S. Los Boliches. Departamento de Matemáticas Matemáticas. Segundo de Bachillerato. I.E.S. Los Boliches. Departamento de Matemáticas Relación. Geometría en el espacio (II) 1. Estudiar la posición relativa de los siguientes conjuntos de planos: (a)

Más detalles

Districte Universitari de Catalunya

Districte Universitari de Catalunya Proves dʼaccés a la Universitat. Curs 2009-2010 Matemáticas Serie 1 Responda a CINCO de las siguientes seis cuestiones. En las respuestas, explique siempre qué es lo que quiere hacer y por qué. Cada cuestión

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

Inversión en el plano

Inversión en el plano Inversión en el plano Radio de la circunferencia x 2 + y 2 + Ax + By + D = 0 Circunferencia de centro (a, b) y radio r: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. Comparando: x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0 con x

Más detalles

EJERCICIOS DE PUNTOS EN EL ESPACIO

EJERCICIOS DE PUNTOS EN EL ESPACIO EJERCICIOS DE PUNTOS EN EL ESPACIO 1.- Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las coordenadas

Más detalles

GEOMETRÍA CON LA CLASSPAD 300

GEOMETRÍA CON LA CLASSPAD 300 8. GEOMETRÍA CON LA CLASSPAD 300 LA APLICACIÓN GEOMETRÍA Para acceder a la aplicación para trabajar con distintas construcciones geométricas bastará con pulsar el icono correspondiente a Geometry en el

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

Parcial 2 Precálculo

Parcial 2 Precálculo Parcial 2 Precálculo Marzo 4 de 2008. (.5 puntos) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2,-2) y (-9,-3) Encuentre los interceptos en x y en y. Encuentre la ecuación de la recta que

Más detalles

8 Vectores y rectas. Vector: AB = (b 1 a 1, b 2 a 2 ) Módulo: AB = Paramétricas: Continua: = OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

8 Vectores y rectas. Vector: AB = (b 1 a 1, b 2 a 2 ) Módulo: AB = Paramétricas: Continua: = OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 9566 _ 009-06.qxd 7/6/0 :55 Página 9 Vectores y rectas INTRODUCCIÓN Los vectores son utilizados en distintas ramas de la Física que usan magnitudes vectoriales, por lo que es importante que los alumnos

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en

Más detalles

Transformaciones geométricas

Transformaciones geométricas Transformaciones geométricas Autores FERNANDEZ PEREZ-RENDON, ANTONIO LUIS NECULA, IOANA GABRIELA MARIN SANCHEZ, JUAN MANUEL GARRIDO VIZUETE, MARIA DE LOS ANGELES NAVARRO DOMINGUEZ, MARIA DE LOS ANGELES

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

8 GEOMETRÍA ANALÍTICA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCICIOS PROPUESTOS 8. Las coordenadas de los vértices de un rectángulo son A(, ); B(, 5); C(6, 5), y D(6, ). Halla las coordenadas y representa los vectores AB, BC, CD y DA. Qué

Más detalles

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA 4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son: Esta última ecuación

Más detalles

EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA

EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Halle el punto P simétrico del punto P ( 3, 4, 0) respecto del plano Л que contiene a la recta s : x = y 2 = z 1 y al

Más detalles

6. VECTORES Y COORDENADAS

6. VECTORES Y COORDENADAS 6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES

Más detalles

Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2012 - Propuesta B

Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2012 - Propuesta B Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2012 - Propuesta B 1. Una empresa tiene 3000 bolsas de ajo morado de Las

Más detalles

SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL

SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL SISTEMAS DE COORDENADAS En la vida diaria, nos encontramos con el problema de ordenar algunos objetos; de tal manera que es necesario agruparlos, identificarlos, seleccionarlos, estereotiparlos, etc.,

Más detalles

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff Seminario Universitario Material para estudiantes Física Unidad 2. Vectores en el plano Lic. Fabiana Prodanoff CONTENIDOS Vectores en el plano. Operaciones con vectores. Suma y producto por un número escalar.

Más detalles

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas Bloque Números 1 Resuelve: a. Si tomas como valor de 11. 1 la aproximación. 1, qué errores absoluto y relativo has cometido?. Solución: 0. 000; 0. 0%

Más detalles

TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA Nueva del Carmen, 35. 470 Valladolid. Tel: 983 9 63 9 Fax: 983 89 96 TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos / Criterios de evaluación O.7. Concepto y propiedades de los vectores O.7. Operaciones con vectores:

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO ÍNDICE VECTORES EN EL PLANO... 3 Vector Fijo... 3 VECTOR LIBRE... 3 Operaciones con Vectores... 3 Suma de vectores... 3 Producto de un número por

Más detalles

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta:

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta: Todo el mundo sabe que dos puntos definen una recta, pero los matemáticos son un poco diferentes y, aún aceptando la máxima universal, ellos prefieren decir que un punto y un vector nos definen una recta.

Más detalles

VECTORES. son base y. 11) Comprueba si los vectores u

VECTORES. son base y. 11) Comprueba si los vectores u VECTORES 1. Cálculo de un vector conocidos sus extremos. Módulo de un vector 2. Operaciones con vectores 3. Base: combinación lineal, linealmente independientes.coordenadas de un vector en función de una

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver

Más detalles

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una

Más detalles

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA . NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA CONTENIDO Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas Coordenadas cartesianas de un punto Distancia entre dos

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

KIG: LA GEOMETRÍA A GOLPE DE RATÓN. Asesor de Tecnologías de la Información y de las Comunicaciones

KIG: LA GEOMETRÍA A GOLPE DE RATÓN. Asesor de Tecnologías de la Información y de las Comunicaciones KIG: LA GEOMETRÍA A GOLPE DE RATÓN Asesor de Tecnologías de la Información y de las Comunicaciones GNU/LINEX Mariano Real Pérez KIG KDE Interactive geometry (Geometría interactiva de KDE) es una aplicación

Más detalles

Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0.

Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0. NÚMEROS COMPLEJOS. INTRO. ( I ) Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0. Si bien esto no era un problema

Más detalles

Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas

Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas. Vectores y puntos en el plano. Coordenadas.... Operaciones con vectores... 5.. Suma y resta de vectores... 5.. Producto de un número real por un vector....

Más detalles

GEOMETRÍA 1.- INTRODUCCIÓN:

GEOMETRÍA 1.- INTRODUCCIÓN: GEOMETRÍA 1.- INTRODUCCIÓN: Etimológicamente hablando, la palabra Geometría procede del griego y significa Medida de la Tierra. La Geometría es la parte de las Matemáticas que estudia las idealizaciones

Más detalles

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1).

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1). INTEGRALES DE LÍNEA. 15. alcular las siguientes integrales: (a) (x + y) ds donde es el borde del triángulo con vértices (, ), (1, ), (, 1). (b) x + y ds donde es la circunferencia x + y ax (a > ). (a)

Más detalles

XLIV Olimpiada Matemática Española Fase nacional 2008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (28 de marzo)

XLIV Olimpiada Matemática Española Fase nacional 2008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (28 de marzo) Fase nacional 008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (8 de marzo).- Halla dos enteros positivos a y b conociendo su suma y su mínimo común múltiplo. Aplícalo en el caso de ue la suma sea 97 y el mínimo común múltiplo

Más detalles

El espacio tridimensional. Tema 01: Álgebra lineal y geometría en R 3. Vectores. El producto punto o producto escalar. Teorema

El espacio tridimensional. Tema 01: Álgebra lineal y geometría en R 3. Vectores. El producto punto o producto escalar. Teorema El espacio tridimensional Tema 01: Álgebra lineal y geometría en R 3 Juan Ignacio Del Valle Gamboa Sede de Guanacaste Universidad de Costa Rica Ciclo I - 2014 Partimos de los conceptos de punto y vector.

Más detalles

Matemáticas II PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD 2012 BACHILLERATO FORMACIÓN PROFESIONAL CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR.

Matemáticas II PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD 2012 BACHILLERATO FORMACIÓN PROFESIONAL CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR. PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD 0 Matemáticas II BACHILLERATO FORMACIÓN PROFESIONAL CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR Examen Criterios de Corrección y Calificación UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 0ko

Más detalles

Introducción. Esperamos que el presente texto contenga el material básico para el desarrollo de este curso, bienvenido y... A estudiar!

Introducción. Esperamos que el presente texto contenga el material básico para el desarrollo de este curso, bienvenido y... A estudiar! Introducción La Geometría Analítica, es fundamental para el estudio y desarrollo de nuevos materiales que nos facilitan la vida diaria, razón por la cual esta asignatura siempre influye en la vida de todo

Más detalles

COORDENADAS CURVILINEAS

COORDENADAS CURVILINEAS CAPITULO V CALCULO II COORDENADAS CURVILINEAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas MA5 Clase 9: Campos Direccionales, Curvas Integrales. Eistencia y Unicidad Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González La ecuación y = f(, y) determina el coeficiente angular de la tangente

Más detalles

Movimientos en el plano

Movimientos en el plano 7 Movimientos en el plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Manejar el concepto de vector como elemento direccional del plano. Reconocer los movimientos principales en el plano: traslaciones, giros

Más detalles

Programación Lineal. f(x,y) = 2 x + y. Cuántas soluciones hay? Solución:

Programación Lineal. f(x,y) = 2 x + y. Cuántas soluciones hay? Solución: Programación Lineal 2 x + y 2 1.- alcula los puntos del recinto 2x y 2 que hacen mínima o máxima la función y 2 f(x,y) = 2 x + y. uántas soluciones hay? Solución: Representemos el sistema de inecuaciones

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

VECTORES LIBRES DEL PLANO

VECTORES LIBRES DEL PLANO VECTORES LIBRES DEL PLANO ESPACIO VECTORIAL NUMERICO R² 1.-En un espacio vectorial: a) Cuantas operaciones están definidas. b) Cuantos conjuntos intervienen. c) Cita e indica las operaciones. d) Haz las

Más detalles

Sistemas de vectores deslizantes

Sistemas de vectores deslizantes Capítulo 1 Sistemas de vectores deslizantes 1.1. Vectores. Álgebra vectorial. En Física, se denomina magnitud fsica (o simplemente, magnitud) a todo aquello que es susceptible de ser cuantificado o medido

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS

4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS 4 4.1 EL SISTEMA POLAR 4. ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES.

Más detalles

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(

Más detalles

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO CAPÍTULO I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO SECCIONES 1. Vectores. Operaciones con vectores. 2. Rectas y planos en R 3. 3. Curvas y superficies en R 3. 4. Nociones de topología métrica. 1 1. VECTORES. OPERACIONES

Más detalles

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn.

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn. 1. VECTORES INDICE 1.1. Definición de un vector en R 2, R 3 (Interpretación geométrica), y su generalización en R n...2 1.2. Operaciones con vectores y sus propiedades...6 1.3. Producto escalar y vectorial

Más detalles

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades: DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)

Más detalles

Vectores: Producto escalar y vectorial

Vectores: Producto escalar y vectorial Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con

Más detalles

2. Aritmética modular Ejercicios resueltos

2. Aritmética modular Ejercicios resueltos 2. Aritmética modular Ejercicios resueltos Ejercicio 2.1 Probar, mediante congruencias, que 3 2n+5 + 2 4n+1 es divisible por 7 cualquiera que sea el entero n 1. Trabajando módulo 7 se tiene que 3 2n+5

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial

Más detalles

Tema 8: Intersección de superficies. Aplicaciones al dibujo técnico.

Tema 8: Intersección de superficies. Aplicaciones al dibujo técnico. Tema 8: Intersección de superficies. plicaciones al dibujo técnico. Consideraciones generales. El proceso para obtener la intersección de dos superficies S y S2, se desarrolla como sigue (figura ):. Por

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

Vectores en el espacio

Vectores en el espacio Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles