Foro de cálculo Sobre la derivada de la función exponencial

Transcripción

1 Foro de cálculo Sobre la derivada de la función exponencial Jorge M López 6 de febrero de 28 Esta contribución elabora una nota presentada por René Henández Toledo en la serie Heurística del cálculo de este Foro. En ella el autor presenta un argumento eurístico para la demostración de la relación e. () Desde luego, el ite () representa el valor de la derivada de la función x e x en x. En esta nota generalizamos () a a ln(a), (2) donde a >. Además esbozamos un método para discutir el tema de las derivadas e integrales de las funciones exponenciales y logarítmicas con cualquier base a >. Es fácil verificar que el ite (2) es el valor de la derivada de la función x a x (x R) en x. Además, si (2) es válido, entonces la función x a x (x R) es diferenciable en cualquier punto x y d a x+ a x dx ax a a x ln(a) a x. (3) Véase el arcivo Tasa de Crecimiento René.pdf en ttp://tec.groups.yaoo.com/ groups/forodecalculo/files/.

2 Luego, si a, podemos calcular la derivada de la función inversa de la función y a x por la regla usual para obtener d log a y dx dx ln(a)a x ln(a) y, (4) para toda y >. Las fórmulas especiales para el caso de la base de los logaritmos naturales y la función exponencial natural se obtienen demostrando que existe un valor de a (a e) tal que a. (5) Como veremos (2), (3) y (4) se demuestran fácilmente si sabemos Proposición. Para todo n N y >, a a n a (k ). (6) Demostración. La demostración es trivial, siendo un caso especial de la fórmula x n x xn + + n x k, tomando x a. Corolario. Para todo a > con a, tenemos que k(a) + existe y k(a) k k a a x dx a. (7) 2

3 Demostración. Suponemos que el ite k(a) existe 2. Si n > es un entero y tomamos /n en (6), vemos que la suma de la dereca es la suma de Riemann de la función x a x (x R) evaluada en los puntos de la izquierda de los intervalos determinados por una partición omogénea del intervalo [, ] de n subintervalos de longitud /n. Tomando el ite de la expresión que resulta cuando n vemos que a n (a /n ) n a + k(a) a x dx. a x dx a x dx Finalmente repasamos cómo (2), (3) y (4) se obtienen de (7). Primeramente, note que si <, entonces de manera que a a a, a a + k(a). Note que repitiendo verbatim el argumento que nos llevó a (4), pero con k(a) 2 La demostración de este dato necesita de algún cuidado. Por este punto, precisamente, es que este es un buen argumento eurístico; véase el artículo de René Hernández. 3

4 en lugar de ln a, tenemos d log a y dx dx k(a)a x k(a) y. (8) Integrando entre y x la relación (8), empleando el teorema fundamental de cálculo y recordando que log a, tenemos k(a) log a x x. (9) y Si a >, el valor de la integral de la dereca en x es cero y en x 3 lo podemos estimar mediante las áreas de los rectángulos inscritos en una suma de Riemann determinada por una partición de tres puntos para el intervalo [, 3]: 3 2 y 3 y y x + 2 >. Como la función x (y > ) es continua, por el Teorema del valor y intermedio existe un número e, < e < 3 tal que Esto dice que Aora (2), (3) y (4) son directos. k(a) log a e e. y k(a) log a e log e a ln a. 4

5 Englis translation Tis contribution elaborates on a note presented by René Henández Toledo in te series Heurística del cálculo of tis Foro. In it, te autor presents a euristic argument to sow te relation 3 e. () Naturally, te value of te limit in () represents te value of te derivative of te function x e x in x. In tis note we generalize () to a ln(a), () were a >. Also, we describe a metod useful in te discussion of te derivatives and te integrals of exponential and logaritmic functions in any base a >. It is easy to verify tat te limit () is te value of te derivative of x a x (x R) in x. Furtermore, if () olds, ten te function x a x (x R) is differentiable at any point x and d a x+ a x dx ax a a x ln(a) a x. (2) Ten, if a, we can compute te derivative of te inverse 3 See te file Tasa de Crecimiento René.pdf in ttp://tec.groups.yaoo.com/ groups/forodecalculo/files/. 5

6 function y a x by te usual metod to obtain d log a y dx dx ln(a)a x ln(a) y, (3) for all y >. Te special formulas for te case of te base for te natural logaritm and te natural exponential function are obtained by sowing te existence of a value for a (a e) suc tat a. (4) As we sall see, (2), (3) y (4) are easily proven once we prove Proposición. Para todo n N y >, a a n a (k ). (5) Demostración. Te proof is trivial, as tis is a special case of te formula x n x xn + + n x k, taking x a. k 6 k

7 Corolario. For eac a >, a, we ave tat k(a) a + exists and k(a) a x dx a. (6) Demostración. We assume tat te limit k(a) exists 4. If n > and we take /n en (5), we see tat te sum on te rigt is a Riemann sum for te integral of te function x a x (x R) in te interval [, ], evaluated at te left point of te subintervals determined by a omogeneous partition of te interval cosisting of n subintervals of lengt /n. Taking te limit of te expression tat results wen n it is seen tat a n (a /n ) n a + k(a) a x dx. a x dx a x dx Finally, we briefly review ow (), (2) y (3) follow from (6). First, note tat if <, ten a a a, 4 Te proof of tis fact requires some care. It is precisely because of tis point tt tis is a good euristic argument; see René Hernández s argument. 7

8 and ence, a a + k(a). Also, note tat a verbatim repetition of te argument tat proved (3), but using k(a) instead of lna, we ave d log a y dx dx k(a)a x k(a) y. (7) Integrating bot sides of (7) between y x, using te Fundamental Teorem of te Calculus and remembering tat log a, we get k(a) log a x x. (8) y If a >, te value of te integral on te rigt is zero and te value in in x 3 can be estimated my means of te areas of te inscribed rectangles of te Riemann sum determined by a 8

9 omogeneous partition of tree points for te interval [, 3]: x 3 y 2 y y + 2 >. Since x (y > ) is a continuous function we ave, by y te Intermediate Value Teorem tat tere is a value e, < e < 3 suc tat k(a) log a e e. y Tis says tat k(a) log a e log e a ln a. Now (), (2) and (3) are obvious. 9