Trigonometría. Prof. Ana Rivas 69

Transcripción

1 Trigonometría Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa medida de triángulos (< Griego trigōnon "triángulo" + metron "medida", de ahí su significado etimológico viene a ser la medición de los triángulos). Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. También se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna. Por ejemplo: En un río se necesita conocer la distancia hasta la otra orilla Prof. Ana Rivas 69

2 Funciones trigonométricas La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas, valores numéricos asociados a cada ángulo, que permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las más importantes son seno, coseno y tangente, que se definen a continuación. Para definir las funciones trigonométricas del ángulo A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. Si consideramos un triángulos rectángulo cuyos catetos miden: 3, 4. Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda). Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos, dividir el cateto opuesto por la hipotenusa. Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo. Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una determinada amplitud angular, por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica. 70 Prof. Ana Rivas

3 Funciones Trigonométricas Cat.Op Si dividimos Hipoten llamaremos a esta función seno. Cat.Ady Si dividimos Hipoten Cat. Op Si dividimos Cat. Ady llamaremos a esta función Coseno llamaremos a esta función Tangente. Si dividimos Hipoten llamaremos a esta función Cosecante. Cat.Op. Si dividimos Hipoten llamaremos a esta función Secante. Cat.Ady. Si dividimos Cat. Ady. llamaremos a esta función Cotangente. Cat. Op. La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y secante, y tangente con cotangente. Uso de la calculadora: Podemos usarla para: a) Calcular el valor de las funciones trigonométricas, b) Calcular el ángulo conociendo alguna de las funciones trigonométricas. a) Si lo que se conoce es el ángulo y se desea calcular alguna de las razones trigonométricas por ejemplo calcular el seno de 30º: Sencillamente escribes el valor del ángulo en la calculadora y tecleas la función correspondiente y en la pantalla saldrá el valor buscado. La Secuencia de teclas es: en el visor aparecerá 0,5 Prof. Ana Rivas 71

4 Otro ejemplo cos 40º: Otro ejemplo tg 60º: en el visor aparecerá 0, en el visor aparecerá 1, b) Si se conoce la razón trigonométrica y se quiere conocer el valor del ángulo, por ejemplo sen x = 0,48 y se quiere saber el valor de x, la secuencia de teclas es: el visor aparecerá: 28º 41 7 Otro ejemplo cos x = 0,5 en visor aparecerá: 60º Otro ejemplo tg x = 1,85 en el visor aparecerá: 61º en el Resolver los ejercicios 1 y 2 Gráficas de las funciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada 360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5 Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º: 72 Prof. Ana Rivas

5 Función Seno: α sen α , , , , Función Coseno: α cos α , , , , Función Tangente: α tg α //// //// Prof. Ana Rivas 73

6 Función Secante α sec α ,41 90 //// 135-1, , //// 315 1, Función Cosecante: Cosec α α 0 //// 45 1, , //// 225-1, , //// Función Cotangente: α Cotg α 0 //// //// //// Prof. Ana Rivas

7 //// significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado no existe (es una asíntota). Unidades angulares En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean cuatro unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próximo al sistema decimal, pero su uso prácticamente es inexistente, y el sistema horario. Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes. Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º. Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales. Horario: unidad angular que divide la circunferencia en 24 horas Sistema Circular de Medición de Ángulos: El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a la circunferencia en seis partes de 60º cada una, obteniendo un giro completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este sistema en física, para poder calcular el camino desarrollado por alguna partícula en trayectoria circular, se encontraron que el sistema sexagésima no los ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia. En este sistema un ángulo llano (al dividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor aproximado de "π"). Prof. Ana Rivas 75

8 De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos ángulos llanos) mide 2π. 180º = π ó 360º = 2 π En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de 90º (π/2) cada una, que va desde 0º hasta 360º (2 π), a las que se denomina cuadrantes: 1 er cuadrante: 0º a 90º 2 do cuadrante: 90º a 180º 3 er cuadrante: 180º a 270º 4 to cuadrante: 270 a 360º a) SEXAGESIMAL: Unidad: Grado sexagesimal Submúltiplos: Minutos Segundo 1Re cto 1 = 1R = ' = 1 = 60' 60 1' 1 '' = 1' = 60'' 60 b) CENTESIMAL: Unidad: Grado centesimal Submúltiplos: Minutos Segundo 76 Prof. Ana Rivas 1R 100 G 1 = 1R = G M G 1 = 1 = M S M 1 = 1 = G M S

9 c) RADIAL o CIRCULAR: y (0;1) (-1;0) O α (1;0) x Consideramos en el plano un sistema de coordenadas cartesianas perpendiculares y una circunferencia C con centro en el origen de coordenadas y radio = 1. (0;-1) Si centramos un ángulo orientado α observamos que este determina sobre C un arco de circunferencia MN. Como para cada arco orientado existe un número real que es su longitud, podemos asignar a cada ángulo centrado la longitud de su arco, siempre con el signo que corresponde, siendo la longitud de ese arco la medida en radianes del ángulo. De esta manera si α es un ángulo positivo de un giro le asignamos el número 2Π, que es la longitud de la circunferencia de radio igual a 1, decimos entonces que α tiene como medida 2Π radianes. Se llama radial al ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la misma. d) HORARIO: Unidad: h 1 = Submúltiplos: Minutos Segundo m 1 = 1 S 2Π rad = 360 1R 1R = 6 6 h h m 1 = 1 60 h = 60 m m = 60 S Resolver los ejercicios del 3 al 22 Prof. Ana Rivas 77

10 Funciones Trigonométricas de ángulos complementarios Podemos desarrollar las funciones trigonométricas de ángulos complementarios mediante triángulos rectángulos, ya que los ángulos que no son rectos son complementarios entre si: α y β tg β = cotg α cotg β = tg α sec β = cosec α cosec β = sec α Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios son opuestas. En caso de los ángulos de (0º a 90º) los ángulos caen en el primer cuadrante y los signos son todos positivos. Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante: En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos "r". 78 Prof. Ana Rivas

11 Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas. sen cosec tg cotg cos sec En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje positivo de las y. El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos. sen cosec tg cotg cos sec En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso solo la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas : sen cosec tg cotg cos sec En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante. Prof. Ana Rivas 79

12 sen cosec tg cotg cos sec Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros: cuadrantes sen - cosec cos - sec tg - cotg II I III IV Valor de las funciones trigonométricas de ángulos particulares: A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar: Radián Ángulo sen cos tan csc sec ctg 80 Prof. Ana Rivas

13 Representación gráfica Prof. Ana Rivas 81

14 Identidad trigonométrica En matemática, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor de las variables que se consideren (es decir para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones). Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Notación: Definimos cos², sen², etc; tales que sen²α es (sen (α))². En el triángulo rectángulo se cumple de acuerdo con el Teorema de Pitágora que: Si dividimos por c 2 : a + b = c a c 2 2 b + c 2 2 c = c 2 2 a c 2 2 b + c = 1 a = senθ c b c = cosθ entonces para todo ángulo θ. Sen 2 θ + Cos 2 θ = 1 82 Prof. Ana Rivas

15 De las definiciones de las funciones trigonométricas Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo: Ejemplo: Conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora). Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos²(x), se tiene: Calculando la recíproca de la expresión anterior: Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida: y análogamente con las restantes funciones. Resolver el ejercicio 23 Prof. Ana Rivas 83

16 Ecuaciones trigonométricas La ecuación trigonométrica es una igualdad que se cumple para ciertos valores del argumento. Resolver una de estas ecuaciones, significa encontrar el valor del ángulo que satisface dicha ecuación. (A veces es más de un valor). En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar todas las funciones que aparecen allí en una sola función, usando principalmente las identidades trigonométricas, (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo. Las ecuaciones trigonométricas suelen tener múltiples soluciones que pueden expresarse en grados o en radianes. Ejemplos de ecuaciones trigonométricas: 1ª sen(x)=1 2ª cos 2 (x)-3sen(x)=3 Soluciones: 1ª Es muy sencilla, sólo recordar el ángulo cuyo seno es 1; que es 90º en el primer cuadrante. El seno no vuelve a valer uno hasta que el ángulo no valga 90º+360º=540º, tras otra vuelta volverá a valer uno y así sucesivamente. sen(x) = 1 x = 90º 2ª Se convertirá en una ecuación con una sola razón trigonométrica si tenemos en cuenta la fórmula fundamental de la trigonometría. cos 2 (x) - 3sen(x) = 3 84 Prof. Ana Rivas

17 y cos 2 (x) =1-sen 2 (x) reemplazando en la ecuación 1- sen 2 (x) - 3sen(x) = 3 ordenando y agrupando queda sen 2 (x) + 3sen(x) + 2 = 0. Ya está en función de una sola razón y de un sólo ángulo. Cambiamos ahora sen(x) por z y nos quedará una cuadrática, que resolvemos como vimos anteriormente: z 2 + 3z + 2 = 0. Las soluciones de esta ecuación son : Z 1 = - 2 Z 2 = - 1 sen(x) = - 2 no tiene solución alguna, pues el seno es una función que varia entre 1 y - 1. sen(x) = -1 x = - 90º o lo que es lo mismo x = 270º ALGUNOS EJEMPLOS: Ejemplo 1: Prof. Ana Rivas 85

18 Ejemplo 2: Ejemplo 3: 86 Prof. Ana Rivas

19 Ejemplo 4: Ejemplo 5: Ejercicios propuestos Encuentre todas las soluciones (raíces) de las siguientes ecuaciones: Resolver el ejercicio 24 Prof. Ana Rivas 87