y = 2x + 8x 7, y = x 4. y = 4 x, y = x + 2, x = 2, x = 3. x = 16 y, x = 6 y. y = a x, y = x, x y = a. (1 x)dx. y = 9 x, y = 0.

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María del Carmen Gómez Quintero
hace 7 años
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1 . Encuentre el área de la región limitada por las curvas indicadas:.. y = x, y = x +... x = y, x = y +... y = x +, y = x +, y = x y = x + 8x 7, y = x. y = x, y = x +, x =, x =. x = 6 y, x = 6 y. x = (y + ), x = y +. x 6 + y 9 =, x + y =. y = x +, y = (x ). y = x, y = 8 x, x y + = 0. y = x +, x = y. y x = 6, y = x, y + x = 0. y = a x, y = x, x y = a.. Grafique una región del plano, cuya área quede definida por ( x)dx.. Sin calcular la integral anterior, determine su resultado.. Halle el valor positivo de b para que el área de la región limitada por las curvas x = y + y, y = x + b sea Halle el valor de b de modo que la recta y = b divida en dos partes de igual área, la región limitada por las curvas y = 9 x, y = Deduzca la fórmula V = a para el volumen del cubo de arista a. 7. Deduzca la fórmula V = π r para una esfera de radio r unidades. 8. Demuestre que el volumen de un cilindro circular recto, que tiene una altura de h unidades y un radio de la base de r unidades es igual a V = π r h. 9. Halle el volumen de la pirámide (tetraedro) de base triangular y aristas a, b, c perpendiculares. José Luis Quintero

2 TEMA 0. Calcule el volumen de una pirámide cuya altura es de h unidades y cuya base es un cuadrado de lado de s unidades.. La base de un sólido es la región del plano xy acotada por las curvas x y = e, y = x en el intervalo 0,. Si las secciones transversales perpendiculares al eje x y al sólido son semicirculares, calcule su volumen.. Calcule el volumen del sólido cuya base es la región interior a la elipse x 9 + y = y sus secciones transversales son:.. Semielipses de altura, perpendiculares al eje x.. Cuadrados, perpendiculares al eje x.. Triángulos de altura con base en la región interior a la elipse, perpendiculares al eje y. Halle el volumen de un sólido si se sabe que su base es una región elíptica con la curva frontera 9x + y = 6 y las secciones transversales perpendiculares al eje x xon triángulos rectángulo isósceles con la hipotenusa en la base.. Halle el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por:.. y = x, y = x, 0 x alrededor de y =... y = x, x = y y alrededor del eje y. 5. Calcule el volumen del sólido que genera la región limitada por las curvas y = (x ), y = x cuando rota alrededor de x =. 6. Una región del plano está limitada por las curvas x + y = 6, x + y + x = 0 con y 0. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región alrededor de la recta y =. 7. Calcule el volumen del sólido de revolución generado por la región limitada por las curvas x = y, (8 x) = y al rotarla alrededor del eje y =. 8. Para la región limitada por la región al rotar alrededor del eje x. y = x, y = x, determine el volumen del sólido que genera 9. Calcule el volumen generado por la rotación de la región delimitada por las curvas y = alrededor del eje: 9.. y. 9.. x. y = x, José Luis Quintero

3 0. Sea la región delimitada por la semielipse y = x y el eje x. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región alrededor del eje: 0.. y = 0.. y =. Halle el volumen generado por la rotación de la región limitada por las curvas y = x +, x = y alrededor del eje:.. x =.. y =. Dada la región limitada por las curvas sólido generado al girar la región alrededor de la recta x =. y = 8(x + ), y = (8 x), halle el volumen del. Dada la región comprendida entre la curva volumen del sólido que se genera al girar la región alrededor del eje.. x... y. y = x, con x y el eje x. Calcule el. Calcule el volumen generado por la región R acotada entre las curvas cuando gira alrededor de la recta y =. x = y, y = x, 5. Considere la región limitada por las curvas x = (y + ), x = y +. Halle el volumen al girar la región alrededor de la recta: 5.. y =. 5.. x =. 6. Halle el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las parábolas y = x, y = (x ) alrededor del eje: 6.. x. 6.. y. 6.. x = Calcule el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por las gráficas de las curvas y = x, y = x + x + alrededor del eje y. 8. Sea R la región acotada por las curvas 8.. Grafique R. y x 6, y x, y x 0 = = + =. 8.. Plantee las integrales que permiten calcular el volumen generado al girar R alrededor de la recta y = por el método de los 8... discos cilindros. 9. Integrando respecto de y, halle la longitud del segmento de la recta x y + 6 = 0 desde y = 0 hasta y =. Compruebe el resultado mediante la fórmula de distancia. 0. Halle la longitud de la parábola x = y entre x = 0 y x =.. Calcule la longitud de arco de la curva y = (x + ), con x. José Luis Quintero

4 . Calcule la longitud de arco de la parábola y = x comprendida entre x.. Halle la longitud de arco de la curva x = y ln(y) comprendido entre y e.. Halle la longitud del arco x y = arcsen(e ) desde x = 0 hasta x =. 5. Halle la longitud de la curva C dada en forma paramétrica por x(t) = t, y(t) = t ; t 0,. 6. Calcule la longitud del arco descrito por la función y = x desde el punto (, ) al (,). 7. Deduzca la fórmula L = π r para la longitud de la circunferencia de radio r, usando sus ecuaciones paramétricas. 8. Halle la longitud de la curva C dada en forma paramétrica por x(t) = t, y(t) = t, t [0,]. 9. Calcule la longitud de un arco de la cicloide x( θ ) = r( θ sen( θ)), 0 θ π. y( θ ) = r( cos( θ)) 0. Dada la curva (arco de una cardioide) x(t) = cos(t) cos(t), 0 t π, y(t) = sen(t) sen(t) calcule su longitud.. Sea la curva sen(y) = e x con x = 0 hasta x =. Pruebe que su longitud es ln(e + e ).. Encuentre el área de la superficie generada por la rotación de las curvas siguientes en torno al eje que se indica:.. y = x, x 7 ; alrededor del eje x... y = x, 0 x ; alrededor del eje y... y = x, x 8; alrededor de x =.. Halle el área de la superficie del paraboloide que genera la curva y = x, 0 x, cuando rota alrededor del eje x.. El área lateral de una esfera de radio R viene dada por S = π R. Deduzca esta fórmula. José Luis Quintero

5 5. Calcule el área de la superficie de revolución generada por alrededor del eje y. y = x con 0 x, 6. Si la curva (x a) + y = r gira alrededor del eje y genera un sólido llamado toro de revolución (tripa de caucho). Calcular su superficie lateral. 7. Halle el centroide de la región limitada por las curvas y = x, y = x. 8. Determine el centroide de la región limitada por las curvas y = x, x = y. 9. Calcule el centro de masa del semicírculo de radio r. 50. Dada la región acotada por las curvas y = x + x, 6x = y, calcule su centroide. 5. Siendo la densidad constante, calcule el centro de masa de la región limitada por las curvas y = x, x + y =. 5. Calcule el centro de masa de la región delimitada por las curvas Considere la densidad constante. x = y, y = x Halle el centro de masa del arco de la cicloide de ecuaciones dadas por x = R(t sen(t)), y = R( cos(t)) con 0 t π. Considere la densidad igual a uno. 5. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por y = x, x = y cuando rota alrededor del eje x + y =. 55. Halle el volumen de una esfera de radio a, utilizando el teorema de Pappus. 56. Calcule el volumen del sólido que genera la región limitada por las curvas y = x + x, y = x, cuando gira alrededor de la recta: 5.. x = 5.. y = 5.. y = x Considere la región limitada por las curvas por la rotación de la región de la recta y = x +. y = x, y = x. Calcule el volumen generado 58. Halle el área del sólido generado al rotar el arco de la parábola alrededor de x =. y = x x, 0 x, 59. Calcule el área de la superficie de rotación generada por un arco de la cicloide alrededor de la recta y = R. José Luis Quintero 5

6 60. Si la mitad superior de la elipse sólido de revolución cuyo volumen es región limitada por la elipse y el eje x. x a + y b = rota alrededor del eje x, genera un π ab. Calcule las coordenadas del centroide de la José Luis Quintero 6

7 R E S P U E S T A S π π a.. ( π ). 9. V = abc 0. V = s h. V = (e + )... 6 π π π.. π 5. 6π 6. π (7π 8) 7. 0 π 8 π π ( + π ) 0.. π( π ) π π π π π π. π π π. 08π 6π π π [(6 + x + ) ( x / + ) ]dx + π [(6 + x + ) (x + ) ]dx π π + (y )( y y)dy (y )( y (y 6))dy 0. 5 ln( 5 + ). ( ).. ln(e + e ) ln r (e + ) π ( ).. 57π... (5 5 ) 5. π r π ar 7. (0, ) 8. (, ) 9. (0, ) 0 0 π 5. (, ) π π 5. (,0) 5. ( π R, R) 5. 9 π π 56.. π 56.. π 57. π 58. π [ 7 + ln( + 7)] π José Luis Quintero 7

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