Práctica 6. Calcular la suma de los primeros K números naturales y k k. . 2 Calcular la suma de los cuadrados de los primeros k números

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1 PRÁCTICA SERIES NUMÉRICAS Práctics Mtlb Objetivos Práctic 6 Estudir l covergeci o divergeci de u serie de térmios positivos utilizdo distitos criterios combido ls coclusioes experimetles (el ordedor) co el rigor mtemático (resultdos teóricos). Comdos de Mtlb Pr clculr l sum etre dos vlores de u expresió simbólic symsum(f,,b) symsum(f,s,,b) Ejemplo: >> syms >> symsum(/,,if) Pr clculr l sum de ls compoetes de u vector sum(vector) Ejemplo: >> vector=:00; >> sum(vector) >> sum(vector(0:30) Ejercicios resueltos () (b) (c) Clculr l sum de los primeros K úmeros turles y kk comprobr que... k. Clculr l sum de los cudrdos de los primeros k úmeros kk k turles y comprobr que... k 6 Comprobr si ls siguietes series so geométric s y, e cso firmtivo, determir su covergeci

2 PÁGINA MATLAB: SERIES NUMÉRICAS Serie geométric: Es de l form Ests series so Covergetes si pr r, siedo su sum Divergetes overgetes si r r r r r S r Solució: Código Mtlb syms k %Aprtdo symsum(k,,k) %Aprtdo b symsum(k^,,k) %Aprtdo c suc=/(^k); rzo=suc/subs(suc,k,k-) sum=symsum(suc,,if) suc=4*((-)^(k+6))/((-5)*3^(*k-3)); rzo=suc/subs(suc,k,k-) sum=symsum(suc,,if) Observció: El comdo symsum o fucio co el fctoril. Puedes verlo escribiedo: syms k symsum(fctoril(k),,if) Pr clculr series que coteg el fctoril se deberá ivocr l úcleo Mple que tedrá que estr istldo. Series rmóics geerlizd: So de l form pr p>0. p Ests series so divergetes pr 0 p y covergetes pr p ) L serie rmóic cumple l codició ecesri de covergeci pero, si embrgo, es divergete y que: log..., Demuestr, co yud de Mtlb, que log log deduce después que

3 MATLAB: PRÁCTICA 6 PÁGINA 3 log... NOTA: Euler demostró que lim k log k siedo u costte que recibe el ombre de costte de Euler y cuyo vlor proximdo es 0, b) Represet, e u mismo gráfico, l sucesió S... (sum prcil eésim de l serie rmóic) y l sucesió (térmio geerl de l serie rmóic). Solució: () Código Mtlb syms x fu=log(x+)-log(x)-/x f=diff(fu) simplify(f) %f es positiv si x>, luego fu es creciete %Además su límite es cero cudo x tiede ifiito limit(log(x+)-log(x)-/x,x,if) %E coclusió: fu<0 pr todo x> (b) Puedes utilizr el siguiete código que permite represetr y clculr l sum prcil eésim de u sucesió rmóic Código Mtlb fuctio rmoics(p,umii,umfil) =:umfil; %Térmio geerl de l serie =./(.^p); %Cálculo de l sums prciles s()=(); for k=:umfil %s(k)=sum((:k)); s(k)=s(k-)+(k); ed %Represetció de y S hold o formt log %Mostrmos los vlores de pr represetr y pr escribir vlores=umii:umfil; plot(vlores,(vlores),'or',vlores,s(vlores),'og') leged('','s') hold off

4 PÁGINA 4 MATLAB: SERIES NUMÉRICAS ed %Mostrmos los vlores de, y s disp([' Sucesió Sucesió S']) disp([vlores' (vlores)' s(vlores)']) Si quisiérmos represetr l sucesió 5 y el 5 se escribirí: >>rmoics(,5,5) y S pr los térmios de l serie rmóic etre el Se cosider ls siguietes series () 5 () 3 8 () Comprobr si cumple l codició ecesri de covergeci. (b) Aplicr el criterio del cociete ls series teriores pr determir su crácter. 3 Criterio del cociete: Se cosider l serie de térmios positivos cumpliedo etoces Si L l serie Si L l serie lim L ó lim L es covergete es divergete Solució: () Puedes utilizr el siguiete código pr ver si el térmio geerl de u serie tiede cero (codició ecesri de covergeci). Código Mtlb syms =(+)*(5^)/(*3^(*)); limit(,,if) Not: L serie del prtdo () cumple l codició ecesri de covergeci pero l () o. Esto sigific, l ser u serie de térmios positivos, que l serie del prtdo () es divergete mietrs que pr l serie del prtdo () l codició ecesri o port iformció sobre su covergeci o divergeci. (b) Código Mtlb

5 MATLAB: PRÁCTICA 6 PÁGINA 5 syms =(+)*(5^)/(*3^(*)); =subs(,,+); L=limit(/,,If) %U vlor proximdo de l sum puede ser sumprox=double(symsum(,,if)) Not: Observmos que el criterio del cociete d iformció sobre l covergeci de l serie del prtdo () y que permite cocluir tmbié que l serie del prtdo () es divergete. 4 0 Serie lterd: Es de l form 3 0 form o de l Si es moóto decreciete y tiede cero etoces l serie lterd es covergete (Teorem de Leibiz). Cosider l serie: 5 3 ) Comprueb que el térmio geerl tiede cero. 5 b) Comprueb que l sucesió 3 decreciete. es moóto c) Comprueb pr =00,00,300,400,500 que el error e vlor bsoluto que se comete l proximr l sum de l serie por l sum prcil eésim es meor que el vlor bsoluto del primer térmio que se despreci. S S Esto sigific que l sum de l serie está e el itervlo S S, S y ese itervlo tiee logitud cd vez meor medid que l tiede ifiito. Solució: Código Mtlb Aprtdo ) syms =((-5)^)/(*(3^(*))); limit(,,if)

6 PÁGINA 6 MATLAB: SERIES NUMÉRICAS Aprtdo b) syms positive =((-5)^)/(*(3^(*))); limite=limit(,,if) cociete=simplify(bs(/subs(,,+))) Aprtdo c) syms =((-5)^)/(*(3^(*))); limite=limit(,,if) simplify(/subs(,,-)) vlores=(::0)*00; sum=symsum(,,if); umele=legth(vlores) for k=:umele sum(k)=symsum(,,vlores(k)); suc(k)=bs(subs(,,vlores(k))); ed formt log disp([double(bs(sum-sum))' double(suc)']) disp(' ') extremoif=double(sum-suc); extremosup=double(sum+suc); disp([vlores' extremoif' extremosup']) Ejercicios propuestos Adpt l fució rmoic pr que permit represetr y clculr l sucesió del térmio geerl y l sucesió de sums prciles de dich serie. Llm es fució serie y hz que sus rgumetos se el térmio geerl de l serie y umii y umfil como vlores iicil y fil pr obteer los dtos y relizr l represetció. Cre u fució e Mtlb pr relizr el ejercicio 4 cosiderdo culquier serie lterd covergete por Leibitz y culquier vector. Llm est fució lterd.