En este grabado de Alberto Durero (Núremberg 1471 Núremberg 1528) titulado Melancolía I puedes ver un cuadrado mágico de constante

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1 Tema 1 ENTEROS Y DECIMALES. REVISIÓN DE OPERACIONES En este grabado de Alberto Durero (Núremberg 1471 Núremberg 1528) titulado Melancolía I puedes ver un cuadrado mágico de constante 34. Es muy interesante observar como la constante (34) aparece en otras muchas partes del cuadrado. Por ejemplo: En las cuatro cantidades centrales En los cuadrados de las esquinas La suma de los números de las esquinas es 34 6 Además, las dos cifras centrales de la última fila, 1514, muestran su fecha de elaboración.

2 S 1 CUADRADO MÁGICO De 1º a 2 º PRACTICA Completa el cuadrado siguiente para que sea mágico para la suma. Recuerda: un cuadrado es mágico para la suma cuando se obtiene el mismo resultado sumando cada fila, cada columna o cada diagonal ,5 1,5-0,5-3,5 2 CUBO MÁGICO Coloca los números 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3 y 4 en los vértices del cubo para que el producto de los cuatro números de cada cara del cubo sea el mismo. 3 JUEGA CON LOS SIGNOS En la siguiente expresión puedes ver tres números y dos cuadrados en los que deberás colocar los signos +, -, 3 y 4. Encuentra todos los resultados diferentes que puedes obtener. 4 VERDADERO O FALSO? 1 c 4 c 2 a) = 0 b) = 0 c) -8,5-1, = 0 d) -11,5 + 13,2-1,7 = 0 P ap S R e Re S P R O O e a P a

3 e NTe ROS Y De CImaL e S. Re VISIÓN De OPe R a CIONe S 1 Los números enteros Vocabulario números opuestos Recuerda que el conjunto de los números enteros se designa por Z y es: Z = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4.} y se representan gráficamente en la llamada recta entera. Z enteros Z - enteros negativos Z + enteros positivos Los números 4 y 4, 3 y 3 y en general a y a se dice que son opuestos. Dos números opuestos se encuentran a la misma distancia del cero y se dice que tienen igual valor absoluto. El valor absoluto de un número es el que tiene prescindiendo del signo y se expresa escribiendo el número entre barras. Por ejemplo: 3 = +3 = 3; +4 = 4 = 4; 0 = 0 La recta entera sirve también para comparar números enteros: dados dos números enteros cualesquiera, el mayor es el que está situado más a la derecha. a a < b b EJERCICIOS Escribe los opuestos de los siguientes números: a) 1; b) 5; c) 25; d) 0 Halla el valor del número x en las siguientes igualdades: a) x = 2; b) x + 5 = 8; c) 3 x+1 =0 Ordena en forma creciente los siguientes números (el más pequeño primero): 6; 1; 5; 0; 4; 1; 3; 10; 6. 8

4 T e m a 1 2 Los números decimales Un número decimal está formado por una parte entera seguida de una parte decimal separada por una coma. Por ejemplo, los números 3,45; 12,07; 0,03 son números decimales. El número 42,325 es un número decimal. Su parte entera es 42 y su parte decimal es 325. Se lee cuarenta y dos enteros y trescientas veinticinco milésimas. RECUERDA QUE... En la calculadora la coma decimal se sustituye por un punto. Una fracción decimal tiene por numerador un número entero y por denominador es la unidad seguida de ceros. Una fracción decimal se puede escribir como un número decimal. Son fracciones decimales las fracciones 3 10 ; ; Las fracciones 37 10, , 27 son fracciones decimales que se 1000 pueden escribir como números decimales. LOS DECIMALES EN LA VIDA ORDINARIA 1 euro = 166,386 ptas 1 litro gasolina = 1,348 Record 100 m = 8,94 s Un boli = 1,75 π = 3, Billete bus = 1,50 s Así: = 3,7 (tres enteros y siete décimas). = 2,53 (dos enteros y cincuenta y tres centésimas). = 0,027 (veintisiete milésimas). A) Descomposición polinómica de un decimal Un número decimal puede descomponerse polinómicamente de las siguientes formas: 15,251 = ,2 + 0,05 + 0,001 = B) Comparación de decimales Dados dos números decimales, es menor el que tiene menor parte entera. 4,58 < 8,2 pues 4 < 8 Si los decimales tiene igual parte entera, es menor el que tiene menor parte decimal. 16,348 < 16,52 pues 3 < 5 ; 1,362 < 1,369 pues 2 < 9 9

5 e NTe ROS Y De CImaL e S. Re VISIÓN De OPe R a CIONe S Un número decimal no varía si se añaden ceros a su parte decimal. 16,52 = 16,520 = 16,5200 =. Por tanto también puedes comparar decimales con la misma parte entera usando este resultado y así: 16,348 < 16,52 pues 348 < 520 EJERCICIOS 4 5 Escribe los siguientes números y haz su descomposición polinómica. a) cuatro enteros y dos centésimas; b) treinta enteros y doscientas cuarenta y tres milésimas; c) quince diezmilésimas; d) cien enteros y cien milésimas. Ordena de menor a mayor los siguientes números: a) 3,25; b) 4,3; c) 12,1; d) 12,02; e) tres enteros y cien milésimas. 3 Operaciones con números enteros RECUERDA QUE... Para sumar dos números enteros de igual signo se suman sus valores absolutos. El signo del resultado es el de ambos sumandos. Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos, el mayor menos el menor. El signo del resultado es el del que tiene mayor valor absoluto. A) Adiciones y sustracciones En una serie de adiciones y sustracciones, las operaciones se realizan una tras otra de izquierda a derecha, en el sentido de la escritura = = = 29 7 = 22 También puedes sumar los positivos y los negativos por separado y restar después ambos resultados = ( ) (8 + 7) = = 22 B) Multiplicaciones y divisiones. Regla de los signos. Recuerda la regla de los signos para multiplicaciones y divisiones: Multiplicación + + = + + _ = + = _ = + División + : + = + + : _ = : + = : _ = + 10

6 T e m a 1 En una operación debes de tener presente que: Si sólo hay multiplicaciones y divisiones, las operaciones se realizan de izquierda a derecha en el sentido de la escritura. 48 : 8 : = 6 : = = 10 En una serie de operaciones combinadas, las multiplicaciones y divisiones se realizan antes que las adiciones y sustracciones : 2 = = = = 11 CUIDADO No olvides utilizar paréntesis para separar los signos. En matemáticas es incorrecto escribir dos signos seguidos sin separación es incorrecto ( 4) = 8 es correcto EJERCICIOS 6 Calcula los números A, B, C, D, E y F siguientes: A = B = C = : 6 8 D = 75 : : 30 E = 4 ( 8) : ( 5) F = 32 : 4 : ( 25) 4 Operaciones con números decimales A) Suma y resta de decimales Se colocan uno debajo de otro de forma que coincidan las comas y las unidades de igual orden, luego se suman o restan como si fueran números enteros y se coloca la coma decimal bajo la coma de los sumandos. Si un número tiene menos cifras decimales que otro se completa este con ceros, para que ambos tengan las mismas cifras decimales. Para hallar 23, ,38 y 23,457 10,38 se hace: B) Multiplicación de decimales Se multiplican como si fueran números enteros. El producto tiene tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores. Así: 12,35 3 3,2 es: 23, ,380-23,457 10,380 33,837 13,077 12,35 3 3, ,520 11

7 e NTe ROS Y De CImaL e S. Re VISIÓN De OPe R a CIONe S SI SE MULTIPLICA EL DIVIDENDO Y EL DIVISOR POR UN MISMO NÚMERO, EL COCIENTE NO VARÍA. FÍJATE TÚ! C) División de decimales Para dividir dos números decimales puedes multiplicar ambos por la unidad seguida de los ceros necesarios para que se conviertan en enteros y luego se realiza la división. También puedes añadir los ceros necesarios en la parte decimal para que ambos tengan el mismo número de cifras decimales. EJEMPLO 1 Haz la división 42, 25 : 12,6 con tres cifras decimales. Para dividir 42,25 entre 12,6 multiplicaremos ambos números por 100 para convertir ambos en enteros: 42, = ,6 100 = ,25 : 12, ,353 cociente resto = 0,0022 El resto es 0,0022. La línea discontinua indica dónde estaba la coma decimal. EJERCICIOS 7 8 Calcula a mano : a) 325, ,0056 b) 590,86 409,3 c) 12,603 7,21 d) 0,386 0,042 Halla el cociente de las siguientes divisiones, con dos cifras decimales: a) 36,4 : 2,5 b) 100 : 8,2 c) 2,514 : 1,02 d) 3,456 : 0,011 5 Propiedades de las operaciones En el cuadro adjunto te recordamos algunas propiedades de las operaciones: Conmutativa Asociativa Elemento neutro Distributiva de la multiplicación respecto de la adición ADICIÓN a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c Es el cero. a + 0 = 0 + a = a a (b + c) = a b + a c MULTIPLICACIÓN a b = b a a (b c) = (a b) c Es el uno. a 1 = 1 a = a Además ya sabes que, en la adición, el opuesto del número a es a pues verifica que a + ( a) = 0. 12

8 T e m a 1 6 Prioridad de operaciones A) Operaciones combinadas sin paréntesis En una serie de operaciones combinadas sin paréntesis s las mul- tiplicaciones y divisiones se efectúan antes que las sumas y las restas. Una vez resueltas, la operación se efectúa de izquierda a derecha, en el sentido de la escritura. EJEMPLO 2 Calcula: : 5 4, Según lo dicho anteriormente, el proceso es: : 5 4, = , = = , = 4, = 5, 8 B) Operaciones combinadas con paréntesis En una operación combinada con paréntesis, s éstos son los primeros que se resuelven. Una vez resueltos, la operación se realiza como en el caso anterior. EJEMPLO 3 Calcula: 5 3 ( ,25) [5,4 (7 3,5)] Al haber paréntesis encajados se comienza resolviendo los más interiores. 5 ( ,25) + 2 [5,4 (7 3,5)] = 5 (6 + 12,75) + 2 [5,4 24,5] = 5 18, ( 19,1) = = 93,75 38,2 = 55,55 EL ORDEN PARA EFECTUAR UNA SERIE DE OPERACIONES COMBINADAS ES: 1º. RESUELVE LOS PARÉNTESIS. SI ÉSTOS ESTÁN ENCAJADOS, COMIENZA POR LOS MÁS INTERIORES. 2º. RESUELVE LAS MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES. 3º. POR ÚLTIMO HAZ LAS SUMAS Y RESTAS. EJERCICIOS Calcula los números A, B, C y D siguientes: A = ,5 + 1; B = : 6 8 C = ; D = : 0, Comprueba que: (51 : 3) (25 (4 3)) (5 2) + 60 = 54 Pon los paréntesis necesarios para que las siguientes expresiones sean correctas: a) = 1 b) : = 1 c) =

9 ENTEROS Y DECIMALES. REVISIÓN DE OPERACIONES Fracciones decimales En resumen Una fracción decimal tiene por numerador un número entero y su denominador es la unidad seguida de ceros. 43 = , (cuatro enteros y tres décimas); = , 213 (doscientas trece milésimas) Descomposición de un decimal: , = (veintitrés enteros y diecisiete centésimas) Operaciones con números enteros y decimales A) Adición Para sumar dos decimales del mismo signo: - se suman sus valores absolutos - el signo del resultado es el de ambos sumandos 6 + ( 3,5) = 9, ,5= + 9,5 Se calcula 6 + 3,5 = 9,5 y se escribe el signo común delante del resultado Para sumar dos decimales de distinto signo: - se restan sus valores absolutos (el mayor menos el menor) - el signo del resultado es el del que tiene mayor valor absoluto. M N E E E R S U R M U R US E 14 RN B) Sustracción +2,6 + ( 6) = 3,4 Se calcula 6 2,6 = 3,4 y se escribe signo pues 6 > 2,6 Para restar dos números se le suma al primero el opuesto del segundo. suma del opuesto de (+8) 6 (+8) = 6 + ( 8) = 2 ( 2,6) + 6 = +3,4 Se calcula 6 2,6 =3,4 y se escribe el signo + pues 6 > 2,6 suma del opuesto de ( 9) 5 ( 9) = 5 + (+9) = 4

10 C) Serie de adiciones y sustracciones En resumen En una serie de adiciones y sustracciones, las operaciones se realizan una tras otra de izquierda a derecha, en el sentido de la escritura. A = 12,6 3, T E M A A = 9, D) Multiplicación y división A = 17,1 3 = 14,1 Para multiplicar o dividir dos decimales cualesquiera debes tener en cuenta la regla de los signos de la página 10. Prioridad de operaciones A) Operaciones combinadas sin paréntesis En ausencia de paréntesis, las multiplicaciones y divisiones se realizan antes que las adiciones y las sustracciones. P = : ( 4) = = = 5 5 = 0 B) Operaciones combinadas con paréntesis En una operación combinada con paréntesis se efectúan en primer lugar los cálculos entre paréntesis. Q = 2 + [ 16 + ( 4) 3 ( 9)] : ( 5) Q = 2 + ( ) : ( 5) Q = : ( 5) Q = 2 + ( 4) Q = 2 Efectúa en primer lugar los cálculos entre paréntesis (o corchetes. Para ello se calcula en primer lugar el producto ( 4) 3 ( 9). Se terminan los cálculos entre paréntesis. Se efectúa la división (pues tiene prioridad). Se termina el cálculo. M 15 N E E E R S U R M U NRN R E US

11 ENTEROS Y DECIMALES. REVISIÓN DE OPERACIONES EJERCICIOS LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS Encuentra en cada caso el número k tal que: a 7 + k = 8 b k + 9 = 5 c 8 + k = 16 d 16 + k = 16 e 8 k = 10 f k 5 = 1 Un frío día de Enero en Albacete el termómetro marcaba 8 C. Ese mismo día Tenerife tenía una temperatura máxima de 19 C. Qué diferencia de temperatura había entre ambas capitales? 21 Completa los muros. Cada número es la suma de los dos lados que tiene debajo Copia y completa la tabla siguiente: Ordena de menor a mayor los números siguientes. Usa el símbolo <. 7, 4, 10, 3, 5, 9, 11, 7 Representa los números anteriores en la recta entera. 15 Ordena de mayor a menor los siguientes números. Usa el símbolo > 8; 1,2; 3,1; 3,01; 10; 10; 6, 25; 0 16 Utiliza los signos +,, y : en el primer miembro para que las siguientes igualdades sean ciertas, usa paréntesis si es necesario: = = = = 3 Intenta encontrar otros resultados. 17 Escribe todos los enteros x que verifiquen: 3 < x < Qué enteros x verifican que x 6 = 4? 19 Qué enteros x verifican que x = 2? 20 Calcula el valor de los números: P = Q = 3 ( 2) : ( 4) a b c a + b + c Haz la descomposición polinómica de los siguientes números a 15, 28 b 241, 205 c 10,01 d 638,345 e 25,6 f 0, Qué número decimal corresponde a cada una de las siguientes fracciones decimales? a b c d Escribe como una fracción decimal los siguientes números: a 3,2 b 7,35 c 0,45 d 0,0034 e 481,9267 f 3, a Escribe cinco números decimales comprendidos entre 8,4 y 8,5. b Escribe cinco números decimales comprendidos entre 8,4 y 8,45. c Escribe cinco números decimales comprendidos entre 8,4 y 8,41. 16

12 T E M A 1 OPERACIONES 27 Calcula mentalmente: a 3,18 + 5,82 b 0, ,55 c 5,25 + 0,65 + 1,1 d 6, 42 3, 2 e 25, , 01 f 5, 7 2, Realiza los siguientes productos: a 32,045 1,03 b 3, 54 0,02 c 6,52 12,045 d 0,032 0,48 e 2,025 0,3 f 5,12 0, Halla los siguientes cocientes con tres cifras decimales: a 12,3 : 4, 2 b 5,634 : 2,12 c 0,248 : 0,21 d 51,05 : 16, 346 e 116,32335 : 54,23 f 2,651 : 0, Calcula: a 5 + [15 (8 2)] b 12 5 (8 2) + [44 3 (6 9)] c 14 (6 4) [7 (12 1) + 1] d [ ( )] : 3 e (32 [6 (16 + 8)]) : f (48 100) : : (5 4 1) 31 Completa cada cuadrado por el número que corresponda. a 4 (3 12) = 4 = b 3 ( 6 + 9) = 3 = c 24 : ( ) = 24 : ( ) = d 5 ( : 8) + 34 : ( ) = = 5 (8 + ) + 34 : ( + 32) = : = 32 Completa cada símbolo con el signo de operación, +,,, :, adecuado: a 3 ( 4) 4 = 13 b 10 3 : ( 1) = 13 c 3 + ( 1) ( 10) = 13 d 6 2 ( 5) = 2 e 5 ( 8) 2 = 80 f 5 3 ( 6) = 21 g 10 [3 : ( 1)] = 7 h [ 10 ( 1)] 3 = Usa tu calculadora para hallar el valor de los siguientes números: A = ( 6, 28) 32,05 ( 6,21 48,322) B = 54, ,57 ( 6,15 + 8, 2) C = [ 57 ( )] 43 ( 15) D = ( 13,01) (12,6 + 8,88) 32 (15,96 : 3,8) 34 Sea el número A = 6 ( 5) + 3 ( 4) + 10 a Calcula A b Pon los paréntesis necesarios en la expresión de A para que el resultado sea: a) 58 ; b) Calcula: a ( 5) b ( 7 + 2) ( 5) c 8 : ( 2) d [ 8 : 4 + 6] ( 2) 36 Copia en tu cuaderno y completa la tabla siguiente: a b a b a : b Copia en tu cuaderno y completa la tabla. a b c a b c b a : c Copia en tu cuaderno y completa la tabla. a b c d a b c d (a b c) : d

13 ENTEROS Y DECIMALES. REVISIÓN DE OPERACIONES 39 Calcula: a (18 12) (5 9) (7 4) + (1 3) b 1 (0,1 1) + ( 1 + 1,1) c ( ,5) + 2,5 8 ( 6,5 + 11) d 14 + (5 6,2) ( 6 + 3,4) Calcula: a 3 + [ 16 + ( 4) ( 9)] : ( 5) b 9 + [ ( 2)] : ( 4) c 14 [5 12 : ( 4)] ( 2) + [12 ( 3) 5] : d [ 24 + ( 2) ( 4)] : ( 2) [20 + ( 4) ( 9)] : ( 8) 41 Calcula: a 30 : ( 6) 6 : ( 1) b ( 32) : ( 4) 2 5 c ( 4) d ( 3) e 22 3 ( 1) ( 7) f 7 28 : ( 4) 42 Calcula los siguientes números: A = : 8 8 B = C = 7 ( 2) + 25 : 5 ( 4) D = 32 : 4 : Calcula: A = : B = C = : D = : 6 44 Mismo ejercicio: A = : 15 B = : : 4 C = 240 : 12 : D = Estrellas mágicas. Una estrella se dice que es mágica para la suma cuando el resultado de sumar los números de cada línea es constante. Análogamente se puede hablar de estrellas mágicas para el producto. Completa las estrellas mágicas siguientes sabiendo que la primera es mágica para la suma y la segunda lo es para el producto Cuadrados mágicos. 6 2,5 12 Un cuadrado es mágico para la multiplicación cuando el producto de los elementos de sus filas, columnas o diagonales son iguales.) a Verifica que el siguiente cuadrado es mágico. 16 0, , ,25 b Completa las celdas vacías para que los siguientes cuadrados sean mágicos con el mismo criterio que el anterior ,25 0, ,5 18

14 T E M A 1 47 Coloca los paréntesis necesarios para que los siguientes resultados sean correctos: a = 88 b 25 4 : = 3 c : = 5 d = 31 e = 8 f : 50 = 4 52 Esquemas. Completa: Calcula: a 16 ( ) (4 7) b ((4 (7 2)) ) 43 c 24 ((37 + 4) 3) 5 7 d ( ) : 7 (3 4 9) Calcula cuando a = 2, b = 3, c = 4 (sabes que el producto a b se suele escribir ab). A = ab + ac + bc B = abc C = a(b c) ab + ac D = ab ac bc 50 Si a = 2, b = 4, c = 6. Calcula: A = ab 3c B = abc C = 2a 3b 4c D = a(2b 5c) + 3 (a + 4c) 51 Con la serie de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y utilizando, o no, signos de operaciones entre ellos se obtiene un número. Por ejemplo el 61 pues: = 61; o el 0: (1 + 2) ((7 + 8) 9) = : 6 Escribe en línea el cálculo escrito en los esquemas anteriores. 53 Es frecuente no indicar el símbolo de multiplicar ( ó ) cuando un número va delante de un paréntesis. Teniendo en cuenta esta forma de representar un producto, calcula: a 5 4 ( ) + 50 : (2 5) b 2(8 2,5 3) + 5 ( 4 2) + 15 c : 12 5 (32 6 3) (2 ( )) d 24 : 6 : 2 ( ) (7 27) Puedes obtener 45 como resultado? Y 100? 19

15 ENTEROS Y DECIMALES. REVISIÓN DE OPERACIONES 54 Si a = 6, b = 1,2 y c = 5, calcula las expresiones siguientes: a a bc b (a c) b c a b : c d (a b) : c 55 Las cartas. Utiliza cada vez tres de las cuatro cartas siguientes y encuentra el resultado propuesto. = 1 + = 13 + = 8 = 1 Propón a tu compañero otros cáculos. 56 Oymyakon es un pueblo de la república rusa de Yakutia y tiene fama de ser una de las ciudades más frías del mundo. En 1926 batió el record de temperatura más baja alcanzada en zona habitada con 71,2 ºC. Las temperaturas medias mensuales figuran en esta tabla: E 50 F 44 M 32 A 15 M 2 Jun 11 a Calcula la media anual de las temperaturas de esta ciudad. b Calcula la temperatura media en los meses de invierno. 57 En una librería se han adquirido libros a tres precios diferentes (5,25 euros, 3,8 euros y 4,3 euros respectivamente cada ejemplar). El importe total de la factura ha sido de 606 euros. Sabiendo que han comprado triple cantidad del segundo que del primero y doble del tercero que del primero. Cuántos ejemplares se han adquirido de cada clase? 58 Para comprar 42 bolígrafos me faltan 7,3 euros, y si compro 35 me sobran 14,75 euros. Cuánto cuesta cada bolígrafo y cuánto dinero tengo? 59 Laura ha recibido 80 por su cumpleaños. Con este dinero piensa comprar tres CD que cuestan 18,65 cada uno y un jersey que cuesta 22,34. Laura se aprovecha de un descuento de 7,55 en el jersey por ser rebajas de verano. Escribe la expresión que permite calcular lo que le queda de su dinero inicial y efectúa después los cálculos. Jul A S O N D

16 T e m a 1 AUTOEVALUACIÓN 1 El opuesto del número 25 es: a 25. b 25. c 0. d Nada de lo anterior. 2 Los posibles valores de x tales que x = 8 son: a x = 8 ó x = 8. b Sólo x = 8. c x = 8 y x = 8. d Nada de lo anterior. 3 El número 12,003 se lee: a Doce enteros y tres décimas. b Doce enteros y tres centésimas. c Doce enteros y tres milésimas. d Nada de lo anterior. 4 La fracción decimal representa al número: a 1,2045. b 120,45. c 1204,5. d Nada de lo anterior. 5 El número es: a 23,72. b 23,702. c 23,072. d Nada de lo anterior. 6 El valor del número A = 3 3 ( 2) : ( 8) es: a 17. b 0. c 17. d Nada de lo anterior. 7 El número B tal que 4,58 3 B = 28,396 es: a 6,2. b 130, c 7, 04. d Nada de lo anterior. 8 El número C tal que C 45,065 = 10,24 es: a 34,825. b 55,305. c 55,305. d Nada de lo anterior. 9 El valor del número D = 23 [72 : 9 (4 3 2,5)] ,5 es: a 40. b 73. c 37. d Nada de lo anterior. 10 Para que : 4 = 8 hay que escribir: a (8 5) 8 : 4 = 8. b 8 5 (8 : 4) = 8. c [8 5 8] : 4 = 8. d Nada de lo anterior. 21