Juegos estáticos con información completa

Transcripción

1 Teoría de las decsones y de los juegos. Tema : Juegos estátcos con nformacón completa Juego en forma normal g = ( N={,,,n},(S,,S n ), (u,,u n ) ) N conjunto de jugadores, œ N (fnto) S, conjunto de estrategas del jugador u : SØ pago (utldad, benefco) del jugador (S = S x x S n ) No publcdad Publcdad No publcdad C Publcdad 0 50-C

2 Juego en forma normal g = ( I={,,,I},(S,,S I ), (u,,u I ) ) I conjunto de jugadores, œ I (fnto) S, conjunto de estrategas del jugador u : SØ pago (utldad, benefco) del jugador (S = S x x S I ) No publcdad Publcdad No publcdad C 0 Publcdad 0 50-C 80-C 50-C 3 Qué caracterza a los juegos estátcos con nformacón completa? Supuestos báscos: Eleccón smultanea. Informacón completa de pagos, estrategas, número de jugadores. Raconaldad (cada uno maxmza su pago) Conocmento mutuo de la raconaldad. Yo soy raconal y sé que los otros jugadores son raconales y tambén sé que ellos saben que yo sé que ellos son raconales y que yo sé que ellos saben que yo sé que ellos son raconales. 4

3 Conceptos de solucón Domnanca y domnanca teratva. Equlbro de Nash 5. Domnanca y domnanca teratva Defncón de estratega estrctamente domnada: La estratega s œ S es estrctamente domnada por s œ S s, u ( s s ) > u ( s, s ), s S 6 3

4 . Domnanca y domnanca teratva Defncón de estratega déblmente domnada: La estratega s es déblmente domnada por s s u y ( s, s ) u ( s, s ) s S tal que u s ( s, s ) > u ( s, s ) S 7 8 Ejemplo.: El dlema del prsonero Alfonso (A) y Bernardo (B) han sdo arrestados bajo sospecha de haber cometdo un crmen juntos. Ambos permanecen en celdas separadas. A cada uno se le da la oportundad de confesar el crmen e ncrmnar al otro. S solo uno de ellos escoge esta opcón, este es premado con la lbertad mentras su compañero sufre una pena de años. S ambos confesan, la evdenca recolectada es sufcente para condenar a ambos con una pena de 0 años. En cambo s nnguno confesa no hay sufcentes pruebas y ambos son condenados a año de prsón. S = S = { C, NC } A B A/B C NC u ( C, C ) = 0 A C (-0,-0) (0,-) u ( C, NC ) = 0 A u ( NC, C ) = A NC (-,0) (-,-) u ( NC, NC ) = A. 4

5 . El dlema del prsonero 9 Hay alguna estratega estrctamente o déblmente domnada? Para el jugador A: u ( C, C) > u ( NC, C) A A Confesar maxmza la utldad de A s B confesa. y u A ( C, NC) > u A ( NC, NC) Confesar maxmza la utldad de A s B no confesa No confesar (NC) es una estratega estrctamente domnada por confesar (C) para A. El dlema del prsonero. 0 Para el jugador B: u ( C, C) > u ( C, NC) Confesar maxmza la utldad de A s B confesa. y B u B B ( NC, C) > u B ( NC, NC) Confesar maxmza la utldad de A s B no confesa No confesar (NC) es una estratega estrctamente domnada por confesar (C) para B. 5

6 El dlema del prsonero Cuál podría ser una solucón natural de este juego?. Domnanca y domnanca teratva Elmnacón teratva de estrategas domnadas. Nngún jugador elegrá una estratega estrctamente domnada. Para el ejemplo. (dlema del prsonero) podemos elmnar la estratega estrctamente domnada para el jugador A: NC. El juego se reduce a: A B C C (-0,-0) NC (0,-) 6

7 . Domnanca y domnanca teratva El jugador B tambén tene una estratega domnada. Dado que el jugador B es raconal no jugará la estratega domnada: NC El juego se reduce: La solucón del juego A/B C por elmnacón C (-0,-0) teratva de estrategas domnadas es {C, C} 3 Ejemplo.: Elmnacón teratva de estrategas domnadas / L R U (,3) (,) M (,0) (0,) D (,) (3,) 4 7

8 Ejemplo.: Elmnacón teratva de estrategas domnadas / L R U (,3) (,) U es estrctamente domnada / M L (,0) R (0,) M (,0) (0,) D (,) (3,) D (,) (3,) 5 L es una estratega domnada para Elmnacón teratva de estrategas domnadas / M L (,0) R (0,) L es estrctamente domnada 3 / R M (0,) D (3,) 4 / R D (3,) D (,) (3,) M es estrctamente domnada Solucón {D, R} 6 8

9 Ejemplo.3: Lmtacones de la elmnacón teratva de estrategas domnadas. Consdérese el juego G= {S ={A, M, B},S ={I, C, D}, u,u } / I C D A (0,4) (4,0) (5,3) Cuáles son las estrategas domnadas? M (4,0) (0,4) (5,3) Que predccones de solucón tenemos para este juego? B (3,5) (3,5) (6,6) 7 Ejemplo.4: Lmtacones de la elmnacón teratva de estrategas domnadas (II) Consdérese el juego G= {S ={A, M, B},S ={I, D}, u,u }. / I D Cuáles son las estrategas domnadas? A (5,) (4,0) Cuáles son las estrategas domnadas déblmente? M (6,0) (3,) Que predccones de solucón tenemos para este juego? B (6,4) (4,4) Conclusón: elmnar estrategas domnadas déblmente puede llevarnos a predccones dstntas. 8 9

10 .3 Equlbro de Nash { { } } n Defncón: En el juego de forma normal G = N; { S n u, = }; = las estrategas ( s,..., s ) forman un equlbro de Nash s, n para cada jugador, s es la mejor respuesta del jugador (o al menos una de ellas) a las estrategas de los otros n- jugadores, s = (,...,,,..., : s s s+ sn) ( s,..., s, s, s,..., s ) u ( s,..., s, s, s,..., s ) u + n + n para cada posble s en S ; esto es, s, es una solucón de: maxu s S ( s,..., s, s, s,..., s + n ) 9.3 Equlbro de Nash Nnguna desvacón unlateral es benefcosa. Esto mplca que s es mejor respuesta a s denotamos MR { s } la mejor respuesta del jugador a la estratega s Con dos jugadores, en el equlbro de Nash se ntersecan las MRs; s = MR { s } s = MR { s }. 0 0

11 Ejemplo.3 Consdérese el juego G= {S ={A, M, B},S ={I, C, D}, u,u } Vamos a buscar las mejores / A M B I (0,4) (4,0) (3,5) C (4,0) (0,4) (3,5) D (5,3) (5,3) (6,6) respuestas de cada jugador S encontramos algún par de estrategas ( s, s s = MR { s } y Entonces equlbro de Nash. ) tal que s = MR ( s, s ) { s es un } Ejemplo.4 Consdérese el juego G= {S ={A, M, B},S ={I, C, D}, u,u } / I C D A M B (0,4) (4,0) (3,5) (4,0) (0,4) (3,5) (5,3) (5,3) (6,6) MR { I} = M MR { C} = A MR { D} = B MR { A} = I MR { M} = C MR { B} = D Exste un únco equlbro de Nash: ( s, s ) = ( B, D)

12 Ejemplo.5: La batalla de los sexos. Consdera el sguente juego Albert (A) y Berta (B) deben decdr que hacer el sábado por la noche. Deben elegr entre cne o fútbol. Ambos preferen r juntos a cualquera de las actvdades a r solos. Albert prefere r al fútbol, pero Berta prefere r al cne. G = {S A =S B ={C,F}; u A, u B } Los pagos (utldad) están representados en la matrz de pagos: A/B C F C (,) (0,0) F (-,-) (,) 3 Batalla de los sexos Sea G = {S A =S B ={C,F}; u A,u B }: A/B C F C (,) (0,0) F (-,-) (,) MR { C} = C A MR { F} = F A MR { C} = C B MR { F} = F B Exsten múltples equlbros de Nash: EN = {( C, C),( F, F)} 4

13 Votacón por mayoría Tres votantes,,3 Tres opcones A,B,C Estrategas S ={ v A, v B, v C }. La opcón ganadora es la que obtene mayoría de votos. En caso de empate, la opcón ganadora es A. Utldad depende solo de la opcón ganadora. u (A)=u (B)=u 3 (C)= u (B)=u (C)=u 3 (A)= u (C)=u (A)=u 3 (B)=0 5 Votacón por mayoría: EN Es votar por la opcón favorta (v A,v B,v C ) un equlbro de Nash? Cuál es un equlbro de Nash? (v A,v A,v A ), (v B,v B,v B ), (v C,v C,v C ) (v A,v B,v A ), (v A,v C,v C ) 6 3

14 Ejemplo.6: Los cclos de Edgeworth o Bertrand con restrccones de capacdad. Dos empresas déntcas A y B compten en precos (la llamada competenca a la Bertrand). Ambas ofrecen un ben homogéneo. La demanda total D(p)=0 p donde p = mn{p A, p B }. Restrccón de capacdad: la que vende al preco mas barato sólo podrá proveer a 6 consumdores. 7 (versón corregda) Ejemplo.6: Los cclos de Edgeworth o Bertrand con restrccones de capacdad. De este modo s una empresa vende más caro no saldría del mercado, vendería solamente a D(p) - 6 consumdores. S ambas empresas elgen el msmo preco se reparten el mercado a medas. Para smplfcar suponemos que las empresas sólo pueden elegr tres precos:, 3 y 5. Supongamos que el coste de producr el ben es cero. g = {{A,B},S A =S B ={, 3, 5 }; π A, π B } 8 (versón corregda) 4

15 Bertrand con restrccones de capacdad Dado que los costos margnales son nulos sólo necestamos calcular los ngresos para escrbr la matrz de pagos. A/B 3 5 ( 0,) 3 ( 5,8) 5 ( 8,8) (,6) (,0) (,) 6 (, ) ( 8,5) ( ) 5, 5 Exste un equlbro de Nash? Que predccones de solucón tenemos para este juego? 9 Bertrand con restrccones de capacdad A B MR {} = 5 A MR {3} = A MR {5} = 3 A MR {} = 5 B MR {3} = B MR {5} = 3 En el juego de Bertrand con restrccones de capacdad no exste nngún equlbro de Nash B 30 EN ESTRATEGIAS PURAS. 5

16 .4 Estrategas mxtas Hemos defndo S como el conjunto de estrategas con que cuenta el jugador, un equlbro de Nash en estrategas puras es una combnacón de estrategas ( s,..., s ) s, para n cada jugador s es la mejor respuesta del jugador a las estrategas de los otros n- jugadores. 3.4 Estrategas mxtas Como hemos vsto no exste un EN en estrategas puras en el juego de Bertrand con restrccones de capacdad (tambén conocdo como duopolo de Edgeworth). Otro ejemplo: El juego de pedra, papel o tjera; S el otro jugador sabe que escogemos pedra con certeza éste escogerá papel. Nos convene elegr al azar entre las dstntas estrategas. 3 6

17 .4 Estrategas mxtas Defncón: En el juego en forma normal G={N; S,,S n ; u,,u n } supongamos que S = {s,,s K }. En este caso para el jugador una estratega mxta es una dstrbucón de probabldad p = (p,, p K ), donde 0 p k para k =,,K y p + +p K =. 33 Ejemplo.7: El juego de las monedas. Imagnemos que cada jugador tene una moneda y debe elegr s mostrar una cara de la moneda. S las dos monedas concden, esto es, ambas muestran la msma cara, el jugador gana la moneda del jugador. S las caras de las monedas no concden entonces el jugador gana la moneda del jugador. G = {{,},S =S ={cara,cruz }; u, u } / cara cruz cara (-, ) (, -) cruz (, -) (-,) 34 7

18 Ejemplo.7: El juego de las monedas. / cara cruz A B cara cruz (-, ) (, -) (, -) (-,) MR { cara} = cruz MR { cruz} = cara MR { cara} = cara MR { cruz} = cruz No exste nngún equlbro de Nash en estrategas puras. 35 El juego de las monedas. Cómo hallar un EN en estrategas mxtas? Para este juego un equlbro de Nash es una dstrbucón de probabldad p k para el jugador y q k para el jugador con k ={cara, cruz}. Como tenemos sólo dos estrategas posbles un EN, en estrategas mxtas es (p, q) tal que, y u ( p, q ) u ( p, q ) u ( p, q ) u ( p, q) Donde p es la probabldad de que juegue cara y q es la probabldad de que juegue cara. 36 8

19 El juego de las monedas. Cómo calcular los pagos? u ( p, q) = pq( ) + p( q)() + ( p) q() + ( p)( q)( ) u ( p, q) = pq() + p( q)( ) + ( p) q( ) + ( p)( q)() 37 pq = Probabldad de que juegue cara y juegue cara (eventos ndependentes) p(-q) = Probabldad de que juegue cara y juegue cruz (eventos ndependentes). (-p)q = Probabldad de que juegue cruz y juegue cara (eventos ndependentes). (-p)(-q) = Probabldad de que ambos jueguen cruz (eventos ndependentes) El juego de las monedas. 38 Jugador : cuál es la mejor respuesta (p) a q? u ( p, q) = pq + p pq + q pq + q + p pq u ( p, q) = 4 pq + p + q u ( p, q) = ( 4q + ) p + q La utldad es lneal en p. El jugador escogerá cara con probabldad s -4q + > 0. Es decr, escoge p = s q < ½. S -4q + < 0 entonces jugará cruz con probabldad. Es decr, escoge p = 0 s q > ½. S q = ½ el jugador puede elegr cualquer p (entre cero y uno) ya que le daría la msma utldad. 9

20 El juego de las monedas. Correspondenca de mejor Correspondenca de mejor respuesta del jugador : respuesta del jugador : p q / q / p p = s q < ½. u ( p, q) = (4 p ) q p = 0 s q > ½. q = s 4 p > 0 q = 0 s 4 p < 0 p + 39 El juego de las monedas. El equlbro de Nash en estrategas mxtas es (p, q) = (/, /) p MR (p) / MR (q) / q 40 0

21 .4 Estrategas mxtas 4. Cuál es el equlbro de Nash en estrategas mxtas del juego del ejemplo.5 (batalla de los sexos)?. Cuál es el equlbro de Nash en estrategas mxtas del juego del ejemplo.6 (Bertrand con restrccones de cantdad)?. Cuál es el equlbro de Nash en estrategas mxtas del juego del ejemplo. (dlema del prsonero)? v. Qué relacón exste entre el EN (en estrategas puras o mxtas) y la elmnacón teratva de estrategas domnadas? 4.4 Estrategas mxtas. Cuál es el equlbro de Nash en estrategas mxtas del juego del ejemplo.5 (batalla de los sexos)? Proposcón (Propedad de neutralzar ) (p, q) es un equlbro de Nash en estrategas mxtas s y sólo s cada jugador escoge las probabldades de tal manera que las estrategas con probabldad estrctamente postva tengan el msmo pago esperado. En el ejemplo.5: ua( C, q ) = u A( F, q ) u ( p, C) = u ( p, F) B B Faclta los cálculos!

22 .4 Estrategas mxtas La proposcón tambén se verfca s hay más de jugadores o s los jugadores tenen más de estrategas:. Para el juego del ejemplo.6 (Bertrand con restrccones de cantdad), cuál es el equlbro de Nash en estrategas mxtas donde todas las estrategas tenen probabldad >0? 43.4 Estrategas mxtas Proposcón: S después de la elmnacón teratva de estrategas domnadas sólo queda un perfl de estrategas (es decr, una estratega para cada jugador), entonces este perfl es el únco equlbro de Nash.. Cuál es el equlbro de Nash en estrategas mxtas del juego del ejemplo. (dlema del prsonero)? 44

23 .4 Estrategas mxtas Proposcón: Cada equlbro de Nash (en estrategas puras o mxtas) sobrevve la elmnacón teratva de estrategas domnadas Estrategas mxtas v. Cuáles son los equlbros de Nash del sguente juego? ( Ojo!) A/B b b b 3 a (,0) (,) (,3) a (,4) (,5) (4,0) 46 Cuál es la conclusón? 3

24 .4 Estrategas mxtas v. Cuáles son los equlbros de Nash del sguente juego? ( Todavía más ojo!) A/B b b b 3 a (,0) (,) (,4) a (,4) (,) (0,0) 47 Cuál es la conclusón fnal? Ejemplo.8: Juego de nspeccón Trabajador: {Trabajar, Vago} Jefe: { Inspecconar, No nspecconar} Vago Inspecconar 0, -c No Inspecconar 0, -0 Trabajar 4, 40-c 4,

25 Ejemplo.8: Juego de nspeccón c=5 No hay EN puro q -q No Inspecconar Inspecconar p Vago 0, -5 0, -0 -p Trabajar 4, 35 4, Ejemplo.8: Juego de nspeccón c=6 q -q No Inspecconar Inspecconar p Vago 0, -6 0, -0 -p Trabajar 4, 34 4,

26 .4 Exstenca del equlbro de Nash Teorema En el juego de forma normal G = {N; S,, S n ; u,, u n }, s n es un numero fnto y S es fnto para cada, exste al menos un equlbro de Nash, que posblemente ncluye estrategas mxtas. 5.4 Exstenca del equlbro de Nash Demostracón para juegos x q -q p c>a, b >d p -p a c b d MR (q) 0 0 q q q tal que a q+b(-q)=c q+d(-q) 5 6

27 .4 Exstenca del equlbro de Nash p Demostracón para juegos x a>c, d >b p -p q a c -q b d MR (q) 0 0 q q q tal que a q+b(-q)=c q+d(-q) 53.4 Exstenca del equlbro de Nash p Demostracón para juegos x a>c, b >d p -p q a c -q b d MR (q) 0 0 q 54 7

28 .4 Exstenca del equlbro de Nash Demostracón para juegos x q -q c>a, d >b p a b p -p c d MR (q) 0 0 q 55.4 Exstenca del equlbro de Nash p Un únco equlbro de Nash en estrategas mxtas p 0 0 q q 56 8

29 .4 Exstenca del equlbro de Nash p Tres equlbros de Nash, uno en estrategas mxtas p 0 0 q q 57.4 Exstenca del equlbro de Nash p Un únco equlbro de Nash 0 0 q 58 9

30 .4 Exstenca del equlbro de Nash p Un únco equlbro de Nash 0 0 q 59.4 Exstenca del equlbro de Nash Demostracón formal: S el conjunto de estrategas forman un equlbro de Nash, entonces para todo, s = MR (s ) es equvalente a s = f (s ) En estrategas mxtas, σ = f ( σ ) El equlbro de Nash es un punto fjo de f

31 .4 Exstenca del equlbro de Nash 6 Demostracón: La demostracón hace uso de los sguentes teoremas: Teorema de punto fjo de Kakutan. Sea S un conjunto no vacío, compacto y convexo en R n y sea f: S S una correspondenca s.c.s f tene al menos un punto fjo que satsface sœ S y s œ f(s). Teorema del máxmo. Sea h = max y u(x,y) y G = arg max y u(x,y) (Berge) Sea X œ R m y Yœ R k. Sea u : X Y R contnua y Γ : X Y contnua con Y compacto. Entonces h : X R es contnua y G : X Y es no vacío, Y es compacto, y s.c.s (sem contnuo superormente).4 Exstenca del equlbro de Nash Se cumplen las condcones? (En estrategas mxtas) Σ es compacto: Recuérdese que 0 σ. Es cerrado y acotado. Σ no esta vacío: Maxmzamos u en un conjunto compacto. Exste un maxmo entonces MR(σ - ) no esta vaco. Σ es convexo: supongamos que no. Exsten dos MR σ y σ como ambas pertenecen a Σ, ambas proporconan el msmo pago u(σ ) = u(σ ). Tenemos σ = λσ +(-λ) σ, necesaramente u(σ )< u(σ )=u(σ ). u(σ )= σ s = λ σ s +(-λ) σ s = u(σ ) llegamos a una contradccón, entonces Σ es convexo. Para que la correspondenca de mejor respuesta sea u.h.c. necestamos que u sea contnua. 6 3

32 .5 Aplcacones ) Olgopolo de Cournot Modelo de Olgopolo de Cournot (n empresas) Ejemplo con empresas y funcón de demanda lneal. Exstenca del equlbro de Nash, en estrategas puras, en juegos nfntos con funcones de pago contnuas. 63 Olgopolo de Cournot Sea un determnado mercado de un certo producto homogéneo cuyos consumdores reacconan agregadamente de acuerdo a una funcón de demanda Q(p), pœr + Satsface la llamada ley de la demanda (es estrctamente decrecente). Su funcón nversa es P(Q). Supongamos que partcpan n empresas en el mercado dentfcadas con el subíndce, cada empresa tene asocada una funcón de costes C (q ), crecente y convexa. La varable de decsón de las empresas es su cantdad producda q decdda smultáneamente por todas ellas. La cantdad total Q = q + q + + q n. Los benefcos obtendos por la empresa son π (q) = P(Q)q C (q ) ; q = (q, q,, q n ) 64 3

33 Duopolo de Cournot Sea un determnado mercado de un certo producto homogéneo. La funcón nversa de demanda vene determnada por P(Q) = max { 3 Q, 0}. Supongamos que partcpan empresas en el mercado dentfcadas con el subíndce, cada empresa tene asocada una funcón de costes C (q ) = c q. La varable de decsón de las empresas es su cantdad producda q decdda smultáneamente por ambas. La cantdad total Q = q + q. Los benefcos obtendos por la empresa son π (q) = P(Q)q C (q ) ; q = (q, q,, q n ) Suponemos además que c =, c = Exstenca del equlbro de Nash/Cournot La funcón de mejor respuesta de cada empresa es q = f (q j ) donde f ( q CPO f ( q j j ) = arg max q q q j c ) = ( q q j c = 0 q ) q j c q 66 33

34 Exstenca del equlbro de Nash/Cournot q f (q )=(0-q )/ f (q )=(9-q )/ EN: q = f (q ) ; q = f (q ) q = /3 ; q = 8/3 4.5 f ( q, q ) (q,q ) a ( f es un punto fjo de ( q ), f ( q )) f 5 q 67 Exstenca del equlbro de Nash en estrategas puras Teorema: Sea g=(i,s,u) un juego en forma normal, tal que, para cada S es compacto y convexo, y u contnua en s=(s,,s n ) u concava en s Entonces, g tene un equlbro en estrategas puras

35 Aplcacones ) El modelo de Downs El modelo de Downs y el teorema del votante medano Los juegos de suma cero o suma constante. 69 El modelo de Downs Dos canddatos A y B ntentan consegur el máxmo de número de votos en unas eleccones. Ambos deben elegr una poscón polítca en la línea de [-X, X] donde X se nterpreta como la extrema zquerda y X la extrema derecha. Ambos canddatos elgen smultáneamente las poscones polítcas, x A y x B con x A, x B œ [-X, X] El electorado tene preferencas deológcas sobre la polítca: cada votante tene su polítca deal x y votará al canddato A s x A -x < x B -x y al B s x A -x > x B -x. (En caso de x A -x = x B -x votará a cada canddato con probabldad ½. ) Suponemos que las polítcas deales del electorado son caracterzadas por la funcón de dstrbucón F(x) con x œ [-X, X] y F (x)>

36 El modelo de Downs Pagos: s x A = x B u A (x A, x B )= ½, u B (x A, x B )= ½ s x A < x B u A (x A, x B )= F((x A +x B )/), u B (x A, x B )= - F((x A +x B )/). -X x A x B X 7 El modelo de Downs Equlbro de Nash: (x A, x B ) x A < x B? -X x A x B X -X x B X 7 36

37 El modelo de Downs Equlbro de Nash: (x A, x B ) x A = x B < x M? ( donde F(x M )= ½ ) -X x A = x B x M X -X x A x M X 73 El modelo de Downs Equlbro de Nash: (x A, x B ) x A = x B = x M? ( donde F(x M )= ½ ) -X x A =x B =x M X -X x A =x M X 74 37

38 Juegos suma constante u (s)+u (s)=c para cada s ejemplos: Downs, juego moneda Sea v = max p mn q u (p,q) Teorema (von Neumann): Para cualquer equlbro de Nash (p,q), u (p,q) = v, y además v = mn q max p u (p,q). 75 Aplcacones 3) Contrbucones prvadas a un ben públco Contrbucones prvadas a un ben públco y el problema del free rder Comparacón con el nvel óptmo de ben públco. Aplcacón a la economía del medoambente

39 Contrbucones prvadas a un ben públco 77 Consdérese una comundad de n ndvduos que desea fnancar un ben públco cuyo nvel de dotacón lo denotamos por y. Este ben públco se ha de costear medante la contrbucón de la comundad y, =,,n. Supongamos que la tecnología que transforma las contrbucones en ben públco tene rendmentos constantes a escala: y = y. La funcón de utldad de cada ndvduo es gual a U (y,,y n ) = x + y ; =,,n. x es el nvel de consumo del ndvduo : renta menos contrbucón, x = ω y, con ω >0. Contrbucones prvadas a un ben públco Ejemplo númerco: n=3, ω=4 Comportamento estratégco U (y, y,y 3 ) = (4- y )+ (y +y +y 3 ) cpo U y = 4 y + y + y y + y + y3 + y 3 = = 0 4 y y =y =y 3 =, U (,,) =

40 Contrbucones prvadas a un ben públco Ejemplo númerco: n=3, ω=4 Maxmzando benestar total UT(y, y,y 3 ) = S (4- y ) +3 (y +y +y 3 ) cpo UT y = 4 y y + y + 3 y + y + y + y 3 3 = 3 = 0 4 y y =y =y 3 =3, U (3, 3,3) = 4 > 3 79 Contrbucones prvadas a un ben públco Comportamento estratégco U (y,,y n ) = (w- y )+ (y + +y n ) cpo U y = + = 0 ω y y + L+ y y + L+ y n = n ω y y = =y n = w/(n+), U = n w/(n+) S nø, y Ø0, U Ø w 80 40

41 Contrbucones prvadas a un ben públco Maxmzando benestar total UT(y,,y n ) = S (w -y ) +n (y + +y n ) cpo UT y = + = 0 ω y y + L+ y n y + L+ y y = =y n =nw/(n+), U = w(n+) > n w/(n+) n n = n ω y S nø, y Øw, U Ø 8 4