4. Resolución de indeterminaciones: la regla de L Hôpital.
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- Juan Manuel Alarcón Alvarado
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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Funciones y derivada. 4. Resolución de indeterminaciones: la regla de L Hôpital. Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo abierto I R y sea a I un punto de dicho intervalo. De las reglas para el cálculo de límites sabemos que si lim f( ) = L y lim g ( ) = L, a a f( ) L siendo L y L números reales, entonces lim =, salvo que L = L =. En este caso, es a g ( ) L decir, cuando L = L = (o también cuando L = L =) no podemos predecir el valor del límite del cociente y decimos que se produce una indeterminación. EJEMPLO. () Consideremos las funciones f( ) = y g ( ) =. Entonces lim f( ) = lim g( ) = f( ) y tenemos que lim =. g ( ) () Consideremos ahora las funciones f( ) tenemos que lim =. g ( ) f( ) = y g ( ). () Finalmente, consideremos las funciones f( ) = y f( ) lim f( ) = lim g( ) =, pero ahora lim =. g ( ) = Entonces g ( ). lim f( ) = lim g( ) = y = Como antes, tenemos que En los casos de indeterminación, la regla de L Hôpital nos permite calcular el límite del cociente de dos funciones calculando el límite del cociente de sus derivadas. TEOREMA (REGLA DE L HÔPITAL). Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo abierto I R. Sea a I un punto tal que f( a) = g( a) =. Supongamos que g ( ) y g ( ) para f ( ) todo a. Si eiste el límite del cociente de las derivadas lim = L, entonces se verifica que a g ( ) f( ) lim = L. a g ( ) EJEMPLOS. () Vamos a calcular Observa que se trata de una indeterminación, pues- lim = lim =. Puesto que las funciones son derivables, podemos aplicar la to que ( ) regla de L Hôpital. Calculamos entonces el límite de las derivadas, esto es, lim = lim =. Por tanto =
2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Funciones y derivada. () Algunas veces debemos repetir la aplicación de la regla de L Hôpital. Por ejemplo, vamos a calcular Como antes se trata de una indeterminación: lim sen ( sen ) = lim =. Calculamos el límite del cociente de las derivadas Se trata de otra indeterminación. Volve- cos sen mos a calcular el límite del cociente de las derivadas, esto es, lim =. Entonces, aplicando la 6 6 sen cos sen regla de L Hôpital lim = lim = lim =. 6 6 OBSERVACIÓN. La conclusión del teorema se mantiene en cada uno de los siguientes casos: () Cuando las funciones sólo están definidas a uno de los lados del punto a y consideramos límites laterales. () Cuando las funciones verifican que lim f( ) = y lim g ( ) = y las demás hipótesis se cumplen. a a () Cuando a es (o bien ) y las funciones f y g están definidas en un intervalo de la forma (, b )(o bien (, b) ). Otras indeterminaciones. Eisten otros tipos de indeterminaciones que pueden reducirse a alguno de los casos anteriores. Vamos a analizarlos con detalle. Indeterminación. Para calcular lim f ( ) g ( ) cuando lim f( ) = y lim g ( ) = podemos a a a f( ) g( ) escribir f( ) g( ) = =, según nos convenga, y siempre que no se anule el denominador g ( ) f( ) para a, y aplicar uno de los casos anteriores de la regla de L Hôpital. Indeterminación. En el caso de f( ) g( ), cuando los límites para a sean infinitos del mismo signo, se puede escribir g ( ) f( ) g ( ) f( ) f( ) g( ) = = f( ) g( ), = f( ) g( ) f( ) g( ) según nos convenga, y siempre que no se anule el denominador para a, y aplicar uno de los casos anteriores de la regla de L Hôpital. EJEMPLOS. En este ejemplo calcularemos algunos límites que debes conocer bien porque los usaremos con cierta frecuencia en este curso. () lim log = para cualquier número real >. Se trata de una indeterminación del tipo que, como sabemos, se puede transformar fácilmente en una del tipo. Observemos que
3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Funciones y derivada. () log lim log = lim [ L'Hôpital] lim lim = = = = = log lim = para cualquier número real >. En este caso tenemos una indeterminación del tipo. log lim L'Hôpital lim = = = = Observemos que [ ] n () lim = para todo número natural n =,,... También tenemos una indeterminación del tipo e. Observemos que n n n n n( n) lim = [L'Hôpital] = lim = [L'Hôpital] = lim = [L'Hôpital] = e e e n! = lim =. e Indeterminaciones, y. Supongamos que f( ) > en un intervalo que contiene a a y queremos calcular lim f( ). Si lim f( ) = L y g( ) g( ) L lim g ( ) = L, entonces lim f( ) = L, salvo a a a a que nos encontremos en alguno de los casos siguientes: L =, L =, L =, L =, es decir, f( ), es decir, f( ), g( ), g( ), L =, L =, es decir, f( ), g( ). En estos tres casos tenemos una indeterminación. Para resolverla tomamos logaritmos; o sea, escribimos f( ) = e, para transformar la indeterminación original en una indeterminación g( ) g( )log ( f ( ) ) del tipo. EJEMPLO. Calcularemos ahora algunos límites sencillos en los que aparecen las tres indeterminaciones comentadas anteriormente. () lim. Se trata de una indeterminación del tipo. Llamemos L = lim y tomemos logaritmos. Entonces log L= log lim = lim log = lim log
4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Funciones y derivada. L = e =. log = lim = [ L'Hôpital] = lim = lim =. y to- () lim. Se trata de una indeterminación del tipo. memos logaritmos. Entonces Llamemos L = lim log L= log lim = lim log = lim log log = lim = [ L'Hôpital] = lim = lim =. L= e = e. () lim. Se trata de una indeterminación del tipo. Llamemos L= lim y tomemos logaritmos. Entonces log log L = log( lim ) = lim ( log ) = lim ( log ) = lim lim lim ( ). = = = L = e =. EJERCICIO. Calcula los siguientes límites usando la regla de L Hôpital: sen (5 ) lim, cos EJERCICIO. Calcula los siguientes límites usando la regla de L Hôpital: sen 5 4 sen cos( ) sen (5 ) 7 ( ) lim, lim tan. 4
5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Funciones y derivada. EJERCICIO. Calcula los siguientes límites: sen sen ( )cos lim sen (4 ) y 9 EJERCICIO 4. En cada uno de los siguientes casos, encuentra un ejemplo de dos funciones derivables f y g, con lim f( ) = lim g( ) =, que verifican lo siguiente: a) f( ) lim =. b) g ( ) f( ) lim =. c) g ( ) f( ) lim =. g ( ) EJERCICIO 5. Calcula los valores de los parámetros a y b para los que las funciones f y g, dadas f( ) por f( ) = a (sen ) b y g ( ) = ( cos ), verifiquen que el límite lim es un número g ( ) real distinto de cero. EJERCICIO 6. Calcula los siguientes límites: tan lim, sen lim, tan lim(sen ). 5
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