1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar."

Transcripción

1 NOTAS DE LASE ÁLULO III Unidad 4: INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFIIE, TEOREMAS FUNDAMENTALES Guía de Estudio Doris Hinestroza 1

2 Índice 1. INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFIIE, TEO- REMAS FUNDAMENTALES DEL ÀLULO VE- TORIAL Resumen de la Unidad Trabajo en clase Problemas resueltos Exámenes cortos realizados Exámenes finales realizados

3 GUIA DE ESTUDIO 4 1. INTEGRALES DE LINEA, DE SU- PERFIIE, TEOREMAS FUNDAMEN- TALES DEL ÀLULO VETORI- AL 1.1. Resumen de la Unidad 1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar. 2. Plantear y resolver integrales de línea e integrales de superficie. 3. Interpretar las aplicaciones físicas y geométricas de las integrales de lìnea y de superficie. 4. Entender y saber demostrar la ley de la conservación de la energía. 5. Saber las propiedades fundamentales de integrales de lìnea de campos vectoriales. 6. Resolver problemas sobre flujo de un campo vectorial. 7. Operar con gradiente, divergencia y rotor de un campo. 8. Resolver problemas aplicando los teoremas integrales (Gauss, Green y Stokes). 3

4 1.2. Trabajo en clase 1. Qué es un campo vectorial? Dé tres ejemplos que tengan un signficado físico. 2. Escriba la definición de F d r y de integral de superficie F d r, lo mismo de las definiciones para campos escalares S fds y de integral de superficie S fds. 3. Escriba una parametrización de la elipse y de la circunferencia. 4. Si f tiene derivadas continuas parciales sobre R 2 y es cualquier círculo, muestre que f dr =. i) Qué es un campo vectorial conservativo? ii) Qué es una función potencial? 5. Determine si los siguientes campos son conservativos o no I) F(x, y) = (x 2 yx, y 2 xy) II) F(x, y) = (x 2 yx, y 2 xy) 6. Encuentre la funciòn potencial si F(x, y, z) = i) Escriba la definición de una integral de línea de un campo vectorial, a lo largo de una curva suave. ii) Escriba la definición de una integral de línea de un campo escalar, a lo largo de una curva suave, con respecto a la longitud de arco. iii) ómo evaluaría dichas integrales de línea? i) Si F es un campo de fuerza. Qué significa F d r? 4

5 ii) Si k(t) = 1 2 mv2 (t) energía cinética. Demuestre que si r : [a, b] Ω R n (n = 2, n = 3) entonces F dr = k(b) k(a). iii) En el caso que F sea un campo de fuerzas conservativo. Demuestre la Ley de la onservación de la Energía. iv) Qué quiere decir que F d r es independiente de la trayectoria? v) Si sabemos que F d r es independiente de la trayectoria, qué podemos decir respecto de F? 7. Enuncie el Teorema de Green. 8. Escriba la fórmula para el área encerrada por una curva en términos de las integrales de línea alrededor de. 9. Sea sea F = (P, Q) un campo vectorial gradiente en R 2. ( F = f, donde f es un campo escalar f : R 2 R). a) Muestre que Q x P y para todos los puntos (x, y) en un dominio Ω cerrado y acotado. b) Use el teorema de Green para mostrar que Pdx + Qdy = Ω donde Ω es la frontera de Ω. 1. Sean b > a > los radios de dos cìrculos concéntrìcos en el origen 1 y 2 respectivamente y sea F = (P, Q) un campo vectorial diferenciable en la regiòn anular Ω. 5

6 Muestre que Ω ( Q x P y ) dxdy = Pdx + Qdy Pdx + Qdy 11. Si F es un campo vectorial sobre R 3. a) Defina Rot F = F. b) Defina divf = F. c) Si F es un campo de fluídos uáles son las interpretaciones físicas de Rot F y de divf? 12. Si F = P i + Q j = (P, Q). u ales son las condiciones sobre el campo vectorial F para que este sea un campo conservativo? i) Escriba la definición de una integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar f sobre un superficie S. ii) ómo evalua dicha integral si S es parametrizada por la función vectorial r (u, v)? iii) Qué pasa si S está definida como la gráfica de z = g(x, y)? 6

7 i) Enuncie el Teorema de Stokes. Dé un ejemplo. Dé un ejem- ii) Establezca el Teorema de la Divergencia. plo. iii) En qué forma son similares entre sí el Teorema de Green, el Teorema de Stokes y el Teorema de la Divergencia. 13. alcule el flujo del campo ( F (x, y, z) = 1 + r 3) (x, y, z), con r = x 2 + y 2 + z 2, a través de la esfera (x 1) 2 + (y 1) 2 + (z 1) 2 = 1 con la normal exterior Problemas resueltos 1. Determine el trabajo que realiza el campo de fuerza F (x, y, z) = (z, y, x) = zi+yj xk al mover una partícula desde (1,, ) hasta (, π/2, 3) a lo largo de a) Una recta. b) La hélice x = cos t, y = t, z = 3sent Solución: La parametrización de la recta está dada por r (t) = (1,, )+t( 3, π/2, 3) = (1 3t, πt/2, 3t), t 1. Se tiene entonces que F ( r (t)) = (3t, πt/2, 3t 1) y F ( r (t)) r (t) = (3t, πt/2, 3t 1) ( 3, π/2, 3) = 9t+π 2 t/4+3(3t 1). 7

8 El trabajo es dado por W = = = F.d r = F (r(t)) r (t)dt (3t, πt/2, 3t 1) ( 3, π/2, 3)dt ( 9t + π 2 t/4 + 3(3t 1) ) dt = 9t 2 /2 + π 2 t 2 /8 + 3(3t 2 /2 t) 1 = 9/2 + π 2 /8 + 3/2 = 3π 2 /8 3 En el caso de la hélice consideremos β (t) = (3 cost, t, 3sent), t π/2, β (t) = ( 3sent, 1, 3 cost), F (β(t)) = (3sent, t, 3 cost) F ( β (t)) β (t) = 3sen 2 t+t 3 cos 2 t = 3 + t. Por lo tanto W = = π/2 π/2 F.d β = F (β(t)) β (t)dt ( 3 + t) dt = 3t + t 2 /2 π/2 = π 2 /4 3π/2 2. Use el teorema de la divergencia para hallar S F n ds donde F = (yz, xy, xz) y n es el vector normal a la superficie S, la cual es la frontera del sólido en el primer octante dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1 y entre los planos z = y 8

9 z = 4. Solución: La divergencia de F es div F = F = x (yz)+ y (xy)+ (xz) = +x+x = 2x. z Así, por el teorema de la divergencia tenemos que F n ds. = div F (x, y, z)dv = S = V π/2 1 4 = 8 r3 3 1 π/2 2r cos θrdzdrdθ cosθdθ = 8/3 V 2xdV 3. Si es cualquier curva cerrada simple y suave y si f y g son funciones reales derivables, muestre que f(x)dx+g(y)dy =. Solución: Aplicamos el teorema de Green. En este caso P(x, y) = f(x) y Q(x, y) = g(y). Puesto que Pdx+Qdy = ( Q P x y ( ) Ω Q tenemos que P = g(y) f(x) = y por lo tanto x y x x f(x)dx + g(y)dy =. 4. Usando el teorema de Green halle el àrea de la regiòn Ω acotada por la elipse con ecuaciòn x 2 a + y2 = 1, a, b >. 2 b2 Solución: Una parametrización de la elipse está dada por r (t) = (a cost, bsent). t 2π. Sea la curva parametrizada por r (t) ) da, 9

10 De acuerdo al teorema de Green area(ω) = dxdy = 1 ydx + xdy 2 = 1 2 = 1 2 = ab 2 Ω 2π 2π 2π ( bsen (t) ( asen (t)) + a cos (t) (b cos (t)))dt ab ( cos 2 (t) + sen 2 (t) ) dt dt = abπ 5. Sea S la parte del plano x + 2y + z 4 = limitada en el primer octante con vector normal apuntando al exterior. 1

11 Use el teorema de Stokes para hallar F.d α, donde es la curva orientada positivamente y que encierra la regiòn plana y F = (z, y, xy) Solución: Observemos que si resolvemos la integral de lìnea directamente sin utilizar el teorema de Stokes tendrìamos que resolver tres integrales de lìnea correspondientes a cada segmento. Usando el teorema de Stokes se reduce a calcular una integral doble. Hallemos inicialmente el rotacional del campo i j k Rot F = F = x y z z x xy = ( x, 1 + y, 1). La parametrización de la superficie plana está dada por r (u, v) = (u, v, 1 2u 2v) donde u 1/2, v 1 2u r u r v = (2, 2, 1) (vector exterior) 11

12 vector exterior. Entonces F.d α = Rot F d r = = = = = S 1/2 1 2u 1/2 1 2u 1/2 1/2 1/2 Rot F ( r (u, v)) r u r v dudv ( 2u + 2v + 3) dudv ( 2uv + v 2 + 3v ) 1 2u du 2u(1 2u) + (1 2u) 2 + 3(1 2u)du ( 8u 2 12u + 4 ) du = 5/6 6. onsidere la superficie determinada por la gráfica de la función z = x 2 + y 2 y el plano z = 4. a) Describa y grafique el sólido V limitado por esta superficie. b) alcule el area lateral de la superficie. c) Halle el flujo del campo dado por F = (x, y, z) a través de la frontera del sólido V en la dirección del vector exterior. solución: 12

13 La parametrizaciòn de la parte lateral està dada por r (u, v) = (u cos(v),usen (v),u 2 ) con u 2, v 2π. r u r v = i j k cos(v) sen(v) 2u usen(v) u cos(v) = ( 2u 2 cos(v), 2u 2 sen(v), u). r u r v = 4u 4 + u 2 = u 1 + 4u 2 Por lo tanto el àrea lateral està dada por Area_Lateral = 2π 2 u 4u 2 + 1dudv = π 6 ( 17 3/2 5 3/2). 13

14 Utilizando el teorema de la divergencia podemos calcular el flujo del campo. div( F ) = 3. Asì F.d r = div(f)dv V V = 3 dv = 3 V 2π r 2 rdzdrdθ = 6π rz 4 r dr = 6π r(4 r 2 )dr 2 = 24π 1.4. Exámenes cortos realizados QUIZ 8 1. Si f(x, y, z) = x 2 z 3 + y 2 y es el segmento que une el punto inicial ( 1, 1, 1)con el punto final (1, 1, 1), halle f dr. 2. Si f tiene derivadas continuas parciales sobre R 2 y es cualquier círculo, halle f dr. 3. Determine el trabajo que realiza el campo de fuerza F (x, y, z) = (z, y, x) = zi+yj xk al mover una partícula desde (1, 1, 1) hasta (2, 4, 8) a lo largo de la curva y = x 2 y z = x 3. Determine si el trabajo es independiente del camino. 4. onsidere el perimetro del cuadrado unitario orientado en el sentido positivo con vértices (, ), (1, ), (1, 1) y (, 1). Halle x2 dx + yxdy. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 14

15 QUIZ Usando la definición de integral de línea calcule F dr donde F(x, y) = yi xj y es el círculo x 2 + y 2 = 9 orientado positivamente. 2. Usando el teorema de Green evalue ydx+(x2 +x)dy, donde es la circunferencia x 2 + y 2 = Que significa que un campo vectorial sea un campo conservativo? Podría demostrar la ley de la conservación de la energía? QUIZ 9 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& Determine cuando el enunciado es verdadero o falso. Justifique su respuesta. 1. Si F es un campo vectorial, entonces la div F es un campo vectorial. 2. Si F es un campo vectorial, entonces la rot F es un campo vectorial. 3. Si F es un campo vectorial conservativo, F dr es independiente del camino que una los puntos A y B. 4. Si S es una esfera y F es un campo vectorial constante, entonces S F n ds =. QUIZ 1 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 15

16 1. onsidere la superficie parametrizada por r(u, v) = (v cosu, vsen u, v), u 2π, v 1. a) Halle el área superficial de la superficie. b) Halle S x2 + y 2 + 1dS. c) Halle (x, y, z 2 ) ds. S 2. (a) Hallar (x, y, z) ds. donde S es la esferea x 2 +y 2 +z 2 = S (b) Evalue S yds donde S es la superficie &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& QUIZ a) Determine el trabajo que realiza el campo de fuerza F (x, y, z) = (z, y, x) = zi+yj xk al mover una partícula desde (1,, ) hasta (, π/2, 3) a lo largo de: (a) Una recta. (b) La hélice x = cost, y = t, z = 3sent. ( y x b) onsidere el campo vectorial F(x, y) = x 2 + y 2, x 2 + y 2 alcule la integral de línea a lo largo de la circunferencia x 2 + y 2 = 1 orientada positivamente. Es el campo conservativo? Explique. Podría aplicarse el teorema de Green para calcular la integral de línea que usted calculó. Explique. c) Si f(x; y) = x 2 y y es el segmento que une los puntos ( 1, 1) hasta el punto (2, 1), halle f d r. Que significa que un campo vectorial sea un campo conservativo? Podría demostrar la ley de la conservación de la energía? 16 ).

17 d) Use el teorema de Green para calcular y 3 dx x 3 dy donde es una curva simple orientada positivamente consistiendo en el segmento que va desde ( 2, ) hasta (2, ) y en la parte inferior de la circunferencia x 2 +y 2 = 4. e) Si es cualquier curva cerrada simple y suave y si f y g son funciones reales derivables, halle f(x)dx+g(y)dy. f ) Dado F (x, y, z) = (x cos(y), y sin(x), xyz), calcule; div F, rot F Exámenes finales realizados EXAMEN FINAL DE ALULO III 1. onsidere la función z = f(x, y) = yx 2 a) Haga un bosquejo de la curva de nivel de f que pasa por el punto (1, 1). Señale el gradiente tomado desde algún punto (1, 1) sobre la curva de nivel. b) Explique el significado de la dirección y la norma del gradiente de f en el punto (1, 1). c) alcule la deriva direccional en el punto P(1, 1) en la dirección del vector y = (3, 4). d) Encuentre la ecuación del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta normal a la gráfica de f en el punto (5, 2, f(5, 2)). e) Si x = uv, y = 1 2 (u2 v 2 ), halle usando regla de la cadena z u. f ) Halle el valor máximo absoluto de la función f en la región acotada dada por x, y y x 2 + y

18 2. onsidere la superficie S definida por xy 2 + 4yz 3 xz = ( ) a) Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie S en el punto P = (2, 1, 1). b) La ecuación (*) para S define a z como función implícita de x and y. alcule z y. 3. onsidere la integral I = 1 1 x x 2 1 x 2 y 2 x 2 +y 2 ( x 2 + y 2 + z 2) dzdydx a) Haga un bosquejo del sólido Ω. b) Exprese la integral en coordenadas cilíndricas. c) Exprese la integral en coordenadas esféricas. d) alcule I 4. La integral de cierta función f sobre una región Ω del plano esta dada por 3 π/2 r 3 dθdr Bosqueje la región de integración, halle la función z = f(x, y) y convierta la integral en coordenadas cartesianas. a) onsidere el campo vectorial ( ) y x F(x, y) = x 2 + y 2,. x 2 + y 2 18

19 alcule la integral de línea a lo largo de la circunferencia x 2 + y 2 = 1 orientada positivamente. Es el campo conservativo? Explique. Podría aplicarse el teorema de Green para calcular la integral de línea que usted calculó. Explique. b) Si f(x; y) = xy 2 y es el segmento que une los puntos (1, 1) hasta el punto (3, 2), halle f d r. c) Use el teorema de Green para calcular y 3 dx x 3 dy donde es una curva simple orientada positivamente consistiendo en el segmento que va desde ( 3, ) hasta (3, ) y en la parte superior de la circunferencia x 2 +y 2 = 9. d) Dado F (x, y, z) = (x sin(y), y cos(x), xyz), calcule; div F, rot F. 5. Una partícula r(t) se mueve de tal manera que su vector velocidad en cada instante t es v (t) = r (t) = (e t, e t cost, e t sent). Halle: a) el vector tangente unitario T y el vector normal N y exprese el vector aceleración en la forma a(t) = a TT(t)+ a n N(t). b) la curvatura en t =. c) la distancia recorrida por la partícula desde t = hasta t = 2. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& EXAMEN FINAL OPIONAL DE ALULO III 1. [25pts] onsidere el paraboloide z = f(x, y) = x 2 + y

20 a) Bosqueje el paraboloide. b) Bosqueje la curva de nivel de f que pasa por el punto ( 1, 1) y señale el gradiente tomado desde el punto. c) Halle la máxima razón de cambio f en el punto ( 1, 1). d) Halle la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto ( 1, 1, 1). e) Encuentre una ecuación vectorial de la recta que es normal al paraboloide y que pasa por el punto ( 1, 1, 1) 2. [2pts] a) Si un campo vectorial F cumple que F = ϕ donde ϕ(x, y) = x 2 + y calcule la integral de línea F dr donde es la semicircunferencia superior de x 2 +y 2 = 1 que va desde el punto ( 1, ) hasta (1, ). b) alcule rotf y divf si F = (x 2 z, 2xseny, 2z cos y). c) Use el teorema de Green para calcular y 3 dx x 3 dy donde es la circunferencia x 2 + y 2 = 1 orientada en el sentido contrario a las manecillas del reloj. d) onsidere el campo vectorial ( ) y x F(x, y) = x 2 + y 2,. x 2 + y 2 alcule la integral de línea a lo largo de la circunferencia x 2 + y 2 = 1 orientada positivamente. Es el campo conservativo? Explique. Podría aplicarse el teorema de Green para calcular la integral de línea que usted calculó. Explique. 3. [2pts] onsidere la integral I = 2 2 x 2 4 x 2 y 2 x 2 +y 2 x x2 + y 2 + z 2 dzdydx 2

21 a) Haga un bosquejo del sólido Ω. b) Exprese la integral en coordenadas cilíndricas. c) Exprese la integral en coordenadas esféricas. d) alcule I 4. [15pts] a) Si la derivada direccional de T en el punto (1, 2) en la dirección 1 2 (1, 1) es y la derivada parcial de T respecto a y en el punto (1, 2) es 8, alcule T(1, 2). b) Si z = f(x, y) es una función diferenciable y x = uv, y = 1 2 (u2 v 2 ), halle usando regla de la cadena 2 z v u. c) Sea f(x, y) = x 4 y 4 4xy. Verifique que P(1, 1) es un punto crítico de f y determine su naturaleza. 5. [15 pts] Una partícula r(t) se mueve de tal manera que su vector velocidad en cada instante t es v (t) = r (t) = (e t, e t cost, e t sent). Halle a) Halle la longitud de la curva entre r () y r (1). b) Halle v, T, N c) Halle las componentes a T y a N. Exprese el vector aceleración a como combinación lineal de T y N. d) Halle k(t) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& EXAMEN FINAL DE ALULO III(OT) (A) PRIMERA PARTE (3%) 1. Halle la dirección de máximo y derivada direccional máxima de f(x, y) = x 2 y 2 en (1, 1). 21

22 2. Encuentre la ecuación vectorial de la recta perpendicular a la curva de nivel de f(x, y) = x 3 xy 2 que pasa por el punto (1, 2). 3. Sea f(x, y) = x 4 y 4 4xy. Verifique que P(1, 1) es un punto crítico de f y determine su naturaleza. 4. alcule la integral x 1 e x2 dydx. 5. Exprese la integral Ω (x 2 + y 2 )dxdy en coordenadas polares si Ω es la región acotada en el primer cuadrante entre el eje x, la recta y = x y la circunferencia x 2 + y 2 = Si un campo vectorial F cumple que F = ϕ para cierto campo escalar, calcule la integral de línea F dr donde es la circunferencia x 2 + y 2 = 1 orientada positivamente. SEGUNDA PARTE (7 %) 5% 1. Una partícula se mueve en el espacio de tal forma que en el instante t = t, el vector velocidad es (1, 1, 1) y el vector aceleración es ( 2, 1, ). Halle a T (t ), a N (t ) a) Si una partícula describe una curva en el espacio de tal manera que los vectores aceleración y velocidad tienen siempre magnitud constante, pruebe que la curvatura es constante en cada punto de la curv 1% 2. onsidere la función z = f(x, y) = x 2 + (y 1) 2 i) Bosqueje la curva de nivel de f que pasa por el punto (1, 1) y señale el gradiente tomado desde el punto. ii) Halle la derivada direccional de f en el punto (1, 1) y en la dirección hacia ( 1, 6). 22

23 iii) Si x = u z, y = uv. Halle v u. iv) Halle la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto (2, 2, f(2, 2)). 5% 2. Encuentre los valores extremos de f(x, y) = x 3 + x 2 + y2 3 en el disco x 2 + y % 3. Exprese el volumen del sólido entre las esferas x 2 +y 2 +z 2 = 4 y x 2 +y 2 +z 2 = 1 y dentro del cono z = 1 3 x2 + y 2, usando a) oordenadas cartesianas. b) oordenadas cilíndricas. c) oordenadas esféricas. 1% 4. Determine el trabajo que realiza el campo de fuerza F (x, y, z) = (z, y, x) = zi+yj xk al mover una partícula desde (1,, ) hasta (, π/2, 3) a lo largo de a) Una recta. b) La hélice x = cos t, y = t, z = 3sent 1% 5 (a) Establezca el teorema de la divergencia para un campo vectorial en R 3. (b) Use el teorema de la divergencia para hallar S F n ds donde F = (yz, xy, xz) y n es el vector normala a la superficie S la cual es la frontera del sólido en el primer octante dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1 y entre los planos z = y z = 4. 1% 6. onsidere el campo vectorial F = (yz, xz, xy) y S es la superficie determinada por parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1 y arriba del plano xy (ver figura). 23

24 a) Halle la ecuación vectorial de la curva. b) Halle F.d r c) Halle S Rot F ds PRIMERA PARTE (4 %) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1. Responda a cada una de las siguientes puntos i. Halle la una parametrización de una circunferencia centrada en el origen y orientada positivamente. ii. Trace una curva en el plano, señale su orientacion y en un punto cualquiera de la curva señale los vectores tangente unitario, normal unitario y la aceleración ( en este caso considete que la componente tangencial de la aceleración es negativa). iii. Determine si existe lím (x,y) (,) xy x 2 + y 2 iv. Invierta el orden de integración y calcule la integral 1 1 dxdy. y ex2 24

25 v. Sea r : I R R n es diferenciable y es tal que r (t) = c (constante) para todo t I. Que propiedad geométrica tiene esta curva? vi. Si f(x, y) = y 3 xy, halle la máxima razón de cambio f y la dirección de máximo crecimiento en el punto donde x = 1, y = 1. vii. Mencione algunas propiedades de un campo vectorial F que sea conservativo. viii. Sea x = u, y = uv u >, v >. Al hacer el cambio de variable y transformar la región T en el plano v uv, por la región Ω en el planoxy. Escriba la integral f(x, y)dxdy usando el nuevo sistema de coordenadas u, Ω v. ix. Sea z = f(x, y) donde x = uv, y = u v. Usando regla de la cadena, halle 2 z v u x. Sea una curva cerrada simple orientada positivamente, encerrando una región Ω en el plano xy. Halle la integral de línea ( y + x 2 )dx + (x + y 2 )dy SEGUNDA PARTE (6 %) 1. [15pts] Encuentre el máximo y mínimo absoluto de f(x, y) = x 2 y 2 + x 3, sobre la región Ω : x 2 + y [25 pts] onsidere la integral 1 1 x x 2 y 2 (x 1 x 2 x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 dv. 2 +y 2 Haga un bozquejo de la región de integración y exprese la integral en coordenadas cilíndricas y esféricas. alcule la integral en el sistema de coordenadas que usted considere más conveniente. 5. [2pts] Si r (u, v) = (u, v, 1 u 2 v 2 ), Ω = {(u, v) : u 2 + v 2 1}, es la parametricación de una superficie S. 25

26 a) Haga un bozquejo de la superficie S. b) Halle r u r v y la ecuación del plano tangente a la superficie S en el punto r ( 2, 2 ). 4 4 c) onsidere el campo vectorial F (x, y, z) = (x, y, z). Halle F d r donde es la circunferencia unitaria en el plano z = con centro en el punto (,, ) orientada positivamente. d) onsiderando la región acotada por el paraboloide S y por el plano z =, determine el flujo del campo vectorial F que sale de dicha región. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& EXAMEN FINAL DE ALULO III PRIMERA PARTE (4 %) Para cada parte, escoja y marque la o las respuestas. i. Los bosquejos de los sólidos de integración en las integrales 2π 1 2 r 2 2π 2 π/4 triples rdzdrdθ y ρ 2 sen ϕdϕdρdθ son ii. La longitud de la curva r(t) = (t, sen(t), cos(t)) para t π/2 es A. 2π B. π 2 2. π 2 D. π F es conservativo. Señale la afir- iii. Si un F campo vectorial mación verdadera 26

27 A. F.d r : es una curva cerrada B. RotF = F. F = ϕ para algún campo escalar ϕ D. div F = F = iv. La ecuación del plano tangente a la superficie z = e x +cos(y) en el punto (,, 2) es A. x + y + z = 1 B. z = x + 2. z = 3x + 2y D. x + y z + 1 = v. El vector binormal de una curva está dado por B = N T. Dos afirmaciones son falsas, seleccionelas A. db dt y B son perpendiculares B. dn dt y N perpendiculares. db dt y T son colineales D. N y T son colineales vi. Al invertir el orden de integración, tenemos que la integral 1 1 dxdy es igual a y ex2 A. 1 1 dxdy B. 1 y y ex2 dydx ex2. 1 x dydx D. o ex2 1 1 dydx x ex2 vii. Si (x 2 + y 2 ) z = xy y z = f(x; y) implicitamente, si z = 1/2 cuando x = y = 1, el valor de z (1, 1) es x A. 3 B D. viii. La integral (x 2 + y 2 ) da en coordenadas polares, en la Ω región sombreada es A. 1 2π 2 π r2 dθdr B. 2 2π rdθdr 1 π 27

28 . 2 2π 1 π r2 dθdr D. 2 2π 1 π r3 dθdr II PARTE (6) 1. [2 pts] a) Halle los máximos y mínimos (si existen) de la función f(x, y) = x+y en el conjunto ecuación Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 4}. Geometricamente explique sus soluciones. b) Aplique el teorema de Green para calcular y 3 dx x 3 dy donde esta dada por x 2 + y 2 = 4. c) Si r (u, v) = (u, v, 3 u 2 v 2 ), Ω = {(u, v) : u 2 + v 2 3}, es la parametricación de una superficie. Haga un bosquejo de la superficie. Halle r u r v cuando u = 1, v = 1. Halle la ecuación del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta en el punto r ( 1, 1). de la superficie. d) f(x, y) = 2x 3 y y es el segmento que une los puntos (1, 1) hasta el punto (2, 1), halle f.d r. e) Sea f una función de dos variables con derivadas de orden dos continuas. Si z = f(x, y) y x = u 2 + v y y = v u, halle usando regla de la cadena z u,. 2 z v u. f ) Si f(x, y) = y 3 x 3, halle la máxima razón de cambio f y la dirección de máximo crecimiento en el punto donde x = 1, y = 1. 2.[1pts] Sea r (t) = ( t3/2, t, 1 2 t2 ) una parametrización de una curva. 28

29 a) Halle la longitud de la curva entre r () y r (1). b) Halle v, v y a. c) Halle las componentes a T y a N. d) Halle k(t) 3. [15 pts] Exprese la integral (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 dv, en coordenadas Ω cartesianas, cilíndricas y esféricas donde Ω es la región acotada en el primer octante por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1, dentro del cono z = x 2 + y 2 alcule la integral en el sistema de coordenadas que usted considere más conveniente. 4. [15 pts] Sea F (x, y, z) = (xy, z, x). a) Halle F d r donde es la circunferencia unitaria en el plano z = con centro en el punto (,, ). b) Halle div F (x, y, z) = F (x, y, z) y Rot F (x, y, z) = F (x, y, z) c) alcule el flujo de F a través de la superficie dada por x 2 + y 2 1, z =. d) alcule el flujo a través del volumen acotado por el cilindro x 2 + y 2 = 1, entre los planos z = y z = 1. 29

4 Integrales de línea y de superficie

4 Integrales de línea y de superficie a t e a PROBLEMA DE ÁLULO II t i c a s 1 o Ings. Industrial y de Telecomunicación URO 2009 2010 4 Integrales de línea y de superficie 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos. Problema 4.1 Integra

Más detalles

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1).

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1). INTEGRALES DE LÍNEA. 15. alcular las siguientes integrales: (a) (x + y) ds donde es el borde del triángulo con vértices (, ), (1, ), (, 1). (b) x + y ds donde es la circunferencia x + y ax (a > ). (a)

Más detalles

Universidad de Sevilla. GIOI y GIERM. Matemáticas III. Departamento de Matemática Aplicada II. Guión del Tema 5: Integrales de Línea.

Universidad de Sevilla. GIOI y GIERM. Matemáticas III. Departamento de Matemática Aplicada II. Guión del Tema 5: Integrales de Línea. Universidad de Sevilla. GO y GERM. Matemáticas. Departamento de Matemática Aplicada. Guión del Tema 5: ntegrales de Línea. 1. ntegrales de línea. ntegral de línea de un campo escalar. Sea una curva parametrizada

Más detalles

Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil

Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil 1 / 32 Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil Curso Académico 2011-2012 2 / 32 Motivación: muchas ecuaciones y propiedades fundamentales de la Física (y, en consecuencia, de aplicación

Más detalles

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva:

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: 1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: a) x = senθ, y = cosθ, 0 θ π t b), t x = e y = e + 1 c) x = senθ, y =

Más detalles

Problemas resueltos. La integral de línea. 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización. Solución:

Problemas resueltos. La integral de línea. 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización. Solución: Problemas resueltos 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización α(t) t ı + 4 3 t3/ j + 1 t k, t [, ]. α (t) (1, t 1/, 1 ), t [, ]. La curva α es de clase C 1 y, por tanto, es rectificable.

Más detalles

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II CURSO 2015-2016 Índice general 1. Derivación de funciones

Más detalles

Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1

Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1 .5. Coloquio 1/08/03. Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1 1. Hallar a de manera que sea máximo el flujo de campo F (x,y,z)= (x,y,z) a través del borde ( con tapas!) del cilindro elíptico descripto

Más detalles

INTEGRAL LAPSO 2 008-2 751-1/ 6

INTEGRAL LAPSO 2 008-2 751-1/ 6 INTEGRAL LAPSO 8-751 - 1/ 6 Universidad Nacional Abierta CÁLCULO III ( 751 ) Vicerrectorado Académico Integral Área de Matemática Fecha 1/1/8 Lapso 8 MOELO E RESPUESTAS OBJ 1 PTA 1 a. etermine el dominio

Más detalles

Parcial I Cálculo Vectorial

Parcial I Cálculo Vectorial Parcial I Cálculo Vectorial Febrero 8 de 1 ( Puntos) I. Responda falso o verdadero justificando matematicamente su respuesta. (i) La gráfica de la ecuación cos ϕ = 1, en coordenadas esféricas en R3, es

Más detalles

INTEGRAL DE SUPERFICIE

INTEGRAL DE SUPERFICIE INTEGRAL E UPERFICIE 1. Geometría de las superficies. Entendemos por superficie el lugar geométrico de un punto que se mueve en el espacio R 3 con dos grados de libertad. También podemos pensar una superficie

Más detalles

C 4 C 3 C 1. V n dσ = C i. i=1

C 4 C 3 C 1. V n dσ = C i. i=1 apítulo 2 Divergencia y flujo Sea V = V 1 i + V 2 j + V 3 k = (V 1, V 2, V 3 ) un campo vectorial en el espacio, por ejemplo el campo de velocidades de un fluido en un cierto instante de tiempo, en un

Más detalles

Tarea 1 - Vectorial 201420

Tarea 1 - Vectorial 201420 Tarea - Vectorial 040. Part :. - 3... Hacer parametrización de la curva de intersección del cilindro x + y = 6 y el plano x + z = 5. Encontrar las coordenadas de los puntos de la curva donde la curvatura

Más detalles

a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z

a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z TEOREMA E TOKE. 1. Usar el teorema de tokes para calcular la integral de línea ( ) d + ( ) d + ( ) d, donde es la curva intersección de la superficie del cubo a, a, a el plano + + 3a/, recorrida en sentido

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015 ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 05 Práctica : Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos A. Vectores Hasta el 9 de marzo. Sean v = (0,, ) y w = (,, 4) dos vectores de IR 3. (a) Obtener el coseno

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo

CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo TEMA IV INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRALES ITERADAS Y ÁREA EN EL PLANO Desde el curso de Cálculo II se estudió la forma de derivar parcialmente

Más detalles

1. Definición de campo vectorial

1. Definición de campo vectorial Universidad Nacional de La Plata Facultad de iencias Exactas ANÁLII MATEMÁTIO II (ibex - Física Médica) 214 egundo emestre GUÍA Nro. 6: AMPO VETORIALE 1. Definición de campo vectorial Durante el curso

Más detalles

Tema 9. Campos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie

Tema 9. Campos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie Tema 9. ampos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie Índice de contenidos del tema 9 1. ampos escalares y campos vectoriales 2. Gradiente, laplaciano, divergencia

Más detalles

Funciones de varias variables reales

Funciones de varias variables reales Capítulo 6 Funciones de varias variables reales 6.1. Introducción En muchas situaciones habituales aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V =

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II (Ciencias- 2011) Trabajo Práctico 8

ANALISIS MATEMATICO II (Ciencias- 2011) Trabajo Práctico 8 ANALISIS MATEMATIO II (iencias- 2011) Integrales sobre curvas (o de línea) Trabajo Práctico 8 1. Evaluar las siguientes integrales curvilíneas γ f ds. (a) f(x, y, z) = x + y + z ; r(t) = (sen t, cos t,

Más detalles

GUÍA DE EJERCICIOS - INTEGRALES MÚLTIPLES

GUÍA DE EJERCICIOS - INTEGRALES MÚLTIPLES GUÍA DE EJERIIOS - INTEGRALES MÚLTIPLES 1. Escriba la expresión que permite calcular por integrales dobles: a. El área de una región plana R. b. El volumen de un sólido V, de altura z = f(x,y). c. La masa

Más detalles

Los teoremas de Stokes y Gauss

Los teoremas de Stokes y Gauss Capítulo 13 Los teoremas de tokes y Gauss En este último capítulo estudiaremos el teorema de tokes, que es una generalización del teorema de Green en cuanto que relaciona la integral de un campo vectorial

Más detalles

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6

Más detalles

1. Derivadas parciales

1. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para

Más detalles

Integrales de línea. Teorema de Green

Integrales de línea. Teorema de Green Integrales de línea. Teorema de Green José Antonio Vallejo Departamento de Matemáticas Facultad de iencias Universidad Autónoma de San Luis Potosí email: jvallejo@fciencias.uaslp.mx 16 Noviembre 2007 1.

Más detalles

UAM CSIC Grupo 911 Febrero 2013. Ejercicios Resueltos del Tema 2.2.5. Asignatura de Matemáticas Grado en Química

UAM CSIC Grupo 911 Febrero 2013. Ejercicios Resueltos del Tema 2.2.5. Asignatura de Matemáticas Grado en Química UAM CSIC Grupo 9 Febrero Ejercicios Resueltos del Tema..5 Asignatura de Matemáticas Grado en Química Lista de ejercicios en estas páginas: y. Consejo: En todos los ejercicios es esencial dibujar el dominio

Más detalles

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn.

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn. 1. VECTORES INDICE 1.1. Definición de un vector en R 2, R 3 (Interpretación geométrica), y su generalización en R n...2 1.2. Operaciones con vectores y sus propiedades...6 1.3. Producto escalar y vectorial

Más detalles

5 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones empleando la definición de

5 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones empleando la definición de Hallar el dominio de las siguientes funciones: x 3 a) x +ln(x ) b) ln x + 6 x + c) x x d) ln x x + e) cos x + ln(x 5π) + 8π x Graficar la función sen(x π ). Hallar para que valores de x es 3 Hallar las

Más detalles

Integrales de lı nea y de superficie

Integrales de lı nea y de superficie EJERIIO DE A LULO II PARA GRADO DE INGENIERI A Elaborados por Domingo Pestana y Jose Manuel Rodrı guez, con Arturo de Pablo y Elena Romera 4 4.1 Integrales de lı nea y de superficie Integrales sobre curvas

Más detalles

MATE1207 Primer parcial - Tema A MATE-1207

MATE1207 Primer parcial - Tema A MATE-1207 MATE7 Primer parcial - Tema A MATE7. Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.

Más detalles

que corresponde al dominio definido por el paralelogramo de vértices (0, 2), (2, 1), (1, 6) y (3, 5).

que corresponde al dominio definido por el paralelogramo de vértices (0, 2), (2, 1), (1, 6) y (3, 5). 74 MÉTOOS NUMÉRICOS Informática de Sistemas - curso 9/1 Hojas de problemas Tema I - Cálculo diferencial e integral en varias variables I.1 Representación de funciones de dos variables 1. ibuja el plano

Más detalles

Vectores: Producto escalar y vectorial

Vectores: Producto escalar y vectorial Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con

Más detalles

Ampliación de Matemáticas. Integrales de línea

Ampliación de Matemáticas. Integrales de línea Ampliación de Matemáticas Integrales de línea En Física la idea intuitiva de trabajo queda recogida en la fórmula Trabajo = Fuerza x Espacio Si f(x) es la fuerza aplicada, a lo largo del eje x, a un objeto

Más detalles

El Teorema de Green. Una curva dada por r(t) = x(t) i + y(t) j, a t b, se dice simple si no se corta consigo misma, es decir, r(c) Curva no simple

El Teorema de Green. Una curva dada por r(t) = x(t) i + y(t) j, a t b, se dice simple si no se corta consigo misma, es decir, r(c) Curva no simple El Teorema de Green Una curva dada por r(t) x(t) i + y(t) j, a t b, se dice simple si no se corta consigo misma, es decir, r(c) r(d) si c d. urva simple urva no simple urva orientada positivamente La curva

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

2.1.5 Teoremas sobre derivadas

2.1.5 Teoremas sobre derivadas si x < 0. f(x) = x si x 0 x o = 0 Teoremas sobre derivadas 9 2. f(x) = x 3, x o = 3 a. Determine si f es continua en x o. b. Halle f +(x o ) y f (x o ). c. Determine si f es derivable en x o. d. Haga la

Más detalles

Parcial 2 Precálculo

Parcial 2 Precálculo Parcial 2 Precálculo Marzo 4 de 2008. (.5 puntos) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2,-2) y (-9,-3) Encuentre los interceptos en x y en y. Encuentre la ecuación de la recta que

Más detalles

Javier Junquera. Vectores

Javier Junquera. Vectores Javier Junquera Vectores Cómo describir la posición de un punto en el espacio: Sistemas de coordenadas Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de: Un punto de referencia fijo,

Más detalles

El teorema de Green. 1 x (t) 2 + y (t) 2 ( N(t) = y (t), x (t) ).

El teorema de Green. 1 x (t) 2 + y (t) 2 ( N(t) = y (t), x (t) ). apítulo 11 El teorema de Green El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de

Más detalles

Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Segundo Examen Parcial. 14 de Junio de 2000

Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Segundo Examen Parcial. 14 de Junio de 2000 ÁLULO Primer curso de ngeniero de elecomunicación egundo Examen Parcial. de Junio de Ejercicio. Hallar los extremos absolutos de la función f (x, y, z) =x + y + z, en el conjunto A = (x, y, z) R 3 : x

Más detalles

Teorema de Green. 6.1. Curvas de Jordan

Teorema de Green. 6.1. Curvas de Jordan Lección 6 Teorema de Green En la lección anterior, previa caracterización de los campos conservativos, hemos visto que un campo irrotacional puede no ser conservativo. Tenemos por tanto una condición fácil

Más detalles

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(

Más detalles

Alternativamente, los vectores también se pueden poner en función de los vectores unitarios:

Alternativamente, los vectores también se pueden poner en función de los vectores unitarios: 1. Nociones fundamentales de cálculo vectorial Un vector es un segmento orientado que está caracterizado por tres parámetros: Módulo: indica la longitud del vector Dirección: indica la recta de soporte

Más detalles

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2014-2015 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN Después

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

GUIA DE ESTUDIO PARA EL TEMA 2: INTEGRALES DE SUPERFICIE. 2) Para cada una de las superficies dadas determine un vector normal y la ecuación del

GUIA DE ESTUDIO PARA EL TEMA 2: INTEGRALES DE SUPERFICIE. 2) Para cada una de las superficies dadas determine un vector normal y la ecuación del GUIA DE ESTUDIO PARA EL TEMA 2: INTEGRALES DE SUPERFICIE PLANO TANGENTE Y VECTOR NORMAL. AREA DE UNA SUPERFICIE 1) En cada uno de los siguientes ejercicios se presenta una S dada en forma paramétrica,

Más detalles

Campos conservativos. f(x) = f (x) = ( f x 1

Campos conservativos. f(x) = f (x) = ( f x 1 Capítulo 1 Campos conservativos En este capítulo continuaremos estudiando las integrales de linea, concentrándonos en la siguiente pregunta: bajo qué circunstancias la integral de linea de un campo vectorial

Más detalles

ANÁLISIS MATEMÁTICO II - Grupo Ciencias 2018 Práctica 9 Campos conservativos - Teorema de Green

ANÁLISIS MATEMÁTICO II - Grupo Ciencias 2018 Práctica 9 Campos conservativos - Teorema de Green ANÁLISIS MATEMÁTIO II - Grupo iencias 018 Práctica 9 ampos conservativos - Teorema de Green A. ampos conservativos 1. Mostrar que F x, y) = y cos x) i + x sen y) j no es un campo vectorial gradiente..

Más detalles

Aplicaciones de la Integral Definida

Aplicaciones de la Integral Definida CAPITULO 7 Aplicaciones de la Integral Definida 1 Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.tex

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.tex http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.tex Lección 1 - Problemas Problemas CAPÍTULO 2 FUNCIONES VECTORIALES Lección 2.2. Curvas enr n Una aplicación F : I R n,

Más detalles

Introducción a la geometría. del plano y del espacio. Curvas.

Introducción a la geometría. del plano y del espacio. Curvas. UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Introducción a la geometría del plano y del espacio. Curvas. Ramón Bruzual Marisela Domínguez

Más detalles

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad) Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb

Más detalles

S n = 3n + 2 n + 4. ln(1 + a n ) (3) Decidir, para cada una de las siguientes series, si es convergente o divergente.

S n = 3n + 2 n + 4. ln(1 + a n ) (3) Decidir, para cada una de las siguientes series, si es convergente o divergente. CÁLCULO HOJA 1 INGENIERO TÉCNICO EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS GRUPO DE MAÑANA, MÓSTOLES, 2008-09 (1) De la serie a n se sabe que la sucesión de sumas parciales viene dada por: S n = 3n + 2 n + 4. Encontrar

Más detalles

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Sección 3.1.4 1. Dom a = [ 1, 1]. Dom b = R. Dom c = (, 4). Dom d = ( 1, ). Dom e = R ( 1, 3] y Dom f = R {, }. 5x 4 x < 1, (x 1)(3x ) x < 1,. (f + g)(x)

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

1. Extremos de funciones 2. 2. Parametrización, Triedro de Frenet 21. 3. Coordenadas curvilíneas 34. 4. Integrales de trayectoria y de línea 41

1. Extremos de funciones 2. 2. Parametrización, Triedro de Frenet 21. 3. Coordenadas curvilíneas 34. 4. Integrales de trayectoria y de línea 41 Índice general 1. Extremos de funciones. Parametrización, Triedro de Frenet 1 3. Coordenadas curvilíneas 34 4. Integrales de trayectoria y de línea 41 5. Integrales Iteradas 5 6. Teoremas Integrales 57

Más detalles

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta.

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta. Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Desigualdades 1.1. Introducción. Intervalos Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta. 1 0 1 5 3 Sean a y b números y supongamos que

Más detalles

Resumen TEMA 3: Cinemática del movimiento plano

Resumen TEMA 3: Cinemática del movimiento plano TEM 3: Cinemática del movimiento plano Resumen TEM 3: Cinemática del movimiento plano 1. Condiciones del movimiento plano Definición: un sólido rígido se mueve con un movimiento plano si todos sus puntos

Más detalles

Dinámica. Fuerza es lo que produce cualquier cambio en la velocidad de un objeto. Una fuerza es lo que causa una aceleración

Dinámica. Fuerza es lo que produce cualquier cambio en la velocidad de un objeto. Una fuerza es lo que causa una aceleración Tema 4 Dinámica Fuerza Fuerza es lo que produce cualquier cambio en la velocidad de un objeto Una fuerza es lo que causa una aceleración La fuerza neta es la suma de todas las fuerzas que actúan sobre

Más detalles

TEMA: CAMPO ELÉCTRICO

TEMA: CAMPO ELÉCTRICO TEMA: CAMPO ELÉCTRICO C-J-06 Una carga puntual de valor Q ocupa la posición (0,0) del plano XY en el vacío. En un punto A del eje X el potencial es V = -120 V, y el campo eléctrico es E = -80 i N/C, siendo

Más detalles

1 Terminar los ejercicios de la práctica realizada el día de hoy

1 Terminar los ejercicios de la práctica realizada el día de hoy Este documento contiene las actividades no presenciales propuestas al terminar la clase del día que se indica. e sobreentiende que también se debe realizar el estudio de lo explicado en clase aunque no

Más detalles

x R, y R Según estas coordenadas dividiremos al plano en cuatro cuadrantes a saber:

x R, y R Según estas coordenadas dividiremos al plano en cuatro cuadrantes a saber: Apéndice A Coordenadas A.1 Coordenadas en el Plano R A.1.1 Cartesianas (x, y) Dotar al plano bidimensional R de coordenadas cartesianas D es establecer una biyección entre el conjunto de puntos del plano

Más detalles

Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula

Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula Ariel Fernández Daniel Marta Introducción. En este capítulo se introducirán los elementos necesarios para la descripción del movimiento de una

Más detalles

Guía Semana 12 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática

Guía Semana 12 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática . RESUMEN FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Varias Variables 8- Guía Semana Teorema del Cambio de Variables. Sea Ω ÊN un abierto y T : Ω ÊN una función de clase

Más detalles

Coordinación de Matemática IV Guía-Apunte de Preparación del CAR. 2 do Semestre Contenidos del Certamen

Coordinación de Matemática IV Guía-Apunte de Preparación del CAR. 2 do Semestre Contenidos del Certamen Universidad Técnica Federico anta aría Coordinación de atemática IV Guía-Apunte de Preparación del CAR 2 do emestre 2011 Información Contenidos del Certamen Teorema de Green, Teorema de Green para Regiones

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de ádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTIAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 5 La circunferencia Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa González

Más detalles

DEPARTAMENTO DE GEOMETRIA ANALITICA SEMESTRE 2016-1 SERIE ÁLGEBRA VECTORIAL

DEPARTAMENTO DE GEOMETRIA ANALITICA SEMESTRE 2016-1 SERIE ÁLGEBRA VECTORIAL 1.-Sea C(2, -3, 5) el punto medio del segmento dirigido AB. Empleando álgebra vectorial, determinar las coordenadas de los puntos A y B, si las componentes escalares de AB sobre los ejes coordenados X,

Más detalles

1.5. Integral de línea de un campo Vectorial.

1.5. Integral de línea de un campo Vectorial. .5. Integral de línea de un campo Vectorial. Sea F ( xyz,, un campo vectorial continuo sobre R donde F representa un campo de fuerzas aplicado sobre una partícula cuya trayectoria puede ser descrita por

Más detalles

COORDENADAS CURVILINEAS

COORDENADAS CURVILINEAS CAPITULO V CALCULO II COORDENADAS CURVILINEAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un

Más detalles

Examen Final de Cálculo Vectorial MATE PREGUNTAS ABIERTAS TEMA A Diciembre 6 de Nombre: Código:

Examen Final de Cálculo Vectorial MATE PREGUNTAS ABIERTAS TEMA A Diciembre 6 de Nombre: Código: UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Examen Final de Cálculo Vectorial MATE 1207 PREGUNTAS ABIERTAS TEMA A Diciembre 6 de 2017 Este es un examen individual, no se permite el uso de libros,

Más detalles

Tema 9. Funciones de varias variables.

Tema 9. Funciones de varias variables. Tema 9. Funciones de varias variables. 9.1 Introducción 9.2 Límite continuidad. 9.3 Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Teorema Schwart. 9.4 Diferencial. 9.5 Regla de la cadena. Derivación

Más detalles

SERIE # 2 CÁLCULO VECTORIAL

SERIE # 2 CÁLCULO VECTORIAL SERIE # CÁLCULO VECTORIAL SERIE 1) Calcular las coordenadas del punto P de la curva: en el que el vector P 1, 1, r t es paralelo a r t Página 1 t1 r t 1 t i ( t ) j e k ) Una partícula se mueve a lo largo

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas,

Más detalles

Matemáticas II CURVAS

Matemáticas II CURVAS CURVAS En este tema introduciremos nuevos conceptos relacionados con la curva y sus parametrizaciones. Definiciones.- Sea γ : I = [a,b] R n. Se dice que la curva es cerrada si γ(a) = γ(b). Se dice que

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

Caracterización de los campos conservativos

Caracterización de los campos conservativos Lección 5 Caracterización de los campos conservativos 5.1. Motivación y enunciado del teorema Recordemos el cálculo de la integral de línea de un gradiente, hecho en la lección anterior. Si f : Ω R es

Más detalles

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación

Más detalles

Campo y potencial eléctrico de una carga puntual

Campo y potencial eléctrico de una carga puntual Campo y potencial eléctrico de una carga puntual Concepto de campo Energía potencial Concepto de potencial Relaciones entre fuerzas y campos Relaciones entre campo y diferencia de potencial Trabajo realizado

Más detalles

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Definiciones básicas Vectores 1.1. Magnitudes escalares y vectoriales. Hay magnitudes que quedan determinadas dando un solo número real: su medida. Por ejemplo:

Más detalles

EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EJERCICIOS TEMA 4 EJERCICIOS TEMA 4 3 TOPOLOGÍA Ejercicio 1 Sea el conjunto A = 0; 1) [ fg. Hallar A, A, A 0 fra). Solución: A = 0; 1); A = [0; 1] [ fg;

Más detalles

En los ejercicios 1-8, dibujar la curva representada por la función vectorial e indicar su orientación.

En los ejercicios 1-8, dibujar la curva representada por la función vectorial e indicar su orientación. Universidad de Costa Rica Práctica Miscelánea para el Primer Parcial Facultad de Ciencias Funciones Vectoriales, Regla de la Cadena y Funciones Implícitas Escuela de Matemática MA 1003 Cálculo 3 Departamento

Más detalles

1. Funciones de varias variables

1. Funciones de varias variables Análisis Matemático II. Curso 2008/2009. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. Funciones de varias variables

Más detalles

Cálculo diferencial e integral 4

Cálculo diferencial e integral 4 álculo diferencial e integral 4 Guía 4 1. alcular la divergencia y el rotacional de los siguientes campos vectoriales: a) V (x, y, z) = yzi + xzj + xyk. b) V (x, y, z) = x 2 i + (x + y) 2 j + (x + y +

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial

Más detalles

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z GEOMETRÍA Junio 94. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia (x 1) (y ) 1. Razónalo. [1,5 puntos]. Dadas las ecuaciones de los

Más detalles

Diferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones

Diferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Matemática III Guía Nº3 Primer Semestre 015 Diferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones Problemas Propuestos 1. Sea f : R R

Más detalles

Cálculo III (0253) TEMA 1 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL. Semestre 3-2009

Cálculo III (0253) TEMA 1 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL. Semestre 3-2009 Cálculo III (05) Semestre -009 TEMA FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL Semestre -009 Octubre 009 UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el

Más detalles

Parcial 1 DE CÁLCULO DIFERENCIAL Universidad de los Andes 31 de Agosto de 2010

Parcial 1 DE CÁLCULO DIFERENCIAL Universidad de los Andes 31 de Agosto de 2010 Parcial 1 DE CÁLCULO DIFERENCIAL Universidad de los Andes 31 de Agosto de 2010 Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que puedan conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas

Más detalles

Teoremas de Stokes y Gauss

Teoremas de Stokes y Gauss Lección 9 Teoremas de Stokes y Gauss Presentamos a continuación los dos resultados principales del Cálculo Vectorial. Por una parte, el Teorema de Stokes generaliza la fórmula de Green, estableciendo la

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 RECTAS - EJERCICIOS TEÓRICOS 1- Demostrar que la ecuación

Más detalles

Unidad V: Integración

Unidad V: Integración Unidad V: Integración 5.1 Introducción La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS E. SÁEZ Una Ecuación Diferencial Partial (E.D.P.) de Primer Orden, en dos variables, es simplemente una expresión de la forma

Más detalles

UNIVERSIDAD DISTRITAL Francisco José de Caldas Facultad de Ingeniería Ingeniería Eléctrica. Fecha de Elaboración Fecha de Revisión

UNIVERSIDAD DISTRITAL Francisco José de Caldas Facultad de Ingeniería Ingeniería Eléctrica. Fecha de Elaboración Fecha de Revisión UNIVERSIDAD DISTRITAL Francisco José de Caldas Facultad de Ingeniería Ingeniería Eléctrica Elaboró Revisó Diana S. García M. con el material de la coordinación [Escriba aquí el nombre] Fecha de Elaboración

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO ÍNDICE VECTORES EN EL PLANO... 3 Vector Fijo... 3 VECTOR LIBRE... 3 Operaciones con Vectores... 3 Suma de vectores... 3 Producto de un número por

Más detalles

CÁLCULO Relación complementaria de problemas Curso 2009-2010

CÁLCULO Relación complementaria de problemas Curso 2009-2010 Escuela Superior de Ingenieros Ingeniero de Telecomunicación CÁLCULO Relación complementaria de problemas Curso 2009-2010 Matemática Aplicada II Universidad de Sevilla Índice general 1. Aplicaciones de

Más detalles

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o. ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.

Más detalles

Primer Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema B) 1

Primer Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema B) 1 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas Primer Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema B) 1 Instrucciones: Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. Escriba con bolígrafo

Más detalles