Además de la medida, que estudiaremos a continuación, consideraremos que los ángulos tienen una orientación de acuerdo con el siguiente convenio:

Transcripción

1 Trigonometría La trigonometría trata sobre las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. El concepto fundamental sobre el que se trabaja es el de ángulo. Dos semirrectas con un origen común dibujadas en un plano, dividen a éste en dos regiones. Cada una de estas regiones es un ángulo En un ángulo no importa la longitud de las semirrectas que lo componen, sino la abertura entre ellas. Para medir esta abertura, se utilizan diferentes sistemas de medida, los más importantes son: el sistema sexagesimal y los radianes. Además de la medida, que estudiaremos a continuación, consideraremos que los ángulos tienen una orientación de acuerdo con el siguiente convenio: Si el ángulo está medido en el sentido contrario al giro de las agujas del reloj, diremos que es un ángulo positivo. Si el ángulo está medido en el sentido de giro de las agujas del reloj, diremos que es un ángulo negativo Sistema sexagesimal Un ángulo recto es el menor de los ángulos formados por dos rectas perpendiculares. Si dividimos el ángulo recto en 90 ángulos iguales, cada uno de estos ángulos es un grado (sexagesimal), y lo indicamos de la forma siguiente: 1 recto = 90 0 Si dividimos un grado en 60 partes iguales, cada una de estas partes es un minuto (sexagesimal.): 1 0 = 60 Si un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas es un segundo (sexagesimal.) 1 = 60 Así, los ángulos medidos en el sistema sexagesimal se expresan de la forma , que significa que el ángulo mide 34 grados, 52 minutos y 32 segundos. Habitualmente situaremos los ángulos en unos ejes coordenados. Si empezamos a medir los ángulos desde la parte de la derecha del eje horizontal (ángulo de 0 0,) en sentido positivo, 1.2. Radianes Además del grado sexagesimal, se usa el radián. Dibujemos una circunferencia de radio R. El ángulo central AOB mide 1 radián, si la longitud del arco de la circunferencia que va desde el punto A al punto B es igual al radio de la circunferencia R. Podemos calcular la cantidad de radianes que hay en una vuelta completa de la circunferencia, sin más que dividir su longitud entre la longitud del radio. La longitud de la circunferencia es L = 2 R Entonces, una vuelta completa tiene 1

2 De aquí se deduce que el ángulo de tiene 2 rad, y también que el ángulo de es de rad. Las equivalencias entre los ángulos que delimitan los cuadrantes en grados y radianes, vienen dadas en la siguiente tabla. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Resolución de un triángulo rectángulo. Relaciones entre las razones trigonométricas: Relación fundamental de la trigonometría: Relaciones que se obtienen a partir de la relación fundamental: Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. La circunferencia goniométrica. Ahora vamos a extender la definición de las razones trigonométricas que ya conocemos para un ángulo agudo a un ángulo cualquiera. Para ello, situamos el triángulo rectángulo que usábamos antes dentro de una circunferencia centrada en el origen de coordenadas. Dado que las razones trigonométricas no dependen de lo grande o lo pequeño que sea el triángulo, tampoco dependerán de lo grande o pequeña que sea la circunferencia. Por esta razón, elegimos un radio con el que resulta muy cómodo hacer operaciones, radio = 1. Lo que ahora es el radio, antes era la hipotenusa, de manera que cada vez que haya que dividir entre ésta, habrá que dividir entre 1. A esta circunferencia, a la circunferencia de radio 1 centrada en el origen, que nos servirá para medir las razones trigonométricas, se le llama circunferencia goniométrica. Ahora el ángulo es un ángulo central de la circunferencia. La hipotenusa del triángulo rectángulo es un radio de la circunferencia, que corta a ésta en el punto P(x; y). Entonces, las razones trigonométricas del ángulo son: 2

3 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUADRANTES Cuadrante Dibujo Ángulo sen a cos a tan a 1º 0<a< º 90<a< º 180<a< º 270<a<360 + AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO DE ÁNGULO ÁNGULOS MAYORES DE Los valores comprendidos entre 0 0 y nos permiten expresar la medida de cualquier ángulo. Por ejemplo, podemos darle sentido al ángulo = al situarlo sobre la circunferencia goniométrica, pues el segundo lado dará una vuelta completa (360 0 ) más un ángulo de 40 0 : = = 1 vuelta Para cualquier ángulo mayor que se divide entre 360 y el cociente nos da el número de vueltas enteras y el resto, el ángulo b (entre 0 0 y ) a = n b, donde n es un número entero de vueltas (positivo o negativo) ÁNGULOS NEGATIVOS Los ángulos negativos se miden a favor de las agujas del reloj. Para convertir un ángulo negativo en positivo, se le suman tantas vueltas como sean necesarias hasta obtener un ángulo entre 0 0 y Las razones trigonométricas se mantienen. Los valores de las distintas razones trigonométricas en los ángulos de 0, 90, 180, 270 y 360 grados se indican en la tabla siguiente, que también se puede deducir a partir de la circunferencia goniométrica: 3

4 (No se puede dividir entre 0, esta es la razón por la que la tangente de 90 0 y no existe). Relación entre ángulos de distintos cuadrantes Las razones trigonométricas de cualquier ángulo siempre se pueden relacionar con las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante. ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN UN NÚMERO ENTERO DE VUELTAS a y a k k Z cos (a k) = cos a sen (a k) = sen a tag (a k) = tag a ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos se dice que son complementarios cuando suman 90 0 : Si a + b = 90 0 cos b = cos (90 - a) = sen a sen b = sen (90 - a) = cos a tag b = tag (90 - a) = ctg a ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ángulos se dice que son suplementarios si suman : a + b = cos b = cos (180 - a) = - cos a sen b = sen (180 - a) = sen a tag b = tag (180 - a) = - tg a ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN : b = a cos b = cos (180 + a) = - cos a sen b = sen (180 + a) = - sen a tag b = tag (180 + a) = tg a ÁNGULOS OPUESTOS Dos ángulos son opuestos si suman o 0 0 cos (-a) = cos (360 - a) = cos a sen (-a) = sen (360 - a) = - sen a tag (-a) = tag (360 - a) = - tg a 4

5 S. Sexagesimal Radianes /6 5 /6 7 /6 11 /6 /6 Seno 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 Coseno 3 /2 3 /2 3 /2 3 /2 3 /2 tangente 1/ 3 = 3 /3 1/ 3 = 3 /3 1/ 3 = 3 /3 1/ 3 = 3 /3 1/ 3 = 3 /3 S. Sexagesimal Radianes /3 2 /3 4 /3 5 /3 /3 Seno 3 /2 3 /2 3 /2 3 /2 3 /2 Coseno 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 tangente S. Sexagesimal Radianes /4 3 /4 5 /4 7 /4 /4 Seno 2 /2 2 /2 2 /2 2 /2 2 /2 Coseno 2 /2 2 /2 2 /2 2 /2 2 /2 tangente RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA TEOREMA DE LOS SENOS Demostración: Para demostrarlo aplicamos la estrategia de la altura. Trazamos la altura h desde el vértice C. Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Por tanto Si trazamos la altura desde el vértice B, haciendo lo mismo, se obtiene: TEOREMA DEL COSENO a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C Demostración: Trazamos la altura, h, sobre el lado b: 5

6 HC = b AH = b c cos A Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos AHB y BHC y teniendo en cuenta las desigualdades anteriores, resulta: c 2 = h 2 + AH 2 c 2 = h 2 + (c.cosa) 2 c 2 = h 2 + c 2.cos 2 A h 2 = c 2 c 2 cos 2 A a 2 = h 2 + HC 2 a 2 = h 2 + (b c.cosa) 2 a 2 = h 2 + b 2 + c 2.cos 2 A 2.b.c.cosA Sustituimos h 2 a 2 = c 2 c 2 cos 2 A + b 2 + c 2.cos 2 A 2.b.c.cosA Despejando y ordenando: a 2 = b 2 + c 2 2 b c cosa De forma análoga se llegaría a las otras dos relaciones. ALGUNOS RESULTADOS ÚTILES El ángulo mayor es el opuesto al lado más grande y el ángulo menor es el opuesto al lado más pequeño. Al utilizar el Teorema de los senos se pueden obtener dos soluciones, o solo ser válida una de las dos. Altura de un triángulo: Área de un triángulo: 6