II. TRIGONOMETRÍA. A. ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS Un ángulo es la abertura que existe ebtre dos líneas que se cortan.

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1 II. TRIGONOMETRÍA La trigonometría se encarga del estudio de la medida de los triángulos, es decir de la medida de sus ángulos y sus lados. A. ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS Un ángulo es la abertura que eiste ebtre dos líneas que se cortan. Los ángulos positivos siempre se miden en el sentido opuesto de las manecillas del reloj, y los negativos en el sentido de las manecillas. Para medir los ángulos se tienen dos tipos de unidades: Grados seagesimales Radianes la relación entre los grados y los radianes es la siguiente grados seagesimales velta revolución 60 radianes cuando aparece el símbolo pi (π), quiere decir que el ángulo está en radianes. Para realizar conversiones de radianes a grados y viceversa, nuestra relación que no debemos olvidar es: 80 radianes 4

2 Ejemplos: a) Convertir 40 a radianes Primero observemos que: 80 ó 80 Entonces, como tenemos 40 los multiplicamos por uno y no se altera: OJO: No utilizamos pues: grados 8 es decir no se simplifican los grados seta seagesimales. 5 b) Convertir a grados Ahora sí, usamos la relación, pues como tenemos, para eliminar π 6 (radianes), debemos dividir por π, es decir: Ejercicios.- Convertir a) 0 radianes b) 5 radianes 5 7 c) grados d) 6 grados e) grados f) 560 radianes 5 g) 8 radianes h) 70 radianes i).4 radianes grados Una cantidad dividida entre ella misma resulta uno. 5

3 B. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Primero consideremos a los triángulos rectángulos (triángulos que tiene un ángulo recto, es decir de 90 ), en los cuales se cumple el ya conocido TEOREMA DE PITÁGORAS y las seis funciones trigonométricas definidas de la siguiente forma: para el ángulo α: cateto opuesto = a cateto opuesto = b para el ángulo β: cateto adyacente = b cateto adyacente =a Como podrás ver para un ángulo de un triángulo rectángulo su cateto opuesto es el lado que tiene enfrente de él. sen( cateto opuesto a ) hipotenusa c csc( ) hipotenusa c cateto opuesto a cos( cateto adyacente b ) hipotenusa c sec( ) hipotenusa c cateto adyacente b tan( cateto opuesto a ) cateto adyacente b cot( ) cateto adyacente b cateto opuesto a Recuerda tanto el teorema de Pitágoras como las seis funciones trigonométricas antes mencionadas sólo sirven para triángulos rectángulos, y para triángulos que no son rectángulos veremos más adelante dos leyes para resolverlos. De las anteriores funciones trigonométricas podemos observar que seno y cosecante son funciones recíprocas, es decir: sen( ) ó csc( ) csc( ) sen( ) Análogamente podemos decir: tan( ) ó cot( ) cot( ) tan( ) Y finalmente cos( ) ó sec( ) sec( ) cos( ) TEOREMA DE PITÁGORAS: c a b IDENTIFICA LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EN TU FORMULARIO 6

4 EJEMPLOS: a) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo Como se puede ver el triángulo es rectángulo, sin embargo el Teorema de Pitágoras no es posible utilizarlo pues se desconocen dos valores y y, entonces apliquemos por ejemplo la función coseno para el ángulo C ya que según el triángulo anterior tenemos: cateto adyacente cos(5 ) hipotenusa Despejando a ( )cos(5 ) 8.07, 8.07 cos(5 ) 0.89 Ahora para encontrar a y podemos aplicar el Teorema de Pitágoras o la función trigonométrica seno para el ángulo C, utilicemos la función seno primero: y cateto opuesto sen(5 ) 8.07 hipotenusa Despejando a y y sen(5 ) (8.07)sen(5 ) y(8.07)(0.575) y Bien, ahora encontremos el valor de y pero con el Teorema de Pitágoras y y y y6.09 y Finalmente para encontrar el ángulo D, tenemos C+D+90=80 D = , D= 55 (Recuerda que no se conocían ni y al inicio pero una vez encontrado ya se puede aplicar el teorema de Pitágoras) La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo mide 80 7

5 Como podrás notar entre más datos se van obteniendo al resolver un triángulo es más fácil ir encontrando el valor de las demás incógnitas Recuerda: En tu calculadora observa las teclas j, k y l las cuales tienen en su parte superior a sus funciones inversas J, K y L respectivamente que funcionan de la siguiente manera: Si sen(0 ) = 0.5, entonces sen - (0.5) = 0 Si cos(45 )= , entonces cos - ( ) = 45, para que obtengas las inversa de una función en tu calculador primero se teclea en la parte superior izquierda de ésta la tecla inv o nd o una tecla de color naranja en algunos casos EJERCICIOS.- Considera el siguiente triángulo rectángulo y contesta los incisos a) C = 4.7 y = 7 D=? =? z =? b) D = 58 = 98 C=? y =? z =? c)= y= 7 z =? C=? D=? d)z=8 y= 6 =? C=? D=? 8

6 Resuelve los siguientes problemas.-una torre de 40 metros de altura está situada en la orilla de un lago. Desde la punta de la torre el ángulo de depresión de un objeto en la orilla opuesta del lago es de 0 Cuál es el ancho del lago?.-encuentre la altura de un edificio si a 8.66 metros de su base, el ángulo entre el suelo y la azotea del edificio es de 60..-Un puente sobre un río tiene 00 metros de largo. Las dos secciones del puente rotan hacia arriba formando un ángulo de 0 para dar paso a los barcos. Un motociclista quiere saltar de una sección a otra, él sabe que puede dar saltos hasta de 0 metros, puede el motociclista saltar de un lado al otro, sin peligro? 9

7 C. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Para resolver un triángulo que no es rectángulo, ya no nos sirve el Teorema de Pitágoras ni las seis funciones trigonométricas que ya conocemos, ahora tenemos a la LEY DE LOS SENOS y la LEY DE LOS COSENOS que dicen lo siguiente: Observa que en el triángulo siguiente, el lado a se pone enfrente del ángulo A, enfrente del lado b se pone el ángulo B y enfrente del lado c se pone el ángulo C. LEYES DE LOS SENOS a b c sen A sen B senc sen A sen B senc a b c Se necesita tener ángulos y un lado ó lados y un ángulo LEYES DE LOS COSENOS a b c ( b)( c)cos A b a c ( a)( c)cosb c a b ( a)( b)cosc Se necesita tener dos lados y el ángulo entre dichos ángulos o los tres lados. EJERCICIOS.- Resuelve los siguientes triángulos que no son rectángulos (ley de los senos y ley de los cosenos): (a) a = 8, b= 5, A = 54 (b) a = 6, b =, B = (c) b =, c = 4, C = 4 (d) a = 6, b = 8, c = 0 (e) a = 7, c = 0, B = 7 (f) a =, b = 0, c = 5 0

8 D. ALGUNOS VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS DE 0, 45 Y 60 Como ya lo sabes en un triángulo rectángulo tenemos: como hay un ángulo de 90, el triángulo se llama rectángulo Ahora consideremos un triángulo isósceles cuyos lados midan unidades (pudieran ser de,4,5,, etc unidades) Si lo dividimos a la mitad con una línea vertical obtenemos lo siguiente lado más grande del triángulo Recuerda: Para cualquier triángulo, al sumar sus ángulos interiores resulta 80 por el teorema de Pitágoras tenemos: 4 Ahora recordemos nuestra definición de seno coseno y tangente c.o. c.a. c.o. ( sen, cos, tan ), entonces de nuestro triángulo rectángulo escribimos: h h c.a. c.o. sen0 hipotenusa cos0 tan0 c.a. hipotenusa c.o. c.a.

9 si de la misma manera encontramos el valor de las funciones trigonométricas pero para el ángulo de 60 tenemos en resumen: θ 0 60 Seno Coseno Tangente Para el ángulo de 45 se considera un cuadrado cuyos lados sean y se divide a la mitad con una diagonal, teniéndose nuevamente un triángulo rectángulo: entonces: sen45 cos45 tan45 cateto opuesto hipotenusa cateto adyacente hipotenusa cateto opuesto cateto adyacente por Pitágoras:

10 En resumen: θ Seno Coseno Tangente Además, con tu calculadora verifica que: sen00 cos0 tan00 sen90 cos900 tan90n.e. (no eiste) E. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Una identidad trigonométrica es aquella en la que se puede tener cualquiera de las seis razones trigonométricas, seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, y donde su veracidad depende de quién la esté comprobando, para determinar si se cumple o no la igualdad analizada utilizando identidades trigonométricas básicas que las puedes encontrar en tu formulario y son: Elementales: tan sen cos cot cos sen csc ó sen sen csc cot ó cot tan tan sec ó cos cos sec Pitagóricas: sen cos tan sec cot csc Ejemplo: demostrar las siguientes identidades trigonométricas. a) tan csc sec

11 Es decir, tan csc sec sen cos sen = cos sen cos sen? cos cos cos Siempre se tiene que sustituir todas las razones trigonométricas que aparecen en la igualdad por senos y cosenos. Claramente la igualdad es obvia, por tanto la identidad está demostrada. b) sen csc tan cos sen Primero sustituimos a csc por y a tan por, es decir, sen cos sen csc tan cos sen sen cos sen cos sen sen cos sen cos sen sen Igual que en ejemplo anterior es obvio que sen sen c) sen cos cos En este caso ya todo tiene senos y cosenos, por tanto, de la identidad pitagórica sen cos despejamos a sen quedando: sen cos Sustituyendo en nuestra identidad:? sen cos cos cos cos cos esto es una diferncia de cuadrados? Aún no sabemos si la igualdad es cierta. cos cos cos cos La igualdad es fácil de entender. 4