EJERCICIOS. Curso: Estadística. Profesores: Mauro Gutierrez Martinez Christiam Miguel Gonzales Chávez. Cecilia Milagros Rosas Meneses

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1 EJERCICIOS Curso: Estadística Profesores: Mauro Gutierrez Martinez Christiam Miguel Gonzales Chávez. Cecilia Milagros Rosas Meneses 1. Un fabricante de detergente sostiene que los contenidos de las cajas que vende pesan, en promedio, 16 onzas como mínimo. Se sabe que la distribución del peso es normal y tiene una desviación típica de 0,4 onzas. Una muestra aleatoria de 16 cajas ha dado un peso medio muestral de 15,84 onzas. Contraste al nivel de significación del 10 por ciento la hipótesis nula de que la media poblacional del peso es al menos de 16 onzas. 2. Una empresa que recibe envíos de pilas comprueba una muestra aleatoria de nueve antes de aceptar un envío. Quiere que la verdadera duración media de todas las pilas del envío sea al menos de 50 horas. Sabe por experiencia que la distribución poblacional de la duración es normal y tiene una desviación típica de 3 horas. La duración media de una muestra de nueve pilas de un envío es de 48,2 horas. Contraste al nivel del 10 por ciento la hipótesis nula de que la media poblacional de la duración es al menos de 50 horas. 3. Una muestra aleatoria de estudiantes universitarios matriculados en un curso de ética empresarial debe responder en una escala de 1 (totalmente en desacuerdo) a 7 (totalmente de acuerdo) a esta proposición: a los altos ejecutivos de las empresas les preocupa la justicia social. La media muestral de las respuestas es 4,27 y la desviación típica muestral es de 1,32. Contraste al nivel del 1 por ciento la hipótesis nula de que la media poblacional es 4 frente a la hipótesis alternativa bilateral.

2 4. Las cuentas de una empresa muestran que, en promedio, las facturas pendientes de cobro ascienden a 125,32 $. Un auditor comprueba una muestra aleatoria de 16 cuentas. La media muestral es de 131,78 $ y la desviación típica muestral es 25,41 $. Suponga que la distribución poblacional es normal. Contraste al nivel de significación del 5 por ciento la hipótesis nula de que la media poblacional es 125,32 $ frente a la hipótesis alternativa bilateral. 5. Basándose en una muestra aleatoria, se contrasta la hipótesis nula Frente a la alternativa Y la hipótesis nula no se rechaza al nivel de significación del 5 por ciento. a) Implica eso necesariamente que está contenida en el intervalo de confianza al 95 por ciento de? b) Implica eso necesariamente que está contenida en el intervalo de confianza al 90 por ciento de si la media muestral observada es mayor que? 6. En una muestra aleatoria de 361 propietarios de pequeñas empresas que se habían declarado en quiebra, 105 declararon que no habían hecho ningún estudio de mercado antes de abrir el negocio. Contraste al nivel la hipótesis de que el 25 por ciento como máximo de todos los miembros de esta población no realizó estudios de mercado antes de abrir el negocio.

3 7. En una muestra aleatoria de 998 adultos de Estados Unidos, el 17,3 por ciento de los miembros discrepa de la siguiente afirmación: la globalización es más que un sistema comercial económico; incluye las instituciones y la cultura. Contraste al nivel del 5 por ciento la hipótesis de que al menos el 25 por ciento de todos los adultos estadounidenses discreparían de esta afirmación. 8. Se ha preguntado a una muestra aleatoria de 50 responsables de la admisión en programas de post grado por lo que se espera en las entrevistas que se realizan a los solicitantes. En esta muestra aleatoria, 28 miembros estaban de acuerdo en que el entrevistador normalmente espera que el entrevistado haya realizado labores de voluntariado. Contraste al nivel la hipótesis nula de que la mitad de todos los entrevistadores tienen esta expectativa frente a la alternativa de que la proporción poblacional es de más de la mitad. 9. Explique detenidamente la distinción entre cada uno de los pares de términos siguientes: a) Hipótesis nula e hipótesis alternativa. b) Hipótesis simple e hipótesis compuesta. c) Alternativa unilateral y bilateral. d) Errores de Tipo I y de Tipo II. e) Nivel de significación y potencia. 10. Explique detenidamente que significa el valor p-valor de un contraste y analice el uso de este concepto en el contraste de hipótesis. 11. Indique si cada uno de las afirmaciones siguientes es verdadera o falsa.

4 a) El nivel de significación de un contraste es la probabilidad de que la hipótesis nula sea falsa. b) Se comete un error de Tipo I cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera. c) Se rechaza una hipótesis nula a nivel de 0,025, pero no se rechaza al nivel de 0,01. Eso significa que el p-valor del contraste se encuentra entre 0,01 y 0,025. d) La potencia de un contraste es la probabilidad de aceptar una hipótesis nula que es verdadera. e) Si se rechaza una hipótesis nula frente a una alternativa al nivel del 5 por ciento, entonces utilizando los mismos datos debe rechazarse frente a la alternativa al nivel del 1 por ciento. f) Si se rechaza una hipótesis nula frente a una alternativa al nivel del 1 por ciento, entonces utilizando los mismos datos debe rechazarse frente a la alternativa al nivel del 5 por ciento. g) P-valor de un contraste es la probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera. 12. Los defensores de un nuevo molino de viento afirman que pueden generar como mínimo una media de 800 kilovatios de energía. Se supone que la generación diaria de energía sigue una distribución normal que tiene una desviación típica de 120 kilovatios. Se toma una muestra aleatoria de 100 días para contrastar esta afirmación frente a la hipótesis alternativa de que la verdadera media es de menos de 800 kilovatios. La afirmación no se rechaza si la media muestral es de 776 kilovatios o más y se rechaza en caso contrario.

5 a) Cuál es la probabilidad de que se cometa un error de Tipo I utilizando la regla de decisión si la media poblacional es, en realidad, de 800 kilovatios diarios? b) Cuál es la probabilidad de que se cometa un error de Tipo II utilizando la regla de decisión si la media poblacional es, en realidad, de 740 kilovatios diarios? c) Suponga que se utiliza la misma regla de decisión, pero con una muestra de 200 días en lugar de 100. i. Sería el valor de mayor, menor o igual que el obtenido en el apartado (a)? ii. Sería el valor de mayor, menor o igual que el obtenido en el apartado (b)? d) Suponga que se toma una muestra de 100 observaciones, pero que se cambia la regla de decisión, de manera que la afirmación no se rechaza si la media muestral es de al menos 765 kilovatios. i. Sería el valor de mayor, menor o igual que el obtenido en el apartado (a)? ii. Sería el valor de mayor, menor o igual que el obtenido en el apartado (b)? 13. Se ha elaborado un método de selección para medir las actitudes de los directivos hacia las minorías. Una elevada puntuación indica una actitud negativa y una baja puntuación indica una actitud positiva. Se han tomado muestras aleatorias independientes de 151 analistas financieros varones y 108

6 analistas financieros mujeres. En el caso del primer grupo, la media muestral y la desviación típica muestral de las puntuaciones son 85,8 y 19,4, mientras que el segundo son 71,5 y 12,2. Contraste la hipótesis nula de que las dos medias poblacionales son iguales frente a la hipótesis alternativa de que la verdadera puntuación media es mayor en el caso de los hombres que en el de las mujeres. 14. En una muestra aleatoria de 125 empresarios británicos, el número medio de cambios de empleo es 1,91 y la desviación típica muestral es 1,32. En una muestra aleatoria independiente de 86 directivos británicos, el número medio de cambios de empleo es 0,21 y la desviación típica muestral es 0,53. Contraste la hipótesis nula de que las medias poblacionales son iguales frente a la hipótesis alternativa de que el número medio de cambios de empleo es mayor en el caso de los empresarios británicos que en el de los directivos británicos. 15. Un profesor de ciencia política tiene interés en comparar las características de los estudiantes que votan en las elecciones nacionales y las de los que no votan. En una muestra aleatoria de 114 estudiantes que afirman que han votado en las últimas elecciones presidenciales, observa una media de las calificaciones medias de 2,71 y una desviación típica de 0,64. En una muestra aleatoria independiente de 123 estudiantes que no han votado, la media de las calificaciones medias es 2,79 y la desviación típica es 0,56. Contraste la hipótesis nula de que las medias poblacionales son iguales frente a la hipótesis alternativa bilateral. 16. Ante las quiebras recientes de grandes empresas, los auditores están cada vez más preocupados por la posibilidad de que existan fraudes. Los auditores pueden averiguar más fácilmente las posibilidades de que existan fraudes si calculan minuciosamente el flujo de caja. Para evaluar esta posibilidad, unas muestras de auditores de nivel medio que trabajan en empresas de auditoría reciben información sobre el flujo de caja de un caso de fraude y se les pide que indiquen la posibilidad de que haya un fraude material en una escala de 0 a

7 100. Una muestra aleatoria de 36 auditores utiliza la información sobre el flujo de caja. Su valoración media es de 36,21 y la desviación típica mensual es 22,93. En el caso de una muestra aleatoria independiente de 36 auditores que no utilizan la información sobre el flujo de caja, la media muestral y la desviación típica muestral son 47,56 y 27,56 respectivamente. Suponiendo que las dos distribuciones poblacionales son normales y tienen la misma varianza contraste la hipótesis nula de que las medias poblacionales son iguales frente a la hipótesis alternativa bilateral. 17. Se examinan folletos de ofertas públicas de venta de acciones. En una muestra aleatoria de 70 folletos en los que se revelan las predicciones sobre las ventas, el cociente medio entre la deuda y el capital propio antes de la oferta es 3,97 y la desviación típica muestral es 6,14. En una muestra aleatoria independiente de 51 folletos en los que no se revelan las predicciones sobre las ventas, el cociente medio entre las deudas y el capital propio es 2,86 y la desviación típica muestral es 4,29. Contraste la hipótesis nula de que las medias poblacionales de los cocientes de los que no revelan las predicciones sobre las ventas y los de las que si las revelan son iguales frente a la hipótesis alternativa bilateral. 18. Una editorial tiene interés en saber cómo afectan a las ventas los manuales universitarios que contienen más de 100 ficheros de datos. La editorial planea producir 20 manuales sobre administración de empresas y elige aleatoriamente 10 para introducir en ellos más de 100 ficheros de datos. Los 10 restantes no llevaran más de 100 ficheros de datos. En el caso de los primeros, las ventas son, en promedio, de durante el primer año y la desviación típica muestral es en el caso de los segundos, las ventas son, en promedio, de durante el primer año y la desviación típica muestral es suponiendo que las dos distribuciones poblacionales son normales y tienen la misma varianza, contraste la hipótesis nula de que las medias poblacionales son iguales frente a la hipótesis alternativa de que la verdadera

8 media es mayor en el caso de los manuales que contienen más de 100 ficheros de datos. 19. Las muestras aleatorias de 900 personas de Estados Unidos y de Gran Bretaña indican que el 60 por ciento de los estadounidenses ve con optimismo el futuro de la economía, mientras que la cifra es del 66 por ciento en el caso de los británicos. Es esta información una prueba contundente de que los británicos ven con más optimismo el futuro de la economía? 20. Una muestra aleatoria de personas del país A debe responder a la siguiente afirmación: el aumento del comercio mundial puede aumentar nuestra prosperidad per cápita. El 38,4 por ciento de los miembros de esta muestra está de acuerdo con esta afirmación. Cuando se presenta la misma afirmación a una muestra aleatoria de personas del país B, el 52,0 por ciento está de acuerdo. Contraste la hipótesis nula de que las proporciones poblacionales que están de acuerdo con esta afirmación son las mismas en los dos países frente a la hipótesis alternativa de que la proporción que está de acuerdo es mayor en el país B. 21. En Estados Unidos, se encuesto a las pequeñas empresas 6 meses después de que fuera posible contratar los servicios telefónicos de larga distancia con otras compañías telefónicas distintas de AT&T. De una muestra aleatoria de 368 pequeñas empresas usuarias de AT&T, 92 declararon que estaban intentando obtener más información sobre sus opciones, al igual que 37 de una muestra aleatoria independiente de 116 usuarias de otras compañías telefónicas. Contraste al nivel de significación del 5 por ciento la hipótesis nula de que las dos proporciones poblacionales son iguales frente a la hipótesis alternativa bilateral.