2. Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

Transcripción

1 REPSO DE GEOMETRÍ MÉTRIC PLN. Hllr el siétrico del punto (, - ) respecto de M(-, ).. Clcul ls coordends de D pr que el cudrilátero de vértices: (-, -), B(, -), C(, ) D; se un prlelogro.. Ddos los vectores (, k) (, - ), clcul k pr que los vectores sen:. Perpendiculres. b. Prlelos. c. Foren un ángulo de 6. No válid. Si M(, ), M(, ) M(6, ) son los puntos edios de los ldos de un triángulo, cuáles son ls coordends de los vértices del triángulo? 7 (7, ) B(, ) C(, )

2 . Probr que los puntos: (, 7), B(,6) C(, -) pertenecen un circunferenci de centro (, ). Si O es el centro de l circunferenci ls distncis de O, B, C D deben ser igules 6. Clsificr el triángulo deterindo por los puntos: (, -), B(, ) C(, ). Recuerd que se cuple: En este cso se cuple: 7. Hllr k si el ángulo que for (, k) con (, -) vle:. 9 b. c. Ls dos soluciones son válids

3 8. Clculr los ángulos del triángulo de vértices: (6,), B(,), C(-,-). 9. Clcul pr que el vector u (, ) se unitrio u ± (ls dos soluciones son válids). Qué ángulo forn los vectores u (, ) v (, ) s (, ) w (, )? u v ( ) cos ( u, v) u v ( ) ( ) cosα ( u, v ) 8º 8º 6,8 6º, α 8º 6,8? Y los vectores cos β s w s w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cosβ β 8º 9,9 6 ( s, w) 6º 8º 9,9 77º 7,6

4 . Clcul el producto esclr de u (, ) v es de º u, ( ) u u v u v cosº, sbiendo que v el ángulo que forn. Clcul un vector ortogonl ( 6, 8) Buscos w, quecuple: w u w u que se unitrio. ( ) (, ) ( 6, 8) Soluciones:,. Clcul pr que los vectores u (, ) v (, ). Ortogonles u v (, ) (, ), 6 sen: 6 8 ± b. Prlelos u v son proporcionles c. Foren un ángulo de 6º cos 6º ( 9 6 ) ( ) 9 ( ) ,, 96 válid no válid.,8 (,) 9,6 (,). Ddos los puntos (, ); B (6,); C(7,) D(, -) Deuestr que el polígono BCD es un rectángulo clcul su períetro su áre. Si es un rectángulo losldos opuestos deben ser prlelos dosdos los ldos concurrentes B (, ) DC; D (, ) (, ) (, ) D (, ) (, ) B Áre bseltur d (, B) d ( perpendiculres B DC; BC ; DC BC D BC ; D DC; B BC (, D) B CD ( ) u

5 . Los puntos (-, -); B (,); C(,) son tres coordends de un prlelogro, clcul ls coordends del curto vértice. Si llos D l curto vértice h que considerr tres posibliiddes: prlelogro BCD; prlelogro BDC; prlelogro CBD ) BCD se prlelogro. D (, b) B DC (, )(-, -b) B ; b- D (, -) C D b) BDC se prlelogro D (, b) B B CD (, )(-, b) 6; b D (6, ) C D c) CBD se prlelogro C D (, b) B D C DB (, )(-, -b) -; b- D (-, -) 6. Hll ls coordends de los puntos edios del bricentro del triángulo de vértices (, ); B (,); C(,). M,, N, (, ) P,, G,, 7. Escribe de tods ls fors posibles l ecución de l rect que ps por los puntos (, ) B(-, ).

6 8. De un prlelogro BCD conoceos (, ), B(, ), C(-, ). Hll ls coordends del vértice D. 9. Clsificr el triángulo deterindo por los puntos: (6, ), B(, ) C(6, ).. Hllr l pendiente l ordend en el origen de l rect Hllr l ecución de l rect r que ps por (,) es prlel l rect s:.. Los puntos (-, ) B(, -), son vértices de un triángulo isósceles BC que tiene su vértice C en l rect - siendo C BC los ldos igules. Clculr ls coordends del vértice C.. L rect r n - 7 ps por el punto (,) es prlel l rect s -. Clcul n.

7 . Ddo el triángulo BC, de coordends (, ), B(, ) C(, ); clcul l ecución de l edin que ps por el vértice C.. Clculr l ecución de l rect perpendiculr r : ps por el punto P(-,). 6. Hll el punto siétrico ', del punto (, ), respecto de l rect r : - 7. Un rect de ecución r : - 9 es editriz de un segento B cuo etreo tiene por coordends (,). Hllr ls coordends del otro etreo. 8. Un rect es prlel l que tiene por ecución r : 8 -, dist 6 uniddes del origen. Cuál es su ecución?

8 9. Clculr ls bisectrices de los ángulos deterindos por l rects:. Hllr el ángulo que forn ls rects que tienen por ecuciones:. b. c. d.. Se tiene el prlelogro BCD cuos vértices son (, ), B(, ), C(-, ) D(-, -). Clculr su áre.

9 . Dds ls rects r - s -8, deterinr pr que foren un ángulo de. válids. Ddo el triángulo (-, -), B(7, ), C(, 7); clculr ls ecuciones de ls lturs deterinr el ortocentro del triángulo.. Un rect es perpendiculr l que tiene por ecución r : - 7 dist uniddes del origen. Cuál es su ecución?

10 . De l rect r se sbe que ps por el punto (,) un vector director es (-, ). Deterin l ecución de l rect en tods ls fors que conozcs. 6. Dd l rect - escríbel en for vectoril, prétric, contínu punto pendiente. 7. Dds ls rects - (-)-(), clcul el vlor de pr que sen:. prlels ( ) ( ) b. perpendiculres ( ) ( ) B B 8. Deterin el vlor de pr que ls rects, - sen prlels. Después hll su distnci. ( ) ( ) ( ) u s d s r d s s si r otr l ci dis su clcul se els de un de punto un elige se ci dis su Clculr Pr cuple Se ), ( ), ( 9 8, 8 6 : tn tn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8,, Eplícit Pendiente Punto Generl Vectoril t t Prétric s t OX Vectoril ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,, Eplícit Pendiente Punto Vectoril t t Prétric s t OX Vectoril vlor el dos le Punto u direccionl vector

11 9. Hllr l ecución de l editriz del segento deterindo por los puntos (,-) B(,). Hllr tbién el ángulo que for est editriz con el eje de bsciss. M, B (, ) es vector (, ) norl C ( ) C C L Pendiente de es tg α α º ángulo º D. Hll el áre del prlelogro BCD sbiendo que l ecución del ldo B es -, l ecución del ldo D es ls coordends del punto C son (,) C B El punto El DC El 7 Áre ldo punto DC es es l K bse ltur intersecci prlelo K 6 7 d ( D, C ) d 6 B ps D es l irte sección de los ón de ls rects por ldos (, ldo DC ) C K 7 DC D DC D (, ) (, ) 7 ( ) ( ) 7 ( ) 7 7 u. Clcul ls ecuciones de ls rects que psn por el punto P(,) forn un ángulo de º con l rect -7 P, L rectpedid p l escribios en forpuntopendientep. ( ) ( ) L pendiente de lrectt 7 es Lsdosrects forn un ángulo de º sus ± ± tg º ± Lsdos pendientes 7 7 p 7( ) 7 p 7 7 rects solución sonperpendiclres el cuplen: producto desuspendienteses ( ) 7 7. Ddos los puntos (,-) B(,) hllr el punto de l bisectriz del º º cudrnte que equidist de bos puntos Un punto de l bi sectriz del º º cudrnte es de l for P ( t, t) Buscos los puntos P que equidis tn de B d ( P, ) d ( P, B) 6 8t t t t ( t) ( t) ( t) ( t) t t t 8t 8 t P (, )

12 . Ddos los puntos (,), B(-,) C(,), clculr el vlor de pr que el triángulo BC teng de áre 6 uniddes cudrds C(,) Áre 6 bse ltur bse d (, B) ( ) ( ) lturh d( C, ldo B) B B (,) (,) Ldo B h u (,) B(-,) B K K K es direccion l 6 ± h 9 9 C, C (, ). Hll ls ecuciones de ls rects que psndo por el punto (,-) distn dos uniddes del punto B(,) Escribeoslrecten for punto pendiente r : d( B, r) r : 9 r : 9 ( ) ( ) soluciónválid 9. Hll los puntos de l rect 7--8 que distn uniddes de l rect -- r : un d( P, s) ± ( ) ( 7 8) P puntoculquierderesp P(, 7) (, 7) (,7 8) 6. Clcul ls coordends del punto P situdo en l rect - que equidiste de ls rects -, -6 r : un puntoculquier der es P (, ) s : t : 6 d( P, s) d( P, t) ( ) ± ( 7 ) P, P ( 7, )

13 7. Ls rects r:- s:7 forn un ángulo cuo seno vle /. Clcul sen α 6 7 (, ) (, 7) ( ) cos α SÍ SOLUCIÓN 7 8 ; VÁLID SÍ SOLUCIÓN VÁLID 8. Clcul el áre del triángulo que tiene sus vértices en los puntos (,) B(-,) C(-,). C(-,) h Áre bse ltur bse d (, B) ( ) ( ) lturh d( C, ldo B) u (,) B B Áre (,) (,) u B(-,) es direccion l Ldo B ldo B K B h K K 9. Un heágono regulr tiene su centro en el origen de coordends uno de sus ldos sobre l rect. Hll su áre. C(,) r s: pote d( (,), s) En el heágono regulr elldoesigul l el rdio, litd del r r 6 Áre r Períetro pote r r rdio lpote r ldo 6 r fornun triángulo rectángulo rdio delcircunferenci 6 7 circunscrit u

14 . Deterinr ls coordends de los vértices B C de un cudrdo que tiene por digonl C donde (,) C(9,6). Porser cudrdod(, B) d( C, B) D C 9 6. Ls coordends de los vértices del cudrilátero BCD son (,), B(7,), C(8,) D(,6).. verigu de for rzond sin recurrir un dibujo si se trt o no de un prlelogro. b. Clcul ls coordends de los puntos edios de los cutro ldos. c. verigu si el cudrilátero cuos vértices son los puntos edios nteriores es o no un prlelogro. ) Si fuer un prlelogro, los vectores B DC tendrín l is dirección el iso ódulo. Por lo tnto, teneos dos ners de coprobr si es un prlelogro: B (7,) (,) (7,) DC (8,) (,6) (,-). Si tuviern l is dirección serín proporcionles, es decir (7,) t (,-), por lo que t deberí vler siultáneente 7/ /. Coo es obvio que ests cntiddes no son igules, estos vectores no son proporcionles (linelente dependientes) por lo que no son prlelos. L otr for de coprobrlo es deterinndo sus ódulos. Si fuer un prlelogro d(,b) d(d,c). ( 7 ) ( ) 8; d( D, ) ( 8 ) ( 6) d (, B) C B 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 8 Llongitud d( C, ) 8 d(, B) Re solviendo elsisteque d( C, B) 6 6 Coo ls distncis no coinciden no es un prlelogro. b) El punto edio de un segento se obtiene hllndo l edi ritétic de ls coordends de sus etreos: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 forn lsdosecuciones: 6, 7, 7 7, 8, P M B, ; Q MBC, ; ( 8,) (,6) (,6) (,) R MCD, ; S MD,8 c) plicos el prier rzoniento epledo en el prtdo ): deldigonles l 6 hipotenus 8 8 de un 6 8 ( ) 8( ) triángulo 7 B(7, ) 8 D(, 8) rectángulo 7 PQ,, SR,,8 (,6) (,6) ; Result que PQ SR, luego deás de ser prlelos son igules, por lo que QR PS tbién deben ser igules. Es decir, se trt de un prlelogro.

15 . L rect r tiene coo ecución iplícit l rect s tiene coo ecuciones t prétrics. Escribe ls ecuciones de r en fors eplícit, punto-pendiente, 6 t continu prétrics ls ecuciones de s en for continu, iplícit, eplícit puntopendiente. Epeceos con l rect r. Pr psr for eplícit bst con despejr l, por lo que qued: For eplícit: De est ecución deducios que l pendiente -/. Pr hllr l ecución en l for puntopendiente necesitos ls coordends de un punto. Si en l ecución nterior le dos el vlor, result -8, luego l rect ps por el punto P(,-8) por lo tnto: For punto-pendiente: 8 ( ) El vector director de r se obtiene prtir de los coeficientes de de en l ecución iplícit: u (,-). Coo conoceos ls coordends de un punto de l rect, teneos 8 For continu: t Pr concluir poneos l for prétric: 8 t Vos hor con l rect s. Si en ls ecuciones prétrics despejos el práetro e 6 igulos, obteneos l for continu: t Quitndo denoindores psndo todo un iebro teneos l ecución iplícit: 8 Despejndo l obteneos l for eplícit: 6 ( ) prtir de l for continu deducios l for punto-pendiente:. Hll ls coordends del siétrico del punto P(,6) respecto de l rect r: -. El proceso que vos seguir es el siguiente: ) Hllos l perpendiculr r que ps por P. Coo r está en for eplícit teneos su pendiente. Culquier rect perpendiculr r tendrá de pendiente /, luego l ecución del hz de rects perpendiculres r es n. Coo quereos que pse por el punto P, l ecución nterior debe ser ciert pr e 6, por lo tnto: 6n, n6 l rect buscd es 6. b) hor hllos el punto de corte entre est rect r: Q, 6 c) hor clculos el punto P, pedido por el proble, teniendo en cuent que Q debe ser el punto edio del segento PP : P (,), luego 8, (,6) (, ) P',

16 . Un robo tiene l digonl enor de l is longitud que sus ldos sus etreos son los puntos (,) C(7,7). Contest ls siguientes cuestiones rzonndo ls respuests:. Cuánto vlen los ángulos del robo? b. Cuánto vle el períetro del robo? c. Cuánto ide l digonl or? d. Clcul ls coordends de los otros dos vértices. ) Si l digonl enor es igul los ldos del robo, est digonl divide l robo en dos triángulos equiláteros, por lo que el ángulo enor del robo será de 6º el or de º. b) El períetro es l su de ls longitudes de los cutro ldos. Si los ldos iden lo iso que l digonl enor, bstrá con hllr l longitud de est digonl ultiplicr el resultdo por : ( 7 ) ( 7 ) 6 6 digonl d( C, ) períetro c) L digonl or es el doble de l ltur de un triángulo equilátero de ldo. Por el l teore de Pitágors sbeos que l ltur de culquier triángulo equilátero es h, siendo l el ldo del triángulo, sí pues coo l digonl or es el doble de es ltur, teneos: 6 6 h digonl or 6 d) H vris ners de resolver l últi prte. Nosotros vos seguir el siguiente procediiento: En prier lugr hllos l ecución de l digonl or, porque los puntos buscdos deben estr en es rect. Es digonl no es otr que l editriz del segento C. L editriz tbién se puede clculr de vris ners. Nosotros usreos l propiedd d(p,) d(p,c): ( ) ( ) ( 7) ( 7) En segundo lugr hllos ls coordends del punto edio, M, de En tercer lugr hllos l ecución de l circunferenci de centro M l ltur del triángulo equilátero itd del robo: 6 ( ) ( ) En curto lugr hllos los puntos de corte de est circunferenci con l editriz (que es l digonl or). Ls soluciones serán ls coordends de los puntos buscdos: 6 ( ) ( ) ( ) ± M 8 (, ) ( 7,7) (,) C: Por lo tnto, ls soluciones son: (, ) (, ) B D

17 . Con los dtos del proble, hll l ecución de l circunferenci que ps por P es tngente l rect r, de for que el segento que une P con el punto de tngenci es un diáetro. Rzon l respuest. Podeos provechr los dtos del proble nterior. El centro de l circunferenci será el punto edio de los puntos P Q del proble nterior, es decir: El rdio de l circunferenci será l itd de de l distnci de P r. Si poneos r en for iplícit, teneos: -- por tnto: d( P, r) 6 9 rd L ecución de l circunferenci Clcul el áre del triángulo de vértices (,-), B(-,) C(,). Clcul tbién ls coordends del bricentro del triángulo. Rzon ls respuests. El áre de un triángulo es igul l bse por l ltur dividido entre. Si llos r l rect que ps por B, l bse es l distnci entre B l ltur es l distnci entre C r. sí pues: bse d(, B) ( ) ( ) 9 L rect que ps por B tiene coo vector director B (--,) (-7,) coo vector norl n (,7). Por lo tnto, el hz de rects prlels r es: 7 C. Coo quereos que pse por teneos 7 C de donde C. Es decir, r tiene coo ecución 7. 7 ltur d( C, r) áre 7 Por su prte, el bricentro de un triángulo (punto de corte de ls edins) se obtiene coo l edi ritétic de ls coordends de los vértices: ( ) G, C (, ) (,6) 8, 9, 7. Hll ls ecuciones de los ldos, ls coordends de los vértices ls coordends del bricentro de un triángulo cuos ldos son prlelos los ldos del triángulo del ejercicio nterior psn por sus vértices (ver figur djunt). Rzon ls respuests. En este ejercicio heos de clculr ls ecuciones de los ldos del triángulo del ejercicio nterior. L ecución del ldo B l heos clculdo, sí que tendreos que clculr ls ecuciones de los ldos C BC. Después hbrá que clculr ls ecuciones de ls prlels ess tres rects que psen por los puntos C, B respectivente. Después hbrá que clculr los puntos de corte de ests tres nuevs rects tendreos los vértices, B C del nuevo triángulo. Por últio hllreos ls coordends del bricentro del nuevo triángulo coprobreos que son ls iss que ls del bricentro del triángulo BC. L ecución de l rect B es 7.

18 Clculos hor l ecución de l rect C: El vector director de est rect es C (-,), por lo que el vector norl es n (,). L ecución del hz de rects prlels C es C. Iponiendo l condición de que pse por el punto C result: 6 C, de donde C -6 l rect buscd es 6, que siplificndo qued:. Hllos hor l rect BC: Vector director: BC (,); vector norl (,-). Hz de rects prlels BC: C e iponiendo que pse por C result C, de donde C l rect buscd es. Rect prlel B que ps por C: (r) 7 C, iponiendo que pse por C teneos: C, de donde C - l rect buscd es 7. Rect prlel C que ps por B: (s) C, iponiendo que pse por B teneos: - C, de donde C 9 l rect buscd es 9. Rect prlel BC que ps por : (t) C, iponiendo que pse por teneos: C, de donde C -9 l rect buscd es 9. Pr hllr los vértices del nuevo triángulo teneos que resolver tres sistes de ecuciones eligiendo ls ecuciones nteriores dedos en dos: Hllos el vértice : pr ello usos ls rects r s: sí pues: (-7,) 9 Hllos el vértice B : pr ello usos ls rects r t: 7 7 sí pues: B (7,) 9 Hllos el vértice C : pr ello usos ls rects s t: sí pues: C (-,-) 9 Por últio, hllos el bricentro del triángulo B C : 7 7 G ', (, ) que, coo podeos ver, coincide con el bricentro del triángulo BC.

19 8. Hll l ecución de l bisectriz interior correspondiente l vértice del triángulo del ejercicio. Rzon l respuest. Eplic continución qué cálculos serí necesrio hcer pr hllr l ecución de l circunferenci inscrit ese triángulo. Teneos que hllr ls bisectrices de los ángulos fordos por ls rects B C del ejercicio nterior elegir l intern. Pr sber cuál de ls dos es bst con fijrse en el dibujo. Necesitos l que teng pendiente negtiv. L bisectriz es el lugr geoétrico de los puntos del plno que equidistn de dos rects, sí pues: 7 d ( P, s) d( P, t) 9 l quitr los vlores bsolutos obtendreos ls dos bisectrices: b : b : 7 ( 7 ) ( ) ( ) ( 7 ) ( ) 7 ( 7 ) ( ) ( ) ( 7 ) ( ) El vector director de l prier bisectriz es ( 7, ) ( 8'7, '9). L pendiente de un rect se obtiene dividiendo l segund coordend del vector director por l prier. Coo en este cso ls dos son negtivs result que l pendiente es positiv, por lo que no es ést l bisectriz que estos buscndo, sino l segund cu ecución es 7 ( ) ( ) ( ) Pr finlizr, eplicreos breveente qué cálculos serín necesrios pr hllr l ecución de l circunferenci inscrit en el triángulo BC: Pr hllr l ecución de un circunferenci se necesitn ls coordends del centro el rdio. El centro de l circunferenci inscrit (o incentro) es el punto en el que se cortn ls bisectrices. Y heos clculdo un de ells, por lo que tendríos que repetir el proceso nterior en el vértice B o en el C (bst con hcerlo en uno de ellos). Un vez que tengos dos bisectrices, resolveos el siste de ecuciones que deterinn l solución nos d ls coordends del incentro. Pr hllr el rdio teneos en cuent que el incentro equidist de los tres ldos del triángulo, luego bst con clculr l distnci del incentro culquier de los tres ldos del triángulo. Con ls coordends del incentro el rdio podeos escribir l ecución de l circunferenci inscrit en el iso.