DISCRETOS LINEALES CON RESPUESTAS AL IMPULSO PERIÓDICAS

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1 DESCRIPCIÓ DE SISTEMAS DISCRETOS LIEALES CO RESPUESTAS AL IMPULSO PERIÓDICAS DESCRIPTIO OF LIEAR DISCRETE SYSTEMS WITH PERIODICAL IMPULSE RESPOSES Rcibido: fbrro d Arbitrado: abril d Marclo Hrrra Martínz* Rsumn El prsnt trabajo s una invstigación d las propidads d los sistmas discrtos linals con rspustas al impulso priódicas. Est s un caso particular d los Sistmas LTI (Linals Invariants con l Timpo) con sta clas d rspustas al impulso. Primro s invstiga la forma gnral d la función d transfrncia cuando la rspusta al impulso s priódica. El caso dond los priodos d la sñal d ntrada y d la rspusta al impulso son iguals tambin s invstigado. El último caso invstigado, s aquél, dond los dos priodos son difrnts. Est caso particular s simulado n MATLAB. Palabras clav Sistmas LTI, rspustas al impulso priódicas, simulación n MATLAB. Abstract Th prsnt work is an invstigation about th proprtis of discrt linar systms with priodic impuls rsponss. It is a particular cas of LTI (Linar Tim Invariant) Systms with this kind of impuls rsponss. W first invstigat th gnral form of th transfr function whn th impuls rspons of th systm is priodic. Scondly, w invstigat th cas whn th priods of th input signal and th impuls rspons ar qual. Th cas whn whn th two priods ar diffrnt, is also invstigatd. This last particular cas is simulatd in MATLAB. Kywords LTI systms, impuls rsponss rgular, MATLAB simulation. Introducción La caractrización d sistmas mcánicos y léctricos con funcions d transfrncia s una técnica ampliamnt usada, qu prmit la simulación d stos con lmntos d control digital. Podmos así, ralizar la caractrización d un sistma con stas funcions o con sus rspctivas rspustas impulsionals. Si qurmos una dscripción n timpo continuo d un sistma, s suficint calcular su función dl sistma, qu s la Transformada d Laplac * Ingniro Elctrónico, Magístr n Radiolctrónica y Doctor n Acústica d la Univrsidad Técnica d Praga. . mhmusicamarclo@gmail.com 95

2 Rvista d la Facultad d Ingniría Año n. 5, nro-junio d d la rspusta impulsional. Asímismo podmos dscribir un sistma continuo n l timpo con su rspctiva cuación difrncial. Sin mbargo, s posibl ralizar sta dscripción, ralizando un mapo ntr la variabl complja s d Laplac, y, la variabl imaginaria jw d Fourir: [] D sta manra, nustra dscripción dl sistma n timpo continuo s, la Transformada d Fourir d la rspusta impulsional D sta manra, obtnmos la función d Transfrncia dl sistma, n función d, dond w rprsnta la frcuncia angular. La figura.º nos ilustra stos dos concptos. [4] En st caso, la función d Transfrncia s pud obtnr dirctamnt d [4] calculando la transformada-z invrsa n ambos lados d [4]. Por tanto, aplicando la propidad d dsplazaminto n l timpo, obtnmos, [5] [6] [7] o, quivalntmnt, [8] Figura. Rlación ntr transformadas Laplac y Fourir. Para l modlaminto d sistmas discrtos, ralizamos la caractrización d stos con ayuda d la Transformada Z, con lo cual obtnmos la Función d Transfrncia dl Sistma Discrto. Matmáticamnt dscrito, [] D sta manra, obtnmos una dscripción para l modlaminto d sistmas discrtos. Es posibl rlacionar la función d transfrncia, con la Transformada-Z d la sñal d ntrada y con la Transformada-Z d la sñal d salida, d la siguint manra, [] Esta rlación s d spcial utilidad para obtnr cuando s dscrib l sistma mdiant una cuación linal n difrncias con coficints constants d la forma, D sta forma, un sistma linal invariant n l timpo dscrito por una cuación n difrncias con coficints constants, tin una función d transfrncia racional. Esta s, n gnral, la forma d la función d transfrncia d un sistma dscrito por una cuación n difrncias linal con coficints constants. D sta forma gnral obtnmos dos class spcials muy importants. La primra, si, para <k<, s rduc a [9] En st caso, contin M cros, cuyos valors stán dtrminados por los parámtros dl sistma, y un polo d ordn M n l orign z. Dado qu l sistma contin M polos trivials n z y M cros no trivials, s l dnomina sistma d todo 96

3 Dscripción d sistmas discrtos linals con rspustas al impulso priódicas p Invstigación cros. Evidntmnt, un sistma así tin una rspusta impulsional d duración finita (FIR, finit impuls rspons), y s dnomina sistma FIR o sistma d mdia móvil (sistma MA). Por otra part, si para <k<m, la función dl sistma s rduc a [] En st caso, H(z) contin polos, cuyos valors qudan dtrminados por los parámtros dl sistma y un cro d ordn n l orign z. En conscuncia sta última función dada n [] contin solo polos no trivials y l sistma corrspondint s dnomina sistma d todo polo. Dbido a la prsncia d los polos, la rspusta impulsional dl sistma s d duración infinita y s trata, por tanto, d un sistma IIR (infinit impuls rspons). La forma gnral d la función d transfrncia dada por [] contin tanto polos como cros y, por llo, l sistma corrspondint s dnomina sistma d polos y cros, con polos y M cros. Los polos y/o cros, tanto n z como n z, no s cuntan xplícitamnt. Dbido a la prsncia d polos y cros s un sistma IIR. El prsnt txto dsarrolla modlos matmáticos d sistmas con rspustas impulsionals priódicas, y las analiza para l caso spcial d sñals d ntrada priódicas. I. Funcions d transfrncia d sistma con rspustas impulsionals priódicas Encontrmos la función d transfrncia d un sistma linal discrto cuya rspusta impulsional s priódica con priodo. Para st propósito, modlmos una rspusta impulsional priódica, d la forma, h [ n] { a, a, a, a, a, a,...} Si rcordamos nustra dfinición fundamntal d la transformada Z para obtnr nustra función d Transfrncia, tndrmos, ( a a a a a a H z) z z z z z z 6 + Es posibl, simplificar sta xprsión d la manra, a a a z z z z z z z z z Finalmnt, rcordando la suma d una sri gométrica, obtndrmos, a + a + a +... z z z z z z Rarrglando cada uno d los términos, tndrmos, z ( ) + z + z H z a a a z z z z z z Finalmnt, + z a a a + z z z z Por lo tanto, d forma gnral, un sistma linal discrto con una rspusta impulsional priódica, con priodo, tin una función d transfrncia d la forma, z a a a a z z z z z II. Comportaminto d sistmas con rspustas impulsionals priódicas a sñals d ntrada priódicas La siguint tapa s invstigar qué sucd con la salida dl sistma y[n], cuando la sñal d ntrada s priódica

4 Rvista d la Facultad d Ingniría Año n. 5, nro-junio d Aquí, srá ncsario distinguir ntr dos casos. El primro d llos, cuando la sñal d ntrada y la rspusta impulsional tinn l mismo priodo, y l otro, cuando no lo tinn.. La sñal d ntrada tin l mismo priodo qu la rspusta impulsional Si dnotamos la opración d convolución d la siguint manra, x h y n y dnotamos l spctro d la sñal d salida con ayuda d la transformada discrta d Fourir (DFT), n y[ n] / Podmos obtnr l spctro d la sñal d salida n términos d la sñal d ntrada y la rspusta impulsional dl sistma, Y ( n n / Hacindo uso d una nuva variabl n para dsarrollar l término d la bas xponncial d Fourir, tnmos, n n '/ jπk ( n / Rordnando los términos d las xponncials circulars compljas, '/ n n jπk ( n / Y rcordando qu las rspustas impulsionals son priódicas, podmos obtnr, '/ n n) / Rorganizando las xprsions dl priodo, obtnmos, / n) n Y ( X ( H (, La cual también s priódica con priodo. '/. La ntrada tin un priodo distinto qu la rspusta impulsional El análisis dl sistma, cuando st tin una rspusta impulsional priódica, con un priodo distinto al d la sñal d ntrada, involucra un trataminto matmático arduo. Por sta razón, s ha ralizado l análisis con ayuda d hrramintas computacionals como MATLAB. S modlan dos sñals, s (sñal d ntrada) y s (rspusta al impulso), como dos sñals priódicas snoidals, con frcuncias f y f, y s obsrva la convolución ntr las dos para podr obsrvar la sñal d salida. El siguint código n MATLAB, ilustra y modla la situación, t:.:5; f; f5; s*sin(*pi*f*t); s*sin(*pi*f*t); figur; subplot(,,) plot(s); subplot(,,) plot(s); out conv(s,s); subplot(,,) plot(out); La siguint figura ilustra la convolución d dos sñals priódicas con priodos difrnts. El rsultado, qu s mustra n la última gráfica s una sñal simétrica, con caráctr cuasi-priódico. 98

5 Dscripción d sistmas discrtos linals con rspustas al impulso priódicas p Invstigación Figura. Sñal rsultant a un sistma con rspusta impulsional priódica, con príodo y a una sñal d ntrada con priodo M. Conclusions El comportaminto d sistmas discrtos con rspustas impulsionals priódicas ha sido analizado y vrificado con lmntos computacionals como MATLAB. Primro, s ha obtnido la xprsión gnral para un sistma discrto con rspusta impulsional priódica. Postriormnt, s ha dducido la xprsión para la salida d un sistma con rspusta impulsional priódica cuando la ntrada s una sñal priódica, ambas con l mismo priodo. Finalmnt, s ha calculado n MAT- LAB, qué sucd cuando la rspusta impulsional dl sistma y la sñal d ntrada, tinn priodos difrnts. Rfrncias bibliográficas [] J. G. Proakis, D. G. Manolakis. Trataminto digital d sñals. Prntic Hall,.ª dición, 997. [] A. Papoulis, Th Fourir Intgral and its applications. McGraw-Hill, 96. [] P. Sovka, V. Davidk. Cislícové Zpracování Signálu a Implmntac. Vydavatlství CVUT, 999. [4] J. Prchal. Signály a soustavy. Pragu, Edicní Strdisko CVUT, 989. [5] B. Pondlick. Linarní Algbra. Pragu, Edicni Strdisko CVUT, 986. [6] S. W. Koris. Taschnbuch dr Elktrotchnik. Vrlag, Harri Dutsch. [7] P. Pollak, R. Cmjla. Analýza a Zpracování Signálu v Sminar Katdry Tori Obvodu. Fakulta Elkrotchnická. CVUT, 4. [8] J. G. Proakis. Digital Communications. McGraw-Hill, Third Edition, 995. [9] [] 99