Tema 0 Repaso de Señales y Sistemas Discretos. 4º Ing. Telecomunicación EPS Univ. San Pablo CEU

Transcripción

1 Tma Rpaso d Sñals y Sistmas Discrtos 4º Ig. Tlcomuicació EPS Uiv. Sa Pablo CEU

2 Lcturas complmtarias Opp., Pro (sólo hasta.: Itroducció a TDS Importacia d TDS la igiría Prspctiva histórica Esquma d u sistma d TDS Tipos d sñals Trasparcias:- Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU

3 Lcturas complmtarias Opphim, Willsy. Sñals y Sistmas. Prtic-Hall, 997. Cap., cap. (sólo lo rfrt a timpo discrto Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 3 Ercicios Opp:.9,.43 Ercicios Pro:.,. 3

4 Sñals Sñal: Algo qu llva ifo. Ifo cotida algú patró d variacios (: vo, vído:x(t. Covció: variabl idp. s t. Sñals timpo discrto x[]:scucias. Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 4 Opp. 4

5 Sñals Básicas (. δ (. (.3 Dlta d Krocr [] x x δ [ ] δ [ ] x[ ] δ [ ] [][] δ x[][] δ [ ] (.4 Cualquir scucia s pud xprsar como ua suma podrada d dltas x x [] x δ [ ] x[ ] Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 5 Bibliografía: Opp.., Pro.. 5

6 Sñals Básicas Escaló uidad (.5 u [] < u [ ] < Rlació co la fució dlta [] δ [ ] δ [] (.6 u (.7 δ [ ] u[ ] u[ ] Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 6 Bibliografía: Opp.., Pro.. Ercicios Pro:.3 6

7 Sñals Básicas Expocial ral (.9 x β [] Cα C Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 7 Bibliografía: Opp.., Pro.., Opp I.3 Ercicios Pro:.5* 7

8 (. x Expocial imagiaria pura Sñals Básicas ω [] C C ω + siω (. cosω R{ (. siω Im{ (cos ω ω A } } ω ω + A ω ω φ ω φ ω A ω + φ + cos( (.3 (.5 ω N π N (.4 N, ± N, ± N,... rsto Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 8 Bibliografía: Opp.., Pro.., Opp I.3 8

9 Expocial imagiaria pura Sñals Básicas Priodicidad ω m ω π, N N N gcd( m, N [,π ( π π ] (.6 (.7 ω ω + N mcm N, + ( N (.8 ω ω Priodicidad w ω π + ω ω [,π ( π, π ] Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 9 Bibliografía: Opp.., Pro.., Opp I.3 Ercicios Opp:.8 9

10 Expocial compla Sñals Básicas Im{ } ω [] ( ( α x R{ } Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opp.., Pro.., Opp I.3 Ercicios Opp:.7

11 Sistmas Básicos (.7 Itgrador (.8 Difrcia fiita causal (.9 Difrcia fiita o causal (.3 Part par (.3 Part impar (.3 Corrlació φ [] I( x[] x[] y y y x x o xy [] D ( x[ ] x[ ] x[ ] [] D + ( x[ ] x[ ] x[ + ] [] Ev( x[] [ ] + x[ ] x x x Odd( x [] [] [ ] [ ] [ m] x[ ] y[ + m] x[ m] y[ m] x x [ ] D ( I( x[ ] [ ] I( D ( x[ ] x [ ] x [ ] x [ ] + o (.33 (.34 (.35 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU Ercicios Pro:.4,.5,.58,.59,.6,.6

12 (.9 (. (. (. (.3 (.4 Propidads Básicas d los Sistmas Sistmas co mmoria y[ ] T ( x[ ], x[ ], x[ ],... Sistmas si mmoria y [ ] T ( x[ ] Sistmas ivrtibls y[] T ( x[ ] T ( y : x[ ] T ( y[ ] T ( T ( x[ ] Sistmas causals y[ ] T ( x[ ], x[ ], x[ ],... Sistmas o causals y[ ] T ( x[ ], x[ + ], x[ + ],... Sistmas stabls x[ ] < B, B : T ( x[ ] < B, (.5 Sistmas ivariats l timpo (.6 y x Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU T [ ] T x[ ] y[ ] T ( x[ ] ( Sistmas lials ( ax [ ] + bx [ ] at ( x [ ] bt ( x [ ] T + T Bibliografía: Opp.., Pro.. Ercicios Opp:.3*,.3*,.55,.56,.6,.63,.68 Ercicios Pro:.6,.7,.8*,.,.,.,.3,.4

13 Sistmas LTI (.36 Sistma (.37 Sistma lial (.38 Sistma LTI [] T ( x[ ] y y y [] x [] h [] [] x[][ h ] x[] h[] Applt covolució discrta: Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 3 Bibliografía: Opp..3, Pro..3 3

14 Suma d covolució y [] x[][ h ] x[] h[] Evaluació dircta/gráfica (scucias fiitas: Rflxió: h[-] Para cada : Dsplaamito: h[ -]: >: drcha <: iquirda. Multiplicació: v x[].h[ -] Suma d todos los productos. + α Evaluació aalítica: Emplo: y[] u[] α u[] u[] α Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 4 Opp:.3 Ercicios Opp:.,.3,.,.4 Ercicios Pro:.6*,.7,.8,.9,.,.,.,.9,.3*,.3,.33,.34,.36,.37,.38,.39,.45,.5,.5.63,.64 4

15 Propidads Sistmas LTI (.39 (.4 (.4 (.4 (.43 (.44 (.45 Comutatividad Distributividad Asociatividad Sistmas si mmoria Sistmas ivrtibls Sistmas causals Sistmas stabls x [ ] y[ ] y[ ] x[ ] [ ] ( h [ ] + h [ ] x[ ] h [ ] + x[ ] h [ ] x [ ] ( h [ ] h [ ] ( x[ ] h [ ] h [ ] x h h [ ] δ [ ] [ ] h [ ] δ [ ] [ ] < h h [] < Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 5 Bibliografía: Opp..4, Pro..3 Ercicios Opp:.*,.,.,.5,.8,.9,.*,.5,.35,.36,.37*,.5,.6,.34*. Ercicios Pro:.4,.35*,.4,.56,.57 5

16 6 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 6 Sistmas dfiidos por cuacios difrcias fiitas Método : Ecuació d rcurrcia Método : Sol. Homogéa+Sol. Particular [ ] [ ] M N x b y a [ ] N h y a [ ] [ ] [ ] y y y p h + [ ] [ ] M N p x b y a [] [ ] [ ] N M y a x b a y (.48 (.49 (.5 Bibliografía: Opp..5, Pro.4 Ercicios Opp:.39,.6

17 Sol. Ecuació Homogéa Emplo: y[ ] 3 y[ ] + y[ ] x[ ] + x[ ] y 4 8 [ ] 3 4 y [ ] 8 [ ] h + yh [ ] y h h 3 ( + ( ( 4 4 [] ( K K ( yh + 4 Poliomio caractrístico Sol. Trivial Si hay raícs múltipls, supogamos qu ¼ s d ord, tocs la solució s d la forma K + ( K + K (.5 [ ] ( ( yh 3 4 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 7 Bibliografia: Opp..5, Pro..4 Ercicios Opp:.38 7

18 Sol. Particular Emplo: y [ ] 3 y [ ] + y [ ] x[ ] + x[ ] p [] u[] [] Ku[] x y p y p 4 p 8 [] 3 y [ ] + y [ ] x[ ] + x[ ] 4 p 8 p p x [] y[] K K' KM p p p M ( K + K K p K cosω K siω K cosω + K cosω Ku K [] 3 Ku[ ] + Ku[ ] u[ ] + u[ ] 4 K + 8 K + K [] 6 u[ ] y p (.5 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 8 Bibliografia: Pro..4 Ercicios Pro: 8

19 Solució Ecuació Difrcias Emplo: y[ ] 3 y[ ] + y[ ] x[ ] + x[ ] 4 8 [ ] yh [ ] + y p[ ] [] ( y ( h K + K 4 y p [] 6 3 u[ ] 6 [ ] ( K ( K ( u[ ] 6 [ ] 3 [ ] 4 y 8 y[ ] + x[ ] + x[ ] K + K y[ ] 3 [] [ ] [ ] 4 y ] 8 y + x + x[ 4 K + K y y y K 6 K, y ( 6 + u[ ] 5 [] ( ( Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 9 Bibliografia: Pro..4 Ercicios Opp:.5*,.6 Ercicios Pro:.7,.54 9

20 Sol. Ecuació d rcurrcia Emplo: [] δ[] - - y x Codicios iicials: y [] y[ ] x[ ] [ ] x[ ] + y[ 3] [ ] x[ ] + y[ ] y y[] x[] + y[ ] y[] x[] + y[ ] [] [] [ ] ( y x + y y [ ] < [] x[] + y[ ] ( y y y [] x[] + y[ ] [ ] ( u[ ] Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opp..5, Pro.4 Ercicios Opp:.4 Ercicios Pro:.3,.4

21 Rspusta al impulso Emplo: y[ ] 3y[ ] 4y[ ] x[ ] + x[ ] h ( [ ] K ( K ( y 4 + y 3y + 4y + x + x[ ] K + K [ ] [ ] [ ] [ ] y 3y + 4y + x + x[] 5 K + K [ ] [ ] [ ] [ ] K, K h ( + 4 u[ ] [ ] ( Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU Bibliografia: Pro..4.4 Ercicios Opp:.,.3* Ercicios Pro:.5,.8,.3,.55

22 y Fucios propias d los sistmas LTI [] x[][ h ] h[ ] h[] h[] H ( [ ] x r ω x [ ] a [ ] y a H ( (.46 (.47 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opp..6 Ercicios Opp:.3*,.4*,.6,.7.

23 [] x[ N ] x + Rprstació Sri d Fourir ω [] ω π N φ, ±, ±,... Pro sólo hay N sñals distitas d st tipo [ ] φ [ ] (.54 φ (.55 < N > (.53 + rn N (.56 x[] aφ [] aφ [] a x[] φ [] (.57 N < N > a+ N a Atció: (.58 a an La frcucia d la xpocial corrspodit al coficit a s ω ω Applt: Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 3 Bibliografía: Opp..7, Opp 8., Pro. 4. 3

24 Propidads d la Sri d Fourir Lialidad [ ] By[ ] Dsplaamito l timpo [ ] ω Dsplaamito frcucia [ ] Ax + Aa + Bb x a ω Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 4 x Cougació x * [ ] Ivrsió l timpo x[ ] x[ / M ] M Escalado l timpo x M [] rsto Covolució priódica x[][ r y r] r< N > Producto x[ ] y[ ] Applt: a * a a M a Na b l< N > a l b l (.59 (.6 (.6 (.6 (.63 (.64 (.65 (.66 Bibliografía: Opp..8, Opp.9, Pro. 4. 4

25 Propidads d la Sri d Fourir Difrcia fiita [ ] x[ ] Itgració x[] Simtrías [ ] x[] x[ ] ω x ( a ω Sólo s priódica y fiita si a * x s ral a a s ral y par s ral impar Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 5 [ ] [ ] a a x R{ } x o Im{ } Torma d Parsval x[] N < N > a < N > a s ral y par s imagiaria pura impar a a (.67 (.68 (.69 (.7 (.7 (.7 (.73 (.74 (.75 Bibliografía: Opp..8, Opp.9, Pro. 4. 5

26 Alguas sris d Fourir x [] si( πm N π N M π N M cos( πm N gcd( M, N gcd( M, N am, a a M, a M M (.76 (.77 π 4π π Emplo: + si( π + 3cos( + cos( + N N N a a 3 + a 3 a a π π Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 6 Bibliografía: Opp I 3.6 6

27 Alguas sris d Fourir a N N + N π si( N (N + π si( N, ± N, ± N,... (.78 rsto x [] K [] [ N] x δ a K, ± N, ± N,... a rsto N (.79 (.8 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 7 Bibliografía: Opp I 3.6 7

28 Trasformada d Fourir x[ ] x~ [ ] ~ x [] a φ [] < N > Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 8 Bibliografía: Opp..7, Pro 4. 8

29 a Trasformada d Fourir N ~ x < N > [] ω ω ω Dfio X ( x[] (.8 ω Lugo, a X ( N x π [] ~ lim x[] Para rcostruir la sñal l spacio dl timpo ω [] aφ [] X ( φ [] N (π X ( ω ω dω ~ ω x ω X < N > < N > N ω ( π < N > ω π N (.8 a a a a a N ω ω ( N ω ω ω Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 9 Bibliografía: Opp..7, Pro 4. Ercicios Opp:.7,.74 9

30 Covrgcia d la TF ω ω si X ( x[] N N N (.83 lim ω ω s dfi covrgcia uiform X ( X N ( N (.84 X ω ω ( x[] covrg uiformmt si x[] < sñals d rgía fiita x[] < covrgcia cuadrática mdia ω ω lim X ( X N ( dω N (π (.86 (.85 (.87 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 3 Bibliografía: Pro 4. 3

31 Covrgcia d la TF Pro para las sñals d rgía fiita pud habr fómos d Gibbs frcucia!. Emplo:, X ( ω, pro ω < ω ω < ω < π c c s( wc x[ ] π N s( wc x[ ] X N ( ω π N s( wc π ω La itrprtació ituitiva s qu a X ( ω X N ( tid salvo u úmro fiito d discotiuidads Est hcho tdrá su importacia a la hora d disñar filtros discrtos. Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 3 ω Bibliografía: Pro 4. 3

32 Emplo: TF d sñals priódicas cos( ω ω ω ω + l πδ ( ω ω πl (.88 πδ ( ω ω πl + πδ ( ω + ω πl l l πδ ( ω ω + πδ ( ω + ω π ω < π E gral [] ω x a < N > π δ ( ω ω a (.89 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 3 Bibliografía: Pro 4. Ercicios Opp:.7* 3

33 (.9 (.9 (.9 (.93 (.94 Propidads d la TF Lialidad [ ] By[ ] Dsplaamito l timpo [ ] Dsplaamito frcucia [ ] ω ω Ax + AX ( + BY ( ω ω x X ( ω x Cougació x * [ ] Ivrsió l timpo x[ ] x[ / m] m (.95 Escalado l timpo x m [] rsto (.96 x y (.97 x y Covolució [ ] [ ] Producto [ ] [ ] π (π X ( X ( ( ωω * ω X ( X ( X ( X ( θ ω mω Y ( ω ω Y ( ( ωθ dθ Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 33 Bibliografía: Opp..8, Pro

34 Propidads d la TF Difrcia fiita [ ] x[ ] ω ω x ( ( Itgració x [] X ( ω Ral Imagiaria x o Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 34 X ω + πx ( δ ( ω π (.98 (.99 (. ω Difrciació frcucia dx ( x[ ] (. Simtrías dω Timpo Frcucia ω * ω x [ ] s ral X ( X ( (. Par Par ω x[] s ral y par X ( s ral y par (.3 Impar Impar ω x[] s ral impar X ( s imagiaria (.4 Impar Impar pura impar ω Par Par x [ ] R{ X ( } (.5 ω [ ] Im{ X ( } (.6 Bibliografía: Opp..8, Pro

35 Propidads d la TF π Torma d Parsval x[] (π x π * [] y [] (π X ( X ( ω ω Y dω * ( ω dω (.7 (.8 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 35 Bibliografía: Opp..8, Pro. 4.3 Ercicios Opp:.44*,.49*,.65,.7,.73,.75,.76,.77,.78,.79 35

36 Alguas TFs a u[ ] a ( + a u + r a u r si ( ω p ( + a u si ω p [ ] [] u[] a < a < a < a < ω a r [] a < ω a a + ω ω a a a cosω + a ω a ω a ω ω a cosω + a ω + π p δ ( ω π (.9 (. (. (. (.3 (.4 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 36 Bibliografía: Opp I

37 [] ω x a < N > Alguas TFs π δ ( ω ω a α α cos( ω + α π δ ( ω ω + π δ ( ω + ω si( ω π ( π ( δ ω ω δ ω + ω [] [ N] πδ ω ω ω ( δ [ ] πδ ( ω ω x δ N ω δ ( ω ω π (.5 π ω < π (.6 π ω < π (.7 π ω < π (.8 (.9 π ω < π (. (. Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 37 Bibliografía: Opp I

38 x [] x [] N rsto N N rsto Alguas TFs ( N siω + siω N siω( ( N + N + ω W W c π si π < W < π N si ω W X ω ω ( rsto (. (.3 π ω < π (.4 h[ ] cosπ ω X ( ω π ω < π (.5 T Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 38 Bibliografía: Opp I

39 Alguas TFs 5 5 Emplo: x[] a u[ 5] a a u[ 5] a u[ ] [ ] a < a < 5 a a 5ω ω ω a ω ω x X ( (.6 (.7 Emplo: ω ω ω ω ( a ( b a b ( a a b ( b x a a a b b a b [] a u[ ] b u[ ] b Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 39 Bibliografía: Opp I 5.6 Ercicios Opp:.46 39

40 Sris d Fourir Priódica l timpo. Timpo cotiuo Dualidad d la TF Timpo cotiuo Domiio dl timpo Domiio d la frcucia No priódica frcucia. Frcucia discrta Timpo discrto Domiio dl timpo Priódica l timpo. Timpo discrto Domiio d la frcucia Priódica frcucia. Frcucia discrta ωt x( t a a T ( T x( t ωt [] x a < N > a ω N < N > ω x[] Trasformada d Fourir No priódica l timpo. Timpo cotiuo No priódica frcucia. Frcucia cotiua ω ω t ωt x( t X ( dω X ( ω π x( t dt No priódica l timpo. Timpo discrto π [] x (π X ( Priódica frcucia. Frcucia cotiua ω ω dω ω X ( ω x[] (.8 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 4 Bibliografía: Pro. 4., Opp I 5.7 4

41 y Caractriació frcucia d u sistma LTI [] x[][ h ] h[ ] h[] h[] H ( [] x x [ ] a [ ] y a H ( (.46 (.47 [] H h ( La rspusta frcucia a u sistma s la trasformada d Fourir d la rspusta impulsioal Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 4 4

42 4 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 4 Caractriació frcucia d u sistma LTI [] x ω [ ] [ ] ( ω ω ω H h y [] ( ( π ω ω ω π d X x [] ( ( ( π ω ω ω ω π d H X y Emplo: [] x cos( ω α ω α α ω + + [] + ( ( ω ω α ω ω α H H y + ( ( * ω ω α ω ω α H H ( + ( ( ( ω ω ω α ω α ω H H H ( ( cos ( ω ω α ω H H + + (.3 (.3 Bibliografía: Opp..6, Pro. 4.4 Ercicios Opp:.6,.*,.3,.33*,.4,.45,.48,.5,.5,.53,.54,.57,.69

43 43 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 43 Caractriació frcucia d u sistma dfiido por ua cuació difrcias [ ] [ ] M N x b y a M N X b Y a ( ( ω ω ω ω N M a b X Y H ( ( ( ω ω ω ω ω Emplo: [] [ ] [ ] [ ] x y y y ( ( ( ( ω ω ω ω ω ω ω H ( [] ( [] ( [] u u h 4 4 (.9 (.3 ( ( ( ( ω ω ω ω ω ω X Y Y Y + ( ( ( ω ω ω ω X Y + Bibliografía: Opp..5, Pro. 4.4 Ercicios Opp:.8*,.9, (.34*,.4,.47,.64,.66,.67,.7

44 44 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 44 Régim stacioario y trasitorio [] [] u x ω Emplo régim stacioario: [] x ω [] [ ] ( ω ω ω H h y [] [] [] [] [] h u h u y ω ω ω Emplo régim trasitorio: [] [] [] + h h u ω ω ω [] [] [] [] y y h H u t ss + + ( ω ω ω Régim stacioario (stady stat Régim trasitorio Bibliografía: Pro. 4.4, Opp.6 Ercicios Opp:.4 Ercicios Pro:.9

45 45 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 45 Régim stacioario y trasitorio [] [] [] + t h u y ω ω Emplo régim trasitorio: Si h[] s u sistma FIR, tocs [ ] y t > Si h[] s u sistma IIR, tocs [] [] [] [] [] + + t h h h u y ω ω Es dcir, la rspusta stá acotada si l sistma s stabl. Y l trasitorio tid a si la rspusta al impulso tid a co Bibliografía: Pro. 4.4

46 Régim stacioario y trasitorio Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 46 Bibliografía: Pro

47 Procsos stocásticos Supodrmos qu cada x[] s s rsultado d ua variabl alatoria x co px ( x, A mudo s útil caractriar ua v.a por promdios: Mdia m m x E{ x xp x dx } x (, x E{ x} xpx ( x, x { x + ym} E{ x} E{ ym { ax} ae{ x} E + E Procsos stacioarios mx m x φ [, + m] φ [ m] xx xx } Corrlació y Autocorrlació φxx[, + m] E{ x, x+ m} φxy[, + m] E{ x, y+ m} Para ua sñal dtrmiista φ xx [ m] x[ ] x[ + m] x[ m] x[ m] φ [ m] φ [ m] φ [ m] φ [ m] xy yx xx xx Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 47 Bibliografía: Opp.., Opp. A, Pro..6, Pro. A Ercicios Opp:.59 47

48 Procsos stocásticos y Sistmas LTI E { y[] } E h[ ] x[ ] h[ ] E{ x[ ] } E{ x[ ] } h[ ] E{ x[ ] } H ( LTI x stacioario φyy[, + m] E y[][ y + m] E h[ ] h[ r] x[ ] x[ r + m] r { } { x[ ] x[ r + m] } h[ ] h[ r] [ m + r ] h[ r] E h [ φ ] r r xx (.39 φ [ m l] h[ ] h[ l + ] xx l x stacioario xx l φ [ m l] φ [ l] φ [ m] φ [ m] hh xx hh, lugo y s tambié stacioaria (.4 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 48 Bibliografía: Opp.., Opp. A, Pro..6, Pro. A 48

49 49 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 49 Procsos stocásticos y Sistmas LTI * ( ( ( ( ] [ ] [ ] [ ω ω ω ω φ hh hh H H H m h m h m Φ ( ( ( ω ω ω xx yy H Φ Φ [] { } Φ π π ω ω ω π φ d H y E xx yy ( ( [] Emplo: Si s u filtro paso bada [] { } Φ Φ + Φ h l h l l h d d d y E xx xx xx yy ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω π ω π ω π φ ( ( ( [] ( ω xx Φ s ua fució o gativa, ral, y par ( ( ( ω ω ω xx xy H Φ Φ (.4 (.4 (.43 (.44 Bibliografía: Opp.., Opp. A, Pro..6, Pro. A Ercicios Opp:.8*,.8*,.8,.83*,.84,.85,.86,.87,.88,.89,.9,.9 Ercicios Pro:.6

50 Sñals paso bada X ( Ω Ω Sñal aalítica o pr-volvt Ω c Ω c (.45 (.46 X ( Ω X ( Ω u( Ω + ( δ ( t + x( t x( t xˆ( x ( t + t t + π Ωc Ω Trasformada d Hilbrt (.47 (.48 x( τ dτ t τ Xˆ ( Ω X ( Ω H ( Ω xˆ ( t πt x( t π H ( Ω Ω < Ω Ω > (.49 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 5 Bibliografía: Pro. 9. 5

51 Sñals paso bada (.5 (.5 (.5 Sñal quivalt paso bao X l ( Ω X + ( ( Ω + Ωc * X ( Ω X l ( ( Ω Ωc + X ( ( Ω Ω Compot fas Compot cuadratura Ωct θ ( t xl ( t x+ ( t xc ( t + xs ( t a( t l c Ω (.53 (.54 c c s c ( { } Ωc Ω t ct + ( t R xl ( t ( { } Ωc Ω t + θ ( t Im x ( t t x( t x ( t cos Ω t x ( tsi Ω t a( t cos θ xˆ ( t x ( tcos Ω t + x ( tsi Ω t a( tsi c c s c Fas Evolvt Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 5 c l Bibliografía: Pro. 9. Ercicios Opp:.58 Ercicios Pro: 9.3* 5

52 Apédic I: Rlacios trigoométricas + cos + si cos si ta cos si cos + ta ta si si cos + ta si si si a+ b a + b cos cos cos cos a+ b a + b cos cos cos si a+ b a b si ab ab ab si( a + b si a cosb + cos a si b cos( a+ b cos acosbsi asi b cos a cosb cos( a b + cos( a + b si a si b cos( a b cos( a + b si a cosb si( a b + si( a + b Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 5 Bibliografía: Formulario CRC 5

53 53 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 53 Apédic II: Partial Fractio Expasio ( ( ( ( a a a b b b b G P p m m m p pm m P m m p P K b b b b ( ( (...( ( (... dod ( p p p p p m p m m m m m m p p pm G d d m m K ( ( (! ( ( ( ( Bibliografía: Opp I Apédic

54 54 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 54 Apédic II: Partial Fractio Expasio Emplo: ( ( ( ( ( K K H ( 4 ( ( ( 4 H K ( ( ( ( H K ( ( 4 ( 4 H ( ( ] [ ] [ 4 ] [ 4 u u h Bibliografía: Opp I Apédic

55 55 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 55 Apédic II: Partial Fractio Expasio Emplo: ( ( ( ( ( ( ω ω ω ω ω ω K K K Y + + ( 8 ( ( ( 4 H K ( ( ( ( H K ( 4 4 ( 4 ( (! ( 4 4 d d H d d K ( 4 ( ( ( 4 ( 8 ( ω ω ω ω Y ( ( ( ( ] [ ( 4 8 ] [ 4 4 u y + Bibliografía: Opp I Apédic

56 56 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 56 Apédic II: Partial Fractio Expasio Emplo: ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ( d d c c H ω ω ω ω ω ω ( ( ( 3 c c c d c c d c d d c c d d c c ω ω ω ω ω ω ω ω H ( ( ( ( ] [ ] [ ] [ ] [ 3 u h + + δ δ Bibliografía: Opp I Apédic

57 δ ( at δ ( t a Apédic III: Miscláa Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 57 57

58 Txtos Coh5: Th history of ois Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 58 58

59 Tma Mustro d sñals cotiuas 4º Ig. Tlcomuicació EPS Uiv. Sa Pablo CEU Opphim II (Cap. 4. Proais (Cap. 9. Opphim I (Cap. 7

60 Itroducció DofFo Etv/about.html (Aalog to digital traits Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU

61 Mustro priódico Covrsor C/D x c (t x s (t Covrsió d tr x[ ] xc (T d impulsos scucia discrta s(t Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 3 Bibliografía: Opp 4. Problmas Opp: 4. 3

62 x c (t Rprstació dl mustro l domiio d la frcucia Domiio dl timpo Domiio d la frcucia Ω N X c ( Ω Ω N Ω Applt: g/idx.html S( Ω [] x (T x s ( t δ ( t T xc x ( t ( T δ ( t T s c 3Ω s 6π Ωs 4π Ω s Ωs π T T X s Ω ( Ω Ω N Ωs Ω ω X ( s N Ωs 3Ω s π 4π 6π Ω Ω ω Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 4 Bibliografía: Opp 4. Problmas Opp: 4.7*, 4., 4. Problmas Pro:.5, 9.6 4

63 Rprstació dl mustro l domiio d la frcucia (t x c [] x (T x Domiio dl timpo s ( t δ ( t T xc x ( t ( T δ ( t T s c Domiio d la frcucia X c ( Ω s S ( Ω Ω δ ( Ω Ω X ( ω (.4 (.5 (.6 ω x[] s π Ωs T X s( Ω X c( Ω S( Ω X c( ( Ω Ωs x ( T π T X c x ( T ΩT X ( X ( Ω ω ω ω π ( X c( ( T T T ΩT ( X c ( ( Ω Ωs T X s ω ΩT c ΩT (. (. (.3 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 5 Bibliografía: Opp 4. Problmas Opp: 4.*, 4.3*, 4,4*. 5

64 Aliasig S produc aliasig cuado Ω N > Ω s Ω N X s ( Ω (.7 Ω Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 6 Bibliografía: Opp 4. 6

65 Aliasig No aliasig Ω s Ω s Ω s Ω s Casi aliasig Ω s Ω s Ω s Ω s Aliasig y cambio d fas Ω s Ω s Ω s Ω s Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 7 Bibliografía: Opp 4. 7

66 Aliasig Applt: Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 8 8

67 Filtro Ati-aliasig Covrsor C/D x c (t x x s (t Covrsió d tr x[] xc (T H ( Ω a (t aa d impulsos scucia discrta s(t T H aa ( Ω Ω Ω s Ω s Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 9 Bibliografía: Opp 4. Problmas Opp: 4.5*, 4.8* 9

68 (.8 Mustro d sñals alatorias x a (t C/D T [] x Supogamos qu x a (t s u procso alatorio d mdia cro, stacioario stido amplio, co dsidad spctral d potcia S y limitado x a ( Ω bada. Etocs, Ω N { x[][ x + m] } E{ x ( T x (( + m T } φ ( φ [ m] E mt xx a a x a x a (.9 S x ΩT ( S ( Ω Ω T xa ( s Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU Problmas Opp: 4.47, 4.48

69 Rcostrucció d la sñal Domiio dl timpo Domiio d la frcucia X r ( Ω x ( t x ( t h ( t r s r T H r ( Ω Ω N Ω N Ω Ω [] x ( t x δ ( t T s Ω s Ω s Ω s T X s ( Ω Ω s Ω [] x (T x c 6π 4π π π T X ( π ω π 4π 6π ω Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opp 4.3

70 Rcostrucció d la sñal Covrsor D/C x [] x (T c Covrsió d scucia discrta tr d impulsos (t x s H r ( Ω (t x c s(t T H r ( Ω Ω s Ω s Ω (. Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opp 4.3

71 Rcostrucció d la sñal Domiio dl timpo Domiio d la frcucia [] x ( t x ( t h ( t x h ( t T r s r r h r t ( t si c T ΩT ( (. X r ( Ω H r ( Ω X s ( Ω H r ( Ω X (. [] x (T x c [] x t x ( t T s ( δ ΩT ΩT X ( Ω x[ ] X ( (.3 (.4 s [.3] (.5 ω X ( ω x[] (.6 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 3 Bibliografía: Opp 4.3 3

72 Rcostrucció d la sñal x ( t x ( t h ( t r s r x[] hr ( t T x[] π s[ π ( t T / T ] ( t T / T h r t ( t si c T Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 4 Bibliografía: Opp 4.3 Problmas Opp: 4.9 Problmas Pro: 9. 4

73 Torma dl mustro (.7 Sa ua sñal x c (t limitada acho d bada cuya frcucia máxima s f max. Etocs, sta sñal s pud rcuprar xactamt a partir d sus mustras tomadas a ua frcucia f mdiat la fució d itrpolació itrpolació s T [] x ( t x ( t h ( t x h ( t T r s h r r r f s max t ( t si c.la fórmula corrspodit d T Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 5 Bibliografía: Proais, Pag 8 5

74 Procsado discrto d sñals cotiuas x c (t x[ ] y[ ] ω C/D H T ( D/C T (t y c [.4] [.] ω ω ω ΩT X Y ( H ( X ( Y ( Ω H ( Ω Y ω π ( X c ( ( T T T ω ( c r H ff ΩT ( H ΩT < π ( Ω rsto Yc ( Ω H ff ( Ω X c (.8 ( Ω H ω ω ( H ω : ω < π ff ( T (.9 Ivariaa d la rspusta al impulso h[ ] Th ( T (. ff [.4] Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 6 Bibliografía: Opp 4.4 6

75 Emplo: [.5] Procsado discrto d sñals cotiuas yc ( t dxc dt ( t H c ( Ω Ω Ω ΩT < π H ff ( Ω rsto H ω ω ( ω : ω < π T h[ ] cosπ T { ( ω } Im H Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 7 π T π T π π T Im{ Im{ H c H ff ( Ω} ( Ω} π T π T π π T Ω Ω ω Bibliografía: Opp 4.4 7

76 Emplo: Procsado discrto d sñals cotiuas H ( Ω H c ff Ω < Ωc : ΩcT < π ( Ω rsto Ω Ω h ( t c c c t π si π Ωc Ωc ωc ωc h[ ] Th( T T si c T si c π π π π Ω c ω c H c ( Ω Ω c ω H ( ω c Ω ω ω ω < ωc : ωc < π H ( rsto [.] ωc Ω c T π ω < π Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 8 Bibliografía: Opp 4.4 Problmas Opp: 4., 4.3, 4.*, 4., 4.3, 4.4*, 4.5, 4.8*, 4.3, 4.3, 4.3, 4.33, 4.34, 4.35, 4.37, 4.45, 4.49 Problmas Pro: 9.4, 9.5 8

77 Cambio d la frcucia d mustro (t x c C/D x[] D/C x c (t C/D x' [ ] T T T ' x [ ] x(t ' [ ] ( ' x x T Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 9 Bibliografía: Opp 4.6 9

78 x[] Rducció d la frcucia d mustro M x [] x[ M ] x ( MT T ' MT (. d c [.4] X r i + M < < X i M ω ( X c ( ( ω π T T T ω ω π ω π d ( X c ( ( r X c ( ( r T ' T ' MT MT T ' r MT r M M M ω π π X c ( ( i MT T MT i T M i ( ω π M M X ( i (. Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opp 4.6

79 Rducció d la frcucia d mustro T X ( ω 4π π π 4π T X ( ω 4π T X π ( ω 4π π T X ( d ω π ω ( ω π X ( + X ( 4π π π 4π Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opp 4.6

80 Rducció d la frcucia d mustro π π T MT X ( ω X d ( ω ωn Ω N T N N π π ω ' Ω T ' Mω N ω ΩT ω ΩT ' ΩMT x[] LPF Gª Cort M π x~ [ ] ~ x [ ] ~ d x[ M ] M Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opp 4.6 Problmas Opp: 4.9*, 4.4, 4.6, 4.36, 4.46

81 x[] Icrmto d la frcucia d mustro L x [] x ( T / L T ' T L i c / (.3 (.4 x[ / L], ± L, ± L,... [] x x[ ] [ L] rsto ω ωl ωl δ X ( x[ ] X ( (.5 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 3 Bibliografía: Opp 4.6 3

82 Icrmto d la frcucia d mustro π T T X ( X ( ω ω ωn Ω N T π ω ΩT π π ω ' Ω T ' N π N ωn L π ω ΩT ' ΩT / L x[] L x [ ] LPF GªL Cort L π x i [ ] Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 4 Bibliografía: Opp 4.6 4

83 Icrmto d la frcucia d mustro x[] L x [ ] LPF GªL Cort L π x i [ ] [] [] [] x i x hi x L] hi[ L] h i [] si c( h [] (.7 L [ (.6 i L < L rsto (.8 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 5 Bibliografía: Opp 4.6 5

84 Icrmto d la frcucia d mustro Itrpoladors [.7] Idal [.8] Lial L [] si c( h i h i [] L < L rsto h i [ ] h i [ L] (.9 H i ω ( L si( ω si( L ω Distorsió frcucia Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 6 Bibliografía: Opp 4.6 Problmas Opp: 4.5, 4.7, 4.9, 4.39* 6

85 Icrmto d la frcucia d mustro Rspusta frcucia dl itrpolador lia (caso L5 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 7 7

86 Cambio d la frcucia d mustro por u factor racioal (t x c C/D x[] D/C x c (t C/D x' [ ] T T T ' x [ ] x(t ' [ ] ( ' M T ' T L x x T Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 8 Bibliografía: Opp 4.6 8

87 Cambio d la frcucia d mustro por u factor racioal x[] L LPF GªL Cort L π LPF Gª Cort M π M x' [] x[] L LPF GªL π π Cort mi{, } M L M x' [ ] Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 9 Bibliografía: Opp 4.6 Problmas Opp: 4.6*, 4.7*, 4.8, 4.38*, 4.4*, 4.4, 4.4, 4.44, 4.5, 4.5, 4.53, 4.54, 4.55, 4.58, 4.59, 4.6 9

88 Implmtació ral x c (t x[ ] y[ ] ω C/D H T ( D/C T y c (t x c (t x a (t x ( ˆ ˆ [ ] ˆ ( t t x B [ ] y B y DA ˆ ( t y c Atialiasig ω ( Sampl A/D H D/A & Hold Hˆ r ( Ω T T T Prstació: (Aalog to digital typs Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 3 Bibliografía: Opp 4.8 3

89 Sampl & Hold: ro-ordr hold Sampl & Hold T A/D T h ( Ω < t < T Ωs t H T c rsto ( Ω π Ω si Ωs (.3 (.3 S csita matr stabl la trada al covrsor A/D para qu ést puda covrtir corrctamt a biario. xh [ ] ( t T x ( t h ( t x ( T δ ( tt a (.3 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 3 Bibliografía: Opp 4.8 3

90 Cuatificació d la sñal: A/D x[] Δ Q(x RX N sim xˆ [] (.33 B(x xˆ B [ ] x[ ] xˆ[ ] Q( x[ ] Δ (.34 Δ RX xˆ[ ] (.35 xˆ B [ ] B( xˆ[ ] Δ ( xˆ[ ] Nsim (.36 xˆ B [ ] B( xˆ[ ] + Δ xˆ[ ] ˆ [ ] ( ˆ[ ] (.37 x B B x RX / ( Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 3 ( Bibliografía: Opp 4.8 Ercicio: implmtar u cuatificador 3

91 Cuatificació d la sñal: A/D Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 33 Natioal smicoductor ADCL66CIVYX: -Bit, 66 MSPS, 45 MH Badwidth A/D Covrtr with Itral Sampl-ad-Hold 33

92 x[] Error d cuatificació xˆ [ ] Q(x Δ El rror s u procso alatorio stacioario Está icorrlado co la sñal d trada Es u procso icorrlado Ti ua distribució uiform x [] xˆ [] + [] [ ] xˆ[ ] x[ ] (.38 SNR log Δ [ ] > Δ [ ] Δ σ u Δ [ ] > x Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 34 σ σ σ Pr{ x R } + σ Pr{ x R } + σ Pr{ x R } u u + σ x σ x σ x log log Δ σ ( N RX sim.8 + log N RX B log σ sim log RX σ x (.39 + σ + (.4 (.4 [.39] (.4 Bibliografía: Opp 4.8 Ercicio: Comprobar qu l rror d cuatificació ti ua distribució uiform y qu stá icorrlado cosigo mismo y co la sñal. Ercicio: Estudiar la iflucia d la rlació RX/sigma_x sobr la SNR Problmas Pro:.6 34

93 Covrsió D/A ˆ [ ] y B Δ ŷ[] Covrsió d scucia discrta tr d impulsos T yˆ ( t h ( t ˆ y DA ( t ˆ ( Ω H r ˆ ( t y c yˆ ( t h ( t yˆ( t h ( t Δyˆ [ ] δ ( t T yˆ[ h ] ( tt DA (.43 (.44 Yˆ B y ˆ( t Δyˆ [ ] δ ( t T DA ( Ω Yˆ Yˆ ( Ω Yˆ c B Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 35 ΩT ( H ( Ω ΩT ( ˆ ( ˆ ΩT H ( Ω H Ω Y ( H ( r r Ω Ω Ω π Ω ˆ H ( Ω s Ωs r si c Ω < H r ( Ω (.45 H ( Ω Ωs rsto [,3,.3] Bibliografía: Opp 4.8 Ercicio: Implmtar st sistma 35

94 Covrsió D/A H r ( Ω H ( Ω TYˆ ΩT ( Yˆ H ( Ω DA ( Ω r H ( Ω Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 36 Bibliografía: Opp

95 Procsado digital: A/D+filtro+D/A x c (t x (t x a ( ˆ ˆ [ ] ˆ ( t t x B [ ] y B y DA ˆ ( t y c Atialiasig ω ( Sampl A/D H D/A & Hold Hˆ r ( Ω T T T X ( Ω H ( Ω X ( Ω a aa X ( Ω H ( Ω X a ( Ω ω ω π X ( X ( ( T T T ˆ ω ω X ( X ( + E( c ω [.4] [.38] ˆ ω ( ˆ ω X B X ( Δ ˆ ω ω Y ( H ( Xˆ ( B Yˆ DA ( Ω ΔYˆ Yˆ ( Ω Yˆ c DA B B ω ΩT ( H ( Ω ( Ω Hˆ ( Ω r [.35] [.44] Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 37 Bibliografía: Opp

96 Procsado digital: A/D+filtro+D/A x c (t x (t x a ( ˆ ˆ [ ] ˆ ( t t x B [ ] y B y DA ˆ ( t y c Atialiasig ω ( Sampl A/D H D/A & Hold Hˆ r ( Ω T T (.5 (.5 ΩT ( Yˆ ( Ω Hˆ ( Ω H ( Ω H H ( Ω X ( Ω + E( Ω c r aa c S ˆ ΩT ( σ ( Ω H r ( Ω H ( Ω H Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 38 Bibliografía: Opp 4.8 Problmas Opp: 4.43, 4.56 Problmas Pro:

97 Covrsió D/A Sampl & Hold: st ordr yˆ[ ] yˆ[ ] (.46 yˆ DA ( t yˆ[ ] + β ( t T T t < ( + T T (.47 (.48 ˆ DA( t yˆ[ ] h y ( t T h ( + t t T t T t < T T t < T rsto H r ( Ω β β. β Ω Ω Ω Ω π Ω (.49 s H ( Ω T si c + β β + si c [.3] Ω s Ωs Ωs Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 39 Bibliografía: Opp 4.8 Problmas Opp: 4.57 Problmas Pro:

98 Mustro d sñals paso bada Ω c X c ( Ω Ω Ω c c Ω N Ω Ωc + Ω N Ωs ( Ωc + Ω N!! Solució: Mustrar l quivalt paso bao [.53] x( t xc ( tcos Ωct xs ( t si Ωct El acho d bada d la sñal quivalt paso bao s Ω N. La ida s mustrar la compot fas y cuadratura por sparado Supogamos qu Ωc + Ω N ( Ω N (.5 Ωs (Ω N (.53 Nyquist Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 4 Bibliografía: Proais 9. Hacr aquí Opp 4. 4

99 Mustro d sñals paso bada [.53] (.54 x( t x ( tcos Ω t x ( t si Ω t c c s x[ ] x( T x ( T cos Ω T x ( T si Ω T c c c ( π x ( T si ( π xc ( T cos s x ( mt '( m m c + m ( xs ( mt' T( m m m m m m m T T T ' Ω (.55 s Ω N s c t Ω ( c + Ω N Ω N Ω (Ω s N π T [.5,.53] Ωc Ωc +ΩN ( ΩN ΩN π π Ωs (ΩN T ΩN T Ωc π ΩcT π T Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 4 Bibliografía: Proais 9. 4

100 Mustro d sñals paso bada Rcostrucció d cada ua d las compots T t T T m m+ + (.56 x [ m] x[m]( x [ m] x[m + ]( (.57 c c ( t x [ m] h ( t mt ' x ( t x [ m] h ( t ( mt ' + T c m (.58 x (.59 r s s s m r x[ ] x []( x[] c x s x c x s []( x[ ] []( x[3] []( x[ 4] x []( x[5] c x s + []( Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 4 Bibliografía: Proais 9. 4

101 Mustro d sñals paso bada x( t x ( tcos Ω t x ( t si Ω t c c s c [.53,.58,.59] ( xc[ m] hr ( t mt 'cos Ωct xs[ m] hr ( t ( mt ' + T si Ωct m m m+ + ( x[m]( hr ( t mt 'cos Ωct x[m + ]( hr ( t ( mt ' + T si Ωct m cos( a+ b cosacosb + siasib m ( x [m] h ( t mt cos Ω ( t mt x[m + ] h ( t (m + T cos Ω ( t (m + T r x[ ] hr ( t T cos Ωc ( t T (.6 c Ω π c T r Supoido qu Ω + Ω ( c N Ω N c [.5] Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 43 Bibliografía: Proais 9. 43

102 Mustro d sñals paso bada X c ( Ω B Supogamos qu Ω c + Ω N B X c ( Ω Ωc X c ( Ω Ωc + Ω N B' Ωc Ωc + Ω N Ωc + Ω N Ω Ω Supogamos qu Etocs B Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 44 Ω c + Ω N Ωc + Ω B ' B' Ω Ω (Ω N ' ' c + Ω N N ' Ω N Ωc + Ω s B' N < 4(Ω N (.6 (.6 (.63 (.64 (.65 Bibliografía: Proais 9. Problmas Pro: 9., 9., 9.3,

103 Aplicacios dl ovrsamplig: Filtros atialiasig (t x c Atialiasig x a (t C/D xˆ [ ] LPF Gª Cort M π M x d [ ] H aa ( Ω X c ( Ω T π TN M Ω N M T ω Xˆ ( Ω N Ω N X a ( Ω Ω ω N MT ω N X ω ( d π ω Ω N Ω N Ω π ω Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 45 Bibliografía: Opp

104 Aplicacios dl ovrsamplig: Rducció dl ruido d mustro x a (t C/D x[] Q(x xˆ [ ] LPF Gª Cort M π M x d [ ] T ω N ω X ( ω N T π TN M Ω N M ω π T ω N Xˆ ω ( ω N π Δ σ ω ( MT ω X ( d π E{ x [ ] } E{ x [ ]} σ d M ω E{ [ ] } E{ [ ]} d M (.66,.67 Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 46 Bibliografía: Opp

105 x a (t Aplicacios dl ovrsamplig: Nois shapig C/D x[] + + Q(x xˆ [ ] LPF Gª Cort M π M x d [] π TN M Ω N M T x a (t C/D x[] + + [ ] + xˆ [ ] LPF Gª Cort M π M x d [] T Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 47 Bibliografía: Opp

106 x a (t Aplicacios dl ovrsamplig: Nois shapig C/D x[] + + [ ] + xˆ [ ] LPF Gª Cort M π M x d [] T ˆ X ( ( X ( Xˆ ( + E( ˆ (.68 X ( X ( + ( E( (.69 x ˆ[ ] x[ ] + [ ] [ ] x[ ] + '[ ] σ ' σ (.7 ω ω ω (.7 S σ si σ ' ( ( Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 48 Bibliografía: Opp 4.9 Problmas Opp: 4.6, 4.6 Problmas Pro:

107 Rsum Mustro priódico (D/C y C/D Procsado discrto d sñals cotiuas Cambio dl priodo d mustro Covrsió D/A y A/D Mustro d sñals paso bada Aplicacios dl ovrsamplig Curso 9/ TDS EPS-Sa Pablo CEU 49 49

108 Tma Trasformada Z y aálisis trasformado d sistmas LTI Carlos Óscar Sách Sorao 4º Ig. Tlcomuicació EPS Uiv. Sa Pablo CEU Bibliografía: Opphim I (Cap., Opphim II (Cap. 3, Proais (Cap. 3

109 y Fucios propias d los sistmas LTI [] x[][ h ] h[ ] h[] h[] H ( [] x h [ ] H ( [.46] x [ ] a [ ] y a H ( [.47] Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opphim.6

110 Curso 9/ Trasformada Z X ( [] ω ω r X ( x[] r TF{ x[ ] r } Im{} R{} Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU x TF { x[ ]} X ( ω La trasformada Z d x[] covrg si la trasformada d Fourir d x[ ] r covrg, s dcir, x [ ] r < Si covrg para, tocs covrg para :. Esto dfi ua rgió d covrgcia (ROC. La trasformada d Fourir covrg, si la ROC icluy al círculo uidad. X( y todas sus drivadas so cotiuas dtro d la ROC. 3 Bibliografía: Opphim II 3., Proais 3. 3

111 Trasformada Z Emplo: X ( a u[ ] ( a x[ ] a u[ ] a Im{} Si a < > a a R{} S llama polos a aqullos putos para los qu X (. S llama cros a aqullos putos para los qu X (. Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 4 Bibliografía: Opphim II 3., Proais 3. 4

112 Trasformada Z Emplo: x[ ] a u[ ] + b u[ ] X ' ( b + ( a + ( b + a ' b a Caso : b < a No xist X( Caso : b a No xist X( Caso 3: b > a Exist X( para a < < b Si Si a < > a b < < b Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 5 Bibliografía: Opphim II 3., Proais 3. Emplo: Proais, pp 6 Problmas Opp: 3.*, 3.*, 3.4 Problmas Pro: 3. 5

113 6 Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 6 Trasformada Z Polos y cros d ua trasformada racioal N M N N M M M N N N M M N M N M p a b a b a b a b Q P X ( ( ( ( ( (N-M cros ó (M-N polos l orig M cros fura dl orig N polos fura dl orig Bibliografía: Opphim II 3., Proais 3., Proais 3.3 Problmas Pro: 3.

114 Cuidado co TF { x[ ]} X ( Emplo: Emplo: Rlació co la TF ω ω * ω * X ( X ( X ( X ( X ( * ω ω ωc ωc x[ ] π si c( π r : x[ ] r < X ( x [ ] cos( ω pro la TF tid stido L a ua fució priódica discotiua! E stos casos o s db psar la TF como la valuació d la TZ l círculo uidad. Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 7 7

115 Propidads d la ROC La ROC s compo d rgios aulars ctradas l orig dl plao. La ROC o coti igú polo Si x[] s d duració fiita tocs la ROC s todo l plao salvo co posibl xcpció d y/o. { } ROC {, } ROC {} ROC Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 8 Bibliografía: Opphim 3., Proais 3. 8

116 Propidads d la ROC Im{} Im{} Im{} r R{} r R{} R{} r Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 9 Bibliografía: Opphim 3., Proais 3. 9

117 Propidads d la ROC Emplo: a < N x[ ] rsto X ( ( a a N N N a a N Im{} r { } ROC R{} Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opphim 3., Proais 3. Ercicio: rprstar los polos y cros d ua trasformada Z

118 Propidads d la ROC Si X( s racioal, tocs su ROC stá dlimitada por polos o s xtid hasta l ifiito. Si X( s racioal y x[] stá acotada por la iquirda, tocs la ROC s xtid dsd l polo más xtro hacia l ifiito. Si admás x[] s causal, tocs l ifiito stá icluido la ROC. Si X( s racioal y x[] stá acotada por la drcha, tocs la ROC s xtid dsd l orig hasta l polo más itro. Si admás x[] s aticausal, tocs l orig stá icluido la ROC. P( X ( Q( Im{} R{} Im{} R{} Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opphim 3., Proais 3. Problmas Opp: 3.8*, 3.*, 3.*, 3.46

119 Propidads d la ROC Im{} Emplo: X ( ( a ( b a < < b a b R{} Im{} Im{} Im{} R{} R{} R{} a b a b a b Esta s la ROC porqu s la úica para la qu la TF covrg Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opphim 3., Proais 3. Ercicio: raliar la TZ ivrsa d X( co cada ua d las ROC Problmas Opp: 3.4*, 3., 3.5, 3.48 Problmas Pro: 3.5, 3., 3.44, 3.5, 3.53

120 Curso 9/ Propidads d la TZ Lialidad [ ] By[ ] Dsplaamito l timpo [ ] ω Escalado l domiio [ ] TF:Dsplaamito frcucia Ax + AX ( + BY ( Al mos ROC ROC Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU x X ( x [ ] Ivrsió l timpo [ ] ROC x salvo la adició o substracció dl orig X ( ω ROC x X ( ROC x X ( { C : / ROC} ROC y 3 Bibliografía: Proais 3., Opphim 3.4 Problmas Pro: 3.9 3

121 Curso 9/ Propidads d la TZ [ ] x / m m Upsamplig x m [] rsto Dowsamplig [ ] ] Cougació x * [ ] Covolució x[ ] y[ ] Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU X ( m x m x[m m ROC m ( m m ROC X * ( * ROC Part ral R{ x [ ]} * * ( X ( + X ( Al mos ROC Part imagiaria Im{ x [ ]} * * ( X ( X ( Al mos ROC π m X ( Y ( Al mos ROC ROC x y 4 Bibliografía: Proais 3., Opphim 3.4 Problmas Opp: 3.3, 3.7*, 3.9*, 3.6, 3.8, 3.9*, 3.*, 3., 3., 3.3, 3.34 Problmas Pro: 3., 3.3, 3.4, 3.7*, 3.8, 3.6, 3.7 4

122 Propidads d la TZ Difrcia fiita [ ] x[ ] Difrciació frcucia x[ ] Tma. dl valor iicial Si [] x [], >, tocs x[ ] lim X ( x, <, tocs x[ ] lim X ( x ( ( X Al mos ROC { > } Itgració x [] X ( Al mos ROC { > } Si dx ( d ROC ROC ROC Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 5 Bibliografía: Proais 3., Opphim 3.4 Problmas Opp: 3.37, 3.54 Problmas Pro: 3.6*, 3., 3.5,

123 Propidads d la TZ Corrlació l] x[ l] y[ l] Multiplicació x[ ] y [ ] r xy [ X ( Y ( Rlació d Parsval x[] y [] Al mos ROC ROC * * * * X v Y ( v π ( Al mos r r < < r r xl yl x C xu y ( v dv C ROC X ROC ( Y ( yu * * * X v Y ( v π ( C ( v dv C ROC X ROC ( Y ( Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 6 Bibliografía: Proais 3., Opphim 3.4 La rlació d Parsval sal d la rgla d multiplicació particulariada para Problmas Opp: 3.7, 3.3, 3.33, 3.4, 3.4, 3.4, 3.47, 3.5, 3.5* Problmas Pro: 3.3*, 3.8, 3., 3.8, 3.3*, 3.35, 3.4, 3.43, 3.49, 3.5 6

124 Curso 9/ Alguas TZs a u[] a u[ ] a a a a a Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU a < a < a < < a a u[] a ( a a < ( + a u[ + ] ( a a < a u[ ] a ( a < a δ [ ] C {} > C { } < 7 Bibliografía: Proais 3.3, Opphim 3. 7

125 Alguas TZs r a ( r cosω r ( cosω u[] (r cosω + r cosφ ( r cos( ω r φ ( cos( ω + φ u[] (r cosω + r ( r siω r ( siω u[] (r cosω + r siω ( + u[] si ω (r cosω + r ( u[] u[ N] N a a N r < r < r < r < < Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 8 Bibliografía: Proais 3.3, Opphim 3. 8

126 Dircta Trasformada Z ivrsa x[ ] Ispcció π X ( d Itgral d lía para algua circufrcia rcorrida stido cotrario a las aguas dl rlo. : ROC Expasió fraccios parcials Expasió sri d potcias Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 9 Bibliografía: Opphim 3.3, Proais 3.4 9

127 Dircta X ( C X ( Trasformada Z ivrsa x [] d x[ ] d x[ ] d x[ ]πδ [ ] C C πx[ ] C ROC Im{} Tma. itgral d Cauchy R{} π f ( C ( d d f ( (! d dtro d C fura d C C Si f ( Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opphim 3.3, Proais 3.4 Multiplico por los dos lados por ^(- itgro C. C s rcorr stido cotrario a las aguas dl rlo. Como C stá la ROC la suma covrg y s pud itrcambiar la suma co la itgral. Ercicio: dmostrar qu la aplicació dl torma itgral d Cauchy a la itgral dada da ua dlta.

128 Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU Trasformada Z ivrsa Dircta N i i i N i C i i C N i i i C A d A d A d g f ( ( ( ( ( π π π Supoido qu todos los polos so distitos ( ( ( ( g f A i i ( ( i N i i X Rsiduo dl polo i Suma d los rsiduos d todos los polos [ ] ( C x X d π Bibliografía: Opphim 3.3, Proais 3.4

129 Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU Trasformada Z ivrsa Dircta N i m i m m C i i i i d A d d g f! ( ( ( ( π Supoido qu hay polos d multiplicidad múltipl ( ( ( ( g f A i i N i m m i m m i i i i i d X d x! ( ( ( ] [ Suma d los rsiduos d todos los polos Bibliografía: Opphim 3.3, Proais 3.4

130 Trasformada Z ivrsa Dircta Emplo: X ( a Caso : : A ( ( a a Caso : a < x d π C a π [ ] x a [ ] A ( a < : Polo d ord C d a A ( ( a ( a A( ( a a x[ ] + d a π C ( a a Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 3 Bibliografía: Opphim 3.3, Proais 3.4 3

131 Trasformada Z ivrsa Dircta Emplo: X ( a Caso : x d π C a π [ ] C d a A ( ( a ( a A ( ( a a x[ ] C ( a d π d + a d a a ( a Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 4 Bibliografía: Opphim 3.3, Proais 3.4 Ercicio: calcular x[] para -3 Problmas Opp: 3.38, 3.39, 3.57 Problmas Pro: 3.9, 3.56, 3.57,

132 Trasformada Z ivrsa Ispcció a < Emplo: X ( x[ ] a u[ ] a Emplo: X ( ( x[ ] ( u[ ] < Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 5 Bibliografía: Opphim 3.3, Proais 3.4 Problmas Opp: 3.5*, 3.3 5

133 Emplo: X K K Trasformada Z ivrsa Expasió fraccios parcials X ( ( ( (( ( X K ( ( (( ( X 4 ( + 4 < K ( ( x ] u[ ] + u[ ] < [ 4 Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 6 Bibliografía: Opphim 3.3, Proais 3.4 Problmas Opp: 3.6*, 3.4*, 3.3, 3.35, 3.36, 3.43*, 3.44, 3.45 Problmas Pro: 3.4, 3.5, 3.6, 3.33, 3.37, 3.38*, 3.39, 3.4*, 3.4, 3.45, 3.46, 3.47, 3.48,

134 Emplo: Trasformada Z ivrsa Expasió sri d potcias X ( ( ( + ( x ] δ[ + ] δ[ + ] δ[ ] + δ[ ] [ + C {, } Emplo: X ( log( + a a + ( + a + + a ( ( a x [ ] δ[ ] ( u [ ] a < Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 7 Bibliografía: Opphim 3.3, Proais 3.4 7

135 Trasformada Z ivrsa Expasió sri d potcias Emplo: Im{} X ( + a + a +... a + a a a a + a + a + a +... Dcrcit a R{} a x[ ] δ[ ] + aδ[ ] + a δ[ ] +... a u[ ] Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 8 Bibliografía: Opphim 3.3, Proais 3.4 Problmas Opp: 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9 8

136 Trasformada Z ivrsa Expasió sri d potcias Emplo: X ( a a a a... Crcit Im{} a R{} + a a 3 a + a a + a a... a 3 x[ ] a δ[ + ] a δ[ + ]... a u[ ] Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 9 Bibliografía: Opphim 3.3, Proais 3.4 Problmas Pro: 3., 3.4*, 3.5, 3.9, 3.3 9

137 Rsum Dfiició d la Trasformada Z Rlació co la Trasformada d Fourir Propidads d la ROC Propidads d la Trasformada Z Alguas trasformadas Z Trasformada Z ivrsa: Dircta Ispcció Expasió sri d potcias Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 3 Problmas Opp: 3.49, 3.5, 3.53, 3.55, 3.56 Problmas Pro:

138 Tma 3 Aálisis d Sistmas LTI l domiio trasformado Carlos Óscar Sách Sorao 4º Ig. Tlcomuicació EPS Uiv. Sa Pablo CEU Opphim II (Cap. 5, Proais (Cap. 4 Probl Opp: 5., 5.6, 5.8, 5.9, 5.3, 5.33, 5.7 Probl Pro: 4.83*, 4.84, 4.9, 4.93

139 Itroducció Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU

140 Filtros Paso Bao (Low Pass Filtrs Filtros idals H lp ( ω ω ω rsto c π ω < π ω < π < c ωc ωc hlp [ ] si c π π Filtros Paso Alto (High Pass Filtrs H hp ( ω < π < c H ( h [ ] δ[ ] h [ ] ω ω lp hp lp So filtros o causals y co rspusta impulsioal ifiita. Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 3 3

141 4 Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 4 Filtros raliabls N M N N M M M N N N M M M N N M p a b a b a b a b X Y H ( ( ( ( ( M N X b Y a ( ( M N x b y a ] [ ] [ Emplo: ( ( ( ( H ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ x x x y y y ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ y y x x x y Ercicio: Implmtar st filtro y compararlo co la salida d la fució filtr d MATLAB

142 5 Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 5 Filtros dfiidos por cuacios difrcias d coficits costats Ua cuació difrcias o dfi d forma úica la rspusta al impulso dl sistma. Por mplo, M N x b y a ] [ ] [ M N b h a ] [ ] [ δ sa N A p h ] [ ' dod ] '[ N h a, tocs + M N b h h a ] [ ] '[ ] [ ( δ i m N m m p p R A p a,, y Es dcir, hay N coficits idtrmiados A, qu pud sr fiados por mdio d codicios iicials ] [ ],..., [ ], [ N y y y ] [ [],..., ], [ N y y y si s causal ó si s aticausal. Bibliografía: Opphim 5., Proais 3.6 Pág 37, Opp II. Ercicio: Comprobar qu la suma usto a la drcha s fctivamt. Probl Opp: 5., 5.7 Probl Pro: 4.45, 4.46, 4.9

143 H ( M N Rspusta al impulso d u sistma racioal Expasió fraccios parcials Emplo: b H a M N B sólo si M N + N a A p h[ ] a ( u[ ] u[ M ] M M + ( M + ( a a M N h[ ] B δ[ ] + p FIR,,..., ( M + N A p u[ ] IIR π π π M M + M + M + a, a,..., a p a Polos l orig Polos fura dl orig Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 6 Bibliografía: Opphim 5., Proais 3.6 Probl Opp: 5.3*, 5.4 Probl Pro: 4.47,

144 Rspusta d u sistma racioal B( N( Y ( H ( X ( A( Q( N A p + L Q q El sistma stá iicialmt rposo. Curso 9/ No s produc caclacios polo-cro. y[ ] Polos dl sistma Rspusta atural Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU N A p u[ ] + Rspusta trasitoria Polos d la trada Rspusta forada L Q q u[ ] Régim prmat 7 Bibliografía: Opphim 5., Proais 3.6 No todas las X s pud xprsar como u cocit. Pro supogamos qu ésta sí. Si l sistma o stuvis iicialmt rposo dbría usars la TZ uilatral. 7

145 Rspusta trasitoria y régim prmat Emplo: y [ ].5y[ ] + x[ ] π ( u[ ] x[ ] cos 4 Y ( H ( X ( + H (.5 X ( 6.3 π y[ ].97(.5 u[ ] cos( 4 8.7º u[ ] Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 8 Bibliografía: Proais 3.6, 4.4 Aquí s v muy bi la rspusta trasitoria y la prmat. Probl Opp: 5.34 Probl Pro: 4.9 (*** AQUÍ ME QUEDO, 4.3,

146 Estabilidad y causalidad h [ ] < h[ ] h[ ] < Im{} h[] s stabl si la ROC d H( icluy al círculo uidad. r R{} Im{} R{} p < Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 9 Bibliografía: Opphim 5., Proais 3.6 Para qu u filtro dfiido por ua ED sa causal y stabl ti qu sr qu todos los polos sté dtro dl círculo uidad. Si o fus causal por mplo, h[]a*dlta[+]+dlta[] (H(a+, tocs tdría u polo l ifiito. Probl Opp: 5.5*, 5.8, 5.9*, 5., 5. Probl Pro: 4.99, 4.4 9

147 Estabilidad Emplo: y [ ] y[ ] x[ ] x [ ] u[ ] H ( > Y ( H ( X ( y [ ] ( + u[ ] ( La sñal d trada stá acotada B : x[ ] < x B x Pro la salida, o B : y[ ] < y B y Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opphim 5., Proais 3.6

148 Emplo: Estabilidad y Causalidad y [ ] ( a + b y[ ] + aby[ ] x[ ] H ( ( a ( b a < < b Im{} a b R{} Im{} Im{} Im{} R{} R{} R{} a b a b a b El sistma o s i causal i stabl El sistma s causal pro o stabl El sistma s stabl pro o causal Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opphim 5., Proais 3.6 Probl Pro: 4.88

149 Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU Caclacios polo-cro Emplo: ( ( ( ( ( ( ( H ] [ 6 ] [ 5 ] [ ] [ ] [ ] [ x x x y y y Caclació polo-cro 5 3 ( ] [ ] [ ] [ 5 u h δ El sistma s stabl dbido a la caclació polo-cro pro ua implmtació ral o ti por qué caclars xactamt. Bibliografía: Proais 3.6

150 Tst d stabilidad d Schür-Coh Notació Poliomio d ord m: A ( m m m a ( m ~ Poliomio ivrso o rcíproco: A ( m A ( m a ( m m a ( m m Tst B( H ( A( Curso 9/. A N ( A(. m N 4. mitras m ~ 4.. Calcular Am ( (m 4.. K m a m 4.3. A m 4.4. m m ~ Am ( K A ( K m m m ( Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU A( ti todas sus raícs dtro dl círculo uidad si y sólo si m {,,..., N}: K < m 3 Bibliografía: Proais 3.6 Proais pp 7 Ercicio: Implmtar st algoritmo 3

151 Tst d stabilidad d Schür-Coh Emplo: H ( A ( 4 7 A ~ ( 4 + K ( a ~ A ( K A ( A ( K 7 A ~ ( + ( 7 a 7 K K > El sistma o s stabl Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 4 Bibliografía: Proais 3.6 4

152 Estabilidad d u sistma d º ord H b ( + a + a, a p, p a ± 4a 4 a ( p + p a p p Estabilidad K a a K + a K i < Polos complos a a 4 < Polos rals dobls a a 4 Polos rals simpls a a 4 > Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 5 Bibliografía: Opphim 5., Proais 3.6 Las codicios d stabilidad qu hmos dado dfi ua rgió l plao d coficits (a_, a_, vr figura qu ti forma d triágulo. Es sistma s stabl si y solo si l puto (a_, a_ stá dtro d st triágulo, qu s cooc como triágulo d stabilidad. Las caractrísticas dl two-pol systm dpd d la situació d sus polos, o, quivaltmt, d la situació dl puto (a_,a_ l triágulo d stabilidad. Los polos pud sr rals o complos cougados, dpdido dl valor dl discrimiat Δa^-4a_. La parábola a_a_^/4 divid l triágulo d stabilidad dos rgios (vr figura. La rgió por dbao d la parábola (a_^>4a_ corrspod a polos rals distitos. Los putos qu stá la parábola (a_^4a_ proporcioa dos polos rals iguals. Por último, los puos por cima d la parábola rsulta polos complos cougados. 5

153 δ [] h[] ω ω H ( H i ( Ivrtibilidad h[ ] hi[ ] δ[ ] H ( ω H ( ω H ( H ( i i H ( b M N a ( ( p H ( i a N M b ( p ( Es dcir, los polos d u sistma so los cros d su sistma ivrso, y los cros d u sistma so los polos d su ivrso. La ROC dl sistma ivrso db solapars co la dl sistma H( U sistma LTI s stabl y causal y ti u sistma ivrso stabl y causal sii todos los polos y cros d H( stá dtro dl círculo uidad Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 6 Bibliografía: Opphim 5., Proais 3.6 Probl Opp: 5.3, 5.3, 5.36, 5.59, 5.7, 5.73, 5.74, 5.75 Probl Pro: 4.9 6

154 Emplo: b H ( b, a < a h[ ] a u[ ] ba a b Im{} H i ( Ivrtibilidad u[ ] Im{} R{} a b Im{} a b R{} a b R{} h[ ] b u[ ] ab u[ ] h[ ] b u[ ] + ab u[ ] Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 7 Bibliografía: Opphim 5., Proais 3.6 Los dos pud sr sistmas ivrsos porqu los dos solapa co la ROC origial. El problma dl sgudo sistma ivrso s qu o s stabl. Ercicio: comprobar qu los dos so sistmas ivrsos. 7

155 x[] Rspusta frcucia d u sistma LTI ω H ( y [] h[ ] x[ ] ω ω ω ω ω ω Y ( H ( X ( Y ( H ( X ( ω ω ω Y ( H ( + X ( ω ω Emplo: H ( H ( ω ω h ] δ[ ] ω ( φ H ω ω [ y [ ] H( s [ ]cos( ω ( φ x [ ] s[ ]cosω H ( S( ω ω dod τ ( ω grd τ ( ω Rtardo d grupo ω ω ω d ω { H ( } arg{ H ( } dω Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 8 Bibliografía: Opphim 5.3, Proais 4.4 S[] ua sñal d bada strcha. Arg(. s la fas cotiua d H(^w. Cuato más s al l rtardo d grupo d ua costat mos lial s la fas dl filtro. Probl Opp: 5., 5., 5.5, 5.7, 5.47 Probl Pro: 4.4*, 4.4, 4.57, 4.59*,

156 Emplo: Efctos dl rtardo d grupo Etrada Sistma Salida Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 9 Bibliografía: Opphim 5., 5.3 9

157 Efctos dl rtardo d grupo Applt: Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opphim 5., 5.3 El pulso s sacha porqu las difrts frcucias viaa a difrts vlocidads.

158 Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU Rspusta frcucia d u sistma racioal N M N M p a b a b H ( ( ( ω ω ω ω ω N M p p a b H H H * * * ( ( ( ( ( ( ( ω ω ω ω ω ω ω + N M p a b H log log log ( log ω ω ω Gaacia dl filtro dbs Rspusta d amplitud Bibliografía: Opphim 5.3, Proais 4.4 Probl Pro: 4.54, 4.79, 4.87, 4.6, 4.7, 4.8 El s.

159 Rspusta frcucia d u sistma racioal Rspusta d fas H ( dod ω arg H ( ω { ( } + πr ( M N b ω ω + ( ( p ARG H ω a π < ARG ω ω H I ( { H } arcta π ( ω H R ( r(ω N Si rstricció ω ARG H ω { ( } + πr( ω dod ω r(ω N Es tal qu arg H ( s cotiua Valor pricipal Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU Bibliografía: Opphim 5.3, Proais 4.4

160 3 Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 3 Rspusta frcucia d u sistma racioal Rtardo d grupo { } { } { } N M p d d d d H grd arg arg ( ω ω ω ω ω { } { } { } { } + + N M p p p p R R R R ω ω ω ω Propidads { } { } { } ( ( ( arg ( ω ω ω ω ω ω ω H d d H ARG d d H d d H grd salvo las discotiuidads { } { } { } ω φ ω φ ( ( arg ( arg d H grd H H Bibliografía: Opphim 5.3, Proais 4.4 Ercicio: cálculo d sta drivada

161 Rspusta frcucia d u sistma racioal Applt: ava/frqrsp/frqrsp.html idx.html Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 4 4

162 Rspusta frcucia d u sistma co u solo cro H ω ω (.9 r θ ω Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 5 Bibliografía: Opphim 5.3, Proais 4.4 Ercicio: Rptir stas gráficas 5

163 Rspusta frcucia d u sistma co u solo cro ω H ( + r r cos( ω θ { } H ω ω θ ω ( r ω r si( ω θ ARG H ( arcta r cos( ω θ grd H ( ω { } r r cos( ω θ ω H ( r.9 r.9 r.9 θ θ θ Curso 9/ Carlos Óscar Sách Sorao (EPS-Sa Pablo CEU 6 Bibliografía: Opphim 5.3, Proais 4.4 Probl Pro: 4.6* 6