Práctica 1.- Sucesiones y series

Transcripción

1 Práctica.- Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y, que os permitirá, e la mayoría de los casos, calcular el límite de ua sucesió y la suma de ua serie, respectivamete.. - Sucesioes de úmeros reales Ejercicio. Estudiar la sucesió de térmio geeral a = +. Defiimos la sucesió I[]:= a@_d := + Geeramos ua tabla co los 0 primeros térmios de la sucesió I[]:= termios = Table@a@D, 8,, 0<D Out[]= :, 5, 0, 7, 6, 7, 50, 65, 8, 0,, 45, 70, 97, 6, 57, 90, 5, 6, 40 > I[4]:= Table@a@D, 8,, 0<D êê N Out[4]= 8.5, 0.6, 0., , 0.585, , 0.06, , , , , , , , 0.074, 0.067, , , , < Los visualizamos gráficamete

2 Practica_Sucesioes_Series.b I[5]:= PlotStyle > PlotRage AllD.4..0 Out[5]= Tambié podemos hallar u térmio cualquiera de la sucesió : I[6]:= a@d Out[6]= 0 I[7]:= a@d Out[7]= 96 Gráficamete se observa que la sucesió es decreciete, acotada y que tiede a 0. Veamos como podemos estudiar estos aspectos co Mathematica. Crecimieto : I[8]:= Simplify@a@D a@ + DD Out[8]= + + H + L El programa o os da iformació sobre si la desigualdad plateada es cierta o o. Esto es debido, etre otras cosas, a que el programa o recooce a la variable como u úmero atural. La siguiete istrucció resuelve este problema. I[9]:= Simplify@a@D a@ + D, Itegers Ï > 0D Out[9]= True Acotació:

3 Practica_Sucesioes_Series.b I[0]:= Itegers Ï > 0D Out[0]= True Límite : I[]:= Limit@a@D, D Out[]= 0 Tambié podemos utilizar variables como subídices. De esta forma, la sucesió aterior podría defiirse como I[]:= a _ := + Esto os permite utilizar la misma termiología que habitualmete usamos e clase, auque si utilizamos esta otació e Mathematica hemos de teer mucho cuidado al escribir los subídices. Ejemplo. Calcular el límite de la sucesió de térmio geeral b = +p Defiimos la sucesió I[]:= b _ := +π Calculamos su límite I[5]:= Limit@b, D Out[5]= 0 Ejemplo. Calcular el límite de la sucesió de térmio geeral c = cosh pl Defiimos la sucesió I[6]:= c _ := Cos@ πd Calculamos su límite co Mathematica I[8]:= Limit@c, D Out[8]= Iterval@8, <D E este caso Mathematica o es capaz de daros el valor del límite debido a que se trata de ua sucesió oscilate, es decir,

4 4 Practica_Sucesioes_Series.b que tiee dos subsucesioes co distito límite (por tato, la sucesió o será covergete). Estudiemos la sucesió de térmios pares : I[9]:= c Out[9]= Cos@ πd Observemos que Mathematica o idetifica cos(p) =. Esto se debe a que, como hemos cometado ateriormete, el programa o recooce a la variable como u úmero atural. Para ello debemos utilizar la istrucció : I[0]:= Simplify@c, Itegers Ï > 0D Out[0]= Ahora tambié podemos calcular su límite I[]:= Limit@Simplify@c, Itegers Ï > 0D, D Out[]= Estudiemos ahora la sucesió de térmios impares : I[]:= c Out[]= Cos@H + L πd I[]:= Simplify@c, Itegers Ï > 0D Out[]= I[4]:= Limit@Simplify@c, Itegers Ï > 0D, D Out[4]= La sucesió {c } admite dos subsucesioes que tiee distito límite. Por tato la sucesió es oscilate.. - Series de úmeros reales Ejemplo. Probar que la serie + - Defiimos el térmio geeral de la serie es covergete. Calcular su suma.

5 Practica_Sucesioes_Series.b 5 I[5]:= a _ := + Se trata de ua serie de térmios positivos.para estudiar su covergecia procedemos como sigue. Codició ecesaria de covergecia I[7]:= Limit@a, D Out[7]= 0 La serie puede ser covergete. Criterio del cociete I[8]:= LimitB a +, F a Out[8]= Etoces el criterio del cociete o decide. Apliquemos el criterio de comparació por paso al límite: I[9]:= b _ := I[0]:= LimitB a, F b Out[0]= Como el límite es u úmero real positivo las series a y b tiee el mismo carácter. Puesto que b = es covergete, tambié lo será a = + -. Calculamos su suma (Mathematica puede calcula el valor exacto de la suma de diferetes tipos de series) I[]:= + Out[]= H + Log@4DL 0

6 6 Practica_Sucesioes_Series.b I[]:= NB F + Out[]= Ejemplo. Probar que la serie sucesió de sumas parciales. Defiimos el térmio geeral de la serie es covergete.calcular su suma a partir de la I[]:= a _ := Se trata de ua serie de térmios positivos.para estudiar su covergecia procedemos como sigue. Codició ecesaria de covergecia I[5]:= Limit@a, D Out[5]= 0 La serie puede ser covergete. Criterio del cociete I[6]:= LimitB a +, F a Out[6]= Como el límite es L= < el criterio del cociete garatiza que la serie es covergete. Calculemos la sucesió de sumas parciales: I[7]:= s _ = k= a k Out[7]= I + + M Mathematica os facilita e este caso ua expresió explícita para el térmio geeral de la sucesió {s } de sumas parciales. Ahora podemos calcular el valor de la suma de la serie estudiado el límite de la sucesió {s }. I[8]:= Limit@s, D Out[8]= Log@4D Log@D

7 Practica_Sucesioes_Series.b 7 I[9]:= FullSimplify@%D Out[9]= Etoces la serie tiee como suma S =. El valor de la suma tambié podría haberse obteido directamete I[40]:= Out[40]= Ejemplo. Probar que la serie = es covergete.calcular su suma. lhl Defiimos el térmio geeral de la serie I[4]:= a _ := Log@D Se trata de ua serie de térmios positivos.para estudiar su covergecia procedemos como sigue. Codició ecesaria de covergecia I[4]:= Limit@a, D Out[4]= 0 La serie puede ser covergete. Criterio del cociete I[44]:= LimitB a +, F a Out[44]= 0 Como el límite es L=0 < el criterio del cociete garatiza que la serie es covergete. Calculemos la sucesió de sumas parciales: I[45]:= s _ = k= a k Out[45]= k= Log@kD k E este caso, Mathematica o ha sido capaz de daros ua expresió explícita para el térmio geeral de la sucesió {s }

8 8 Practica_Sucesioes_Series.b de sumas parciales. I[46]:= a = Out[46]= = Log@D El programa Mathematica tampoco ha podido daros el valor exacto de la suma. Si embargo, podemos pedirle que os de u valor aproximado usado el comado N. I[47]:= NB a F = Out[47]=.46 Si bie el comado N puede serviros e la mayoría de los casos, para obteer u valor aproximado de la suma de ua serie el programa Mathematica icorpora la istrucció NSum@a, 8, mi, max <D I[48]:= NSum@a, 8,, <D Out[48]=.46 Ejemplo.4 Calcular u valor aproximado de la suma de las siguietes series: a) I- 4 M I - + M Valor aproximado I[49]:= NSumB 4 I + M, 8,, <F Out[49]= 0. Valor exacto I[50]:= - 4 I - + M Out[50]= 9 5

9 Practica_Sucesioes_Series.b 9 H-L b) - Valor aproximado I[5]:= NSumB H L, 8,, <F Out[5]= Valor exacto I[5]:= H-L - Out[5]= J π Log@DN 9 I[5]:= H-L NB - F Out[5]= c) !- Valor aproximado I[54]:= NSumB 4 + 4, 8,, <F! Out[54]= Valor exacto I[55]:= !- Out[55]= ! E este caso Mathematica o es capaz de obteer el valor exacto de la serie.

10 0 Practica_Sucesioes_Series.b. - Ejercicios propuestos.-dada la sucesió de térmio geeral a =, se pide : -7 a) Escribir los 0 primeros térmios y represetarlos gráficamete. b) Estudiar el crecimieto y la acotació, c) Calcular el límite..-probar que la sucesió de térmio geeral b = sei H -L p M 4 oscilate, estudiado las subsucesioes 8b < y 8b - <. es H -L.- Calcular lim Æ I + 4.-Obteer la suma de - + M. a) los primeros úmeros aturales, b) los primeros úmeros impares. 5.- Probar que las siguietes series so covergetes. Calcular el valor de la suma o, e su caso, u valor aproximado. al bl!

11 Practica_Sucesioes_Series.b 6.-Calcular la suma de la serie H4 -L H4 +L siguietes: de las dos formas a) calculado el límite de la sucesió de sumas parciales, b) directamete co el programa Mathematica. 7.- Estudiar el carácter de la serie sei p M.