INTEGRAL DEFINIDA ÁREAS Y VOLUMENES

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "INTEGRAL DEFINIDA ÁREAS Y VOLUMENES"

Laura Álvarez Hernández
hace 7 años
Vistas:

1 Intgrl indinid. gl d Brrow INTEGA DEFINIDA ÁEAS Y OUMENES siguint rgl, qu s s n l torm undmntl dl cálculo intgrl, rlcion l intgrl dinid con ls intgrls indinids prmit clculr ls intgrls dinids. intgrl dinid d un unción () continu n un intrvlo crrdo [, ] s igul l dirnci d los vlors qu tom un primitiv F() culquir n los trmos suprior inrior dl intrvlo [, ]. () d [ F() ] F() F() Pr clculr l intgrl () d s sigun los siguints psos S clcul intgrl indinid corrspondint () d F() C S tom un primitiv culquir, n prticulr s rcomind C tomr F() S clcul l intgrl dinid plicndo l rgl d Brrow Ejmplo. Clculr ( 7) d. intgrl indinid corrspondint s ( 7) d 7 C. Tomndo l primitiv qu rsult d hcr C plicndo l rgl d Brrow: ( 7) d [ 7] ( 7 ) [( ) ( ) 7( ) ] Ejmplo. Clculr l intgrl dinid d S dtrmin l intgrl indinid por l método d intgrción por prts: u du d d d C dv d v n n n n n Tomndo C, s plic l rgl d Brrow 8 n d n n n n n n n Ejmplo. Clculr l intgrl dinid d 5 S clcul l intgrl indinid por l método d cmio d vril. t : t t t d t dt t dt t C d t dt t t t Aplicndo l rgl d Brrow 5 d ( ) C ( ) C ( ) ( ) ( 5 ) 5 5

2 En ls intgrls dinids, qu s rsulvn por cmio d vril, pud rsultr más rápido sncillo cmir los límits d intgrción mdint l cución dl cmio d vril Sí 5 t t : t : t ( ) d Sí t 5 t dt t dt d t dt t Propidds t t. Si los límits d intgrción son iguls, l intgrl s nul. d. Si () s positiv n [, ], l intgrl dinid n st intrvlo rprsnt l ár dl rcinto corrspondint l intgrl s positiv. Si s ngtiv n [, ] A () d >, l vlor opusto d l intgrl dinid n st intrvlo rprsnt l ár dl rcinto corrspondint l intgrl s ngtiv. A () d tnindo n cunt () d < Si cmi d signo n l intrvlo [, ], l intgrl dinid d () n st intrvlo rprsnt l sum lgric d ls árs d los rcintos corrspondints. Es dcir, l sum d ls rspctivs intgrls dinids, qu ctds dl signo corrspondint(positivo si stá por ncim, ngtivo si stá por djo), nos d l ár dl rcinto limitdo por l gráic d (), l j OX ls rcts d cucions, tl como podmos vr n l mrgn. A A A

3 . Si c s un punto intrior l intrvlo [, ] c, s vriic: d d d c Mdint l intrprtción gométric si () s dinid positiv n [, ], ácilmnt pud visulizrs st propidd, pus quivl irmr qu l ár dl rcinto totl s l sum d ls árs d los rcintos prcils. c d d A A A d Est propidd s gnrlizl l tomr más puntos intriors n l intrvlo [, ] c.. Al intrcmir los límits d intgrción, l intgrl dinid cmi d signo. () d () d st propidd s inmdit d dmostrr prtir d ls propidds. 5. intgrl dinid d l sum o dirnci d dos uncions s l sum o dirnci d ls intgrls dinid d ms uncions. 6. Si K s un númro rl, s vriic: 7. Si g [, ] [ ± g ] d d ± g K d K, ntoncs s vriic: d g d d d

4 Cálculo dl ár limitd por l unción l j OX. S distingun trs csos: i. () > n [, ] Si () >, l ár dl rcinto limitdo por (), l j OX ls rcts, dond < s: A d Ejmplo. Clculr l ár pln limitd por l unción () 6 9, ls rcts, l j OX A ( 6 9) d u ii. () < n [, ] Si () <, l ár dl rcinto limitdo por (), l j OX ls rcts, dond < s: ( ) ()d ()d ()d ()d A A Ejmplo 5. Hllr l ár dl rcinto limitdo por l curv d cución 6 8, l j OX ls rcts. S soz l gráic d l unción, s dlimit l ár 6 8 ( ) ( ) : < < A ( 6 8) d ( 6 8) d u

5 Ejmplo 6. Hllr l ár dl rcinto limitdo por l curv d cución ( ), l j OX l rct. S soz l gráic d l unción, s dlimit l ár. Pusto qu solo dn un límit d intgrción( ), l otro s otndrá por intrscción d l unción con l j OX. Punto d cort con OX: : : : d A Por comodidd s más sncillo primro clculr l indinid continución tomndo l primitiv pr C, rsolvr l dinid mdint l rgl d Brrow. C C d v d dv d du u d Tomndo como primitiv F() ( ), s plic l rgl d Brrow [ ] d A S otin l mismo rsultdo plicndo l vlor soluto d l intgrl dinid: d A

6 iii. () no tin signo constnt n l intrvlo [, ] En st cso () d NO ES l ár limitd por (), l j OX ls rcts, sindo <. Pr clculr l ár hrá qu dscomponrl n árs positiv ngtivs, clculr sts sgunds n vlor soluto, sumrls tods. Pr l dscomposición s tndrá n cunt l propidd. Ejmplo 7. Clculr l ár comprndid ntr l unción () sn cos ls rsts. S soz l gráic d l unción clculndo los puntos d cort con l j OX n l intrvlo d intgrción. Corts con OX: sn cos sn sn cos : cos, A sn cos d sn cos d S clcul primro l indinid. sn m cos n [ sn( m n) sn( m n) ] A sn cos d [ ] ( sn cos ) d sn cos sn sn cos sn { } cos sn C cos cos C 6 tomndo como primitiv d l unción C sustitundo n l intgrl dinid: cos sn F () 6 cos sn A sn cos d sn cos d 6 6 cos sn ( ) cos sn( ) cos sn( ) cos sn cos sn

7 Otr orm d clculr l ár ntr l j OX un l unción qu no mntin l signo n l intrvlo d intgrción, s: () d Ejmplo 8. Clculr l ár dl rcinto limitdo por l j OX. S pid dtrminr l ár qu ncirrn un unción l j OX, pusto qu no dinn los límits d intgrción mdint rcts dl tipo o, s h d ntndr qu l j OX l unción s cortn l mnos dos vcs, d st orm podr dlimitr un rcinto plno. ( ) ( ) : ( ) ( ) A d : : : Tnindo n cunt () Sí Sí (, ) (, ) [,] [, ) 9 ( ) d ( ) d u A () por simtrí: A () 9 ( ) d u

8 Ár dl rcinto limitdo por dos curvs. El ár dl rcinto limitdo por ls curvs d cucions ) ( (), cuos puntos d intrscción tin por ciss, sindo [ ], (), () < s: d () A Ejmplo 9. Clculr l ár dl rcinto limitdo por ls curvs., ± S hlln los límits d intgrción clculndo ls sciss d los puntos d intrscción d ls curvs. ± os puntos d intrscción son (,) (,). Como [ ],, l ár dl rcinto dtrmindo por ms curvs s: d d u Si () no s mor o igul qu () pr todo prtncint l intrvlo [, ], l cálculo dl ár s d dscomponr n sum d intgrls, clculndo por sprdo ls árs n ls qu () () d ls qu () () Ejmplo. Clculr l ár pln limitd por ls uncions () g (). S hlln los límits d intgrción clculndo ls sciss d los puntos d intrscción d ls curvs. : : : : g() () [ ] [ ] d d d () g() d g() () A

9 d d u 7 Cálculo d volúmns d rvolución. os volúmns d rvolución s otinn l hcr girr un ár pln lrddor dl j OX o dl j OY. El volumn d un sólido d rvolución gnrdo l hcr girr n torno l j OX l rgión dl plno limitd por l gráic d un rgión continu () ntr, vin ddo por: [ ] OX d () Ejmplo. Clculr l volumn dl sólido qu s otin l hcr girr l curv n torno l j OX, ntr. rctg d d d u 8 rctg rctg rctg

10 El volumn d un sólido d rvolución gnrdo l hcr girr n torno l j OY l rgión dl plno limitd por l gráic d un rgión continu () ntr, l j OX vin ddo por: OY d () Est tipo d intgrl s mu útil pr clculr volúmns d curpos toroidls. Ejmplo. Clculr l volumn dl csqut sérico qu s origin l hcr girr lrddor dl j OY l suprici pln limitd por l curv, l rct ( < ), l j OY. unción rprsnt un smicircunrnci positiv d rdio, qu s cortd por un rct, qu junto l j OY, dtrmin un ár ngulr. Si st ár rot lrddor dl j OY, gnr un csqut sérico, cuo volumn s otin mdint l siguint intgrl OY d Pr clculr l límit suprior(), s rsulv l sistm: cudrdo : : Elvndol : OY d Pr simpliicr los cálculos s rcomind hcr por sprdo l intgrl indinid d d d d C C Tomndo como primitiv C

11 OY d

Documentos relacionados

3dx dx 3. dx 1-4x. 7. 3xdx 4+x x 2

3dx dx 3. dx 1-4x. 7. 3xdx 4+x x 2 MsMtscom Intgrls Clculr l intgrl: ++ + (-) (+) - 7 + 8 ln - cos sn - - - + (+) ln ln 7 8 cos ln + + - +- - - + -+ ++ Ls gráfic (i), (ii) y (iii) corrspondn, no ncsrimnt por s ordn, ls d un función drivbl