Coordinadora de academia: M. en C. Elsa Frias Silver

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1 UNIVERSIDAD DE LONDRES PREPARATORIA ACADEMIA FISICO-MATEMÁTICAS GUIA -MATEMÁTICAS V 5º año. Plan : 96 Clave materia : 1500 Clave UNAM : 144 Ciclo : Profres: I.Q. JESÚS BELMONT GÓMEZ y ELIZABETH VELASCO MIRANDA Coordinadora de academia: M. en C. Elsa Frias Silver Objetivos generales. Iniciar a los alumnos en el conocimiento, la comprensión y las aplicaciones de la geometría analítica, de esta manera adquirirán la preparación necesaria para acceder a los cursos de Matemáticas del sexto año de bachillerato. Reafirmar y profundizar los conocimientos de Geometría euclidiana y trigonometría adquiridos en cursos anteriores para plantear y resolver problemas de diversas disciplinas. Fomentar en los alumnos la capacidad de razonamiento lógico, su espíritu crítico y el deseo de investigar para adquirir nuevos conocimientos, lo que resulta necesario para plantear y resolver numerosos problemas de aplicación, tanto en la misma Matemática como en otras disciplinas Objetivos Unidad I. Relaciones y Funciones. Que el alumno comprenda el concepto de relación y sea capaz de establecer cuando una relación es función. Que distinga entre variable independiente y dependiente, así como entre dominio y rango. Que sea capaz de determinar las características de una función y que la grafique. Que sea capaz de expresar como función problemas de la vida cotidiana. 1. Sean los conjuntos a) A = { -1,0,1}, B= {-,-1,1}, C = {a, b, c}, D ={1,,3} Representar el producto a) A x B; b) C x D; c) A x D; e indicar si es función o relación y por qué?. De las siguientes funciones determina su dominio, su rango y la gráfica correspondiente. a)y = x + x -3 b) y = x 3-3 x -3 c) y = x 3-3+ x -3 d) y = x/( x-5) e) f(x) = sen x f) y = x -4 g) y = x h) f(x) = log x i) y = cos x j) f(x) = 5x - 4 k) y = 5 /(x -4) 3. Escribe la tabla de la clasificación de las funciones y da un ejemplo de cada una de ellas. 4. Qué diferencia hay entre una función y una relación? 5. Explica cuándo una función es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. 6. Escribe la tabla de la clasificación de las funciones y da un ejemplo de cada una de ellas (utiliza la columna de la derecha para ello). 7. Clasifica a cada una de las siguientes funciones de acuerdo a: a) Su gráfica. b) Su ecuación c) Su dominio. 1

2 II) Determinar su dominio y su rango de cada una....

3 8. Determina los intervalos donde la función es creciente y decreciente. 9. Qué diferencia existe entre función explicita y función implícita? 10. Qué caracteriza a las funciones trascendentes? 11. Qué condición debe cumplir una función biyectiva? 1. Relaciona las columnas colocando en el paréntesis la letra correspondiente a la respuesta correcta de la clasificación de las funciones: a) implícita ( ) x y + 5xy 3x = x 3 3y b) algebraica ( ) x + 3y 6 =0 c) logarítmica ( ) y = ln sen x d) trigonométrica ( ) 7 x = 19 e) Exponencial ( ) y = ln x +5 f) lineal ( ) y = cos x f) cuadrática ( ) y = x + 3 g) creciente ( ) y = 3x + x -9 h) decreciente ( ) = log 3 -y + y +x i)constante ( ) y = Determinar la función inversa de las siguientes funciones: f( x) = x f( x) = x 5x 4 f x x x ( ) = Indicar la función implícita de las siguientes funciones explícitas. f( x) = x + 1 x + 1 f( x) = 3x 5x 1 4x 1 f( x) = 4 x 3

4 Unidad II. Función trigonométrica. Objetivos. Que el alumno enriquezca los conceptos trigonométricos adquiridos anteriormente, manejándolos ahora como funciones, con sus respectivas gráficas. Que aplique estos conceptos en la resolución de problemas que le sean significativos. 1. Los catetos de un triángulo rectángulo son: a = 4 y b = 3 respectivamente. Determine los elementos faltantes 3. Para el triángulo rectángulo mostrado, a) determine la longitud del lado a tomando θ = b) Determinar el perímetro. c) Hallar el valor del área.. Calcular los elementos faltantes de un triángulo rectángulo si: a = 47 y c = Para el triángulo rectángulo mostrado, determine: a) el perímetro. b) el área. Si θ = a =? c = 15 cm θ a =? θ 14 m 5. Para el triángulo mostrado, obtener los elementos faltantes. 4º 6. Un cable de sujeción, se amarra a 18 m de la base de un mástil, y el cable forma un ángulo de 15º con el suelo. Cuánto mide dicho cable? a c 4º b = 5.8 m 7. Un árbol de 95 m de altura proyecta una sombra de 10 m de longitud. encontrar el ángulo de elevación del árbol 8. De lo alto de un faro de 100 m sobre el nivel del mar el ángulo de depresión de un bote es 5º. A qué distancia está el bote del faro? 9. Una persona de 1.90 m de estatura, proyecta una sombra de 0.60m. En ese mismo momento, un árbol proyecta una sombra de 3.50 m. Calcule la altura del árbol. 10. Uno de los lados de un terreno que tiene forma de triángulo equilátero, mide 60 m. Calcule el área y el perímetro del terreno. 11. Una escalera de 7 m de longitud descansa 1. Utilizando las identidades trigonométricas 4

5 sobre la pared de un edificio, si el pie de la escalera está a 3 m de la base del edificio. Qué altura alcanza la escalera? 13.a) Determine los ángulos θ y β y los lados a y b en el triángulo. básicas demostrar las siguientes igualdades: a) sen A + cos AcotA = csc A b) csc A sec A = cot A + tan A 14. a) Determine los ángulos θ y β y los lados a y b en el triángulo. β b) Hallar el perímetro y el área 15. θ b) Hallar el perímetro y el área. tan A = θ 9 β Si tenemos un triángulo rectángulo cot A = c B b sec A = csc A = A a C b) el perímetro Donde: b = 1; a = 16, determinar: a) las razones trigonométricas: c) el valor del ángulo A sen A = cos A = 16 a) Qué función trigonométrica representa la gráfica? b) Cuál es el dominio de la gráfica? c) Cuál es el rango de la gráfica? d) Cuál es su amplitud? e) Cuál es su periodo? 17. Para la función y = 1/4sen ( 4x + π/) encuentra: a) el periodo b) la amplitud 18. Realiza la conversión de π radianes a grados. a) π/4 = f) π/3 = b) 3π/4= g) 5π/18 c) π/ = h) π/18 d) 11π/18 = e) π/3 5

6 19. Transforma de grados a π radianes a) 1º = e)95º = b) 8º = f) 340º = c) 1º = g) 15º 35 = d) (3/)º = h) 10º = 0. Determina la inversa de cada una de las siguientes funciones: a) y = 5x +4 b) f(x) = -x +5 c) y = 5x 3 + d) y = (x -1)/(x+) 1) De acuerdo a los datos proporcionados en la siguiente tabla determina todos los elementos del triángulo (lados, ángulos, perímetro área) < A < B < C a b c Perímetro Área 1 90º 4 cm 6cm 38º 90º 5 m 3 90º 5 m 8m 4 90º º 0 90º 0.1 ) Calcular los ángulos de los siguientes triángulos rectángulos: 3. Llenar los espacios en la siguiente tabla: Grados 180 o 5 o 60 o 45 o Radianes π 3π 4. Resuelve los siguientes triángulos aplicando Ley de senos o de cosenos según sea el caso: π 6 A=35m, a=30º45 0, c=87º30 A=40cm, B=38cm, C=7cm B=601m, C=1000m, c=95º0 Encuentra B=?, b=?, C=? Encuentra a=?, b=?, c=? Encuentra a=?, b=?, A=? 6

7 UNIDAD III.Funciones exponencial y logarítmica. Objetivos. Que el alumno comprenda la diferencia entre una potencia y una función exponencial y entre el concepto logaritmo y la función logarítmica. Que sea capaz de resolver problemas significativos de su entorno, planteados a partir de una función exponencial o logarítmica. 1)Escribe la definición de función exponencial ) Escribe la definición de función logarítmica. 3. Escriba las 4 propiedades básicas de los logaritmos? 4. Resuelve las siguientes operaciones aplicando logaritmos: a) Log (334.5)( 47.18) b) log (934.5) /( 7.18) c) log = d) Log e) Log 3.67/ f) Log (68.98).67 / = g) log (34.5)( 7.18) Dada la función y = f(x) = -X, obtener su gráfica, su dominio y su rango. 6.Dada la función y = f(x) = -X, obtener su gráfica, su dominio y su rango. 7. Dada la función y = f(x) = 10e -0.5X, obtener su gráfica., su dominio y su rango. 8.Dada la función y = f(x) = log X, obtener su gráfica 9. Escribe en forma logarítmica las siguientes ecuaciones: a) 3 = 8 b) 3 1/5 = c) (/3) 3 = 8/7 d) 8 /3 = Escribe en forma exponencial cada una de las siguientes ecuaciones: a) log (¼) = - b) log 7 7 = 1 c) log 6 36 = d) log 1/3 7 = Hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones: a) log 10 x = b) log 4 x = - c) log 5 x = - 3/ d) log x = 3 1. Aplicando logaritmos, determina el valor de x de: a) x = 4 x-1 b) 5 x-1 = 3 x- c) 10 = x ; d) 5 x =3 x Si $1000 se invierten al 1. % de interés semestral de manera continua, grafique el valor de la cantidad con respecto a un periodo de tiempo de 15 años. 14. Cuántos años debo invertir $1,589.00, para ganar $11, si el banco me proporcionan una tasa del 5% de interés anual? 15. Cuántos años debo invertir $,830.00, para ganar $17,131.5 si el banco me proporcionan una tasa de 35% de interés anual? 16. Cuántos años debo invertir $3,55.00, para ganar $10, si el banco me proporcionan una tasa de 30% de interés anual? 7

8 17. En las siguientes expresiones encuentra el valor de (x) utilizando logaritmos a) 3x 6 4 x+ 3 5 = 4 b) x+ 6 5x 4 = 7 c) 7 = 4x+ 7 3x 8 Objetivos. UNIDAD IV. Sistemas de coordenadas y algunos conceptos básicos. Que el alumno reafirme los conocimientos básicos de la geometría euclidiana y la trigonometría y que comprenda los conceptos fundamentales de la geometría analítica para acceder con facilidad a las unidades posteriores. Que el alumno sea capaz de aplicar los conocimientos adquiridos en esta unidad para plantear y resolver problemas aplicados a la Geometría euclidiana y a la trigonometría. 1. Cambiar de coordenadas polares a coordenada rectangular y realizar la gráfica. a) (3,10º) b) (5,60º) c) (8, 40º) d) (1, 10º). Transformar las coordenadas rectangulares a polares. a) (-1,5) b) (-3,5) c) (-5,-8) d) (6,-10) 3. Sean los puntos A (1, -), B (-4, -) y C (8, -6), los vértices de un triángulo obtener: a) el punto medio del segmento BC. b) el punto medio del segmento AC. c) el punto medio del segmento AB. d) la distancia del lado AC e) la distancia del lado AB f) la distancia del lado BC g) El área del triángulo ABC h) El perímetro del triángulo i) la pendiente de la recta AB que se forma al unir los puntos medios j) la pendiente de la recta AB k) la pendiente de la recta AC l) la pendiente de la recta BC ll) la ecuación de la recta AB en sus tres formas m) la ecuación de la recta BC en sus tres formas n) la ecuación de la recta AC en sus tres formas ñ) la ecuación de la recta paralela a BC y que pasa por el punto (1,1) o) la ecuación de la recta paralela a AC y que pasa por el punto (1,1) p) la ecuación de la recta perpendicular a AB y que pasa por el punto (-1,1) q) la distancia del punto (-,-6) la recta BC. r) la distancia del punto (,6) la recta AC. s) los puntos de trisección del segmento BC 4. Define los siguientes conceptos: a) mediana b) altura c) mediatriz d) bisectriz. 8

9 5) Grafique y determine la distancia del punto A (- 4, 3, 3 ) al punto B (3, 4, - 4 ). 8) Comprobar que las rectas AB y CD son perpendiculares, siendo A (1,1) y B (4, 4); C (0, 4) y D (3,1). 11) Determinar el área del polígono cuyos vértices son: E(5,-), F(-3,3), G(,5),H(4,6), I(6,0) 6) Hallar el perímetro y el área del triángulo formado por los vértices: A(-,-5), B(3,4), C(8.-3) 9) Demostrar si las rectas AB y CD son paralelas, si A (, 3) y B (7, 5); C (-1, 4) y D (4, 6). 1) Escribe la clasificación de los polígonos, su nombre y la fórmula para calcular su perímetro y su área) 7) Comprobar mediante la fórmula para ángulo entre dos rectas, que el ángulo A del triángulo cuyos vértices A (3,), B (5, -4) y C (1,-) es A = 45º 10) ) Determinar el área del polígono cuyos vértices son: A(-1,3), B(6,4), C(-,-5), D(8, ) 13. Para cada triángulo mostrado, determinar mediante semejanza de triángulos la altura h y θ. h θ h θ En un sistema polar trazar los siguientes puntos: π P 1 (1,135º) P (-, ) P3 (3, 75º) P 4 (-4, 3 3 π ) 15. Trazar los siguientes puntos en coordenadas polares: P 1 (5, 5 4 π ) P (-,10º) P 3 (-3, 5 6 π ) P 4(3,135º) 16. Construir el triángulo cuyos vértices son: P 1 (5, 60º) P (-, 7 4 π ) P 3(-4, 150º) 17. Trazar los puntos cuyas coordenadas son: A (,0,-1) B) (4,-3,7) C)(-5,-9,) D) (3,-,4) 18. Utilizando la fórmula de Herón, encontrar el área de cada uno de los siguientes triángulos: a) A(-3,8), B(4,6), C(6,-6) b) A(-4,7), B(7,5), C(-1,-6) c) A(-6,3), B(6,7), C(3,-5) 19. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (,4) y P (8,-4). Hallar el punto P(x,y) que divide a este segmento en dos partes, tales que P P: PP 1 = 9

10 0. Los extremos de un segmento son los puntos P 1 (7,4) y P (-1,-4). Halla la razón PP 1 : PP en que el punto P(1,-) divide al segmento. 1. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto P 1 (7,8) y su punto medio es P (4,3). Hallar el otro extremo. UNIDAD V. Discusión de ecuaciones algebraicas. Objetivos: Que el alumno discuta una ecuación para que, simplificando el trabajo analítico, obtenga la gráfica de una ecuación algebraica y estos conocimientos los, aplique adecuadamente en cursos posteriores. 1. Explica paso a paso cada uno de los procedimientos para realizar el análisis de una función: a) Intersección con los ejes b) Simetría con respecto a los ejes y al origen c) asíntotas verticales y horizontales d) gráfica. Analiza cada una de las siguientes funciones determinando: a) los puntos de intersección b) la simetría c) las asíntotas verticales y horizontales si las tiene d) la gráfica correspondiente. a) 3x + y = 1 b) y = (x 1) c) x + y = 9 d) x + 4y -8 = 0 e) y = x 3 f) 9 x + 16y = 144 g) y = x 3 h) x y x + 6y = 0 i) x + y -x 6y + 9= 0 j) y 4x -6y + 5= 0 k) xy y = 4 l) y =( x 4) / (x + ) m) y x + y = 4 n) 4 x + 9 = 0 ñ) xy x = 6 0) y x + y = 4x + UNIDAD VI. Ecuación de primer grado. Objetivos: Que el alumno, a partir de las condiciones geométricas que cumplen los puntos de un lugar geométrico, sea capaz de interpretarlas analíticamente para obtener la ecuación que!o define, en este caso una recta. Que aplique los conceptos, incluidos en esta unidad, en la resolución de problemas de su entorno. 1. Dados pos puntos A( -4,5), B(,-7), C(6,8): Hallar: a) La ecuación general de la recta AB d) La abscisa al origen de la recta AC g)la ecuación que pasa por R(-3,-8) y es paralela a la recta x 5y -1 =0 b) La ecuación general de la recta AB e) La distancia del punto C a la recta AB h) La ecuación de la altura que pasa por el punto A c) La ordenada al origen de la recta BC f) La ecuación de la recta perpendicular a BC en su punto medio i) El área del triángulo ABC por tres métodos diferentes. 10

11 j) La ecuación de la mediana que pasa por C. Hallar la distancia del punto P(,5) a la recta que pasa por los puntos Q(-5,-8) y R ( 6, -11). 5. Obtener m y b de la recta que pasa por los puntos (1, - 5) y (-, 1) k) La ecuación de la mediatriz del segmento AC. 3. Determinar si las rectas AC y AB son perpendiculares en el triángulo cuyos vértices son: A (1, ), B (4, -1) y C (3, 4). 6. Obtener m y a de la recta que pasa por los puntos (, - 10) y (-, ) l) El perímetro del triángulo ABC 4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-,5) y es perpendicular a la recta B(3,4), C( Hallar la ecuación de la recta que pasa por B(-5,6) y es paralela a la recta 3x -y +9 = 0 8.Determinar la ecuación de la recta que pasa por Q(-1,7) y es perpendicular a la recta 5x-y+6 = 0 9. Obtener la ecuación de la recta en sus formas (general, simplificada y simétrica) así como su gráfica de manera que satisfaga las condiciones: a) Pase por los puntos (1, - 5) y (-, 1) d) Pase por los puntos(,-10) y (-, ) b) Tenga pendiente m = - y ordenada b = - 3 e) Tenga pendiente m = -3 y ordenada b = - 4 c) Pase por el punto (1, - 5) y tenga pendiente m = - f) Pase por el punto (-, ) y tenga pendiente m = Dados pos puntos G( 3,8), H(-6,-), I(-1,-6): Hallar: a) Las ecuaciones de las alturas y las coordenadas del ortocentro. d) Las ecuaciones de las bisectrices y las coordenadas de incentro. b) Las ecuaciones de las medianas y las coordenadas del baricentro c) Las ecuaciones de las mediatrices y las coordenadas del circuncentro. e) La ecuación de Euler f) Demostrar que el ortocentro, el circuncentro y el baricentro son colineales. 11. Para cada uno de los triángulos: A (-,1), B (4,7), C(6,-3) D (-4,3), E (5,8), F (1,-5) G (-5,0), H (1,5), I (-1,-4) Hallar: a) Las ecuaciones de sus lados f) Las coordenadas del circuncentro b) Las ecuaciones de las mediatrices g) Las coordenadas del baricentro c) Las ecuaciones de las medianas h) Las coordenadas del ortocentro d) Las ecuaciones de las bisectrices i) Las coordenadas del Incentro. e) Las ecuaciones de las alturas Objetivos: UNIDAD VII. Ecuación general de segundo grado. 11

12 Que el alumno, a partir de una ecuación general de segundo grado en dos variables determine la cónica que representa. Que aplique la definición de lugar geométrico para determinar la ecuación correspondiente, que traslade ejes coordenados para transformar una ecuación dada. 1. Determinar a qué cónica pertenece cada una de las siguientes ecuaciones: a) x + y + 9x -6y +1= 0 b) 9x + 4xy - 4y + 9x -8y +1= 0 c) 1x - 6xy + 10y - 3x -8y +6= 0 d) x - 16xy -4y - 6x -3y + 8= 0 e) x + y - 3x -8y +6= 0 f) 1x - 6xy - 3x -8y +6= 0 g) 8x - 16xy + 6y - 13x - 18y + 16= 0 h) x - xy + 6y - 10x - 1y + 10= 0 j) 6y - 13x - 18y + 16= 0. Determina el tipo de cónica que representa cada ecuación: a) 5x + 18y 6x 3y + 15 = 0 e) y x = 0 1 b) 5x 3y 46x 3y + 35 = 0 f) 0 x x y + = c) 4x + 4y 16x y + 18 = 0 g) 4x xy + y x + y + 5 = 0 d) 3x 4xy 6x + 8 = 0 h) 3x + 5xy + y x = 0 3. En cada inciso, con la información que se da de una cónica, obtén su ecuación. a) Sean F (3,); la directriz y = 8, e = 3 b) Sean F (,0); la directriz x = 0, e = 1 c) Sean F (5,); la directriz x = 3, e = 0 d) Sean F (-3,4); la directriz y = 1; e = 4. Por medio de una traslación de ejes, simplificar la ecuación dada en cada inciso. a) b) y x y = 0 x y x y = 0 c) 9x 16y 3x 14y + 41 = 0 d) x x y = 0 Objetivo: UNIDAD VIII. Circunferencia. Que el alumno, a partir de las condiciones geométricas que cumplen obtener la ecuación que!o define, en este caso una circunferencia. Que aplique los conceptos, incluidos en esta unidad, en la resolución de problemas de su entorno. 1

13 1. Obtener la ecuación general de la circunferencia: a) con centro en el origen y radio 5 b) centro el origen y radio 4 c) de diámetro 8 y centro el origen. d) cuyo diámetro es el segmento limitado por los puntos P(7, -4) y Q(-,8) e) cuyo diámetro es el segmento limitado por los puntos P( -4, 8) y Q(,-8) f) tiene su centro en el punto (-,5) y tangente a la recta x -5y +8 = 0 g) tiene su centro en el punto (,-6) y tangente a la recta x +6y -10 = 0 j) tiene su centro en el punto (6, -5) y tangente a la recta 4x -5y -10 = h) con centro en el punto (-3,8) y radio 15. k) su centro es el punto (-,6) y es tangente a la recta que pasa por P(-9, -4) y Q(-1,8) i) con centro en el punto (3,-7) y diámetro 5.. Dada la ecuación de la circunferencia en su forma general determinar las coordenadas del centro y el valor del radio. Hacer la gráfica a) x + y +6x 4y + 4 = 0 b) x + y +8x 1y -10 = 0 c) x + y +8x 4y + 4 = 0 d) 6x + 6y +1x 18y + 4 = 0 e) 3x + 3y +6x 9y + 3 = 0 f) 4x + 4y 6x + y 1 = 0 3. Determinar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son: a) A(-3,-5), B(1,8), C(6,1) b) A(3,-5), B(-1,8), C(-6,1) 4. Determinar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo cuyos vértices son: a) A(-3,-5), B(1,8), C(6,1) b) A(3,-5), B(-1,8), C(-6,1) Objetivos: UNIDAD IX. Parábola. Que el alumno, a partir de las condiciones geométricas que cumplen los puntos de un lugar geométrico, sea capaz de interpretarlas analíticamente para obtener la ecuación que lo define, en este caso una parábola. Que aplique los conceptos, incluidos en esta unidad, en la resolución de problemas de su entorno. 1. Explica los siguientes conceptos: a) parábola b) directriz c) lado recto d) foco e) vértice f) eje de simetría. Determinar la ecuación general de la parábola, los elementos faltantes y la gráfica si: a) F(-3,6), D: x +5= 0 b) V(,8): D: y +4 = 0 c) V( -3,9), D: y -8 = 0 d) V( 3,-5), D: y +6 = 0 e) F( -3, 5), D: y-10 =0 f) F(5,-4), D: x +1 =0 g) V( -5, 3), D: x -1 =0 h) V(, 3), F(5,3) 3. Determinar las características de cada una de las parábolas y hacer la gráfica correspondiente: a) (y +3) = -8(x-3) b) (y -6) = 16(x+ 4) c) (x -3) = 1(y-4) d) (x +5) = -0(y+ 8) d) y = - 10(x-3) e) x = -4y f) x = -4(y + 6) 13

14 4. Dadas las ecuaciones de la parábola en su forma general, determinar sus elementos y hacer la gráfica. a) y +16x + 6y +41 =0 b) x -4x + 1y +5 =0 c) x +4x + 1y - 0 =0 d) x + 8x 8y -4=0 e) y x + 4y + 6 = 0 f) 5y 5x + 10y + 10 = 0 g) x -10y 4 = 0 h) y + 6x 18 = 0 i) y y + x + 1 = 0 5. En cada uno de los ejercicios hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la ecuación dada. a) y = 1x c) y + 8x = 0 b) x = 1y d) x + x = 0 6. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco el punto F (0,-3) 7. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco el punto F (3,0) 8. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta x+5=0 9. Hallar las ecuaciones de las parábolas cuyos vértice y focos son: a) V (3,4) y F (3,). b) V (-4,3) y F (-1,3) c) V (-4,-) y F (-4,-5) d) V (4,4) y F (1,4) e) V (5,4) y F (,4) f) V (-5,-1) y F (-, 1) Hallar también las ecuaciones de su directriz y la longitud de su lado recto. 10. A partir de la fórmula general obtener la ecuación ordinaria y encontrar (p=parámetro), directriz, vértice, foco y la longitud del lado recto, de las siguientes parábolas. a) y 8x + 6y + 1 = 0 b) y + 4x + 0x 36 = 0 c) 4x + 0x + 4y 97 = 0 d) x x y = 0 f) y y x = 0 g) x x y = Hallara la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa por los puntos, 1, (0,5),(-6,-7). UNIDAD X. Elipse. Objetivo: Que el alumno, a partir de las condiciones geométricas que cumplen los puntos de un lugar geométrico, sea capaz de interpretarlas analíticamente para obtener la ecuación que lo define, en este caso una elipse. Que aplique los conceptos, incluidos en esta unidad, en la resolución de problemas de su entorno. 1. Explicar cada uno de los elementos de la elipse y hacer el esquema.. Determinar la ecuación de la elipse, los elementos faltantes y la gráfica correspondiente si: a) F(-3,8), F (5,8), a = 10 b) V(-4,-), F(5.-), C (1,- c) V(3,-5), C (3,-1), eje menor = 4 d) V?(-4,1), V(.1), L R = 8/3 e) Focos ( 4, 0) y (-4, 0); vértices f) Lado recto 5; vértices (10, 0) y (5, 0) y (-5, 0) (-10, 0) h) Vértices ( 6, 0) y (-6, 0); focos (5, 0) y (-5, 0) i) Lado recto 8; vértices (10, 0) y (-10, 0) 14

15 3.La distancia máxima de la Tierra al Sol es 9.3 x 10 7 millas. La distancia mínima es de 9.1 x 10 7 millas. El encuentra en uno de los focos de la órbita elíptica. Calcula la distancia del Sol al otro foco. Sol se 4. Una compañía constructora va a diseñar un toldo semielíptico para la entrada de un restaurante. El toldo estará colocado a m de altura sobre el piso, tendrá un claro de 4m y por razones estructurales, a 1 m de distancia de un extremo deberá alcanzar una altura de 1 m. a) Cuál será la altura máxima que tendrá el toldo? b) Cuánto costará cubrir el frente con una cubierta de material plático cuyo precio es de $ por m. c) Dibujar a escala el frente del toldo. 5. Dadas las ecuaciones de la elipse en su forma general, determinar todos sus elementos y trazar la gráfica correspondiente: a) x + 4y 5x + y - 5 = 0 b) 4x + y + x + y - 1 = 0 c) 6x + 1y + 8x = 0 d) -x -5y + 0x - 5y - 5 = 0 e) 8x + 3y y - 4 = 0 6. Hallar las ecuaciones de las elipses cuyos vértice y focos son: a) V (4,0), V (-4,0) y F (3,0), F (-3,0) b) V (0,6), V (0,-6) y F (0,4), F (0,-4) c) V (6,0), V (6,0) y F (5,0), F (-5,0) Hallar también la excentricidad, las longitudes de sus lados rectos, las longitudes de sus ejes mayor y menor. 7. Hallar las ecuaciones de la elipse cuyos focos y excentricidad son: a) F (6,0), F (-6,0) y e = b) F (3,0), F (-3,0) y e = c) F (0,4), F (0,4) y e = Los vértices de una elipse tienen por coordenadas V (-3,7) y V (-3,-1) y la longitud de cada lado recto es. Hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes mayor y menor, las coordenadas de sus focos y sus excentricidad. 9. Los vértices de una elipse tienen por coordenadas V (-3,8) y V (-3,-1) y la longitud del lado menor es 8. Hallar la ecuación de la elipse, la longitud de su eje mayor, las coordenadas de sus focos y sus excentricidad. 10. Hallar la ecuación de una elipse que tiene su eje mayor paralelo al eje (X) y uno de sus focos es F(-3,5), además a=1 1 y e =. 11. En cada uno de los ejercicios reducir la ecuación dada a la segunda forma ordinaria de la ecuación de una elipse y determínense las coordenadas del centro, vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor y la de cada lado recto y la excentricidad. a) x + 4y 6x + 16y + 1 = 0 b) 4x + 9y + 3x + 18y + 37 = 0 c) x y x y = 0 d) 9x + 4y 8y 3 = 0 UNIDAD XI. Hipérbola. Objetivos: Que el alumno, a partir de las condiciones geométricas que cumplen los puntos de un lugar geométrico, sea capaz de interpretarlas analíticamente para obtener la ecuación que lo define, en este caso una hipérbola. Que aplique los conceptos, incluidos en esta unidad, en la resolución de problemas de su entorno. 15

16 1. Explicar cada uno de los elementos de la hipérbola y hacer el esquema.. Determinar la ecuación de la hipérbola, los elementos faltantes y la gráfica correspondiente si: a) V (-1,-8), V(5,-8) y el semieje focal c = 5 d) Eje imaginario 8 y focos (5, 0) y (-5, 0) g) centro c(-3,1), un foco en (,1) y excentricidad e = 5/4 b) Eje real 8 y focos (5, 0) y (-5, 0) c) Centro (0, 0), foco (8, 0) y vértice (6, 0) e) Centro el origen, un foco (-8, 0) y f) 9x 16y = 144 un vértice (6, 0) h) vértices n (,0, (-,0) y foco (-4,0) 3. Determinar los elementos de la hipérbola y su gráfica: a) -4x + 9y 4x-90y +153 = 0 b) 9x - 4y 54x-40y-55 = 0 c) 5x - 9y 100y-7x -69 = 0 e) (y 5) - (x + 3) = 1 f) (y 7) - (x + 1) = 1 g) -(x 3) + (y + ) = /4 1/16 4. En las siguientes ecuaciones de hipérbolas, hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la excentricidad y la longitud de cada lado recto. Trazar y discutir el lugar geométrico. a) 9x 4y = 36 b) 4x 9y = 36 c) 9y 4x = 36 d) x 4y = 34 e) 3x 4y = 1 f) 4x y = Los vértices de una hipérbola son los puntos V (,0), V (-,0) y sus focos son los puntos F (3,0), F (-3,0). Hallar su ecuación y su excentricidad. 6. El centro de una hipérbola está en el origen, y su eje transverso está sobre el eje Y. Si un foco es el punto (0,5) y la excentricidad es igual a 3. Hállense las ecuaciones de la hipérbola y la longitud de cada la lado recto. 7. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0,3) y (0,-3) y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola y su excentricidad. 8. Los vértices de una hipérbola son (0,4), (0, -4)y su excentricidad es igual a 3. Hallar la ecuación de la hipérbola y las coordenadas de sus focos. 9. En cada uno de los siguientes incisos reducir la ecuación dada a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola y determinar las coordenadas del centro, vértices y foco, las longitudes de los ejes transversos y conjugado y del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas. a) x 9y 4x + 36y 41 = 0 b) 4x 9y + 3x + 36y 64 = 0 c) x 4y x + 1 = Los vértices de una hipérbola son los puntos V (-1,3) y V (3,3) y su excentricidad es de 3. Hallar la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus transversos y conjugado, y de cada lado recto. 11. Los vértices de una hipérbola son los puntos V (-,) y V (-, 4), y la longitud de su eje transverso es 4. Hallar la ecuación de la curva, las coordenadas de sus focos y su excentricidad. 1. El centro de una hipérbola es el punto C (,-) y uno de sus vértices el punto (0,-). Si la longitud de su lado recto es 8, hallar la ecuación de la curva, la longitud de su eje conjugado y su excentricidad. 16

17 13. Los focos de una hipérbola son los puntos F (4,-) y F (4,-8) y la longitud de su eje transverso es 4. Hallar la ecuación de la hipérbola, la longitud del lado recto, y su excentricidad. 14. El centro de una hipérbola es el punto C (4,5) y uno de sus focos es F (8,5). Si la excentricidad de la hipérbola es. Hallar su ecuación y las longitudes de sus ejes transverso y conjugado. Bibliografía General 1.Baldor, J. Aurelio, Geometría y Trigonometría. México, Publicaciones Cultural, De Oteyza, Elena et al., Geometría Analítica. México, Prentice-Hall Hispanoamericana, Dolciani, Mary P. et al., Álgebra moderna y Trigonometría. México, Publicaciones Cultural, Guerra, Manuel y Silvia Figueroa, Geometría Analítica para bachillerato. México, McGraw-Hill, Lehmann, Charles, Geometría Analítica. México, Limusa, López, Antonio et al., Relaciones y Geometría Analítica. México, Alhambra Bachiller, Nichols, Eugene et al., Geometría moderna. México, Cecsa, Swokowski, Earl, Introducción al Cálculo con Geometría Analítica. México, Grupo Iberoamérica, Entre otros sitios: El paraíso de las matemáticas En estos sitios se encuentran, programas, enlaces e historia. 17