4 ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD FISICA

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1 4 ANALISIS IENSIONAL Y SIILITU ISICA Contnido 4.1. Introducción 4.. Qué s un parámtro adimnsional? 4.3. Naturalza adimnsional dl flujo fluido 4.4. El torma d Pi d Buckingham 4.5. Cómo agrupar las variabls d procso n grupos adimnsionals? 4.6. Significado físico d los parámtros adimnsionals 4.7. Similitud

2 Prof. Emilio Rivra Chávz Apunts d Clas 4.1. Introducción En la mcánica d los fluidos s posibl obtnr importants rsultados a partir d un nfoqu dimnsional dl flujo fluido. Las variabls involucradas n cualquir situación física ral pudn sr agrupadas n un cirto númro d grupos adimnsionals indpndints los cuals prmitn caractrizar fnómno físico. La caractrización d cualquir problma mdiant grupos adimnsionals, s llva cabo mdiant un método dnominado análisis dimnsional. El uso d la técnica d análisis dimnsional adquir rlvancia sobr todo n la planificación d xprimntos y prsntación d rsultados n forma compacta, sin mbargo s utiliza con frcuncia n studios d tipo tórico. Esncialmnt, l análisis dimnsional s una técnica qu prmit rducir l númro y compljidad d las variabls qu intrvinn n la dscripción d un fnómno físico dado. Por otra part l análisis dimnsional prmit rlacionar los datos mdidos n u modlo xprimntal con la información rqurida para l disño d un prototipo a scala ral. Al proporcionar las lys d scala corrspondints, cuyo componnt principal s la similitud gométrica y la igualdad d los parámtros adimnsionals qu caractrizan l objto d studio, ntr modlo y prototipo. Sin mbargo db qudar claro qu la técnica dl análisis dimnsional no pud prdcir qué variabls son importants ni prmit xplicar l mcanismo involucrado n l procso físico. Si no s con ayuda d las prubas xprimntals. Ps a llo constituy una valiosa hrraminta para l ingniro mcánico. En st capítulo s mustran mdios d valuación d los parámtros adimnsionals y cirtos aspctos d similitud para prdcir l comportaminto d flujo d un quipo n bas a los rsultados xprimntals obtnidos d modlos a scala d laboratorio. La solución d problmas d mcánica d fluidos implica frcuntmnt una combinación dl studio analítico y l uso d información xprimntal. Análisis tórico matmático dl problma plantado. Ecuacions fundamntals dl flujo ifrncials? Intgrals? Planificación dl trabajo xprimntal Análisis dimnsional? Aproximación odlado matmático Validación Exprimntal Rfinar l análisis Exist coincidncia o suficint aproximación No Si O.K.

3 Prof. Emilio Rivra Chávz Apunts d Clas 4.. Qué s un parámtro adimnsional? Si s considra la cuación d la viscosidad du τ ds cuya xprsión dimnsional quivalnt s: L 1 L θ Ahora si agrupamos todas las variabls implicadas n la cuación, n un solo mimbro, por jmplo n l sgundo, s obtin: du 1 ds τ La xprsión dimnsional rsultant, d sta nuva xprsión srá: [ 1] [1] S v qu las variabls,, du/ds, agrupadas n la forma indicada tinn una xprsión dimnsional quivalnt s 1. S dic n stos casos qu l grupo s adimnsional. Entoncs s pud dcir, n gnral, qu un parámtro adimnsional s un grupo d variabls agrupadas d tal forma qu su xprsión dimnsional mas simpl s 1. Es dcir qu no tin dimnsions. En la mcánica d los fluidos stos grupos adimnsionals tinn, por lo gnral, un significado físico Naturalza adimnsional dl flujo fluido Sgún s discutió n l capitulo 1, l principio d homognidad dimnsional stablc qu cada trmino -grupo d variabls - d una cuación analítica qu xprsa un hcho físico ral, db satisfacrs n cualquir sistma d unidads o lo qu s lo mismo db sr consistnt dimnsionalmnt. Así por jmplo, la cuación d Brnoulli: v ρ + ρgz + p C (1); tin la siguint xprsión dimnsional para cada uno d sus términos + + () 3

4 Prof. Emilio Rivra Chávz Apunts d Clas Ahora si dividimos ambos mimbros d la cuación (1) ntr la prsión, s tin: v ρgz p p C p ρ (3) cuya xprsión dimnsional s: Es dcir qu cada uno d los términos grupos d variabls- d la cuación rsultant (3), carcn d dimnsions, dicho d otro modo son adimnsionals. lo antrior podmos sacar dos conclusions: Es posibl gnrar, a partir dl conjunto d variabls implicadas n un fnómno físico dado, un conjunto d grupos adimnsionals. Cuando s conoc la cuación analítica qu rlaciona las variabls qu intrvinn n un fnómno físico dado, s pudn obtnr parámtros adimnsionals a partir d la misma. Pro Qu pasa cuando no s conoc la rlación ntr las variabls qu intrvinn n l fnómno físico n custión? La rspusta a sta intrrogant s: Es posibl gnrar un conjunto d grupos adimnsionals a partir d las variabls dl problma objto d studio, mdiant un procdiminto llamado análisis dimnsional. Es posibl mdiant sta técnica dtrminar la rlación ntr stos grupos adimnsionals? Como ya s mncionó, l análisis dimnsional prmit dtrminar solamnt los grupos adimnsionals qu caractrizan l problma, más no la rlación funcional ntr stos. Para llo dbrá ncsariamnt planificars un studio xprimntal qu complmnt l análisis dimnsional inicial, n sta fas d planificación l análisis dimnsional juga un rol important. La compljidad fnomnológica y gométrica d la mayor part d los procsos d flujo fluido hac qu, frcuntmnt, las cuacions analíticas Intgrals y difrncials- qu xplican los principios qu rign l flujo fluido no san suficints para rsolvr con xactitud una situación concrta d flujo fluido. Por llo la solución d problmas rals dpnd tanto dl análisis así como d la información xprimntal disponibl. Sin mbargo, la ralización d xprimntos implica l mplo d timpo y dinro, parámtros qu aumntan n proporción dircta al númro d nsayos a ralizar. En st contxto la técnica dl análisis dimnsional qu prmit planificar l trabajo xprimntal d manra qu s puda obtnr la mayor información posibl con un mnor númro d xprimntos y por nd a un mnor costo y timpo. Lo antrior quda mjor xplicado con l siguint jmplo: Cómo dtrminar xprimntalmnt la furza d arrastr sobr una sfra lisa d diámtro qu s muv n un mdio fluido d dnsidad y viscosidad con vlocidad uniform V? 4

5 Prof. Emilio Rivra Chávz Apunts d Clas Ya qu no s fácil rproducir l procso a scala d laboratorio, lo qu s hac n st tipo d problmas s invrtir l moviminto, s dcir: impulsar una corrint fluida uniform sobr un curpo sférico stacionario, utilizando para llo un túnl d vinto. Corrint fluida V,, Si s supon qu la furza d arrastr dpnd d la dnsidad y viscosidad dl fluido; así como d la vlocidad d la corrint V y dl diámtro d la sfra, s pud scribir la siguint rlación funcional, f(,,v,) Entoncs s trata, ntoncs, d dtrminar la rlación funcional antrior xprimntalmnt. Una forma d planificar l trabajo xprimntal pud sr la siguint: trminar la influncia d cada una d las cuatro variabls n l valor d la furza d arrastr, mantnindo fijos los valors d las trs variabls rstants. Rptir cada pruba cuando mnos para 10 valors distintos d la variabl indpndint. Valor mínimo para fins d análisis stadístico. El procdiminto antrior s pud xplicar mjor con ayuda dl siguint gráfico, 1 V 10 V i, 1 V 10 V V 1 1, 1 V 1 10, No. d prubas 10x10 No. d prubas 10x10x10 3 1, i V 10 S ncsita rptir la pruba para 10 diámtros difrnts. Para cada diámtro s ncsita rptir la pruba para : 10 valors distintos d la vlocidad 10 valors difrnts d la dnsidad y 10 valors distintos d la viscosidad V V 1 1, No. Total d prubas 10x10x10x10 Es dcir qu s dbn ralizar cuando mnos 10 4 Prubas xprimntals. A un costo d solo 10 Bs.! por pruba Y ralizando 10 prubas por día. Y si aumnta l númro d variabls implicadas, por jmplo, la rugosidad d la sfra, s tndrían qu ralizar 10 5 prubas y si 5

6 Prof. Emilio Rivra Chávz Apunts d Clas Conclusión: Esta forma d llvar adlant l trabajo xprimntal sría xtrmadamnt LARGO Y COSTOSO. Una buna altrnativa s utilizar l análisis dimnsional dl las variabls implicadas n l problma como paso prvio a la planificación dl xprimnto. Esta técnica, como ya s mncionó, prmit agrupar las variabls n parámtros adimnsionals y formular l problma n términos d la rlación funcional d stos grupos d variabls. Asi, n st caso s tin sólo dos parámtros adimnsionals indpndints, como s vra mas adlant, qu son: Entoncs s pud scribir la siguint rlación: f y La forma d la función f db sr dtrminada xprimntalmnt. Est procso xprimntal xig un númro mnor d prubas al sr ncsario solo una curva para xplicar la naturalza dl procso. Para variar l parámtro indpndint, s suficint variar la vlocidad d la corrint d fluido. Y basta utilizar un solo fluido por jmplo l air, y solo un tamaño d sfra El torma d Pi d Buckingham Exist un númro d grupos adimnsionals indpndints fijo para un problma dado, y s, gnralmnt aunqu no simpr, igual a la difrncia ntr l númro total d variabls mnos l númro d dimnsions fundamntals. Esta forma d dtrminar l númro d grupos adimnsionals s conoc con l nombr d torma d pi, y stablc qu: El númro d grupos adimnsionals qu s utilizan para dscribir una situación física ral qu involucr a n variabls s igual a n j, dond j s l númro d dimnsions fundamntals. Es dcir: i n j i númro d parámtros adimnsionals indpndints n númro d variabls implicadas n l problma j númro d dimnsions fundamntals (rango d la matriz dimnsional 1 ) 4.5. Cómo agrupar las variabls d procso n grupos adimnsionals? Un conjunto básico d grupos Pi db scogrs d tal manra qu san indpndints. Pus aunqu xist un númro fijo d parámtros para cada problma, s pudn obtnr otros mdiant la combinación d los ya stablcidos claro qu, por llo mismo no son indpndints. 1 La matriz dimnsional s la matriz formada al tabular los xponnts d las dimnsions d las variabls implicadas n l problma objto d studio. 6

7 Prof. Emilio Rivra Chávz Apunts d Clas étodo d Buckingham Estos grupos s pudn obtnr d varias manras, s xponn aquí dos métodos para agrupar las variabls n grupos adimnsionals: Indpndintmnt d método a utilizar s una buna práctica laborar un listado d las variabls significativas implicadas n l problma objto d studio, y su xprsión dimnsional quivalnt. Lugo s convnint, aunqu no imprscindibl, dtrminar l númro d parámtros adimnsionals indpndints n los qu s pudn agrupar stas variabls, utilizando l torma d pi. En bas a lo antrior s gnran los grupos adimnsionals utilizando cualquira d los siguints procdimintos. i. étodo algbraico. ii. étodo cocint dimnsional. En l siguint jmplo s xplica la aplicación dl procdiminto antrior. Ejmplo 1 trminar los grupos adimnsionals formados con las variabls involucradas n l flujo d un fluido sobr un curpo sólido d forma sférica. S sab qu la furza jrcida sobr l curpo s una función d la vlocidad mdia d flujo v, dnsidad dl fluido, viscosidad dl fluido y diámtro dl curpo sférico. Rsolución Lista d variabls y sus dimnsions No. Variabl Símbolo imnsions 1 urza - Vlocidad V -1 3 nsidad L -3 4 Viscosidad L -1 θ -1 5 iámtro L imnsions fundamntals usadas n la dfinición dimnsional d las variabls dl problma No. imnsión Símbolo 1 Longitud L asa 3 Timpo θ Númro d grupos adimnsionals indpndints: a) trminación algbraica i 5 3 La variabl objto d studio, pud sr xprsada como función xponcial d las cuatro rstants. Así: Cuya xprsión dimnsional s: K a b c v d (1) 7

8 Prof. Emilio Rivra Chávz Apunts d Clas 3 a 1 1 b c 1 ( L ) ( L θ ) L ( ) d () agrupando xponnts d la misma bas, n l sgundo mimbro: a+ b 3a b+ c+ d b d ( )( L )( θ ) Igualando los xponnts d, L y n ambos mimbros d sta xprsión s tin l siguint sistma d cuacions: 1 a + b 1-3a - b + c + d - -b d Rsolvindo para a,d,c, s tin a 1 - b d - b c - b sustituyndo stos valors n (1) y ragrupando: K 1-b b -b v -b K( -1-1 V -1 ) b v ρ V Los parámtros adimnsionals s obtin d sta última xprsión: b k (3) π 1 y π ρ V Ejmplo trminar los grupos adimnsionals formados con las variabls involucradas n l flujo viscoso incomprsibl d un fluido n l intrior d un tubo horizontal. S sab qu la caída d prsión por fcto d la viscosidad, p, s función d la vlocidad mdia d flujo v, dnsidad dl fluido, viscosidad dl fluido, diámtro tubo, longitud dl tramo considrado dl tubo L, y la rugosidad d la pard intrna dl tubo,. Solución Lista d variabls implicadas n l procso y sus dimnsions No. Variabl Símbolo imnsions 1 Caída d prsión L -1 θ - Vlocidad V -1 3 nsidad L -3 4 Viscosidad L -1 θ -1 5 iámtro L 6 Longitud l L 7 Rugosidad L imnsions fundamntals usadas n la dfinición dimnsional d las variabls dl problma 8

9 Prof. Emilio Rivra Chávz Apunts d Clas No. imnsión Símbolo 1 Longitud L asa 3 Timpo θ Númro d grupos adimnsionals indpndints: Variabls dl conjunto rcurrnt i No. Variabl Sím imnsions bolo Vlocidad V -1 3 nsidad L -3 5 iámtro L En bas a las variabls dl conjunto antrior s pudn scribir las siguints xprsions para las dimnsions fundamntals: V -1 θ L / V / V L ρ L ρ L L Ahora, tomando como bas cada una d las variabls qu no s rpitn y las quivalncias dimnsionals d la última tabla, s forman los cuatro parámtros adimnsionals. Así S divid cada variabl ntr su rprsntación dimnsional, así para la prsión s tin: π L θ 1 1 lugo s sustituy las dimnsions básicas por sus quivalncias obtnidas. π ρ ( / V ) Para la viscosidad: π L θ 1 1 π 3 1 ρ V 1 ( / ) Para la longitud L: π 3 l L π 3 l Para la rugosidad : 9

10 Prof. Emilio Rivra Chávz Apunts d Clas π 4 El parámtro 1, s pud scribir como función d los trs parámtros rstants: L π 4 1 (, 3, 4) ρ, V l, La función () db sr dtrminada xprimntalmnt. Sin mbargo n st caso la xprincia mustra qu la caída d prsión s dirctamnt proporcional a la rlación l/, ntoncs s pud scribir la siguint rlación: l f ρ, V Esta última xprsión pud sr transformada dl siguint modo: l f1, Si s hac qu: f l f R, f R, ond la función f, s conocida como coficint d fricción f, y cuyo valor db sr dtrminado xprimntalmnt. S obtin así la conocida formula d arcy para l calculo d la caída d prsión por fricción. p f l El procdiminto antrior s pud rsumir n los siguints pasos 1. Elaborar una lista d las variabls influynts implicadas n l problma, qu incluya: Variabl, símbolo, dimnsión Slccionar y/o idntificar l conjunto d dimnsions fundamntals qu rquir l problma. 3 Elgir l conjunto d variabls qu s rpitn (rcurrnt), cuyo númro db sr igual al d dimnsions fundamntals ncsarias, incluir todas las dimnsions fundamntals. 4 Establcr las cuacions dimnsionals para las dimnsions fundamntals, a partir d las variabls dl conjunto rcurrnt y sus xprsions dimnsionals quivalnts. 10

11 Prof. Emilio Rivra Chávz Apunts d Clas 5 Obtnr los grupos adimnsionals tomando como bas l cocint d las variabls qu no forman part dl conjunto rcurrnt ntr sus dimnsions. Y combinando la xprsión dimnsional rsultant con las xprsions dimnsionals obtnidas n l paso 4. 6 Comprobar qu fctivamnt todos los grupos obtnidos son adimnsionals Parámtros adimnsionals importants dl flujo fluido. En la mcánica d fluidos los parámtros adimnsionals s dfinn xactamnt y a cada uno d llos s ls da un nombr. Hay grupos adimnsionals qu s prsntan n casi todos los problmas d flujo fluido y tinn significado físico, por lo qu son ordinariamnt studiados para caractrizar l flujo. Las siguints variabls son rlvants n los procsos d flujo fluido: No Variabl Símbolo imnsión. 1 Viscosidad L -1-1 nsidad L -3 3 Tnsión suprficial - 4 Variación d la prsión p L -1 θ - 5 Vlocidad v L -1 6 Vlocidad dl sonido c -1 7 Longitud L L 8 Aclración d la gravdad g L - Tomando como bas stas variabls s forman los siguints parámtros adimnsionals, importants n la mcánica d fluidos: Grupo adimnsional signación Exprsión Númro d Rynolds Númro d roud R r L V Lg V c L σ Númro d Eulr Eu Númro d ach Númro d Wbr Significado físico d los parámtros adimnsionals Como ya s mncionó, los parámtros adimnsionals, importants d la mcánica d los fluidos tinn significado físico: La xprsión y l significado físico d cada uno d los antriors parámtros son los siguints: W (s dja para l studiant dsarrollar st acápit) 11

12 Prof. Emilio Rivra Chávz Apunts d Clas 4.7. Similitud En l disño y pruba d quipos rlacionados con l flujo d fluidos s sul construir modlos a scala d laboratorio, gométricamnt similars a los prototipos. Los datos xprimntals obtnidos con stos modlos s aplican al disño d los prototipos d tamaño ral n función d rquisitos d similaridad gométrica, cinmática y dinámica. Considrmos cualquir problma d flujo fluido, por jmplo, l flujo sobr un objto sférico. Las propidads y configuración dl flujo stán dtrminadas por la forma gométrica dl objto y las propidads prtinnts dl fluido. S dic ntoncs qu dos flujos son similars si son gométricamnt similars y si todos los parámtros adimnsionals corrspondints son los mismos para los dos flujos. Considrmos ahora un modlo y un prototipo. Cómo podmos rlacionar las mdidas hchas n l modlo con l prototipo? La rspusta s: hacindo qu san gométricamnt smjants y qu los parámtros adimnsionals san los mismos. El significado d flujo smjant y corrlación ntr modlo y prototipo s pud ntndr considrando la forma adimnsional d las cuacions gobrnants. Es claro qu si todas las cuacions difrncials corrspondints s hacn adimnsionals, l tamaño dl objto no ntra n considración si la forma s gométricamnt smjant. Sin mbargo los parámtros adimnsionals dbn sr ncsariamnt iguals n ambos casos. Estos parámtros dpndn d las propidads dl fluido y d una dimnsión física caractrística dl objto. Por tanto, las cuacions difrncials dscritas son idénticas para l modlo y prototipo. S pudn hacr ntoncs mdidas d cualquir variabl adimnsional dl modlo y sta tndrá l mismo valor para l prototipo y al convrtir a la forma dimnsional los datos tomados n l modlo pudn sr rlacionados dirctamnt con l prototipo. S pud dcir ntoncs: dos flujos son similars si los parámtros y variabls adimnsionals son los mismos sin importar l tamaño d la configuración gométrica dl flujo, si s mantin una smjanza gométrica. El studiant s ncargará d dsarrollar los siguints aspctos: Smjanza gométrica Smjanza cinmática Smjanza dinámica Rlación ntr análisis dimnsional y similitud Obtnción d parámtros adimnsionals a partir d las cuacions difrncials dl flujo fluido. Bibliografía Shams H. Irving, La cánica d los luidos, cgraw-hill. Whit. rank, cánica d luidos, cgraw-hill. ox Robrt, Introducción a la cánica d los luidos, cgraw-hill Hughs William, inámica d luidos, cgraw-hill 1

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