3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Transcripción

1 Teorí ejercicios de teátics II. Álger Sistes de ecucioes lieles - -. SISTES DE ECUCIONES INEES. DEFINICION U ecució liel es u ecució de l for e l que, so los coeficietes de ls icógits, es el tério idepediete de l ecució. Si l ecució se ll hoogée. U siste de ecucioes lieles es u cojuto de ecucioes lieles co ls iss icógits: Resolver u siste de ecucioes cosiste e ecotrr el vlor o los vlores de ls icógits que verific siultáeete tods ls ecucioes. E este te utilireos l represetció tricil de u siste: o e for revid: XB e l que es l tri de coeficietes X es l tri de icógits B es l tri de térios idepedietes igulete hreos uso de l tri plid que represetreos por B B

2 Teorí ejercicios de teátics II. Álger Sistes de ecucioes lieles Dos sistes de ecucioes so equivletes si tiee ls iss solucioes.. Propieddes de los sistes equivletes - Si e u siste de ecucioes lieles u ecució es coició liel de ls otrs, podeos eliir dich ecució el siste que os qued es equivlete l priero sí, por ejeplo, el siste es equivlete l siste, pues l últi ecució del prier siste es coició liel de ls dos priers; result fácil oservr que los dos sistes tiee por solució El siste por lo tto so equivletes - Si e u siste de ecucioes lieles sustituios u ecució culquier por u coició liel de ell co lgu o lgus de ls otrs, el siste oteido es equivlete l priero. es equivlete l siste ulti ecució por l su de l prier ás l tercer.. Clsificció de los sistes lieles e el que heos sustituido l Decios que u siste es coptile si dite lgu solució. E cso de que o teg solució el siste es icoptile. os sistes coptile puede ser, su ve, deteridos si dite u úic solució e ideterido cudo dite ifiits solucioes, deteridou sól solució Coptileco solució Siste ideteridoifits solucioes Icoptilesi solució. REG DE CRER PR RESOUCIÓN DE SISTES INEES U siste se dice que es u siste de Crer si cuple ls siguietes codicioes: Tiee el iso úero de ecucioes que de icógits El deterite de l tri de coeficietes o es igul cero Por ejeplo, el siste: - -

3 Teorí ejercicios de teátics II. Álger Sistes de ecucioes lieles - - es de Crer pues tiee tts ecucioes coo icógits Todo siste de Crer es coptile deterido: Pr resolver los sistes de Crer se puede epler l regl de Crer: - solució de u siste de Crer es:,, i, i i siedo i l tri que se otiee prtir de l tri de coeficietes, cido l colu de lugr i por l colu de térios idepedietes l tri de coeficietes. Ejeplo. plicr l regl de Crer pr resolver el siste Priero coproos que se trt de u siste de Crer; pr ello coproos que sí pues, podeos plicr l regl de Crer pr resolverlo: Ejeplo. plicr l regl de Crer pr resolver el siste

4 Teorí ejercicios de teátics II. Álger Sistes de ecucioes lieles Ejeplo. Resolver el siste por el étodo de l tri ivers: Recordeos que B X t dj luego que so ls iss que ls ecotrds e el ejeplo. TEORE DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS Ddo u siste S de ecucioes co icógits: S os servireos del teore de Rouché-Fröeius pr estudir si coptiilidd codició ecesri suficiete pr que u siste de ecucioes se coptile es que l tri de coeficietes l tri plid teg el iso rgo. ró de ser de este teore está e que l colu de térios idepedietes es u coició liel de ls colus de los coeficietes:

5 Teorí ejercicios de teátics II. Álger Sistes de ecucioes lieles - - si los térios idepedietes o so coició liel de los coeficietes, el siste será icoptile el rgo de l tri plid o coicidirá co el de l tri de coeficietes. sí si B R R r el siste será coptile; pero será deterido o ideterido? Cudo el úero de icógits es igul r el siste será coptile deterido que el úero de ecucioes lielete idepediete es igul l úero de icógits Cudo el úero de icógits es or que r, el siste será ideterido; pr resolverlo se to r ecucioes lielete idepedietes se ps l otro térios r icógits Ejeplo. Discutir resolver, e su cso, el siguiete siste Estudieos priero R R R luego el siste es coptile deterido que el rgo de l tri coicide co el úero de icógits. Pr resolverlo podeos plicr culquier de los étodos coocidos; e este cso plicos el étodo de Crer: 9

6 Teorí ejercicios de teátics II. Álger Sistes de ecucioes lieles Ejeplo. Discutir el siguiete siste 6 R R B R R B R Ddo que el rgo de l tri de coeficietes es distito del rgo de l tri plid, el siste es icoptile Ejeplo. Discutir resolver, e su cso, el siguiete siste 9 R R 9 R R R B R uego el siste es coptile e ideterido que el uero de icógits es igul Pr resolver el siste cogeos tts ecucioes coo idic el rgo, e este cso, psos u - icógits l segudo iero: que podreos resolver que el deterite de l tri de coeficietes o es ulo. plicdo l regl de Crer:

7 Teorí ejercicios de teátics II. Álger Sistes de ecucioes lieles - - Solucioes que tié podeos escriir e fució de u práetro t t t t ; de est for ddo vlores t oteeos ls solucioes del siste Ejeplo 6. Discutir resolver, e su cso, el siguiete siste R R R R B R B R uego el siste es coptile deterido. El hecho de que el úero de ecucioes se superior l úero de icógits hce que el siste se redudte; por ello pr resolverlo elegios dos ecucioes cuo rgo de l tri de coeficietes o se cero: es equivlete

8 Teorí ejercicios de teátics II. Álger Sistes de ecucioes lieles SISTES HOOGÉNEOS U siste de ecucioes lieles e que los térios idepedietes so ceros se ll hoogéeo E todo siste hoogéeo, se cuple : B R R luego siepre es coptile Pr que u siste hoogéeo se coptile deterido deerá cuplirse que: R º de icógits por lo tto pr que el siste se deterido es codició iprescidile que l solució del siste será Pr que el siste se ideterido deerá cuplirse que: < R º de icógits por lo que el siste será ideterido si Ejeplo. Discutir resolver el siguiete siste

9 Teorí ejercicios de teátics II. Álger Sistes de ecucioes lieles R R uego el siste es coptile deterido ; l úic solució es l solució trivil Ejeplo. Discutir resolver el siguiete siste R R Coo el rgo de l tri de coeficietes es eor que el úero de icógits, el siste es coptile ideterido co - grdo de liertd; sí pr solucior el siste toos dos ecucioes co deterite de coeficietes o ulo: resolviedo por Crer: o e fució de u práetro " "t t t t. EIINCION DE PRÁETROS EN UN SISTE INE Eliir práetros cosiste e psr de u siste de ecucioes prétrics u otro siste equivlete que o coteg práetros.

10 Teorí ejercicios de teátics II. Álger Sistes de ecucioes lieles - - Se u siste de ecucioes lieles e l que os ecotros co los práetros,, que pretedeos eliir pr ello cosideros el siste e l for e l que ls icógits so los práetros,, Segú el teore de Rouché-Fröeius, si: - R, los o práetros se podrá eliir - R <, los práetros podrá eliirse Ejeplo 9. Eliir, si es posile, los práetros,, del siste Escriiedo el siste e l for: R Rg º de ecucioes ; luego los práetros o puede eliirse Ejeplo. Eliir, si es posile, los práetros, del siste

11 Teorí ejercicios de teátics II. Álger Sistes de ecucioes lieles - - Pseos el siste l for. < R R R º de ecucioes luego pr que el siste se coptile: R es decir ecució equivlete l terior siste e l que h desprecido los práetros Ejeplo. Eliir, si es posile, los práetros, del siste γ γ γ Escriios el siste e l for: γ γ γ R R Pr que el siste se coptile deerá cuplirse R

12 Teorí ejercicios de teátics II. Álger Sistes de ecucioes lieles - - luego el deterite de culquier sutri de orde dee ser cero; es decir: o... o... sí pues l ecució es equivlete l siste origil pero e ell o prece los práetros