UNIDAD 3. La derivada. Objetivos. Al terminar la unidad, el alumno:

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1 UNIDAD La derivada Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Calculará la derivada de funciones utilizando el álgebra de derivadas. Determinará la relación entre derivación y continuidad. Aplicará la derivada en situaciones de administración, economía y ciencias sociales.

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3 Matemáticas Introducción El problema fundamental de los procesos económicos que se modelan la función. Si se trata de un problema de costos, se quiere conocer el costo mínimo y el valor para el cual se produce; si se trata de ingresos o de utilidades se quiere saber cuándo se produce su máimo valor y a cuánto asciende este valor. En esta unidad se presenta el concepto de derivada y su interpretación geométrica, la cual nos permitirá aplicar la derivada no sólo en problemas de optimización, sino que la convierte en una herramienta para la elaboración de los de derivada es a través de un ejemplo de optimización de utilidades, el cual nos un desarrollo del álgebra de las derivadas, en el que se presenta una serie de métodos para calcular la derivada de funciones, como la suma, la resta, el producto o el cociente de otras funciones... Definición geométrica de la derivada En los problemas de optimización es importante tener claridad con respecto manera geométrica, por ejemplo, el valor óptimo de venta de cierto artículo para obtener máimas utilidades. Para enfrentar esta clase de problemas con el uso de la tangente de una curva. De manera particular esta sección se inicia con un problema de optimización que permiten resolverlo. 7 Ejemplo Un fabricante produce balones de futbol a un costo de $00 por unidad. Los balones se venden en el comercio a $00 cada uno. Con este precio se venden

4 Unidad 000 balones al mes. El productor no puede aumentar su producción y decide aumentar el precio de los balones para acrecentar sus ingresos. Como es de vendidos. De hecho, el fabricante sabe que por cada $0 de aumento se venderán 00 balones menos. La pregunta que se hace es, cuál es el precio al que debe vender los balones para obtener las mayores utilidades? Solución: las utilidades se obtienen multiplicando el número de balones vendidos y la ganancia obtenida en cada balón, es decir: Utilidad = (número de balones vendidos) (ganancia en cada balón) Los datos que nos interesa utilizar son: (i) Con estos datos tenemos que: 8 Al aumentar el precio en $0 la venta disminuye a balones. Si el aumento es de n veces $0, la venta será de (n) balones, por lo tanto ésta es la cantidad de balones vendidos. Si el nuevo precio es, el aumento será y si lo dividimos entre 0, que es el aumento para que se disminuyan 00 balones, entonces obtendremos el valor de n (número de veces que aumento 0 pesos): n 00 0 Por lo tanto el número de balones vendidos es = ( 00) = = (ii) A su vez la ganancia en cada balón está dada por (precio menos costo): 00 (iii) De esta forma, al sustituir las epresiones (ii) y (iii) en (i) obtenemos la epresión que nos da la utilidad obtenida en función del precio de venta: U() = ( )( 00) = =

5 Matemáticas Para obtener el precio de venta que produce la mayor utilidad observemos en la de venta en el que la ganancia del productor será la mayor. El precio óptimo es la coordenada U () (00, ) Figura.. podemos observar, la curva se puede caracterizar utilizando rectas tangentes a es horizontal. A la izquierda y a la derecha de este punto las rectas tangentes son inclinadas. Así, para determinar el valor óptimo de la función utilidad, necesitamos conocer el punto donde la recta tangente es horizontal, es decir, la recta tangente cuya pendiente es cero. Pendiente de la recta tangente a una curva que uno de los elementos teóricos a conocer es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. 9 curva en un punto, desde el planteamiento intuitivo de lo que es esta recta en un punto P de un círculo. Pues bien, es la recta perpendicular al radio que pasa por el punto P

6 Unidad y P Figura.. Como se señaló en el ejemplo anterior, se tiene que de manera intuitiva una recta es tangente a una curva en un punto P si la toca solamente en ese punto. maneras de trazarlas. y y y P P P Figura.. Recta tangente a una curva en un punto. 0 sea aplicable cuando la curva sea dada a través de su epresión algebraica. Desde esta perspectiva se tiene que la ecuación de una recta está determinada si se conoce su pendiente y las coordenadas de un punto cualquiera que pertenezca a la recta. Es decir, si m es la pendiente de la recta y P( 0, y 0 ) es un punto de la recta, su ecuación tiene la forma: y y 0 = m( 0 )

7 Matemáticas Para este caso el punto P es conocido, sólo se requiere el valor m de la pendiente para determinar la ecuación. tomar puntos Q cercanos a P la recta secante que pasa por P y Q, Q a P y la recta que se obtiene es la recta tangente a la curva en el punto P. En otras palabras la idea una secante se obtiene una tangente. La recta tangente en el punto P no sería entonces más que el límite de las rectas secantes que pasan por P y por puntos cercanos a P. f() P Q rectas secantes Figura.4. Acercamiento por rectas secantes al punto de tangencia..5, se determinan primero las coordenadas del punto cercano. f() f ( 0 + ) f ( 0 ) ( 0, f( 0)) P Q ( 0 +, f ( 0 + )) y Figura.5. y = f(). Luego se denota el incremento en la abscisa mediante el símbolo, que es la variación de la coordenada entre el punto dado P y el punto cercano Q. La abscisa del punto cercano es 0 + y como el punto está situado sobre la f (), su ordenada es f( 0 + ).

8 Unidad De este modo y es el incremento en la ordenada f( 0 + ) f( 0 ), y la pendiente de la recta secante puede calcularse utilizando la fórmula para calcular la pendiente de una recta. y f ( 0 ) f ( 0 ) Pendiente de la recta secante Entonces se tiene que la pendiente de la recta tangente será el número al que se aproima este cociente cuando se aproima a cero, es decir Q P. La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P( 0, f( 0 )) está dada por el límite: f ( ) ( ) 0 f 0 0 () Ejemplo f() = en el punto (, )? Solución: función dada, procedemos de la siguiente forma: a) Hallamos la pendiente de la recta secante en el punto +, como se Pendiente de la recta secante = f ( ) f ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( ) Pendiente de la recta secante = +

9 Matemáticas b) Hallamos el límite de la pendiente de la secante cuando tiende a cero: ( ) 0 Por lo tanto, en el punto (, ) la pendiente de la tangente es. f() ( +, f ( + ) ) (, ) ( + ) Figura.6. y = y de una secante cercana al punto (, )... Definición de la derivada con límites Se ha estudiado la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto, pues bien, la función obtenida es denominada la derivada de f y está representada por el símbolo f que se lee: f prima f (): La derivada de f en 0 es f f f ( ) ( ) ( ) () 0 la pendiente de la recta tangente en el punto ( 0, f( 0 )). () para y f ( 0 ) () 0 Se puede concebir la derivada desde otro punto de vista tal como se muestra ():., y son los incrementos de las variables, y, respectivamente. Más eactamente un incremento en la variable produce un incremento y en la variable y.

10 Unidad y f ( ) f ( ). es la razón o tasa promedio de cambio de y con respecto a en el intervalo [, ]. Este valor dice qué tanto varía y por cada unidad de y cambio en. Por ejemplo, si y = cuando =, = =.5, es decir, y aumenta.5 unidades cuando se incrementa en unidad. y. De esta forma la derivada f ( ) puede interpretarse como la 0 razón o tasa instantánea de cambio de y con respecto a, en el punto. Precisamente una notación para la derivada que hace referencia a la tasa instantánea de cambio es dy que se lee: la derivada de y con respecto a. d Ejemplo y ( ) 0 dy d 0, se escribe: 4 Cuál es la derivada de la función y = + en cualquier punto de su dominio? f f Solución: f ( ) ( ) ( ) tenemos que: 0 dy f f y ( ) ( ) d 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

11 Matemáticas Es decir y dy d Ejemplo 4 Cuál es la razón de cambio (instantánea) de la función f() = en =? Solución: como la razón de cambio de una función es la derivada de la f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) 0 6 ( ) 0 f ( ) ( 6 ) 6 0 Por tanto, la razón de cambio en = es igual a f () = Ejemplo 5 Dada la curva de oferta O(p) = 5p de cierto artículo: a) Cuál es el cambio promedio en la oferta cuando el precio cambió de p = a p =4? b) A qué razón cambiará la oferta con respecto al precio de venta cuando p =? (cambio instantáneo) c) A qué razón porcentual cambiará la oferta con respecto al precio de venta cuando p=? Solución: a) El cambio promedio es: O( 4) O( ) 5( 4) 5( ) 4 b) La razón de cambio instantánea está dada por la derivada de la función en el valor considerado. Para calcular la derivada aplicamos la epresión () a la función O(p) = 5p, es decir: 5 5

12 Unidad O ( p) O( p p) O( p) 5( p p) 5p p 0 p p 0 p Continuando los cálculos en la misma forma que lo hicimos con los ejemplos y 4 se obtiene: O (p) = 0p y, por lo tanto, la razón instantánea de cambio es: O () = 0 = 0 precio cambia una unidad. p= la oferta cambia en 0 unidades cuando el c) La razón porcentual para cualquier función f() en el valor está dada por: 00 f ( ) f ( ) Para el caso que nos ocupa obtenemos: O ( ) O( ) % 45 % % es igual a pesos. Ejemplo 6 6 Retomamos el ej empl o de mai mi zaci ón de l as uti l i dades del f abr i cant e de bal ones, el cual est á dado por l a f unci ón U ( ) 0( 500 )( 00) , donde es el precio al que se venden los balones. El objetivo es hallar el precio de la venta que maimiza las utilidades. Solución: por el análisis gráfico que hicimos anteriormente sabemos que el valor de que maimiza la utilidad U() es el valor cuya tangente es paralela al eje. Es decir, es el valor donde la derivada de la función se anula (igual a cero). a la función utilidad U ( ) 0( 500 )( 00)

13 Matemáticas f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 0 Por lo tanto la derivada de la función utilidad es: U ( ) U ( ) U ( ) o 0( ) 6 000( ) ( ) 0 0( ) ( ) [ ( ) ] ( ) 6 000( ) 0 [ ] 0 = Se tiene que U () = Entonces para conocer el valor de, se iguala la derivada de la función utilidad a cero: = 0 Se determina el valor óptimo al conocer el valor de, es decir: , De las operaciones anteriores vemos que = 00 y podemos observar en la

14 Unidad U () (00, ) Figura.7. Ejercicio. Calcula la tasa de cambio instantánea de la siguiente función en cualquier 8 punto de su dominio f ( ).. Dada la curva de oferta O(p) = 6p + 0 de cierto artículo: a) Cuál es el cambio promedio en la oferta cuando el precio cambió de p = 0 a p =? b) A qué razón cambiará la oferta con respecto al precio de venta cuando p = 0? c) A qué razón porcentual cambiará la oferta con respecto al precio de venta cuando p = 0?. Las funciones lineales f() = m + b una línea recta, siendo su pendiente el valor m. derivada demuestra que la razón de cambio instantánea es el mismo valor m, y da una eplicación para esta igualdad. 4. Un fabricante sabe que al vender su producto en pesos obtiene un ingreso dado por la función I() = , pero no se sabe a qué precio debe vender su producto para obtener la mayor cantidad de ingresos. Ayuda al fabricante a obtener el precio óptimo. 5. y = y utiliza la derivada para determinar su vértice.

15 Matemáticas 6. Dada la función g( t), calcula su derivada en cualquier valor t y t t = /... Álgebra de derivadas Igual que con los límites, ahora se determinan fórmulas para calcular las derivadas. Es decir, se calcula la derivada de ciertas funciones básicas y después con la ayuda del álgebra de derivadas se puede obtener la derivada de las funciones más conocidas. La derivada de una función constante La derivada de una función constante es cero. Veamos por qué: sea la función f () = c y calculando su derivada en cualquier punto f ( ) f ( ) f ( ) c 0 0 La derivada de la función idéntica c 0 La derivada de la función idéntica es igual a. Ya que la función idéntica tiene la forma f() =, de derivada y se tiene: f f f ( ) ( ) ( ) ( ) La derivada de la suma y resta de funciones 0 (f ± g) () =f () ± g () Se tiene que la derivada de una suma o de una resta de funciones es la suma o resta de sus derivadas. 9

16 Unidad La derivada del producto de funciones (f g) () = f() g () + g() f () La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera función. La derivada del cociente f g ( ) g( ) f '( ) f ( ) g ( ) [ g( )] La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo esto dividido por el cuadrado del denominador. Ejemplo 7 Cuál es la derivada de f() =? Solución: como f() = se trata del producto de la función idéntica por sí misma, por lo tanto aplicando la derivada del producto de dos funciones y la derivada de la función idéntica: f () = + = Ejemplo 8 Cuál es la derivada de f() =? 40 Solución: como f() = se trata de la derivada de la función del ejemplo 7 y de la idéntica, luego: f () = + = La derivada de una potencia Observando las epresiones para las derivadas obtenidas en los ejemplos anteriores no es difícil convencerse de la veracidad del siguiente resultado.

17 Matemáticas La derivada de la función f() = n donde n es cualquier número real está dada por la epresión: f ( ) n n Es decir, la derivada de una potencia es igual al producto del eponente multiplicado por la variable con el eponente disminuido en. Ya sin problemas para derivar potencias podemos preguntarnos, qué sucede con la derivada si la potencia está multiplicada por una constante? Ejemplo 9 Cuál es la derivada de la función f() = 0 5? Solución: aplicando la epresión para la derivada de un producto y recordando que la derivada de una constante es cero, se tiene que: f () = = 50 4 La derivada de una función por una constante La derivada de una función por una constante es la constante por la derivada de la función. [kf ()] =kf () En particular si g() = c n con c constante, su derivada es g () = cn n c constante Ejemplo 0 Cuál es la derivada de f() = ? Solución: se determina la derivada de cada una de las potencias y como la derivada de una suma es la suma de las derivadas, tenemos: f () = 7() 5() + 4() + 0 f () = Ejemplo Cuál es la derivada de la función f ( )? Solución: se aplica la epresión para la derivada de un cociente y se obtiene:

18 Unidad f ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 Ejemplo Sea la función f ( ) a) Cuál es la derivada? =? 0 Solución: a) aplicamos la derivada de un cociente f ( ) b) En general, para encontrar la ecuación de una recta, necesitamos conocer pasa la recta tangente es el punto de tangencia mismo; en este caso el punto 4 La ordenada de este punto es f()= Así, la recta tangente de que se trata es la recta que pasa por, y que tiene como pendiente f '( ) 4 Por lo tanto la ecuación de la recta tangente tiene la forma: y y m( ) y ( ) 4 y 4 f (

19 Matemáticas Figura.8. y = / y su tangente en el punto (, ½). Si escribimos la función en la forma f ( ) la derivada se calcula con la regla de la derivada de una potencia, es decir f '( ) Ejemplo Cuál es la derivada de la función f ( )? Solución: la función dada se puede reescribir como una función potencia en la forma f ( ). Es decir, f ( ). Ejercicio En los ejercicios a 9 encuentra la derivada de las funciones dadas:. y = + 6. y 7. y 4. y = ( 4 + 7) ( 9) 4

20 Unidad 5. y 6. y y = ( + 6)(4 5)( + 8) 8. y= ( + ) 9. y f ( ) ; 4 9. g( ) ; f () = en el punto (0, 0)..4. Derivabilidad y continuidad Se ha estudiado la noción de la continuidad de una función en un punto y la 44 también estudiamos el concepto de derivada cuya interpretación geométrica es la de ser la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto donde es derivable. Ahora bien, con respecto a estos conceptos se va a mostrar que eiste relación entre los conceptos de derivabilidad y continuidad. De manera general esta relación se encuentra dada de la siguiente forma: Si una función es derivable en un punto a, entonces la función es continua en este punto. eplícitas: Las funciones para las cuales eiste la derivada son funciones continuas. Si una función es discontinua en un punto a se puede concluir que tampoco tiene derivada en ese punto, es decir, geométricamente no es posible a. La relación inversa: si es continua es derivable no siempre es cierta.

21 Matemáticas Esta última relación fácilmente se asume como una relación equivocada, por ello, se da un ejemplo de una función que siendo continua en un punto no es derivable en ese mismo punto. Ejemplo 4 La función valor absoluto dada por f ( ) función continua y derivable en = 0? si si 0 0 es una Solución: para ver que es continua debemos probar que Para a) ( ) 0 0 b) Para comprobar si eiste la derivada recordemos que como ésta también es un f ( 0 ) f ( 0) 0 a) 0 0 f ( 0 ) f ( 0) 0 b) 0 0 derivada en 0, lo que da a entender que la derivada en = 0 no eiste. f() = pico en el punto (0,0), característica común de las funciones que siendo continuas 45 Figura.9. = 0.

22 Unidad Ejercicio. En a) La función no es continua. b) La función no es derivable. c) Si los puntos no son los mismos eplica la razón. Figura.0.. Dada la función y = encuentra: a) Los puntos de continuidad. b) Los puntos donde la función no es derivable. c) La epresión para la derivada. Determina los puntos de discontinuidad y de no derivabilidad de la siguiente función:. y = + 46

23 Matemáticas Ejercicios resueltos 5 5. Cuál es la derivada de y? Solución: se trata de calcular la derivada de la suma de dos funciones que son potencias, entonces: 5 5 y 5 ( 5 ) Cuál es la derivada de y = ( )( + 5)? Solución: se aplica la regla de la derivada de un producto para obtener:. Cuál es la derivada de y y' ( ) ( ) ( 5)( ) 0 5? Solución: aplicando la regla de la derivada de un cociente obtenemos: y ( 5) ( ) 5 6 ( 5) ( 5) ( 5) En los ejercicios 4 y 5 determina las ecuaciones de las rectas tangentes a las siguientes curvas en el punto dado. (La ecuación de una recta tiene la forma y y 0 = m( 0 ) donde m es la pendiente y ( 0, y 0 ) son las coordenadas de un punto de la recta.) f ( ) en 6 Solución: y 0 = f ( 0 ), es decir, en este caso y 0 = f (6) = 8 f '( ) ( 4 ) f ( ) con lo que la pendiente de la recta es f ( 6)

24 Unidad Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente tiene la forma: y 8 5 ( 6) y 5 5. f ( ) en Solución: y 0 = f ( 0 ) = f () = 0 f ( ) produce f ( ) ( )( ) ( ) que aplicada a nuestro caso ( ) ( ) Así la ecuación de la recta tangente tiene la siguiente forma: y 0 ( ) y Ejercicios propuestos En los ejercicios a calcula la derivada de las funciones dadas: 48. y =. y 5. y = (5 + 8 )(4 5 ) 4. y 5. y 6. y

25 Matemáticas 7. y = ( + )( + ) 8. y y 7 0. y 5. y 5 5 En los ejercicios a 6 determina la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en el valor dado:. f ( ) ; en 5 5. g( ) ; en 4. h( ) ; en 6 5. r( t) ; en t t 6. s( u) u ; en u 0. 5 u Autoevaluación Cuál de las siguientes opciones es la derivada de las siguientes funciones?. f ( ) = ( )( 4+ 8) a) f () = 4 b) f () = c) f () =

26 Unidad d) f () = 4 4. g( ) 4 8 a) g () = 4 ( ) ( 8 ) b) g () = 4 ( ) c) g () = 8 4 ( ) d) g () = 8 4 ( ) 50. h( ) a) h' ( ) b) h' ( ) c) h'( ) d) h'( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( 4) ( ) ( )

27 Matemáticas 4. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva: f ( ) ( ) ( ) ( 4) en 5. Determina los puntos donde la función f ( ) no es derivable y eplica tus razones. 6. sea falsa eplica la razón de tu respuesta o da un ejemplo (un contraejemplo) que demuestre su falsedad: a) Toda función derivable es continua. b) Toda función continua es derivable. c) Si una función no es derivable en un punto tampoco es continua en ese punto. d) Si una función no es continua en un punto tampoco es derivable en ese punto. 5

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29 Matemáticas Respuestas a los ejercicios Ejercicio. dy d. a) 6 b) 0 c) 9.67%. dy f ( ) f ( ) m( ) b m b m d El resultado pone en evidencia el hecho de que la pendiente de una recta es precisamente la tasa de cambio de y respecto a, tasa que es la misma para cualquier. 4. = $5 5. m 6. g (t) = /t y m= 8 Ejercicio. y = + 6. y 7. y 4 4. y

30 Unidad 5. y ( 7) 6. y y' y y y ( 0 ) y. y = 0 8 Ejercicio. a) = a b) = a, = b c) En = b la curva tiene forma de pico y no eiste derivada.. a) Todos los reales b) si c ) f ( ) si d) f() 54 y =. No derivable en =

31 Respuestas a los ejercicios propuestos. y'. y' 7 6. y' y' 5. y' 6. y' ( 5 6) 0 ( 50) ( 8 5) ( 99) y' y' 9. y' 8 ( 4 8 5) ( ) Matemáticas 6 0. y' 7. y'. y y ( ) 0 4. y = y t y = 6u

32 Unidad Respuestas a la autoevaluación. a). b). a) 4. y = la derivada no son iguales. 6. a) Verdadero. b) Falso, y = c) Falso, y = no es derivable en = 0 pero sí es continua en = 0 d) Verdadero. 56