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Transcripción

1 PROGRAMA DE MATEMATICAS III (Geometría Analítica) Con este curso se inicia el estudio de la geometría analítica, rama de las Matemáticas cuyos inicios se remontan a la segunda mitad del siglo XVII con Descartes, que deseaba crear un método que pudiera aplicarse a la resolución de todos los problemas de la geometría, esto es, que suministrará un método general resolución. La teoría de Descartes se basa en dos conceptos: el de las coordenadas y el de representar en forma curva plana cualquier ecuación algebraica con dos incógnitas, valiéndose para ello del sistema de coordenadas. En este curso se estudian, principalmente, las ecuaciones con dos incógnitas de primer y segundo grado. La grafica que representa según la forma que tenga la ecuación (valores de los coeficientes) y a las posibles transformaciones algebraicas que permitan obtener otras ecuaciones equivalentes que contengan los elementos definitorios, ya sea de una recta o de una cónica, y dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir sus puntos, determinar su ecuación. Para lograr lo anterior, se requiere que el estudiante tenga un dominio aceptable del álgebra y de los conocimientos básicos de Geometría y Trigonometría. Este curso brida la posibilidad de afianzar y madurar las ideas algebraicas, dándole un significatividad al carácter operatorio de las mismas a través de la interpretación geométrica. Los problemas y/o actividades que se incluyen en la columna denominada problemario, indican el nivel al que se propone se dé el curso, sin que esto quiera decir que son los únicos problemas que deben tratarse, en general, cualquiera de los textos tradicionales servirá para el desarrollo del presente programa. En la columna de Problemas Tipo, aparecen problemas como los que se espera ayuden a homogenizar nuestras evaluaciones. (Tiempo:60-64 hrs) TEMA PROBLEMARIO PROBLEMAS TIPO TIEMPO % AVANCE I. Conceptos Preliminares 1.0. Campo y métodos de la geometría analítica Diferencia entre geometría analítica y geometría euclidiana Sistema coordenado lineal longitud de segmentos. * Hallar la longitud del segmento AB cuyos extremos son: a) 4 y 3 ; b) 3 y -1 ; c) 8 y 0 ; d) -10 y 8 ; e) -3 y Sistema de coordenadas cartesianas. * Localizar en el plano los puntos: A (-1, 3) B (4, -2) C (0, 4) D (-5, 0) E (-3, -1) F (5, 7). 1.0 Hr Distancia entre dos puntos División de un segmento en una razón dada. 1.6 Angulo de inclinación y pendiente de un segmento. * Hallar la distancia entre los puntos: a) A(1,4) y B(0,2) ; b) C(-4.-2) y D(7,1) ; c) E(5,0) y F(0,0) ; d) G(-6,4) y H(5,-2) *Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: l(0,1) J(1,3) K(-1,5) L(-5,0) * Si el segmento AB tiene por extremos A(6,4), B(2,-4). Hallar P(x,y) tal que r =AP: PB =-2. * Uno de los extremos de un segmento es (7,8) y su punto medio es (4,3).Hallar el otro extremo. *Los extremos de un segmento son K(7,4) y L(-1,-4).Hallar r =KP:PL en que P(1,-2) divide a el segmento KL. * Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación del segmento que une los puntos: a)(-3,2) y (7,-3) b)(2,-2) y (1,-4) c)(-4,3) y (5,3) d)(7,3) y (-2,-4) * Hallar el perímetro del triángulo cuyos vértices son: (0, -1), (3,4) y (2, -5) * Los extremos de un segmento son: P 1 (2, 4) P 2 (8, -4). Hallar P (x, y) que divide al segmento en dos partes tales que: P 2 P: PP 1 = Hr Paralelismo y perpendicularidad de * Demostrar que el segmento de extremos (-2,5) y (4,1) es perpendicular al segmento de extremos (-1,1) y (3,-7). cuál debe 12.3

2 segmentos (condiciones) 1.8. Area de un triángulo, formula del determinante. 2.0-Problemas Fundamentales de la Geometría Analítica. 2.1-Obtención de ecuaciones de lugares geométricos ser el valor del ángulo formado por los segmentos? a qué es igual el producto de las pendientes? * Demostrar que (2,5), (8,-1) y (-2,1) son los vértices de un triángulo rectángulo. * Hallar el área del triángulo cuyos vértices son: a) (-1,-1), (4,2) y (2,-3) ; b) (1,0), (-2,0) y (2,-1/2) ; c) (3,4) y (1,2) (0,0) Comentar los dos problemas fundamentales de la geometría analítica: dada la definición de un lugar geométrico obtener la ecuación que lo representa y dada una ecuación, trazar la gráfica *Determinar la ecuación que expresa el hecho de que el punto(x,y) equidista de los puntos (-3,5) y (7,-9). ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su abscisa es siempre igual al doble de su ordenada. *Un punto se mueve de tal forma que su distancia a (2,3) es siempre igual a 5.Hallar su ecuación. * Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de manera que la suma de sus distancias a los puntos (3,0) y (-3,0) es siempre igual a hrs 1.5 hrs II. La línea recta 1. Definición de línea recta 2.0 Obtener la ecuación de la recta: Que pase por el punto y con pendiente dada 2.2.-Con pendiente y ordenada al origen dados 2.3.-Que pasa por dos puntos 3.0 Ecuación general de la recta. Ax+By+C= Rectas coincidentes 3.2.-Rectas paralelas 3.3.-Rectas que se intersectan 4.-Ángulo entre dos rectas ecuación gráfica de la recta que: a)pasa por A(-1,2) y tiene pendiente 3; b) pasa por A(-2.-5) y un ángulo de inclinación es de 135º; c)tiene pendiente -2 y ordenada al origen igual a 4; d)tiene ordenada al origen -3 y ángulo de inclinación de 60º; e)pasa por P(4,-5) y Q(-2,3); f)pasa por A(1,0) y B(5,-3). *Expresa en la forma general la recta: a)y=4/5 x-3; b) y-4=-2(x+1/2; c)que pasa por (5,-4) y (1,1) d) que pasa por (3,1) y (5,-3), en cada caso grafícala. *Determinar si los siguientes pares de rectas coinciden, son paralelas o se intersectan. (analizar las relaciones entre sus coeficientes, para determinar las condiciones de paralelismo y perpendicularidad, así también comentar el significado algebraico de la intersección de rectas) a)y=2x-1, 2x+3y-8=0; b)4x-3y=5, 2x-3/2y-5/2=0 c)y=2/3x-4, 6y-4x-8=0 d)5/2x-7/4y+3/7=0, 10x-7y+10/7=0 *Hallar el ángulo entre : a)2x-3y=0 y 5x+y-1=0 b)-4x+2y-8=0 y.5x+3 c)x-y+1=0 y la recta que pasa por (3,-1), (5,0). recta que pasa por A(-3,5) y B(5,-3),y expresarla en forma general. Cuál es la recta perpendicular a la recta obtenida que pasa por (-3,5)? Graficar las rectas. recta que pasa por la intersección de 3x+y-9=0, 4x-y-1=0 y cuya pendiente es Hr. 1.5 hrs. 5. Distancia de un punto a Calcula la distancia del punto P a la recta L:

3 una recta III LAS CONICAS 1. La Circunferencia. 1.0 Definición 2. Ecuación ordinaria de la Circunferencia De centro en el origen De centro en P(h,k). 3. Ecuación General de la. 3.1 Ecuación General de la que pasa por 3 puntos 4.0 Ecuación de la tangente a la. a) P(3,-2), L: 4-x+5y-10=0 b) P(-4,1), L: y-3=4(x+2) ecuación y traza su grafica de la de centro C y radio r : a) C(0,0), r=7; b) C(1,0) r=1; c) C(-2,3), r=3; d) C(-2,-3) r=5. *Encontrar centro y radio de las s y trazar su gráfica: a) 3x 2 +3y 2-9=0; b) (x-5) 2 +(y+1) 2 =4. ecuación general de la de centro (-2,1) y que pasa por (5,-2). *Encontrar centro, radio y graficar la, dada por la ecuación: a) -2x 2-2y 2 +6x-10y-7=0; b) x 2 +y 2-2x-6y+6=; c) 9x 2 +9y 2 +72x-12y+103=0; d) x 2 +y 2-3y=0 que pasa por: a)(0,0), (0,-3); b) (2,8), (-1,-1), (7,3); c) (4,-19, (0,-7),(-2,-3) d) (3,6), (7,0), (0,0). tangente a la : x 2 +y 2-8x+3=0 en el punto (6,3) Graficar. s tangentes desde el punto (6,-4) a la x 2 +y 2 +2x-2y-35=0. *Encuentre la que es tangente a la recta x-2y+7=0 en el punto (3,5). distancia del punto (10,-4) a la recta y=-2/3x+1. ecuación ordinaria de la 9x 2 +9y 2 +72x- 12y+103=0 ecuación general y ordinaria de la cuyo centro es (1,-2), y pasa por el punto (-3,1). *hallar la tangente a la x2+y2+2x-2y- 39=0 en (4,5). 2.0 La parábola. 2.1 Definición. 2.2 Ecuación de la parábola: a) de vértice en el origen y eje, uno de los ejes b) de vértice (h,k) y eje paralelo a uno de los ejes 2. Ecuación general de la parábola. parábola cuyo vértice en el origen y: a)foco(0,3); b) directriz x+5=0 s coordenadas del foco, vértice, directriz, longitud del lado recto, y graficar: a) y 2 +4x=0; b) x 2-2y=0; c) 1/8 x 2 +2y=0 parábola cuyo vértice es (4,-3) y foco (-1,3). Hallar la ecuación de su directriz y de su eje. *La directríz de una parábola es y-1=0, su foco es (4,-3).Hallar su ecuación. *Reducir las siguientes ecuaciones a su forma ordinaria, obtener: foco, vértice, longitud del lado recto, ecuaciones de directríz y eje focal, gráfica. a) y 2 +4x=7; b) 9x 2 +24x+72y+16=0; c ) 4y 2-48x-20y=71. parábola cuyo vértice y foco son (2,3) y (2,1) respectivamente. Determinar la longitud del lado recto, y ecuaciones de su eje y de su directríz, hacer la gráfica. *Dada la ecuación y 2 +4x+2y-19=0 expresarla en

4 Ecuación de la parábola que pasa por tres puntos. 3.0 La Elipse. 3.1 Definición. 3.2 Ecuación de la Elipse: a) de centro en el origen. ejes sobre los ejes b) De centro (h,k) y ejes paralelos a los ejes Ecuación general de la Elipse * Una de centro (4,-1) pasa por el foco de x 2 +16y=0.Demostrar que es tangente a la directriz de la parábola. *Determinar la parábola que pasa por: a)(0,0), (8,-4), (3,1) b)(2,2), (8,4), (0,0). elipse de focos (2,0), (-2,0) y excentricidad 2/3. *Una elipse tiene por centro (0,0), su eje mayor coincide con el eje x. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos: ( 6, 1) y(2, 2) s coordenadas de los vértices, focos, longitud de : lado recto, eje mayor, eje menor; excentricidad y grafica de: a) 9x 2 +4y 2 =36; b)16x 2 +25y 2 =400; c)x 2 +3y 2 =6. *Los vértices de un elipse son (7,1), (-7,1), su excentricidad es 1/3. Hallar la ecuación. *El centro de una elipse es (-2,-1) y un vértice es (3,-1).Si la longitud del lado recto es 4, hallar su ecuación, excentricidad y focos. *Reducir las ecuaciones siguientes a su forma ordinaria y determinar: centro, focos, vértices, eje mayor, eje menor, excentricidad y gráfica. a)x 2 +4y 2-6x+16y+21=0 b)9x 2 +4y 2-8y-32=0 c)x 2 +4y 2-10x-40y+109=0 forma ordinaria, obteniendo: foco, vértice, lado recto, directriz, eje. Trazar su gráfica. *Si la ecuación de una elipse es: 9x 2 +y 2-18x- 2y+1=0, graficarla determinando todos los elementos: centro, vértices, etc. 4. La hipérbola 4.1 Definición Ecuación de la hipérbola. a) de centro en el origen y eje sobre los ejes Asíntotas de la hipérbola, excentricidad b) de centro (h,k) y ejes paralelos a los ejes Asíntotas de la *Los vértices de un hipérbola son (0,2) y (0,-2), sus focos (0,3) y (0,-3). Hallar su ecuación, graficar. *Una hipérbola tiene su centro en (0,0) y su eje conjugado sobre el eje x, la longitud del lado recto es 2/3 y pasa por (-1,2); Hallar su ecuación. s ecuaciones, y trazar la gráfica, de las asíntotas de la hipérbola: 4x 2-5y 2 =7. distancia del foco de la derecha de la hipérbola 16x 2-9y 2 =144 a cualquiera de sus asíntotas. hipérbola equilátera que pasa por (-1,- 5), y sus asíntotas son los ejes s coordenadas de los vértices, focos, longitud de eje trasverso y conjugado, excentricidad, longitud del lado recto, gráfica: a)4x 2-9y 2 =36; b)4x 2 -y 2 =4; c)3x 2-5y 2 =15 d)-3x 2 +2y 2 =6 *El centro de una hipérbola es (2,-2) y un vértice (0,-2) si la longitud del lado recto es 8, Hallar su ecuación. *Escribe en la forma ordinaria las hipérbolas siguientes *Traza el lugar geométrico determinado por la ecuación: 4x 2-9y 2 +8x- 54y+113=0, Expresándola en su forma ordinaria y determinando: centro, vértices, focos, excentricidad, longitud de: lado recto, eje transverso, eje conjugado.

5 hipérbola, excentricidad. 4.3.Ecuación general de la hipérbola 5.0 Generación de las cónicas 5.2 Propiedades ópticas 5.1 Recta tangente y normal a una cónica IV. Ecuación general de segundo grado 1.0 Tema de la ecuación general de segundo grado 1.2. Traslación de ejes Efectos en la ecuación general 1.3 Rotación de ejes Efectos en la ecuación general. 1.4 Determinación del tipo de cónica que representa una ecuación general de segundo grado. determinando todos sus elementos: a)x 2-9y 2-4x+36y-41=0; b)3x 2 -y 2 +30x+78=0 c)9x 2 -y 2-36x-2y+44=0 *Obtener por medio de recortes en conos de papel, las cónicas. Dibujar la manera de obtener cada una de ellas. *Exponer brevemente las propiedades ópticas que tiene la parábola y la elipse. *Mencionar que este tema ya se trató para la. Exponer el tema de manera general para las demás cónicas, que consiste en: dar la recta tangente, sustituirla en la cónica y aplicar la condición de tangencia. s rectas tangente y normal a las curvas: a) y 2-4x+2y+9=0 en (6,3); b) 4x 2 +2y 2-7x+y-5=0 en (2,1); c) 3x 2 -y 2 =2 en (1,1); d) y 2-8x=0 cuya pendiente de la recta tangente es -1. * Los estudiantes deberán poder identificar el tipo de cónica que representa la ecuación. Ax 2 +Cx 2 +Dx+Ey+F=0, según sus coeficientes. Hacer bastantes ejercicios, y exponer la forma general. *Encontrar el nuevo origen de un sistema de coordenados, mediante la traslación, en donde las siguientes ecuaciones carezcan de términos de primer grado: a) x 2 +y 2 +2x-6y+6=0; b) y 2-6x 2-24x-2y-32=0; c) 3x 2 +2y+18x-8y+29=0; d) simplificar por traslación y 2-4x-6y+17=0, haciendo notar que esto ya se estuvo haciendo al encontrar el centro o vértice de cónicas. *Mencionar que los efectos de la rotación de ejes es eliminar el término xy. *Dada la forma de la ecuación general de segundo grado, mediante el indicador I=B 2-4AC, determinar el tipo de cónica que representa cada una de las siguientes ecuaciones: a)4x 2-24xy+11y 2 +56x-58y+95=0 b)5x 2 +2xy+10y 2-12x-22y+7=0 c)2x 2-12xy+8y 2 +x-3y-6=0 Obtener la recta tangente y normal de la cónica x 2-6x+5y- 11=0 en el punto (-2,-1) *Simplificar por traslación la cónica 3x 2 +6y 2-8x+3=0, graficarla en su nuevo origen. *Indicar el tipo de cónica que representan la siguientes ecuaciones: a) -4x 2-4y 2-8x+8y-1=0 b) 3x-2y 2 +y- 48=0 *Mediante el indicador : I=B 2-4AC determine el tipo de cónica que representa: a) 8x 2-4xy + 15y 2 +4y-4=0 b) 5x 2 +4xy+2y 2-24x-12y+29=0