Julio C. Carrillo E. Profesor Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de Santander. Monday, November 5, 2007 at 8:44 am (FA07.

Transcripción

1 Julio C. Carrillo E. Profesor Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de Santander Monday, November 5, 2007 at 8:44 am (FA07.01,02)

2 Para uso exclusivo en el salón de clase c Julio C. Carrillo E. Universidad Industrial de Santander Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de Santander 2008

3 Agradecimientos a todos aquellos estudiantes que con sus preguntas ayudan a mejor los contenidos de este material. Definitivamente, hasta los que enseñamos también aprendemos, si prestamos un poco de atención en clase. El Autor

4 Tabla de contenidos 1. Preliminares El espacio euclidiano n dimensional Producto escalar Longitud o norma Ángulo entre dos vectores Ángulos directores y cosenos directores Proyecciones Trabajo Con desplazamiento a lo largo de una línea recta Con desplazamiento a lo largo de una trayectoria no lineal El producto cruz de vectores Triple producto escalar de vectores Líneas Planos Funciones vectoriales Definición, dominio, imagen, gráfica Operaciones algebraicas con funciones vectoriales Límite Continuidad Derivada Integral Movimiento curvilíneo Vector tangente, Vector tangente unitario, vector normal y plano osculador Velocidad, rapidez y aceleración Longitud de arco Curvatura de una curva Fuerzas definidas mediante funciones vectoriales Fuerzas definidas mediante campos vectoriales Funciones de varias variables Las funciones de varias variables Límite y continuidad Límite

5 Continuidad Derivada Gradientes y derivadas direccionales Extremos de funciones de varias variables Extremos locales y optimización global Optimización con restricciones Integración múltiple Introducción Integrales dobles Integrales doble sobre dominios rectangulares Integrales iteradas Integrales dobles sobre regiones mas generales Cambio en el orden de integración Integrales dobles en coordenadas polares Aplicaciones de las integrales dobles Integrales triples Aplicaciones de las integrales triples Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Cambio de variables Cálculo vectorial Campos vectoriales Definición de campo vectorial, y su primera clasificación Segunda clasificación de los campos vectoriales Líneas de flujo y flujos de campos vectoriales Calculo integral en el plano Introducción Trabajo e integral de línea Curvas y parametrización de curvas Teorema de Green El Teorema de Green y campos vectoriales divergentes, rotacionales y conservativos Calculo integral en el espacio Introducción Integral de línea en el espacio Superficies y parametrización de una superficie Integral de superficie Trabajo e integral de superficie Teorema de la divergencia de Gauss iv Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase UIS

6 Teorema de Stokes Consecuencias e implicaciones del Teorema de Green y Teorema de Stokes sobre campos vectoriales divergentes, rotacionales y conservativos Aplicaciones físicas Dinámica Dinámica de fluidos Electromagnetismo Conducción de calor Termodinámica Para uso exclusivo en el salón de clase UIS Cálculo en Varias Variables v

7 1 Preliminares 1.1. El espacio euclidiano n dimensional Sea R n el conjunto de todas las n tuplas ordenadas x = (x 1,..., x n ) de números reales, llamadas las componentes de x. En R n se definen las operaciones suma y multiplicación por un escalar como sigue x + y = (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) αx = α(x 1,...,x n ) = (αx 1,..., αx n ) para cualquier número α. Los elementos de R n se llaman vectores. Se dice que dos vectores x = (x 1,...,x n ) y y = (y 1,..., y n ) de R n son iguales si y sólo si las respectivas componentes de los vectores son iguales: x 1 = y 1,..., x n = y n. Las siguientes observaciones son pertinentes. Observación 1.1. Un vector x en R n es una n tupla de números reales (x 1, x 2,..., x n ). Los números x 1, x 2,...,x n se llaman las coordenadas o componentes del vector x. El vector nulo de R n es el vector 0 = (0, 0,...,0). Los elementos del conjunto R n se pueden considerar como puntos o vectores en el siguiente sentido. Un punto X en R n consiste de una n tupla de números reales (x 1, x 2,...,x n ). Tal punto X define el vector x en R n, considerando el segmento de recta dirigido del origen O al punto X: x = OX = X O = (x 1,..., x n ). Obsérvese que en ambos casos el punto X de R n y el vector x de R n tienen la misma representación algebraica, mediante una n tupla, pero diferente representación geométrica: el primero es un punto, el segundo es una flecha o segmento de recta dirigido. Matemáticamente hablando, se tiene un isomorfismo entre puntos en R n y vectores posición en R n con punto de aplicación el origen O en R n, tópico que se discute el curso de Algebra Lineal. Por convención, los puntos de R n se denotan con letras mayúsculas del alfabeto, y los vectores por letras minúsculas en negrilla. Si el vector esta determinado por dos puntos en R n, digamos P y Q, entonces el vector de P a Q se denotará de la forma x = PQ. Si P no es el origen en R n, entonces x es un vector posición y PQ es un vector libre. Si P coincide con el origen entonces x y PQ son vectores posición, e iguales. Como una generalización de las propiedades de la suma y multiplicación por un escalar de R n, se obtiene la siguiente definición. Definición 1.2. Dados m vectores x 1,...,x m en R n y m escalares λ 1,..., λ m, el vector λ 1 x λ m x m es llamada una combinación lineal de los vectores x 1,..., x m.

8 1.2. Producto escalar Dados dos puntos x = (x 1,...,x n ) y y = (y 1,...,y n ) en R n se define el producto interno x y como el número real x y = x 1 y 1 + x n y n La siguiente proposición reúne las propiedades mas importantes del producto interior. Proposición 1.3. Sean x, y y z vectores de R n y α y β números reales. Entonces 1. (αx + βy) z = α(x z) + β(y z) 2. x y = y x 3. x x 0 4. x x = 0 si y solo si x = 0 El producto escalar cumple una desigualdad que es fundamental en el Algebra vectorial. Proposición 1.4 (Desigualdad de Cauchy Schwarz). Sean x y y vectores en R n. Entonces (x y) 2 (x x)(y y) Longitud o norma La longitud o norma de un vector x = (x 1,...,x n ) se define mediante la formula x = x x = x x2 n. La desigualdad de Cauchy Schwarz puede entenderse entonces como una relación entre el producto escalar de dos vectores con sus normas. Proposición 1.5 (Desigualdad de Cauchy Schwarz). Sean x y y vectores en R n. Entonces x y x y. Una consecuencia muy útil de la desigualdad de Cauchy Schwarz es la desigualdad triangular, que geométricamente establece que la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor que la longitud del tercero. Adicionalmente, la norma tiene las siguientes propiedades. Proposición 1.6. Sean x y y vectores en R n y α cualquier escalar. Entonces 1. x 0 2. x = 0 si y sólo si x = 0 3. αx = α x 4. x + y x + y (Desigualdad triangular) 5. x ± y 2 = x 2 + y 2 ± 2 x y 12 Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase UIS

9 1.4. Ángulo entre dos vectores Demostración. 4. De la desigualdad de Cauchy Schwarz, x + y 2 = x x y + y 2 x x y + y 2 x x y + y 2 = ( x + y ) 2 Al extraer raíz cuadrada se obtiene el resultado. Un vector se dice unitario si su longitud es 1. El vector unitario asociado con un vector no nulo x es el vector x/ x. Los vectores unitarios e 1 = (1, 0,...,0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),...,e n = (0,...,0, 1) se llaman los vectores de la base canónica o estándar (o usual) de R n, y generalizan los vectores unitarios ortogonales i, j y k de R 3. Todo vector x = (x 1,..., x n ) de R n se puede escribir como la combinación lineal x = x 1 e x n e n Sean x y y dos vectores no nulos. Entonces el ángulo θ entre x y y está definido como el ángulo mas pequeño formado por las representaciones de x y y. Si x es múltiplo escalar de y, entonces x = λy para algún escalar λ. Entonces θ = 0 si λ > 0 y θ = π si λ < 0. Si x y y son dos vectores de R n, de la ley de los cosenos, y la Proporción se obtiene Observación 1.7. x y 2 = x 2 + y 2 2 x y cosθ, x y = x y cosθ. Si los vectores x y y son no nulos, entonces el coseno ángulo θ entre ellos está dado por la formula Observación 1.8. cosθ = x y x y Sean x y y dos vectores no nulos en R n. Entones x y y son vectores paralelos, denotado como x y, si el ángulo entre ellos es cero o π; o son perpendiculares, denotado como x y, si el ángulo entre ellos es π/2. Proposición 1.9. Sean x y y dos vectores en R n. Entonces 1. Si x es un vector no nulo entonces x y si y sólo si existe un escalar no nulo λ tal que y = λx. 2. Si x y y son vectores no nulos entonces x y si y sólo si x y = Si x y y son perpendiculares, x y 2 = x 2 + y 2 (Teorema de Pitágoras) 4. x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ) (ley del paralelogramo) Para uso exclusivo en el salón de clase UIS Cálculo en Varias Variables 13

10 1.5. Ángulos directores y cosenos directores Dado un vector x de R n, los ángulos θ 1,..., θ n que forman el vector x con los vectores usuales e 1,..., e n de R n son llamados los ángulos directores de x y los escalares cosθ 1,...,cosθ n son llamados los cosenos directores de x. Si x = (x 1,...,x n ) entonces de la definición de producto escalar se obtiene x 1 = x e 1 = x cosθ 1,..., x n = x e n = x cosθ n Así que x = x (cosθ 1 e cosθ n e n ) Tomando la norma en ambos lados, tenemos 1.6. Proyecciones y por tanto Para un vector unitario u, x = x cos 2 θ cos 2 θ n cos 2 θ cos 2 θ n = 1. u = cosθ 1 e cosθ n e n. Si y es un vector no nulo de R n, entonces todo vector x de R n puede ser escrito como la suma de un vector y paralelo a y y un vector y perpendicular a y. Si x = 0, entonces y = 0. Si x 0, entonces el ángulo θ entre x y y puede ser: 0 θ < π/2, θ = π o π/2 < θ π. El vector y es llamado la proyección de x sobre y y es denotado como P y (x). Como P y (x) es paralelo a y, éste es múltiplo escalar de un vector unitario en la dirección de y: P y (x) = λ y y. El escalar λ es llamado la componente de x en la dirección de y y es denotado como y (x). Simbólicamente, Como P y (x) = ( y (x)) y y. P y (x) = y (x) entonces la componente de x en la dirección de x es un número que mide el avance o desplazamiento de x en la dirección de y. Si 0 θ < π/2, la proyección y y tienen la misma dirección y la componente es positiva. Si θ = π/2, la proyección es 0 y la componente es 0. Si π/2 < θ π, la proyección y y tienen direcciones opuestas y la componente es negativa. 14 Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase UIS

11 Las proyecciones y componentes están relacionadas mediante el producto escalar y la norma de la forma siguiente: P y (x) = x y y 2 y y y(x) = x y y Efectivamente, como x = y + y, y = λ y y y y y = 0 entonces 0 = (x y ) y = Por lo tanto, ( x λ y ) y = x y λ y y y y = x y λ y. P y (x) = ( ) x y y y y = x y y 2y. Definición Sean x y y vectores en R n, con y 0. La proyección de x sobre y es y la componente de x a lo largo de y, P y (x) = x y y 2 y y (x) = x y y 1.7. Trabajo En física, los conceptos de componente, proyección y el producto escalar están ligados al concepto de trabajo Con desplazamiento a lo largo de una línea recta Supongamos que una partícula se desplaza a lo largo de una linear recta mientras actúa sobre ella una fuerza constante F. El trabajo W realizado por la fuerza F cuando desplaza la partícula una distancia D en linea recta está definido como el producto de la componente de la fuerza F en la dirección del desplazamiento, denotada por F d, y la distancia D; es decir, W = F d D, en donde d denota la dirección de la recta que describe el desplazamiento la partícula. Sea θ el ángulo entre F y d. Por trigonometría elemental, la componente F d de la fuerza F que actúa sobre la partícula en la dirección d de la recta es F d = F cosθ. Cuando las longitudes del desplazamiento D de la partícula y la dirección d son coincidentes (D = d ), entonces se tiene que W = F d cosθ. Por tanto, cuando D = d, W = F d Para uso exclusivo en el salón de clase UIS Cálculo en Varias Variables 15

12 Supongamos que D y la longitud de d son distintas. Primero que todo, supongamos que el vector F d denota el vector que le corresponde a la fuerza F a lo largo de d. Este vector se obtiene multiplicando F d por un vector unitario que es paralelo al vector d. Si d es no nulo, entonces el vector d/ d es el vector unitario paralelo a d. De éste modo, y Por lo tanto, d F d = F d d = d d F d F cosθ = d d d = F d d 2 d F d = F d d. W = F d d D cuando D d. Ejemplo Supongamos que una partícula se mueve solamente en la dirección de la recta d = (1, 2, 3) por una fuerza F = (2, 3, 4) que actúa sobre ella. Determinar el trabajo realizado por la fuerza si desplaza la partícula una distancia de 5 unidades o una distancia equivalente a la longitud de la dirección. Solución. La componente de la fuerza F en la dirección del vector d esta dada por d (F) = F d = F d d = Por tanto, el trabajo es W = = = En el segundo caso la distancia D es igual a d. Por tanto el trabajo es W = F d = Con desplazamiento a lo largo de una trayectoria no lineal Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria ϕ : [a, b] R n mientras actúa sobre ella una fuerza F : R n R n. Supongamos que la trayectoria se puede descomponer en una sucesión finita de desplazamientos rectos infinitesimales. En efecto, sean a = t 0, t 1,..., t n = b los puntos que determinan una partición del intervalo [a, b] de longitud t = (b a)/n. Entonces podemos suponer que los puntos ϕ(t 1 ), ϕ(t 2 ),...,ϕ(t n ) determinan una partición de la trayectoria desde ϕ(a) hasta ϕ(b). Por lo tanto, conforme t varia sobre un intervalo de tiempo t k a t k+1, la partícula se mueve del punto ϕ(t k ) a ϕ(t k+1 ) y el vector desplazamiento será, de la definición de derivada, s = ϕ(t k+1 ) ϕ(t k ) = ϕ(t k + t) ϕ(t k ) ϕ (t k ) t. Entonces el trabajo W realizado por F es aproximadamente n 1 n 1 W F(ϕ(t k )) s = F(ϕ(t k )) ϕ (t k ) t. k=0 k=0 16 Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase UIS

13 Cuando n, la aproximación es cada vez mejor, de modo que es razonable definir el trabajo como W = lím n k=0 n 1 F(ϕ(t k )) ϕ (t k ) t := b a F(ϕ(t)) ϕ (t)dt. A fin de que la integral definida en esta definición exista, es necesario asumir que la fuerza F es un campo vectorial continuo sobre la trayectoria ϕ, la cual a su vez debe ser una función vectorial de clase C 1 en [a, b]: las funciones vectoriales ϕ(t) y ϕ (t) son continuas en el intervalo [a, b] El producto cruz de vectores Sean x = (x 1, x 2, x 3 ) y y = (y 1, y 2, y 3 ) dos vectores en R 3. Entonces el producto vectorial de x y y, denotado por x y, es un nuevo vector definido por i j k x y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 = i x 2 x 3 y 2 y 3 j x 1 x 3 y 1 y 3 + k x 1 x 2 y 1 y 2 Proposición Sean x, y, z tres vectores en R n. Entonces 1. x y = y x 2. x (x y) = 0 y y (x y) = 0 3. x (y + z) = x y + x z 4. λ(x y) = (λx) y = x (λy) para todo escalar λ. 5. x y = x y sinθ, donde θ es el ángulo entre los vectores x y y. Geométricamente, el vector x y es un vector perpendicular a los vectores x y y (cf. Proposición ). Una segunda interpretación geométrica es la siguiente. El área del paralelogramo que tiene los lados adyacentes x y y es igual a x y = x y sinθ, en donde θ es el ángulo entre los vectores x y y (cf. Proposición ). Considerando los vectores canónicos del plano y del espacio, se tiene que todo vector x = (x, y) del plano se puede identificar como un vector del espacio: x = (x, y) = xi + yj xi + yj + 0k = (x, y, 0), en donde i = e 1, j = e 2 y k = e 3. Utilizando este artificio 1, todo vector del plano se puede identificar como un vector del espacio. Sean x = (x 1, x 2 ) y y = (y 1, y 2 ) dos vectores en R 2. Entonces x y = (x 1 y 2 x 2 y 1 )k 1 En términos de la teoría de Algebra Lineal se dice que el plano es un subespacio vectorial del espacio. Para uso exclusivo en el salón de clase UIS Cálculo en Varias Variables 17

14 1.9. Triple producto escalar de vectores El producto mixto, o triple producto escalar, de tres vectores x, y y z en R 3 está dado por el escalar x (y z). Suponga que x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) y z = (z 1, z 2, z 3 ). Entonces x 1 x 2 x 3 x (y z) = y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 Si los tres vectores x, y y z no están en el mismo plano, ellos determinan un paralelepípedo en R 3 cuyo volumen es igual a Volumen paralelepípedo = x (y z) (1.1) Proposición Sean x, y y z tres vectores en R 3. Entonces x (y z) = (x y) z Líneas Sean r 0 un punto fijo y d un vector no nulo en R n. Deseamos encontrar la ecuación l de la recta que pasa por el punto r 0 y es paralela al vector d. Para hacerlo, empezamos con la idea de que dos puntos distintos determinan una recta. Un punto de ellos sera el punto r 0 y el segundo un punto r cualquiera de l. No es difícil de encontrar que una condición necesaria y suficiente para que el punto r pertenezca a la recta l es que los vectores r r 0 y d sean paralelos. Esto pasa si y sólo si existe un escalar t tal que r r 0 = td o equivalentemente, si y sólo si Por lo tanto, la ecuación vectorial r = r 0 + td r(t) = r 0 + td t R parametriza la recta l. Ahora, sean r = (x 1,...,x n ), r 0 = (x 0 1,..., x0 n ) y d = (d 1,..., d n ). Entonces las ecuaciones escalares x 1 = x td n,..., x n = x 0 n + td n se llaman las ecuaciones paramétricas de la recta l. Si todas las componentes del vector director d de la recta son no nulas, entonces se puede eliminar el parámetro t y obtener las n ecuaciones x 1 x 0 1 d 1 = = x n x 0 n d n llamadas las ecuaciones simétricas de la recta. En cuanto a un sistema de dos ecuaciones se tienen las dos siguientes definiciones: 18 Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase UIS

15 1. Dos líneas distintas son paralelas si y sólo si sus vectores directores son paralelos. 2. Dos líneas distintas son ortogonales si y sólo si sus vectores directores son ortogonales. Se define el ángulo θ entre dos líneas como el menor de los ángulos que forman los vectores directores de las líneas. Proposición Sea θ el ángulo entre dos líneas distintas. 1. Las líneas son paralelas si y sólo si θ = 0 o θ = π. 2. Las líneas son ortogonales si y sólo si θ = π/2 o π = 3π/ Planos Definición de plano Para encontrar la ecuación de un plano π, se selecciona un punto P = (p 1,..., p n ) en el plano y un vector normal al plano η = (η 1,..., η k ). Ahora se toma un punto X = (x 1,..., x n ) en el espacio y se construye el vector PX = X P = (x 1 p 1,..., x n p n ). Entonces el punto X pertenece al plano π si y sólo si η (X P) = 0, que es lo mismo que decir, si y sólo si η 1 (x 1 p 1 ) + + η n (x n p n ) = 0, llamada la ecuación cartesiana del plano en R n. Dos planos en R n son paralelos si sus vectores normales son paralelos. Los planos coordenados en el espacio R 3 son tres: el plano coordenado xy, π xy, el plano coordenado yz, π yz, y el plano coordenado zx, π zx. Puesto que el vector k es perpendicular al plano coordenado π xy, todo vector paralelo al vector k es paralelo al plano coordenado π xy. Ideas similares se pueden obtener para los otros dos planos coordenados en R 3. Por lo tanto, si el plano es paralelo a uno de los planos coordenados, entonces la ecuación del plano es una de las siguientes: x = a y = b z = c paralelo al plano yz paralelo al plano xz paralelo al plano xy Intersección de planos en R 3 Sin dos planos π 1 y π 2 no son paralelos, entonces la intersección de ellos es una linea recta l. Sea P un punto en la intersección de los dos planos. Si η 1 y η 2 son los vectores normales a los planos π 1 y π 2, respectivamente, el vector η 1 η 2 será el vector director de l. Por lo tanto, la ecuación vectorial de l esta dado como el conjunto de todos los puntos X en R 3 tales que X = P + t(η 1 η 2 ) para todo escalar t. El punto P se encuentra resolviendo un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, el cual siempre tiene más de una solución. Para uso exclusivo en el salón de clase UIS Cálculo en Varias Variables 19

16 Vectores coplanares Tres vectores en R n son coplanares si ellos pertenecen al mismo plano o planos paralelos. En caso contrario se dicen que los vectores son no coplanares. Proposición Tres vectores x, y y z en R 3 son coplanares si y sólo si x (y z) = 0. Ecuación de un plano que determinan tres puntos no colineales Demostración. Los vectores son coplanares si y sólo si el volumen del paralelepípedo que ellos determinan es cero. De (1.1) tenemos que esto sucede si y sólo si x (y z) = 0 Se puede utilizar la Proposición 1.15 para encontrar la ecuación de un plano π en R 3 que pasa a través de tres puntos no colineales P 1, P 2 y P 3 del espacio. En efecto, un punto P pertenece a éste plano si y sólo si los vectores P 1 P, P 1 P 2, P 1 P 3 son coplanares. Por la Proposición 1.15, esto sucede si y sólo si ( P 1 P P 1 P 2 ) P 1 P 3 = Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase UIS