Suma, diferencia y producto de polinomios

Transcripción

1 I, Polinomios Suma, diferencia y producto de polinomios Un monomio es una expresión algebraica donde los números (coeficientes) y las letras (parte literal) están separados por el signo de la multiplicación. Un polinomio es la suma o resta de dos o más monomios. PASO A PASO Real iza la siguiente resta de polinomios: (3x4 - x3 + 2x - 4) - (2x4 + 2x2-3x) 1 Cambiamos el signo de todos los términos del segundo polinomio: - x3 + 2x - 4} - (2x4 + 2x2-3x) = 3x4 - x x4-2x2 + 3x = 2. Operamos los términos de grado 1 y grado 4, que son semejantes: Para sumar o restar polinomios se operan los términos que tienen la misma parte literal, esto es, los términos semejantes. las siguientes sumas y diferencias de polinomios.

2 I. Polinomios: Suma, diferencia y producto de polinomios los polinomios P(x) = 3x4-2x3 + x2 + x, Q(x) = x y P,(x) = -2x?-4 calcula las sumas y restas que se indican. a) P(x) + Q(x)- /?(*) b) c) 2P(x) + Q(x)-2R(x) d) 2P(x) el polinomio P(x) = -x5 + 3x3-2x + 3, busca el polinomio que restado de P(x) dé como resultado los siguientes polinomios. a) -x4 + 3x3 - x + 2 b) -3x5 + 4x3-3x2-2x + 6

3 I. Polinomios: S u m a, diferencia y producto de polinomios Multiplica los polinomios P(x) = 3x3 + 2x2-3 y Q(x) = -x2 + 2x + 5 Colocamos los polinomios uno encima del otro, poniendo en la misma vertical los monomios semejantes y dejando el hueco cuando falte alguno de los términos: P(x) = 3x3 + 2x2-3 Q(x) = + 6x4 H J5X3H - 4x3 -x2-10x2 + 2x fíy ^ * P(x) Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio del primero por todos los monomios del segundo, y después se operan los términos semejantes. Qv5 Oy4 + 3x2 (-x2) P(x) [j(^lj2m^^ h J9X3 H - 13x2-6x -1S] Efectúa las siguientes multiplicaciones de polinomios y reduce los términos semejantes. a) (3x2-x) (2x 3-4x+ 5) O x 2 --)-(10x2-20x-10) 5 b) (x- - x; - 2x2-4) (x3 + 5x + 6)

4 I. Polinomios: Suma, diferencia y producto de polinomios Multiplica los polinomios P(x) = 2x3 - x2 + 3 y Q(x) = -x3 + 2x2-3, escribiendo los productos parciales en la misma línea. 1. Multiplicamos cada monomio de P(x) por Q(x): (2x3 - x2 + 3) (-x3 + 2x2-3) = 2x3 (-x3 + 2x2-3) - x2 (-x3 + 2x2-3) + 3 (-x3 + 2x2-3) 2. Desarrollamos los productos y reducimos los términos semejantes: = -2x6 + 4x5-6x3 x x2-3x3 6x2-9 = \6 + 5x5-2x4-9x3 + 9x2-9 úa las siguientes multiplicaciones y reduce los términos semejantes, a) (2x-3y+l) (3x+ 2 y - 6 ) = c) (x2 + 3y-z2) 3y + z2) = úa las siguientes potencias aplicando las identidades notables, a) (ax2 + b)2 = c)í2x2 + LX. 9x2 - - Xx d) (3x2 + 2y)2 - e) 3x_ j 2 3

5 I. Polinomios: Suma, diferencia y producto de polinomios UN PASO MAS Desarrolla la expresión: (1-2x3) + 2x(x- I)2 1 Calculamos la potencia: = (l-2x3) + 2x(x2-2x + 1) = 2 Calculamos el producto: =(1-2x3} + (2x3-4x2 + 2x) Las operaciones con la misma prioridad se realizan de izquierda a derecha. 3 Efectuamos la suma-. = \2 ja las operaciones con polinomios y reduce los términos semejantes, a) 5(x2-2) - 2(2-3x + 2x2) + ^ (6-3x2) = b) 5x2-4[3(x2 - x) - (2x2-3x + 4)] = c) (x-2) (2x+ -x2)(5x-2) = d) (2-x)[(x-4)2 -(x-2)-(x-3)] = e) (x + y ) [ x ( 2 y + l)-y(2x+ 1)] -

6 I. Polinomios: Suma, diferencia y producto de polinomios Reduce las siguientes expresiones con coeficientes fraccionarios. v x2 + 1,- x2 + 2 x(x + 6) a) 1- o = ^Jt)Simplifica las siguientes expresiones desarrollando los productos notables y reduciendo los términos semejantes. a) 2(x + 5)2 - x2(3x - I)2 - (x- 4) (x + 4) = b) [x2 + (2x-3)]-[x 2 -(2x-3)] = c) (2x - 5)2-2[4(x + 1) (x -1) - (2x + 3)2] = d) [(x-2y) [(x-2y)-5] =

7 I. Polinomios División entera de polinomios En toda división entera de dos polinomios se cumple lo siguiente: Dividendo = Divisor Cociente + Resto Grado del resto < Grado del divisor PASO A PASO Realiza la siguiente división de polinomios: P(x) : Q(x) = (9x4-4x2 + 5x- 1) : (3x2-2x + 1) En el dividendo ponemos todos los términos ordenados, dejando hueco en los que falten. 9x4-4x2 +5x - 3x2-2x+ -9x4 +6x3-3x2 +6x3-7x2 +5x - -6x3 +4x2-2x 3x2 + 2x~ 9x4 : 3x2 = 3x2 6x3 : 3x2 = 2x -3x2 : 3x2 = -1-3x2 +3x - +3x2-2x + +x Dividendo = Divisor Cociente + Resto => 9x4-4x2 + 5x - 1 = (3x2-2x + 1) (3x2 + 2x - 1) + x Grado del resto = 1 < Grado del divisor - 2 úa las siguientes divisiones enteras de polinomios y, luego, comprueba que se cumple la igualdad: Dividendo = Divisor Cociente + Resto. a) (2x3 + 4x2-3) : (x2-2) b) (4x3 + 4x2 + x + 1) : (2x2 + 3x 8

8 I. Polinomios: División entera de polinomios UN PASO MÁS En una división de polinomios, el divisor es 2x + ; el cociente, 4x2 + 6x +, y el resto,. Qué polinomio es el dividendo? "feal efectuar la división (2x3 + 5x2 + 3x- 2) : (x2 + 3x+ 1) se ha obtenido como cociente C(x) = 2x- 1. Halla el resto sin efectuar la división. JCalcula el valor de a para que el resto de la división (4x5-7x3 + 3x+ a) : (x2-2) tenga los coeficientes iguales. ICalcula a para que la división (4x3 + 6x2 + ax- 6) : (2x + 3) sea exacta.

9 I. Polinomios División de polinomios por binomios con la regla de Ruffini La regla de Ruffini sirve para dividir un número entero. polinomio entre un binomio x- a, donde a representa un * r\ r* /"\ i~i A ÍN /"\O A PASO rfh Divide el polinomio P(x) = 2x4-19x2 + 5x - 8 entre el binomio x- 3., 1 Colocamos los coeficientes del dividendo, poniendo un 0 cuando falte algún término. 2. Colocamos el primer coeficiente, 2, debajo de la línea y lo multiplicamos por a = El resultado lo sumamos con el siguiente coeficiente, 0, y así sucesivamente < Coeficientes del dividendo < Producto del resultado anterior por > 1 t N. a Coeficientes del cociente F 'esto Cociente: C(x) = 2x3 + 6x2 - x + 2, Resto: R(x) = -2 a la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones, a) (x5-3x4-5x2 + 4) : (x - 2) = c) (3x4 + 8x3 + 8x - 3) : (x + 3) = b) (2x4 + 5x3-5x - 2) : (x + 2) = d) (2x4 - x3-4x2 + x + 3) : x - = 10

10 I. Polinomios: División de polinomios por binomios con la regla de Ruffini UN PASO MÁS I Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 3x4 + 2x3-12x2 + 8x cuando x Utilizamos la regla de Ruffini: El valor numérico de un poli-nomio P(x) cuando x = a es igual al resto de la división P(X) : (x- a) => P(-3) = 57 (Utilizando la regla de Ruffini, calcula el valor numérico de los polinomios siguientes para los valores que se indican. a) P(x) = 2x3-3x2-8x + 12; P(4) b) P(x) = 3x4 - x3-6x2 + 2x; P(-2) Calcula el valor de m, utilizando la regla de Ruffini, para que se cumpla lo que se indica en cada apartado. a) Cuando x- -5, el valor numérico de c) La división P(x) : íx + ) sea exacta, siendo P(x) = x4 + 6x3 + 4x2 + m sea 25..,\ I P(x) = mx4 + 5x 3-5x-2 b) La división (x4 + 6x3 + 4x2 + m) : (x + 5) d) La división Q(x) : (x - 3) tenga de resto -20, sea exacta. siendo Q(x) = x4 + mx3 + 5x2-5x

11 I. Polinomios Raíces de un polinomio. Teorema del resto y del factor Un número a es raíz del polinomio P(x) si P(a) = 0. Se cumple que: Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales. PASO A PASO (gj.líflk^s^gg-j! Halla las raíces enteras del polinomio P(x) = x4-8x2-9. Las posibles raíces son divisores del término independiente, - 9, es decir: ±1, ±3 y ±9. Calculamos el valor numérico para cada uno de los valores y comprobamos si son raíces: P(-l) = (-l)4-8(-l)2-9 = 1-8-9=^16*0 P(l) = (l)4-8(l)2-9 = P(-3) = (-3)4-8(-3)2-9= =0 P(3) = =0 P(-9} = (-9)4-8(-9)2-9= =5904*0 P(9) = = 5904* O Las raíces enteras de P(x) son +3 y-3. windica en cada caso si los números dados son raíces del polinomio. a) x = -l,4, 5; P(x) = x 3-21x-20 b) x = -l, 3,- ; P(x) = 3x3-2x2-3x+2 las raíces enteras de los siguientes polinomios. a) P(x) = x s -9x2 -x+9 b) P(x) = x3 - x2 + 6x~ 6 12

12 I. Polinomios: Raíces de un polinomio. Teorema del resto y del factor N PASO MAS I Calcula el resto de la división (4x3-3x + 2) : (x + 3) aplicando el teorema del resto. Teorema del resto: Al dividir P(x) : x- a, se cumple que P(a) = Resto. Aplicando el teorema del resto, se cumple: P(-3) = Resto. P(-3) = 4(-3)3-3(-3) + 2= =-97 (Calcula el valor de c para que la división de (x3 + 6x- c) : (x- 2) sea exacta. 5)El resto de la división de (2x3-3x2 + ax- 5) : (x- 2) es 3. Cuánto vale a? Es x- 1 factor del polinomio P(x) = x3 + 2x2 - x- 2? Para que x- 1 sea factor, se tiene que cumplir que P( 1) = 0: Teorema del factor: P(x) tiene como factor x- a si P(a) = O, P(l) = I2-1-2= O -> x- 1 es factor de P(x) ' i Indica si (x+ 1) y (x-1) son factores del polinomio P(x) = x3-1 idado el polinomio P(x) = x2 + x- 6, sabiendo que P(2) = O y P(-3) = O, escribe los factores del polinomio aplicando el teorema del factor. 13

13 I. Polinomios Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de sus factores. PASO A PASO ^Factoriza el polinomio P(x) = 2x5 + 4x* - 6x3-16x2-8x. 1 Sacamos factor común: P(x) = 2x (x 4 + 2x3-3x2-8x - 4) 2. Buscamos entre los divisores de -4 las raíces de Cj(x) = x4 + 2x3-3x2-8x Buscamos las raíces de C2(x) = x3 + x2-4x Buscamos las raíces de C3(x) = x Utilizamos las Identidades notables para factorizar C3(x) = x2-4 = (x + 2) (x - 2). 6. Igualamos el polinomio al producto de todos los factores o divisores: = x4 + 2 x 3-3x2-5x = 4 0 = =,(x) C2(x) C3(x) P(x) - 2x (x + I)2 (x + 2Hx^2Ü (Factoriza los siguientes polinomios, a) P(x) = x3 - x2-4x + 4 c) R(x) = -x 4- b) Q(x) -x3 + 2 x 2 -x-2 d) S(x)-x3-1 14

14 I. Polinomios: Factorización de polinomios UN PASO MÁS MWMHHMMMNMHBMMHeí r ^Factoriza los siguientes polinomios sacando factor común o usando las identidades notables, a) A(x) = x3 + 6x2 + 9x c) C(x) = 2x4-8x2 4 1 O V3, T V2 b) 6(x) = 6x4-12x d) D(x) = 5x5 + 5x IFactoriza los siguientes polinomios indicando las raíces que no sean enteras. a) E(x) = x3-4x2-5x d) W(x) = x 3-3x2-9x+ 27 b) F(x) = 2x 3-6x2-18x- 10 e) /(x) = x 3-5x2-2x+ 10 c) G(x) = x 3-6x2 + 12x-8 f) J(x) = 2x3-5x2 -x+ 6 15

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