EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 3

Transcripción

1 EJERCICIOS RESUELTOS TEMA Observación: En todos los ejercicios se ha puesto A, como notación de contrario de A. Ejercicio nº.- En una urna hay bolas numeradas de al. Etraemos una bola al azar y observamos el número que tiene. a Describe los sucesos, escribiendo todos sus elementos. i. A "Obtener par" B "Obtener impar" ii. C "Obtener primo" D "Obtener impar menor que 9" b Qué relación hay entre A y B? Y entre C y D? c Cuál es el suceso A B? y C D? a A {,,, 8,,,, } B {,, 7, 9,,, } C {,,, 7,, } D {,, 7} b B A ; D C c A B Ω (Espacio muestral; C D D Ejercicio nº.- Sabiendo que: [A B], ; [ B ],7; [A B ], Calcula [A B] y [A]. [A] [A B ] + [A B], +,,7 [B] [ B ],7, [A B] [A] + [B] [A B],7 +,,,8 Ejercicio nº.- Sabiendo que: [A],; [ B ], ; [ A B ],

2 a Son A y B sucesos independientes? b Calcula [A B] y [A / B]. a [ B ] [B], [B], [ A B ] [ A Β ] [A B], [A B],7 [A B] [A] + [B] [A B],7, +, [A B] [A B], or tanto: [ A] [ B] [ A B],,,, [ A B] [ A] [ B] Luego, A y B no son independientes. b Hemos obtenido en el apartado anterior que: [A B],7 or otra parte: Ejercicio nº.- [ A B] [ A B] [ B], /,7, En unas oposiciones, el temario consta de 8 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 8. Si un opositor sabe de los 8 temas, cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas? Tenemos que hallar la probabilidad de que ocurra el siguiente suceso: A "el opositor conoce, al menos, uno de los tres temas" ara calcularla, utilizaremos el complementario. Si sabe temas, hay 8 - temas que no sabe; entonces: [A] [ A ] ["no sabe ninguno de los tres"] 9 8, 98, or tanto, la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas es de,8. Ejercicio nº.- En una cadena de televisión se hizo una encuesta a personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: vieron la película, vieron el debate y no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados: a Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate? b Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que vio el debate? c Sabiendo que vio la película, cuál es la probabilidad de que viera el debate? Organizamos la información en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:

3 Llamamos D "Vio el debate" y "Vio la película". 9 a D [ ], 8 9 b [ / D], 97 9 c D [ / ], 9 Ejercicio nº.- Tenemos dos urnas: la primera tiene bolas rojas, blancas y negras; la segunda tiene bolas rojas, blancas y negra. Elegimos una urna al azar y etraemos una bola. a Cuál es la probabilidad de que la bola etraída sea blanca? b Sabiendo que la bola etraída fue blanca, cuál es la probabilidad de que fuera de la primera urna? Hacemos un diagrama en árbol: 7 a [ B] + 8 [ I y B] / b [ I / B] B 7 / 8 Ejercicio nº 7.- [ ] 9 De una bolsa que tiene bolas numeradas del al 9, se etrae una bola al azar. a Cuál es el espacio muestral? b Describe los sucesos, escribiendo todos sus elementos: A "Mayor que " B "No obtener " C "Menor que " c Halla los sucesos A B, A B y B A. a E {,,,,,,, 7, 8, 9 }

4 b A { 7, 8, 9 } B {,,,,,, 7, 8, 9 } C {,,,,, } Ejercicio nº 8.- Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que: [A'], [B], [A' B'],9 a Son independientes A y B? b Calcula [A' / B]. a [A' B'] [(A B '] [A B],9 [A B], [A'] [A], [A], [ A] [ B] [ A B],,,, [ A B] [ A] [ B] or tanto, A y B no son independientes. b Como: [ A' / B] [ A' B] [ B] necesitamos calcular [A' B]: [A' B] [B] [A B],,, or tanto: [ A / B] [ A' B] [ B], ',7, Ejercicio nº 9.- En una clase de alumnos hay 8 que han aprobado matemáticas, que han aprobado inglés y que no han aprobado ninguna de las dos. Elegimos al azar un alumno de esa clase: a Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas?

5 b Sabiendo que ha aprobado matemáticas, cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés? c Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"? Organizamos los datos en una tabla de doble entrada, completando los que faltan: Llamamos M "Aprueba matemáticas", I "Aprueba inglés". a [ M I], b [ I / M], c [ M] [ I] 7 8 [ M I ] 8 como [M I] [M] [I], los dos sucesos son NO son independientes Ejercicio nº.- Etraemos dos cartas de una baraja española y vemos de qué palo son. a Cuál es el espacio muestral? Cuántos elementos tiene? b Describe los sucesos, escribiendo todos sus elementos: A "Las cartas son de distinto palo" B "Al menos una carta es de oros" C "Ninguna de las cartas es de espadas" c Halla los sucesos B C y B' C. a E { (O,O, (O,C, (O,Es, (O,B, (C,O, (C,C, (C,Es, (C,B, (Es,O, (Es,C, (Es,Es, (Es,B, (B,O, (B,C, (B,Es, (B,B } Donde O representa oros; C, Copas; Es, espadas y B, bastos. Tiene elementos. b A { (O,C, (O,Es, (O,B, (C,O, (C,Es, (C,B, (Es,O, (Es,C, (Es,B, (B,O, (B,C, (B,Es } B { (O,O, (O,C, (O,Es, (O,B, (C,O, (Es,O, (B,O } C { (O,O, (O,C, (O,B, (C,O, (C,C, (C,B, (B,O, (B,C, (B,B } c B C { (O,O, (O,C, (O,Es, (O,B, (C,O, (C,C, (C,B, (Es,O, (B,O, (B,C, (B,B } B' C { (C,C, (C,B, (B,C, (B,B } Ejercicio nº.-

6 De dos sucesos, A y B, sabemos que: [A' B'] [A' B'], [A'], Calcula [B] y [A B]. [A' B'] [(A B'] [A B] [A B] [A' B'] [(A B'] [A B], [A B], [A'] [A], [A], Así: [A B] [A] + [B] [A B], + [B], [B],9 Ejercicio nº.- De dos sucesos A y B sabemos que: [A'],8 [A B],8 [B], a Son A y B independientes? b Cuánto vale [A / B]? a [A'] [A],8 [A], [A B] [A] + [B] [A B],8, +, [A B] [A B], [ A] [ B] [ A B],,,8, No son independientes. [ A B] [ B], b [ A / B],9, [ A B] [ A] [ B] Ejercicio nº.- Etraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas. Calcula la probabilidad de que sean: a Las dos de oros. b Una de copas u otra de oros. c Al menos una de oros. d La primera de copas y la segunda de oro. a 9,8 9 b, [ NINGUNA DE ], c OROS d, 9 78 Ejercicio nº.- En una clase de alumnos hay 8 que han aprobado matemáticas, que han aprobado inglés y que no han aprobado ninguna de las dos. 9

7 Elegimos al azar un alumno de esa clase: a Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas? b Sabiendo que ha aprobado matemáticas, cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés? c Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"? Organizamos los datos en una tabla de doble entrada, completando los que faltan: Llamamos M "Aprueba matemáticas", I "Aprueba inglés". a [ M I], b [ I / M], c [ M] [ I] 7 8 [ M I ] Como M I M I, los dos sucesos no son independie [ ] [ ] [ ] ntes. Ejercicio nº.- Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay bolas blancas y.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después etraemos una bola de B. a Cuál es la probabilidad de que la bola etraída de B sea blanca? b Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas? Hacemos un diagrama en árbol: 7

8 Ejercicio nº a [ ª Bl ] + [ Bl y Bl ] b Tiramos dos dados y nos fijamos en la suma de los resultados. Calcular: a la probabilidad de que sea un b la probabilidad de que sea un número múltiplo de rimero construyamos el espacio muestral, veamos todas las posibilidades que hay al tirar dos dados y sumamos los resultados: Suma a Al tirar dos dados, solo pueden sumar en los siguientes casos: (,; (,. Así pues, ( la suma sea (S / /8 b Al tirar dos dados, que la suma sea un multipo de se da en los siguientes casos: (,; (,; (,; (,; (,; (,; (,; (,; (,; (,; (,; (,. Así pues, ( la suma sea mult. de (Smult. de / / 7 Ejercicio nº 7 Una variable aleatoria discreta toma valores i,, con función de probabilidad (/. Calcúlese: a ( < b ( c ( <, utilizando la función de probabilidad y la función de distribución. La función de probabilidad es: i ( i / / / / / / La función de distribución: a i F( i / / / / / / 8

9 ( < ( < ( F( F( ( + ( + b ( ( ( ( + ( + ( < + ( ( F( F( + c ( <, ( < + ( <, ( + ( <, + Ejercicio nº 7 Sea la variable aleatoria definida por la función de distribución: <, < F (,8 < a Represéntese gráficamente F( b Determínese la función de probabilidad de esta variable aleatoria a 9

10 b ( ( (,,,8,,,8, Ejercicio nº 8 Dada la función g( e a Compruébese si puede ser función de densidad de una variable aleatoria cuando su campo de variación es el intervalo. b En caso de que no lo pueda ser, qué modificaciones habría que introducir para que lo fuera. a ara que sea función de densidad, debe cumplir dos condiciones en el campo de variación de la variable aleatoria: no ser negativa, y que su integral en el campo de variación sea. rimera condición: e. Tomando neperianos > luego <. Se cumple. Segunda condición: e d e. No se cumple, luego la función dada no es de densidad en ese intervalo. b ara que lo sea: k e d k e k Entonces k La función e sí es función de densidad para. Ejercicio nº 9 Dada la variable aleatoria continua, con función de densidad: Hallar: k( + f ( en el resto a El valor de k para que sea realmente una función de densidad. b La función de distribución. c La media. d La varianza. e ( a k ( + d

11 k + k k b Entre y F( ( + d + + Luego: F ( + si < si si c E ( f ( d E ( ( + d var( E E( d ( [ ] E ( f ( d ( + d var( 7 9 e ( F( F( 9 Ejercicio nº El flujo de demanda de teléfonos móviles (en miles a la hora de una determinada fábrica, se ajusta a una variable aleatoria con la siguiente función de densidad: ( k f ( resto Se pide: a Hallar k, para que f( sea efectivamente una función de densidad. b Hallar la función de distribución F(. c Hallar la esperanza y la varianza de. d Si la fábrica sólo puede producir 7 como máimo en una hora, calcular la probabilidad de que haya un eceso de demanda.

12 a ( d k k k k b Entre y ( d F Luego: < ( si si si F c d f E ( ( ( d E ( [ ] ( var( E E ( ( d d f E var( Ejercicio nº La función de densidad de una variable aleatoria es + caso en otro si b a f (, ( Sabiendo que ( 7. < <, determinar a y b or ser función de densidad: [ ] b a b a b a 8 ( + + +

13 7 b, a +, or otro lado:,7 (, < < ( a + b d a + b[ ], Luego: 8a + b 7a + b,8 a,8 b,9 Ejercicio nº.- El tiempo de reparación en horas de cierta pieza es una variable aleatoria con función de distribución: F ( ( si < si < si Calcular la función de densidad de la variable aleatoria para cualquier valor de, el tiempo medio que lleva la reparación de una pieza y su desviación típica. Derivando la función de distribución: f ( < E ( d var( E( E ( E( d var( DT ( 8 8,78 Ejercicio nº.- Sean las variables aleatorias,y, Z tales que: Y+Z Var (Y Var (Z E(Y Cov (Y,Z -,

14 E(Z - Decidir si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas, justificando la respuesta. a E( 7 b Var ( 7 c Cov (, Y d ρ (,Y - a Falso. E ( E(Y + Z E( Y + E( Z + ( b Verdadero. var( 9 var( Y + var( Z + cov(y,z c Verdadero. cov(, Y E( Y E( E( Y E( Y E Y (Y + Z E(Y + E( YZ porque E ( var( Y E( Y E( Y E( Y + E( Y [ ] + cov( Y, Z, E( YZ E( Y E( Z E( YZ, + E( Y E( Z, + (, Entonces, cov(, Y + (, d Falso cov(, Y ρ (, Y var( var( Y 7 Ejercicio nº.- Lanzamos tres dados y anotamos el número de cincos que obtenemos. a Cuál es la distribución de probabilidad? b Calcula la media y la desviación típica. a Los posibles valores de i son,,,. La tabla de la distribución de probabilidad es la siguiente: or ejemplo, ( i ( salga un ( salga en el primer dado O en el º O en el tercer dado (/ / / + (/ / / + (/ / / (/ / / (/ 7/ Esta tabla también se puede confeccionar dándonos cuenta de que se trata de una eperiencia dicotómica ( lanzar un dado y salir o no realizada veces, n, siendo la probabilidad de éito, p/ ( Salir, se trata pues de una B(,/ y entonces ( i 8 b µ Σ p i i, µ, 7

15 σ Σ p i i µ, σ, Ejercicio nº.- ara cada una de las siguientes situaciones, indica si sigue una distribución binomial. En caso afirmativo, identifica en ella los valores de n y p: a Lanzamos cien veces un dado y nos preguntamos por el número de unos que obtenemos. b Etraemos una carta de una baraja y vemos si es un as o no. Sin devolverla al mazo, etraemos otra y también miramos si se trata de un as o no,... y así sucesivamente hasta diez veces. a Es una distribución binomial con n, p/ B(, / b No es una binomial, pues la probabilidad de obtener as para la segunda carta es distinta que para la primera (al ser sin reemplazamiento las etracciones. Ejercicio nº.- El % de los alumnos de un cierto instituto cursan estudios universitarios al terminar el Bachillerato. En un grupo de ocho alumnos elegidos al azar, halla la probabilidad de que estudien una carrera: a Alguno de ellos. b Más de seis. Calcula la media y la desviación típica. Si llamamos "número de alumnos, de un grupo de 8, que estudian carrera", se trata de una distribución binomial con n 8, p, B(8;, 8 a p [ > ] p[ ],, 9998 p[ > ], 9998 b p [ > ] p[ 7] + p[ 8] ,, +, 8,, +,,9 p 7 8 Hallamos la media y la desviación típica: µ np 8,, µ, σ npq 8,,, σ, Ejercicio nº 7.- [ > ], 9 En un sorteo que se realiza diariamente de lunes a viernes, la probabilidad de ganar es,. Vamos a jugar los cinco días de la semana y estamos interesados en saber cuál es la probabilidad de ganar,,,, ó días. a Haz una tabla con las probabilidades. b Calcula la media y la desviación típica. a

16 Observar que se trata de una B(;, por ejemplo: ( i b µ Σ p i i, µ, σ Σ p µ,7,,,7 σ, 7 i i Ejercicio nº 8.- Eplica para cada una de estas situaciones si se trata de una distribución binomial. En caso afirmativo, identifica los valores de n y p: a El % de las naranjas que se empaquetan en un cierto lugar están estropeadas. Se empaquetan en bolsas de naranjas cada una. Nos preguntamos por el número de naranjas estropeadas de una bolsa elegida al azar. b En una urna hay bolas rojas, blancas y verdes. Sacamos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Repetimos la eperiencia veces y estamos interesados en saber el número de bolas blancas que hemos etraído. Es una distribución binomial con n, p, B ; a (, b Es una distribución binomial con n, p B, 7 7 Ejercicio nº 9.- Una urna contiene bolas rojas, blancas y verdes. Etraemos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Si repetimos la eperiencia veces, calcula la probabilidad de sacar: a Alguna bola verde. b Menos de dos bolas verdes. Halla el número medio de bolas verdes etraídas. Calcula también la desviación típica. Si llamamos "número de bolas verdes etraídas", se trata de una distribución binomial con n, p, B( ;, a p [ > ] p[ ],8, 7 p[ > ], 7 b p [ < ] p[ ] + p[ ],8 +,,8, 77 p[ < ], 77 Hallamos la media y la desviación típica: µ np, bola verde ( por término medio µ σ npq,,8,89 σ,89 Ejercicio nº.- En una bolsa hay bolas rojas, blancas y verdes. Hacemos tres etracciones con reemplazamiento y anotamos el número total de bolas verdes que hemos sacado. a Haz una tabla con las probabilidades. b Calcula la media y la desviación típica.

17 a Los posibles valores de i son,,,. La tabla de la distribución de probabilidad es la siguiente: b µ Σ p i i, µ, σ Σ p µ,8,,8,9 σ, 9 i i Ejercicio nº.- En cada una de estas situaciones, eplica si se trata de una distribución binomial. En caso afirmativo, di cuáles son los valores de n y p: a El % de las chinchetas que se hacen en una determinada fábrica salen defectuosas. Se empaquetan en cajas de chinchetas. Estamos interesados en el número de chinchetas defectuosas de una caja elegida al azar. b En una urna hay bolas rojas, blancas y verdes. Etraemos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Repetimos la eperiencia veces y estamos interesados en saber el número de bolas de cada color que hemos obtenido. a Es una distribución binomial con n, p, B ;, b No se trata de una binomial, ya que tenemos más de dos resultados posibles: rojo, blanco, verde. 7 ( Ejercicio nº.- Se sabe que el % de la población de una determinada ciudad ve un concurso que hay en televisión. Desde el concurso se llama por teléfono a personas de esa ciudad elegidas al azar. Calcula la probabilidad de que, entre esas personas, estuvieran viendo el programa: a Más de 8. b Alguna de las. Halla la media y la desviación típica. Si llamamos "número de personas entre esas, que están viendo el programa", se trata de una distribución binomial con n, p, B(;,. a p [ > 8] p[ 9] + p[ ] 9 9,,7 +,,,7 +,, p 9 p > p, 7,97 p >, b [ ] [ ] [ ] 97 Hallamos la media y la desviación típica: µ np, µ σ npq,,7,, σ, [ > 8],

18 Ejercicio nº.- La siguiente gráfica corresponde a la función de probabilidad de una variable continua, : Calcula la probabilidad de que : a Sea menor que. b Esté entre / y / El área total bajo la curva es: a Área u Entre y tenemos un trapecio cuyas bases miden + Área y, u y su altura es.su área será: or tanto: p [ < ] b Entre y tenemos un trapecio de bases + Área u or tanto: p < < y, y de altura.su área será: Ejercicio nº.- Halla, en una distribución N(,, las siguientes probabilidades: a p [ z >,] b p [ z >,7] p, < z <, c [ ] 8

19 a p [ z >, ] p[ z <, ], 79 b p [ z >, 7] p[ z, 7],898, c p [, < z <, ] p[ z <, ] p[ z <, ] p [ z <,] p[ z >,] p[ z <,] ( p[ z, ],88 (,98, 7 Ejercicio nº.- El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal N(9,. Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol: a Superior a unidades. b Entre 8 y unidades. 9 9 p z,7,78, a p [ > ] p > p[ z >, 7] [ ] p [ < z <,] p[ z <,] p[ z < ] z <, p z > p z <, p z,99,8, b p [ 8 < < ] p < < p [ ] [ ] [ ] ( [ ] ( 8 Ejercicio nº.- En una distribución N(,, calcula las siguientes probabilidades: a p [ z >,] b p [ z >,] p, 8 < z <, c [ ] a p [ z >, ] p[ z <, ], 98, 9

20 b p [ z >, ] p[ z <, ], 89 c p [,8 < z <,] p[ z <,] p[ z <, 8] p[ z <,] p[ z >, 8] p [ z <,] ( p[ z, 8],99 (,8, 79 Ejercicio nº 7.- El tiempo empleado, en horas, en hacer un determinado producto sigue una distribución N(,. Calcula la probabilidad de que ese producto se tarde en hacer: a Menos de 7 horas. b Entre 8 y horas. 7 p z >, p z,,9, a p[ < 7] p < p[ z <, ] [ ] [ ] 8 8 p[ z <,] p[ z < ] p[ z <,] p[ z > ] p z <, p z,9,8, b p[ 8 < < ] p < < p[ < z <, ] [ ] ( [ ] ( 77 Ejercicio nº 8.- En una distribución N(,, calcula: a p [ z >,8] b p [ z <,] p,7 < z <, c [ ] p z >,8 p z <,8,88, a [ ] [ ] 9 b p [ z <,] p[ z >,] p[ z,], 98, 79

21 c p [, 7 < z <, ] p[ z <, ] p[ z <, 7] p[ z <, ] p[ z >, 7] [ z <,] ( p[,7],897 (,7, 9 p z Ejercicio nº 9.- Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribución N(9,. Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio: Superen los euros. Estén entre 7 y euros p[ 7 < < ] p < < p[ < z <,] p[ z <,] p[ z < ] z <, p z > p z <, p z,987,8, p [ > ] p > p[ z >, ] p [ z, ],89, p [ ] [ ] [ ] ( [ ] ( Ejercicio nº.- El 7% de los pantalones de una determinada marca salen con algún defecto. Se empaquetan en caja de 8 para distribuirlos por diferentes tiendas. Cuál es la probabilidad de que en una caja haya más de pantalones defectuosos? Si llamamos "número de pantalones defectuosos en una caja", entonces es una binomial con n 8 ; p,7, en la que hay que calcular p[ > ]. La calculamos aproimando con una normal: La media de es np 8,7,; su desviación típica es npq,8. es B ( 8;,7 ' es N(,;,8 z es N(,,, p,8 p z <,,98,8 p >, [ > ] p[ ',] p z p[ z, ] [ ] [ ] 8

22 Ejercicio nº.- Un eamen de preguntas admite como respuesta en cada una de ellas dos posibilidades, verdadero o falso. Si un alumno contesta al azar, calcula la probabilidad de que acierte más de respuestas. Si llamamos "número de respuestas acertadas", entonces es una binomial con n, p en la que tenemos que calcular: p [ ] > (La media de es np.su desviación típica es npq. La calculamos aproimando con una normal:, es B, ' es N (, z es N(,, p [ > ] p[ ',] pz p[ z, ] p z <,,98,79 p >, [ ] [ ] 79 Ejercicio nº.- En una urna hay bolas rojas, blancas y verdes. Sacamos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Si repetimos la eperiencia veces, cuál es la probabilidad de sacar roja en más de ocasiones? Si llamamos "número de bolas rojas", entonces es una binomial con n, p,, en la que tenemos que calcular p [ > ]. La calculamos aproimando con una normal: La media de es np, ; su desviación típica es npq,. es B ( ;, ' es N( ;, z es N(, p,, [ > ] p[ ',] p z p[ z, 7] [ z <,7],9, p[ > ], p