Seminario 3: Lentes, espejos y formación de imágenes

Transcripción

1 Seminario 3: Lentes, espejos y ormación de imágenes Fabián Andrés Torres Ruiz Departamento de Física,, Chile 4 de Abril de Problemas. (Problema 8, capitulo 35,Física, Raymond A. Serway, las supericies relejantes de dos espejos planos que se intersectan en un ángulo de θ (0 o < θ < 90 o ), como en la igura. Si un rayo luminoso incide sobre el espejo horizontal, muestre que el rayo emergente intersectará al rayo incidente en un ángulo de β = 80 o 2θ. Figura 2: Problema, espejos planos ormando un ángulo 90 o Figura : Problema, espejos planos ormando un ángulo θ 2. (Problema 48, capitulo 35,Física, Raymond A. Serway, El ángulo entre los espejos de la igura 2 es recto. El haz de luz en el plano vertical P incide sobre el espejo, como se indica. a) Determine la distancia que el haz luminoso relejado viaja antes de llegar al espejo 2. b) En que dirección el haz de luz viaja después de relejarse en el espejo 2? 3. (Problema 3, capitulo 36,Física, Raymond A. Serway, Determinar la altura mínima de un espejo plano vertical en el cual una persona de,70m podría ver su imagen completa. 4. (Problema 5, capitulo 36,Física, Raymond A. Serway, Un espejo cóncavo tiene una longitud ocal de 40cm. Determinar la posición del objeto para la cual la imagen resultante está de pie y es cuatro veces el tamaño del objeto. Un espejo cóncavo tiene un radio de curvatura de 60cm. Calcule la posición de la imagen y el aumento de un objeto colocado enrente del espejo distancias de a) 90cm y b)20cm. Dibuje diagramas de rayos para obtener la imagen en cada caso. 6. (Problema 0, capitulo 36,Física, Raymond A. Serway, Una vela está a 49cm rente a un espejo esérico convexo que tiene un radio de curvatura de 70cm. a) Donde está la imagen? b) Cual es el aumento?. 7. (Problema 5, capitulo 36,Física, Raymond A. Serway, Un espejo convexo esérico tiene un radio de 40cm. Determine la posición de la imagen virtual y el aumento para distancias al objeto de a)30cm y b)60cm. c) Las imágenes están de pie o invertidas? 8. Estudio del Microscopio 5. (Problema 7, capitulo 36,Física, Raymond A. Serway,

2 Soluciones Problema Si utilizamos la división natural producida por el haz relejado entre ambas caras, entonces podemos escribir dos triángulos. Del primer triángulo se obtienen las siguientes relaciones θ + δ + λ = 80 () δ + α = 90 (2) λ + γ = 90 (3) reemplazando las dos ultimas expresiones en la primera, se tiene que triángulo, de modo que, usando la deinición de sin θ se tiene que sin θ = Cateto opuesto Hipotenusa (8) sin 40 =,25 H H =,25,94m (9) sin 40 De la misma geometría vemos que el haz saliente es paralelo al haz incidente. Esto también se puede observar del resultado del ejercicio, en donde reemplazando θ = 90 o se obtiene un ángulo de intersección de 0 o. Problema 3 Figura 3: relación entre ángulos Figura 5: Relexiones en el espejo plano θ + (90 α) + (90 γ) = 80 (4) θ = α + γ. (5) Utilizando el segundo triángulo se tiene que β + 2α + 2γ = 80 (6) β + 2(α + γ) = 80 (7) reemplazando la ecuación 5 en la expresión anterior se obtiene inalmente β + 2(α + γ) = 80 Problema 2 β = 80 2(α + γ) De la igura, sabemos que la tangente de un ángulo esta deinida como el cuociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, de este modo vemos que la tangente de los ángulos α y β son tan α = X D, tan β = Y D De modo tal que la altura del espejo es h = X + Y, mientras que la de la persona es H = 2X + 2Y = 2(X +Y ) = 2h, de modo que es claro que se necesita un espejo de H para ver la imagen de cuerpo completo, por 2 lo que, para una persona de,70m se necesita un espejo de 85cm. Problema 4 Las distancias deben satisacer que M = 4 = s i s i = 4 (0) Figura 4: Ángulos producto de las relexiones De la ecuación para ormación de imágenes se tiene que De la igura, sabemos que la distancia que recorre la luz antes de llegar al espejo 2 es al hipotenusa del + s i = () 04/04/ F. A. Torres-Ruiz

3 Reemplazando 0 se tiene que 4 = = 3 4 = 4 = 3 = 3 4 con lo que se obtiene que el objeto debe estar colocado a 30cm del espejo. Problema 5 El radio de curvatura es de 60cm y como se trata de un espejo cóncavo, entonces el radio es negativo por lo que, utilizando la relación radio-oco para espejos se tiene que = R 2 = 30cm con esto, ahora podemos utilizar la órmula para espejos para calcular la posición de las imágenes. Para el objeto colocado a a) 90cm: Se tiene que la imagen estará en + = s i 90 + = s i 30 = 3 s i s i = 45 s i = 45cm b) 20cm: Se tiene que la imagen estará en s i = 60 Problema 6 + = s i 20 + = s i 30 = 2 s i s i = 60cm El microscopio es una combinación de dos lentes, el objetivo que es una lente con distancia ocal o muy pequeña (menos a cm) y un lente ocular que tiene una longitud ocal mayor (unos cuantos centímetros). La distancia de separación entre las lentes es L, tal que L es mucho mas grande que o o. El objetivo orma una imagen invertida real del objeto que se quiere observar. Esta imagen queda muy cerca del punto ocal (o en el punto ocal) del ocular. La imagen aumentada por el ocular es invertida y virtual. La magniicación del objetivo esta dada por M o = s i pero, o y s i L, de modo que se obtiene que M o L o Ahora, la ormula para el aumento simple consiste en que el ojo humano posee una distancia ocal del orden de los 25cm, por lo que el aumento angular, que es la razón entre el ángulo subtendido por un objeto con una lente en uso (θ) y el subtendido por el objeto sin la lente (θ o ), esta dado por m θ θ o Como dijimos esta es máxima cuando s i 25cm, por lo que la distancia a la que se debe colocar un objeto utilizando una lente es + 25 = = Para ángulos pequeños se tiene que θ o θ h por lo que se obtiene que m = + 25 (2) (3) h 25 y (4) La posición mas cómoda para la observación del ojo es cuando se enoca hacia el ininito, por lo que se tiene entonces que el objeto está en el punto ocal de la lente, de modo que θ o h 25 y θ h de modo que el aumento es m = θ θ o = 25 De esta orma, para el microscopio, el aumento del objetivo, enocando el ojo al ininito es m ocular = 25 04/04/ F. A. Torres-Ruiz

4 De modo que el aumento total del microscopio esta dado por m = m o m ocular = L o 25 04/04/ F. A. Torres-Ruiz

5 Apéndice Cuadro : Formulas mas utilizadas Índice de reracción n = c v Ley de relexión θ = θ Ley de Snell n sin θ = n 2 sinθ 2 Ángulo crítico para relexión total interna sin θ C = n n 2 Intensidad de la luz relejada (solo para incidencia normal) total interna ( ) 2 n n n i : 2 I = I 0 n + n 2 c: velocidad de la luz en el vacío v: Velocidad de la luz en el medio óptico. θ : Ángulo ormado entre la normal a la supericie y el haz relejado θ : Ángulo ormado por el haz incidente y la normal a la supericie n i : índice de reracción del medio i de propagación θ : Ángulo ormado por el haz incidente y la normal a la supericie θ 2 : Ángulo ormado por el haz propagado y la normal a la supericie 2 n i : índice de reracción del medio i de propagación θ C : Ángulo crítico de relexión Índice de reracción del medio i de propagación I 0 : Intensidad de la luz incidente sin (α ± β) sin(α ± β) = sin α cosβ ± cosαsin β α, β: ángulos cualquiera Fórmula de los espejos + s i = 2 R :distancia espejo-objeto s i :distancia espejo-imagen R:Radio De la supericie esérica Relación Foco-Radio para espejos = R 2 Ecuación del constructor de lentes ( ) = (n ) R R 2 :Foco del espejo R:Radio de la supericie esérica (R > 0 para espejos convexos y R < 0 para espejos cóncavos) :Foco del lente R :Radio de la primera supericie R 2 :Radio de la segunda supericie 04/04/ F. A. Torres-Ruiz

6 Cuadro 2: Imágenes de objetos reales ormadas por espejos eséricos Cóncavo Posición Tipo Posición Orientación Tamaño relativo > > 2 Real < s i < 2 Invertida Disminuida = 2 Real s i = 2 Invertida Mismo tamaño < < 2 Real > s i > 2 Invertida Aumentada = ± < Virtual s i > Derecha Aumentada Convexo Posición Tipo Posición Orientación Tamaño relativo Cualquier lugar Virtual s i <, Derecha Disminuida > s i Cuadro 3: Convenio de signos para espejos eséricos(v, punto sobre la supericie del espejo, C centro de curvatura) Cantidad Signo + s 0 A la izquierda de V, objeto real A la derecha de V, virtual s i A la izquierda de V, imagen real A la derecha de V, imagen virtual Espejo cóncavo Espejo convexo R C a la derecha de V, Convexo C a la izquierda de V, Cóncavo y o Por encima del eje, objeto derecho Por debajo del eje, objeto invertido y i Por encima del eje, imagen derecha Por debajo del eje, imagen invertida Cuadro 4: Imágenes de objetos reales ormadas por lentes delgadas Convexa Posición Clase Posición Orientación Tamaño relativo > > 2 Real < s i < 2 Invertida Disminuida = 2 Real s i = 2 Invertida Mismo tamaño < < 2 Real > s i > 2 Invertida Aumentada = ± < Virtual s i > Derecha Aumentada Cóncava Posición Tipo Posición Orientación Tamaño relativo Cualquier lugar Virtual s i <, Derecha Disminuida > s i 04/04/ F. A. Torres-Ruiz

7 Cuadro 5: Signiicado asociado con los signos de varios parámetros para lentes delgadas e interaces eséricas Cantidad Signo + s 0 real virtual s i real virtual Lente convergente Lente divergente y o derecho invertido y i derecha invertida M T derecha invertida R, R 2 Centro de curvatura detrás de la lente Centro de curvatura delante de la lente 04/04/ F. A. Torres-Ruiz