MUESTREO Y ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

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1 1 MUESTREO Y ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA Muestreo. Métodos de muestreo Se llama població al cojuto de idividuos que posee cierta característica. Ua muestra es ua parte de esa població. Muestreo es el proceso utilizado para la selecció de los idividuos de ua muestra. Si el muestreo se hace bie es posible iferir las características o propiedades de la població, estudiádolas mediate ecuesta e la muestra. Los métodos de muestreo más eficaces so los aleatorios. Etre ellos, los más utilizados so: Muestreo aleatorio simple. E este muestreo cada idividuo debe teer la misma probabilidad de ser elegido; además, la selecció de u idividuo o debe afectar a la probabilidad de que sea seleccioado el siguiete. Por tato, es u muestreo co reposició. Muestreo sistemático. Co este método, la muestra se elige siguiedo ua secuecia preestablecida. Por ejemplo, ecuestar a los idividuos que ocupe la posició 7, 17, 7,... y así sucesivamete, de ua lista; o llamar por teléfoo al primer idividuo de cada págia de la guía telefóica. Este muestreo requiere ordear a los idividuos de la població y elegir el criterio a seguir. Muestreo proporcioal o estratificado. E este caso, hay que dividir la població e estratos de acuerdo co algú criterio; por ejemplo, por ivel de estudios, por sexo, por edades, etc. Determiado los estratos, e cada uo de ellos se ecuestará a u úmero de idividuos proporcioal a la població correspodiete. Distribució de la media muestral Si e ua població de media y desviació típica se toma muestras de tamaño, la media de las medias muestrales se distribuye segú ua ormal N,. Aclaració: E ua població se puede tomar muchas muestras aleatorias de tamaño. Si las llamamos M1, M, M3,..., cada ua de ellas tedrá ua media x 1, x, x 3,..., respectivamete (esas medias, x i, será geeralmete distitas). Los elemetos de la distribució de medias muestrales so precisamete x 1, x, x3,.... Pues bie, la media de esa x1 x x3... distribució coicide co la media de la població: X ; úmero de muestras posibles mietras que la desviació típica de esas medias es. X Esto es así para cualquier tipo de població de partida, sea ormal o o, siempre y cuado el tamaño muestral > 30. Este resultado permite aplicar a la distribució de medias muestrales todos los recursos de la distribució ormal. Por ejemplo, cuatificar los resultados co ayuda de la tabla ormal xi estádar: la N, se tipifica o trasforma e N(0, 1) haciedo el cambio Z. / José María Martíez Mediao

2 Ejemplos: 1. E ua població N(80, 1), la media de las medias muestrales de tamaño 36 se distribuye 1 segú la ormal N80, = N(80, ). 36 Asimismo, la media de las medias muestrales de tamaño 100 se distribuye segú la ormal 1 N80, = N(80, 1,). 100 Distribució de las medias muestrales de tamaño 100: N(80, 1,) Distribució de la població: N(80, 1) Distribució de las medias muestrales de tamaño 36: N(80, ) Como puede verse e la figura, si el tamaño muestral aumeta la campaa se estrecha. Esto geera mayor precisió e las estimacioes.. Si se desea saber cuál es la probabilidad de que: a) ua muestra de tamaño 36 tega ua media superior a 83 o, b) ua muestra de tamaño 100 tega ua media compredida etre 79 y 81, hay que proceder como sigue: 1 80 a) La ormal N80, = N(80, ) se tipifica haciedo el cambio Z. 36 Luego: P( x > 83) = P Z = P(Z > 1,5) = 1 P(Z < 1,5) = 1 0,933 = 0, x 80 b) La ormal N80, = N(80, 1,) se tipifica haciedo el cambio Z i , Luego: P(79 < x < 81) = P Z = P(0,83 < Z < 0,83) = 1, 1, = P(Z < 0,83) P(Z < 0,83) = 0,7967 (1 0,7967) = 0,5934 x i José María Martíez Mediao

3 3 Distribució de la proporció muestral La distribució de la proporció muestral de las muestras de tamaño, obteidas e ua pq població co proporció p se ajusta a la ormal N p,, siedo q = 1 p. Ejemplos: 3. Supogamos que etre las persoas de 35 años, el 80 % sabe coducir; esto es, la proporció de coductores es p = 0,80, y q = 0,0. E este caso, la proporció de las muestras 0,8 0, de tamaño = 5 se distribuye segú la ormal N 0,8, 5 = N(0,8, 0,08). Asimismo, la proporció de las muestras de tamaño 64 se distribuye segú la ormal 0,8 0, N 0,8, 64 = N(0,8, 0,05). 4. Si se desea saber cuál es la probabilidad de que: a) e ua muestra de tamaño 5 haya meos de u 70 % de coductores o, b) e ua muestra de tamaño 64 haya etre 50 y 60 coductores, hay que proceder como sigue. (a) Para ua ormal N(0,80, 0,08) muestras de tamaño 5 0,70 0,80 P ( pˆ 0,70) P Z = P(Z 1,5) = 1 0,8944 = 0,1056 0,08 (b) E este caso, la proporció de la muestra se distribuye segú la ormal N(0,8, 0,05). Para que haya etre 50 y 60 coductores de u total de 64, la proporció debe estar etre 50 0,78 60 y 0, 94, luego: ,78 0,8 0,94 0,80 P ( 0,78 pˆ 0,94) P Z = P(0,4 Z,8) = 0,05 0,05 = P(Z,8) P(Z 0,4) = 0,9974 (1 0,6554) = 0,658 José María Martíez Mediao

4 4 Estimació estadística. Itervalo de cofiaza La estimació estadística pretede deducir algú parámetro de la població partiedo del estudio de muestras. Aquí os limitaremos a estimar la media o la proporció de ua població a partir de ua muestra. La estimació se hace siempre e térmios probabilísticos: dado u itervalo e el que esperamos que estará el parámetro ( o p) poblacioal e idicado la cofiaza de uestra estimació. Ese itervalo se llama de itervalo de cofiaza. A la probabilidad de que tal estimació sea cierta se la llama ivel de cofiaza. Itervalo de cofiaza para la media El itervalo de cofiaza de la media poblacioal que se obtiee a partir de ua muestra de media x, es: x Z /, x Z / siedo la desviació típica poblacioal, el tamaño muestral y Z / el valor correspodiete e la tabla ormal para u ivel de cofiaza de 1. El ivel de cofiaza 1, da la probabilidad que hay de que la media poblacioal,, perteezca a ese itervalo; es frecuete darla e porcetajes. So equivaletes las expresioes ivel de cofiaza 1 y sigificació ; así, suele hablarse de obteer u itervalo co u ivel de cofiaza del 95 % o para ua sigificació = 0,05. (Este valor de idica la probabilidad que hay de errar e la estimació.) Notas: 1. La estimació se cosidera válida si la població de partida es ormal o si 30.. Si se descooce la desviació típica poblacioal, esta puede sustituirse por la ( xi x) cuasidesviació típica de la muestra, cuya fórmula es s 1. (E las 1 calculadoras suele idicarse co la tecla 1 ). / = 0,05 / / 1 x P x Z / x Z / 1 Itervalo de cofiaza 1,5%,5% 95% 16,36 165,764 0, 95 16,36 P ,764 Itervalo de cofiaza al 95% Niveles de cofiaza usuales: 1 (%) 0,686 (68,6%) 0,90 (90%) 0,95 (95%) 0,9544 (95,44%) 0,99 (99%) 0,3174 0,10 0,05 0,0456 0,01 / 0,1587 0,05 0,05 0,08 0,005 Z 1 1,645 1,96,575 / José María Martíez Mediao

5 5 Ejemplos: 5. Se sabe que la desviació típica de la estatura de las chicas de 18 años es 9 cm. Si se toma ua muestra aleatoria de tamaño 100, e la que se obtiee ua estatura media de x = 164, el itervalo de cofiaza para u ivel del 95% de la media de la població será: ,96, 164 1,96 = (16,36, 165,764) Esto sigifica que la media de estaturas para toda la població,, estará etre 16,36 cm y 165,764 cm, co ua probabilidad del 0,95: P(16,36 < < 165,764) = 0,95. Puede suceder que la verdadera media sea mayor que 165,764, pero la probabilidad de eso es escasa: P( > 165,764) = 0,05 ( / = 0,05) Tambié puede suceder que la verdadera media sea meor que 16,36, pero co ua probabilidad igualmete pequeña: P( < 16,36) = 0,05 ( / = 0,05). 6. El peso medio de ua muestra elegida al azar de 196 perdices de ua determiada variedad es de 30 g, y la desviació típica de 35 g. Calcula el itervalo de cofiaza aproximado para la media poblacioal para u ivel de cofiaza del 90 % Para x = 30, = 35, = 196 y, para el 90% de cofiaza, Z / = 1,645, el itervalo es, ,645, 30 1,645 = (30 4,1, ,1) = (315,9, 34,1) Error admitido Al dar el itervalo de cofiaza para la media afirmamos, co ua cofiaza de 1, que x Z / x Z / Esto sigifica que e uestra estimació, admitimos u error máximo de E Z /. Como puede observarse, este error depede, y : aumeta al hacerlo la desviació típica y la cofiaza; dismiuye cuado aumeta el tamaño muestral. Ejemplo: 7. Para los datos del ejemplo aterior: = 9 cm, 1 = 0,95 y = 100, el error máximo es: 9 E 1,96 = 1,764 cm 100 Por eso suele afirmarse que la media poblacioal será = 164 1,764. (Recuérdese que la media muestral era x = 164.) Si se varía el tamaño muestral y la sigificació (ivel de cofiaza), por ejemplo: 9 Para = 81 y = 0,1 se tedrá: E 1,645 = 1,654 cm Para = 36 y = 0,01 E,575 = 3,865 cm. 36 José María Martíez Mediao

6 6 Tamaño muestral Si fijamos el error máximo (= emáx) deseado, podemos deducir el míimo tamaño muestral ecesario para tal propósito, pues basta co despejar. Así: E Z / emáx Z / Z / ( emáx) ( emáx) Ejemplo: 8. Si se quiere obteer ua estimació de la media de estaturas de ua població, que se distribuye co ua desviació típica de = 9 cm, co u error máximo de cm y co u ivel de cofiaza del 95%, cuál será el tamaño muestral ecesario para determiarla? 9 Se desea que E Z /. Como Z 0,05 = 1,96 y = 9 1,96 = 77,8 Por tato, habrá que ecuestar a 78 persoas de esa població, al meos. Itervalo de cofiaza para la proporció El itervalo de cofiaza de la proporció, co u ivel de cofiaza de 1, es: pq ˆ ˆ pq ˆ ˆ pˆ Z pˆ /, Z / siedo pˆ la proporció de la muestra, qˆ 1 pˆ, el tamaño muestral y Z / el valor correspodiete e la tabla ormal para ua sigificació. Notas: 1. La estimació se cosidera válida si p y q so mayores que 5, lo cual se cosigue cuado es suficietemete grade pq. Si se coociese p por estudios ateriores, se emplea la desviació típica e vez de pˆ qˆ pq pq, siedo el itervalo de cofiaza: pˆ Z /, pˆ Z /. 3. E estudios profesioales (ecuestas) suele asigarse iicialmete p = 0,5 y q = 0,5. Ejemplo: 9. Para coocer el grado de satisfacció de los usuarios e relació co el fucioamieto (bueo o malo) de los autobuses urbaos, se preguta a 400 usuarios. De ellos, 184 dice que el fucioamieto es bueo. Co esto, la proporció real de los usuarios satisfechos del servicio de autobuses, para u ivel de cofiaza del 99% (sigificació 0,01) perteecerá al itervalo 0,46 0,54 0,46 0,54 0,46,575, 0,46,575 = (0,396, 0,54) Nótese que: pˆ = 184/400 = 0,46, qˆ 1 pˆ = 0,54, = 400. y Z / = Z 0,005 =,575. Esto sigifica que el porcetaje de usuarios que está satisfecho del fucioamieto de los autobuses urbaos estará etre el 39,6 % y el 5,4 %. Ua proporció real fuera de ese itervalo puede ser posible, pero la probabilidad de que realmete lo sea es de 0,01; por tato, se asume u riesgo del 1 %. José María Martíez Mediao

7 7 Error admitido El error máximo admitido es: E Z y el tamaño muestral. / pq ˆ ˆ, que puede cotrolarse variado la sigificació Tamaño muestral Si fijamos el error máximo (= emáx) deseado, podemos deducir el míimo tamaño muestral, pues: pq ˆ ˆ pq ˆ ˆ E Z / emáx Z / ( emáx) Ejemplos: 11. E el caso del ejemplo aterior: pˆ = 0,46, 1 = 0,99 ( Z / = Z 0,005 =,575) y = 400, el error máximo es: 0,46 0,54,575 = 0, Luego la proporció de la població será p = 0,46 0,064. Si se varía el tamaño muestral y el ivel de cofiaza, por ejemplo: 0, 46 0, 54 a) Para = 900 y 1 = 0,9544, se tedrá: E = 0,033 ( 3,3 %). 900 b) Para = 100 y = 0,05 0, 46 0, 54 E 1,96 = 0,098 ( 9,8 %) Si se quiere obteer ua estimació de la proporció co u error máximo del 3 %, co u ivel de cofiaza del 98 %, el tamaño muestral ecesario será: 0,46 0,54 (,33) = 1498,4 0,03 El 3 % E = 0,03; 1 = 0,98 = 0,0, / = 0,01 y Z 0,01 =,33 Por tato, habrá que ecuestar, al meos, a 1499 persoas. José María Martíez Mediao

8 8 Problemas 1. El úmero de días de permaecia de los efermos e u hospital sigue ua ley Normal de media días y desviació típica 3 días. a) Determia u itervalo de cofiaza para estimar, a u ivel del 97%, co ua muestra aleatoria de 100 efermos cuya media es 8,1 días. b) Qué tamaño míimo debe teer ua muestra aleatoria para poder estimar co u error máximo de 1 día y u ivel de cofiaza del 9% Solució: a) El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x y desviació típica es: x Z /, x Z / siedo Z / el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. Para x = 8,1, = 3, = 100 y, para el 97 % de cofiaza, Z / =,17, se tiee: 3 3 8,1,17, 8,1,17 = (8,1 0,651, 8,1 + 0,651) = (7,449, 8,751) b) El error admitido, E, viee dado por E Z /. Para ua cofiaza del 9%, Z / = 1,75. Como = 3 y se desea que E 1, debe cumplirse que: 3 1,75 1 5, 5 7,56 8 El tamaño muestral míimo debe ser de 8 efermos.. Los gastos semaales e los hogares españoles sigue ua distribució ormal co desviació típica 30 euros. A partir de ua muestra aleatoria de tamaño 5 se ha obteido ua media muestral de 175 euros. a) Halla el itervalo de cofiaza del 95% para la media del gasto semaal. b) Qué tamaño míimo debe teer la muestra que permita estimar la media co u ivel de cofiaza del 99%, co u error que sea la décima parte del obteido e el apartado aterior? Solució: a) Para x = 175, = 30, = 5 y, para el 95 % de cofiaza, Z / = 1,96, el itervalo pedido es, ,96, 175 1,96 = (175 11,76, ,76) = (163,4, 186,76) 5 5 José María Martíez Mediao

9 9 b) El error admitido E, viee dado por E Z /. Para u ivel de cofiaza del 99%, Z / =,575, co = 30 y E < 1,176 (la décima parte de 11,76) se tedrá: 30,575 1,176 65, 69 > Ua ecuesta, realizada sobre ua muestra de los jóvees de ua ciudad, para determiar el gasto mesual medio (expresado e euros) e teléfoo móvil, cocluyó co el itervalo de cofiaza al 95%: (10,794, 13,06). a) Cuál es el gasto mesual medio muestral? b) Cuál es el correspodiete itervalo de cofiaza al 99%? c) Si, aproximado co cuatro cifras decimales, la desviació típica del gasto mesual es de 7,9989 euros, cuál es el tamaño de la muestra ecuestada? Solució: a) El itervalo de cofiaza x Z /, x Z / es simétrico respecto de la media, lo que sigifica que la media es el puto medio de dicho itervalo. Por tato: 10,794 13,06 x 1 El gasto medio mesual e teléfoo móvil es de 1. b) Como para ua cofiaza del 95%, Z / = 1,96, se tiee que: 1 1,96, 1 1,96 = (10,974, 13,06) 1,96 1, 06 0, Por tato, como para ua cofiaza del 99%, Z / =,575, el itervalo de cofiaza correspodiete será: 1,575, 1,575 = (1,575 0,6153, 1 +,575 0,6153) = = (10,4156, 13,5844) 7,9989 c) Como se ha dicho, 0, 6153; luego si =7,9989 0, = 169. El tamaño de la muestra ha sido de 169 jóvees. José María Martíez Mediao

10 10 4. Co u ivel de cofiaza igual a 0,95, a partir de u estudio muestral, el itervalo de cofiaza de la proporció de habitates de ua comuidad que tiee ordeador portátil es (0,1804, 0,196). a) Cuál es la proporció muestral de habitates de esa comuidad que tiee ordeador portátil? Cuál es el tamaño de la muestra? b) Cuál debería ser el tamaño muestral para estimar la citada proporció, co ua cofiaza del 95%, co u error máximo de 0,01? Solució: a) E este caso, el itervalo de cofiaza para la proporció de la població, será: 0,5 0,5 0,5 0,5 pˆ Z /, pˆ Z /, siedo pˆ la proporció de la muestra. Como puede observarse, el itervalo es simétrico; por tato, la proporció muestral es el puto medio del itervalo. 0,1804 0,196 Luego, si el itervalo es (0,1804, 0,196) se tedrá que p ˆ 0, 0. El 0% de la població tiee ordeador portátil. 0,5 0,5 Como p ˆ Z / 0, 196 se tedrá: 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,0 1,96 0,196 0, ,0001 El tamaño de la muestra ha sido de 500 persoas. 0,5 0,5 0,5 0,5 b) El error máximo vale E Z / Z /. E Si se desea que E 0,01 y que Z / = 1,96 (correspodiete a u ivel de cofiaza del 0,5 0,5 95%), etoces, 1, ,01 El tamaño muestral debería ser de 9604 persoas. 5. Para estimar la proporció de las viviedas de ua determiada ciudad que tiee aire acodicioado se quiere utilizar ua muestra aleatoria de tamaño. Calcule el valor míimo de para que, co u ivel de cofiaza del 97%, el error e la estimació sea más pequeño que 0,05. (Como se descooce la proporció, se debe tomar el caso más desfavorable, que será 0,5). Solució: pq pq El error admitido es E Z / ( Z / ) E Para ua cofiaza del 97 %, Z / =,17. Como se desea que E < 0,05 se tedrá que 0,5 0,5 0,05,17 0,5 0,5,17 > 3470,89. 0,05 Luego, el tamaño muestral míimo debe ser 471. José María Martíez Mediao