INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO AGRICOLA JORNADA DIURNA GUÍA DE TRABAJO # 9 AREA: MATEMÁTICAS AGISNATURA: ARITMÉTICA GRADO: SEXTO

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1 AREA: MATEMÁTICAS AGISNATURA: ARITMÉTICA GRADO: SEXTO Instrucciones. Lee cuidadosamente los conceptos, los ejemplos y desarrolla los ejercicios propuestos. No olvides guardar esta guía de trabajo en tu carpeta. TEMA: FRACCIONARIOS Concepto de fracción: Una fracción es una expresión de la forma a donde a y b son números naturales. b Por ejemplo, expresiones como, y reciben el nombre de fracciones. Elementos de una fracción: Toda fracción está compuesta por tres elementos: El denominador, es el número de partes iguales en que se divide una determinada unidad. El numerador, es el número de partes que se toman de la unidad que ha sido dividida. El vínculo o barra, es la línea que separa el numerador del denominador. Por ejemplo, en la fracción, recibe el nombre de denominador y significa que la unidad ha sido dividida en partes iguales; recibe el nombre de numerador y significa que han sido tomadas de las partes en que se ha dividido la unidad. En la siguiente figura, la parte sombreada representa la parte tomada de la fracción Numerador Denominador Representación gráfica de fracciones: Para representar gráficamente cualquier función se elige cualquier figura geométrica, luego se divide tantas veces como diga el denominador (partes iguales) y luego se sombrean tantas partes como indica el numerador. EJERCICIO. Representar gráficamente las siguientes fracciones: a. SOLUCIÓN. Se elige una figura geométrica cualquiera. Se divide la unidad en cinco partes iguales.

2 Se sombrean tres partes. INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO AGRICOLA b. SOLUCIÓN. Se elige una figura geométrica cualquiera. Se divide la unidad en partes iguales Se sombrean cinco partes. EJERCICIO. Representar gráficamente las siguientes fracciones: a. 7 b. c. d. 7 a. 7 b.

3 c. 7 INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO AGRICOLA d. _ EJERCICIO. Ahora tú, representa gráficamente las siguientes fracciones. a. b. c. d. EJERCICIO. Representar gráficamente las siguientes fracciones. a. SOLUCIÓN. Se hace el procedimiento anterior. Pero, como una no alcanza para tomar es necesario hacer dos de estas mismas para poder tomar las partes que son. b. 7 c.

4 EJERCICIO. Ahora tú, representa gráficamente las siguientes fracciones. a. b. c. d. EJERCICIO. Indicar la fracción representada por la región sombreada en cada una de las siguientes figuras: a. b. En cada figura se cuentan la cantidad de partes sombreadas que hay, ese número es el numerador y se cuenta la cantidad de partes divididas que hay en una sola figura, ese es el denominador. c. d. EJERCICIO. Ahora tú, indica la fracción representada por la región sombreada en cada una de las siguientes figuras: a. b. c. d.

5 TALLER PARA DESARROLLAR INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO AGRICOLA ) EJERCITACIÓN. Representar gráficamente cada una de las siguientes fracciones. a. b. c. 7 d. e. 7 f. 7 g. h. i. ) EJERCITACIÓN. Indicar la fracción representada por la región sombreada en cada una de las siguientes figuras: a. b. c. d. e. f.

6 ) PROBLEMA. Resolver. INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO AGRICOLA a. La parte de color, representa la cantidad de oro de dos joyas. Joya A Joya B Qué fracción de la joya A no es de oro? Rta: Qué fracción de la joya B es de oro? Rta: b. Se está remodelando el piso de la sala de la figura siguiente. Las sombreadas son las baldosas puestas. Qué fracción representan las baldosas puestas hasta el momento? Rta: Qué fracción representan las baldosas que faltan por poner? Rta: Fracción de un número: Para hallar la fracción de un número se debe dividir dicho número entre el denominador de la fracción y luego, multiplicar el resultado por el numerador respectivo. EJEMPLO: En un grupo de estudiantes se sabe que las partes aprobaron matemáticas, entonces, para conocer cuántos estudiantes aprobaron la signatura, se deben tener en cuenta los siguientes pasos:. Se divide el número de estudiantes por como lo indica el denominador. Así, =.. Se multiplica en anterior resultado por como lo indica el numerador. x = Rta: de los estudiantes aprobaron matemáticas. EJERCICIO: Calcular. a. de b. de SOLUCIÓN: ( ) x = x = ( ) x = x = EJERCICIO. Ahora tú, Calcular a. de b. de

7 c. 7 de d. de EERCICIO. Continúa tú, resuelve. a. En un acuario hay peces, de ellos son peces azules cuántos peces azules hay en el acuario? Rta: b. En un colegio hay estudiantes, de ellos partes son mujeres cuántos hombres hay? Rta: c. En una caja hay colores, de ellos son rojos Cuántos colores rojos hay en la caja? 7 Rta: d. En una ciudad hay. motos, de ellas son dos tiempos Cuántas motos dos tiempos hay? Rta: e. En un rectángulo, la medida de la altura es de la medida de la base. Si la base mide 7 cm, cuál es el área del rectángulo? Rta: f. En un salón hay estudiantes, de ellos son mujeres. cuántos hombres hay en el salón? Rta: g. En una jaula hay aves, de ellas son turpiales, los demás son pericos. cuántos pericos hay? Rta:

8 TALLER PARA DESARROLLAR INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO AGRICOLA ) EJERCITACIÓN. Completar la siguiente tabla. de de de de de 7 ) RAZONAMIENTO. Escribir si la afirmación es verdadera, y x si es falsa. a. es de b. de es 7 7 c. es de d. de > de e. es de f. de < de g. 7 es de 7 h. de > de 7 ) PROBLEMAS. Resolver. a. A mi almacén llegaron docenas de camisas de ellas, son de la selección Colombia, las demás no. cuántas camisas de la selección llegaron? Rta: b. En una conejera hay 7 conejos, de ellos son machos Cuántos conejos machos hay en la conejera? Rta: c. En un estadio hay hinchas, de ellos 7 son hinchas del Nacional, los demás son hinchas del Junior cuántos hinchas del Junior hay? Rta: d. En una perrera hay perros, de ellos son buldog, son Akitas, son labradores, los demás son freshpudoll cuántos freshpudoll hay en la perrera? Rta:

9 e. Un estudiante debe resolver problemas. Si el primer día resuelve y el siguiente día de los problemas que quedan, cuántos problemas le faltan por resolver? Rta: f. Si a una persona le deben 7 de $. y sólo le cancelan de esa deuda. Cuánto dinero le quedan debiendo? Rta: g. En una finca de hectáreas se cultivan, se arriendan y el resto está a la venta. Cuántas hectáreas están a la venta? Rta: Clases de fracciones. Las fracciones se clasifican en: Fracciones propias: son fracciones menores que la unidad. En ellas el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo, es una fracción propia. Fracciones unidad: son fracciones iguales a la unidad. En ellas el numerador es igual al denominador. Por ejemplo, es una fracción unidad. Fracciones impropias: son fracciones mayores que la unidad. En ellas el numerador es mayor que el denominador. Por ejemplo, es una fracción impropia. Fracciones enteras: son fracciones que representan números naturales mayores que la unidad. En ellas el numerador es múltiplo del denominador. Por ejemplo, es una fracción entera donde =. EJERCICIO. La siguiente tabla muestra el recorrido de una tortuga durante cuatro días: Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes m m m m m Distancia en metros a. Qué días la tortuga recorrió menos de un metro? b. Qué días recorrió exactamente un metro? c. Qué días recorrió más de un metro? SOLUCIÓN a. y son fracciones propias menores que la unidad. Por lo tanto, el lunes y el viernes la tortuga recorrió menos de un metro.

10 b. es una fracción unidad. Por lo tanto, el martes la tortuga recorrió exactamente un metro. c. es una fracción impropia y es una fracción entera, ambas mayores que mayores que la Unidad. Por lo tanto, el miércoles y el jueves la tortuga recorrió más de un metro. Números mixtos: Es posible representar una fracción impropia como la suma de un número natural y una fracción propia. Por ejemplo, para convertir la fracción en número mixto, se divide el numerador en el denominador respectivo. Así, Luego, = denominador Un número mixto está formado por: parte entera parte entera numerador numerador denominador EJERCICIO. Convertir las siguientes fracciones a números mixtos. a. = = b. = 7 = 7 7 c. 7 = 7 = d. 7 = 7 = EJERCICIO. Ahora ti, convierte las siguientes fracciones a números mixtos. a. b. c. d. Conversión de un número mixto a una fracción. Para convertir un número mixto a una fracción impropia, se multiplica la parte entera por el denominador de la parte fraccionaria y se le suma el numerador. Este resultado corresponde al numerador de la fracción impropia. El denominador es el mismo que el de la parte fraccionaria. EJEMPLO, = ( x ) + = + = 7 el denominador nunca cambia. EJERCICIO. Convertir los siguientes números mixtos a fracciones: a. 7 = ( x ) + 7 = + 7 = b. 7 = (7 x ) + = + = c. = ( x ) + = + =

11 EJERCICIO. Ahora tú, convierte los siguientes números mixtos a fracciones: a. = 7 b. = c. = d. = TALLER PARA DESARROLLAR ) EJERCITACIÓN. Convertir las siguientes fracciones a números mixtos. a. b. 7 c. d. ) EJERCITACIÓN. Convertir los siguientes números mixtos a fracciones. a. = b. = c. = d. 7 = e. =

12 ) EJERCITACIÓN. Buscar la salida del laberinto, siguiendo las fracciones que se puedan expresar como número mixto ) RAZONAMIENTO. Encerar la fracción que corresponde a cada frase. a. Siete libras y un cuarto de papa. b. Diez kilos y medio de arroz. c. El perro de Xiomara pesa kilos y medio. 7 d. Margarita pesa libras y dos cuartos ) PROBLEMA. El señor Rojas quiere cercar tres terrenos iguales y para esto cuenta con de malla. Cuántos metros de malla le hacen falta para terminar de cercar sus terrenos? m

13 Representación de fracciones sobre la recta numérica. Para representar fracciones sobre la recta numérica, se deben tener en cuenta los siguientes pasos:. Se traza una recta numérica a partir del número y se localizan los números naturales.. Se divide cada unidad en tantas partes como indique el denominador de la fracción.. Desde el número se cuentan tantas partes como lo indique el numerador de la fracción y se marca un punto. Dicho punto, es la representación del fraccionario en la recta numérica. EJEMPLO: Representar sobre la recta Se traza la recta: Se divide cada unidad en partes como lo indica el denominador (la última raya debe quedar en el lugar de cada número): Se cuentan rayas a partir de la primera que se marco y se ubica el punto que representa : EJERCICIO. Representar cada fracción sobre la recta numérica. a. b. c. d. e.

14 EJERCICIO. Ahora tú, representa cada fracción sobre la recta numérica. a. b. 7 c. d. e. 7 7 f. Representación de números mixtos sobre la recta numérica: Para representar un número mixto sobre una recta numérica se debe tener en cuenta que la parte entera indica la cantidad de unidades completas que se deben tomar en la recta y la parte fraccionaria es lo que se debe tomar enseguida de la parte entera. EJEMPLO: Representar sobre la recta Se traza la recta: Se toman unidades completas como lo indica la parte entera del número mixto:

15 Desde ahí se divide la unidad en partes y se toman como lo indica la fracción. EJERCICIO. Representar cada número mixto sobre la recta numérica. a. b. c. d. EJERCICIO. Ahora tú, representa cada número mixto sobre la recta numérica. a. b. c. d.

16 TALLER PARA DESARROLLAR INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO AGRICOLA ) EJERCITACIÓN. Representar cada fracción sobre la recta numérica. a. b. 7 7 c. d. e. f. 7 g. h. i. j.

17 ) EJERCITACIÓN. Representar cada número mixto sobre la recta numérica. a. _ b. 7 c. d. e. f. g. h. i. 7 j. k.

18 ) EJERCITACIÓN. Escribir el número representado en la recta numérica. a. b. c. d. e. f. Fracciones equivalente. Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte de la unidad, es decir son iguales. Por ejemplo, las fracciones y son equivalentes como se ve en las figuras: = = Si dos fracciones son equivalentes, se debe cumplir que el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, debe ser igual al producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. Esto es, a = c si se cumple que a x d = b x c b d EJEMPLO: = (se multiplican en x) x = x = son equivalentes. EJERCICIO. Determinar si cada par de fracciones son equivalentes. a. y b. y c. y x = x x = x x = x = = = Son equivalentes son equivalentes no son equivalentes

19 EJERCICIO. Ahora tú, determina si cada par de fracciones son equivalentes. a. _ y _ b. y 7 c. y d. y e. y f. y 7 Para hallar fracciones equivalentes a una determinada fracción, se utilizan los procesos de complificación y simplificación. Complificación de fracciones: Este proceso consiste en hallar fracciones equivalentes a una fracción dada, multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número. EJEMPLO: Para hallar fracciones equivalentes de, se multiplica el numerador y el denominador por cualquier número diferente de. Así, x = x x 7 = x 7 x = x Es decir,, y son fracciones equivalentes a la fracción EJERCICIO. Hallar fracciones equivalente para cada una de las siguientes fracciones. a. = (x) = = (x) = = (x) = b. = (x) = = (x) = = (x) = 7 c. = (x) = = (x) = = (x) = d. 7 = (x) = = (x) = = (x7) =

20 EJERCICIO. Ahora tú, halla fracciones equivalente para cada una de las siguientes fracciones. a. 7 = b. = c. = d. = Simplificación de fracciones: Este proceso consiste en hallar fracciones equivalentes a una fracción dada, dividiendo el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número. Toda fracción se puede simplificar a su mínima expresión, es decir, a una expresión cuyo numerador y denominador sean primos relativos. A esta expresión se le llama fracción irreducible. EJEMPLO: Para hallar fracciones equivalentes a, se divide el numerador y el denominador entre un factor común diferente de. Así, = = = = En este caso, y son fracciones equivalentes a, además es la fracción irreducible. EJERCICIO. Hallar las fracciones equivalentes hasta encontrar la fracción irreducible de: a. = = = = _ fracción irreducible. = = b. _ = = = = = fracción irreducible. = = = c. = = = 7 = 7 fracción irreducible. = 7 = d. = = = 77 = 77 fracción irreducible = = 7 7 EJERCICIO. Ahora tú, halla las fracciones equivalentes hasta encontrar la fracción irreducible de: a. _7 = b. = c. _ =

21 TALLER PARA DESARROLLAR ) EJERCITACIÓN. Relacionar cada fracción con una fracción equivalente a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( ) e. ( ) f. ( ) g. ( ) h. ( ) i. ( ) ) EJERCITACIÓN. Escribir sobre la recta numérica la fracción que corresponde al punto dado. Luego, escribir dos fracciones que coincidan en el mismo punto. a. b. c. d. e. f. ) RAZONAMIENTO. Determinar, en cada caso, el número por el cual se complifica cada fracción de la izquierda. a. = ( ) b. = ( ) c. = 7 d. = ( ) e. = ( ) f. =

22 ) RAZONAMIENTO. Encerar la fracción que no es equivalente a las demás. a.,,,,, b. 7,,,,, c.,,,,, 7 d.,,,,, ) RAZONAMIENTO. Unir cada fracción con su fracción irreducible ) EJERCITACIÓN. Remplazar cada variable por un número para que la igualdad se cumpla. a. _7 = _x_ b. = c. _z_ = y d. = _w e. 7 = f. 7 = _ 7 u t 7

23 Orden en las fracciones: Al comparar dos fracciones, se puede cumplir una y sólo una de las siguientes relaciones:. a es menor que c es decir, a < c b d b d. a es mayor que c es decir, a > c b d b d. a es igual que c es decir, a = c en este caso las fracciones son equivalentes. b d b d De igual forma, al comparar dos fracciones se puede presentar que las fracciones tengan igual denominador, igual numerador o diferente numerador y denominador. Para ello, se deben tener en cuenta los siguientes criterios: Fracciones con igual denominador. Al comparar dos fracciones con igual denominador, es mayor la que tiene numerador mayor. EJEMPLO: > pues > < pues < EJERCICIO: Determinar la relación de >, < o = en las siguientes pares de fracciones. > pues > 7 > pues 7 > < 7 pues < 7 > pues > 7 7 EJERCICIO: Ahora tú, determina la relación de >, < o = en las siguientes pares de fracciones Fracciones con igual numerador. Al comparar dos fracciones con igual numerador, es mayor la que tiene denominador menor. EJEMPLO: > pues < 7 7 EJERCICIO. Determinar la relación >, < o = en las siguientes pares de fracciones. > pues < < pues > < pues 7 > > pues < 7 EJERCICIO. Ahora tú, determina la relación >, < o = en las siguientes pares de fracciones.

24 Fracciones con diferente numerador y denominador. Al comparar dos fracciones con diferente numerador y denominador, se debe Complificar cada fracción al común denominador y, luego, comparar sus numeradores. EJEMPLO: Para determinar la relación de orden entre y 7 se procede de la siguiente manera. Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores. Así, mcm(, ) = x = Se complifica cada fracción al común denominador hallado. Esto es x = 7 x = x x Se comparan los numeradores de la fracción complificada y se determina la relación de orden correspondiente. Así, < pues < luego < 7 EJERCICIO. Determinar la relación de orden entre las siguientes fracciones. a. 7 y se halla mcm(, ) = mcm(, ) = x = 7 x = x = > luego 7 > x x b. y se halla mcm(7, ) = 7 mcm(7, ) = x 7 = x = x7 = < luego < 7 x x 7 7 c. _ y _ se halla(, ) = mcm(, ) = x x = _ x = _ < _ luego < x

25 EJERCICIO. Ahora tú, determina la relación de orden entre las siguientes fracciones. a. 7 b. c. _ PROBLEMA RESUELTO. En una carrera de atletismo Paco recorre de Km, Luis de Km y Hugo de Km. Qué competidores recorrieron la menor y la mayor distancia? SOLUCIÓN: Para saber qué competidores recorrieron la menor distancia, se deben ordenar las fracciones de menor a mayor. Para ello, se amplifica cada fracción al común denominador. Así, mcm(,, ) = x = x = x x Se comparan los numeradores de las fracciones amplificadas y se determinan la relación de orden correspondiente. Así, < < pues < < Así, < < Luego, Hugo recorrió la menor distancia y Luis recorrió la mayor distancia.

26 Adición y sustracción de fracciones: Para sumar o restar dos o más fracciones se deben tener en cuenta los siguientes casos: Para sumar o restar dos o más fracciones con igual denominador se deja el mismo denominador y se suman o se restan los numeradores. EJEMPLO: 7 + = 7 + = - = = EJERCICIO. Resolver las siguientes operaciones. a. + = + = b. + = + = c. - = = d. - = = EJERCICIO. Ahora tú, resuelve las siguientes operaciones. a = b. + 7 = c. 7 - = d. 7 - = Para sumar o restar dos o más fracciones con diferente denominador, basta con Complificar cada fracción al común denominador para luego, sumar o restar los respectivos numeradores. EJEMPLO: 7 - = se halla el mcm(, ) = mcm(, ) = x = 7 x = x = Luego, - = = x x EJERCICIO. Resolver las siguientes operaciones. a. + = se halla el mcm(, ) = mcm(, ) = x = x = Luego, + = + = x b. 7 - = se halla el mcm(, ) = mcm(, ) = x x =

27 7 x = x = 7 Luego, - 7 = 7 = 7 x x c. - - = se halla el mcm(,, ) = mcm(,, ) = x = x = x = x = Luego, = = x x x d = se halla el mcm(, ) = mcm(, ) = x = x = 7 x = x = Luego, + + = + + = x x x EJERCICIO. Ahora tú, resolver las siguientes operaciones. a. + = b. 7 + _ = c. + _7 _ =

28 d. + = INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO AGRICOLA TALLER PARA DESARROLLAR. EJERCITACIÓN. Resolver las siguientes operaciones. Luego, simplificar si es posible. a. + 7 = b. + + = c. + + = d. + + = 7 e. =. RAZONAMIENTO. Unir con líneas cada operación con su resultado. a. + = b. + = 7 c. - + = 7 d. + - =

29 . EJERCITACIÓN. Marcar con las operaciones que son correctas y una x las que no lo son. a = 7 b. - + = c = d = 7 e. - + = f. - + = 7 Multiplicación de fracciones. El producto de dos o más fracciones es otra fracción, la cual es el resultado de multiplicar los numeradores entre si y los denominadores entre sí. EJEMPLO: x = x = se multiplica numerador con numerador 7 x 7 se multiplica denominador con denominador x = x 7 = x = x = 7 EJERCICIO. Resolver las siguientes operaciones. a. x = b. x = c. x = 7 7 d. x = e. x = f. x =. 7. EJERCICIO. Ahora tú, resuelve las siguientes operaciones. a. x = b. x = c. x = d. x = e. x = f. x = En algunos casos, es conveniente simplificar factores comunes presentes en el numerador y el denominador de cada fracción, con el fin de que la fracción resultante sea irreducible. EJEMPLO: Para efectuar x x se procede de la siguiente manera: 7 x x = x x = x x = x x = = =

30 TALLER PARA DESARROLLAR INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO AGRICOLA ) EJERCITACIÓN. Completar la siguiente tabla. x 7 ) EJERCITACIÓN. Efectuar los siguientes productos y simplificar la fracción resultante en cada caso. a. x = b. x x = c. 7 x x = 7 ) EJERCITACIÓN. Simplificar los factores comunes y, luego, efectuar el producto de las siguientes fracciones: a. x = b. x x = c. _ x x =