Laboratorio de Física con soporte interactivo en Moodle

Transcripción

1 Laboratoro de Físca con soporte nteractvo en Moodle

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3 Laboratoro de Físca con soporte nteractvo en Moodle Javer Ablanque Ramírez Rosa María Bento Zafrlla Juan Carlos Losada González Departamento de Físca y Mecánca Fundamentales y Aplcadas a la Ingenería Agroforestal ETSI Agrónomos UPM Unversdad Poltécnca de Madrd Lus Sedel Gómez de Quero Departamento de Físca Aplcada a la Ingenería Industral Escuela Técnca Superor de Ingeneros Industrales Unversdad Poltécnca de Madrd Prentce Hall es un sello edtoral de Harlow, England London New York Boston San Francsco Toronto Sydney Sngapore Hong Kong Tokyo Seoul Tape New Delh Cape Town Madrd Mexco Cty Amsterdam Munch Pars Mlan

4 LABORATORIO DE FÍSICA CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLE Javer Ablanque Ramírez; Rosa María Bento Zafrlla; Juan Carlos Losada González; Lus Sedel Gómez de Quero PEARSON EDUCACIÓN, S.A. 010 ISBN: Matera: 53, Físca. Formato: mm Págnas: 158 Cualquer forma de reproduccón, dstrbucón, comuncacón públca o transformacón de esta obra sólo puede ser realzada con la autorzacón de sus ttulares, salvo excepcón prevsta por la ley. La nfraccón de los derechos menconados puede ser consttutva de delto contra la propedad ntelectual (arts. 70 y sgts. Códgo penal). Dríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográfcos: s necesta fotocopar o escanear algún fragmento de esta obra. DERECHOS RESERVADOS 010, PEARSON EDUCACIÓN S.A. Rbera del Lora, Madrd (España) PRENTICE HALL es un sello edtoral autorzado de PEARSON EDUCACIÓN ISBN: Depósto Legal: Equpo edtoral: Edtor: Mguel Martín-Romo Técnco Edtoral: Esther Martín Equpo de produccón: Drector: José A. Clares Técnco: Isabel Muñoz Dseño de cuberta: Equpo de dseño de Pearson Educacón, S. A. Composcón: Vuelapluma, S. L. U. Impreso por: Nota sobre enlaces a págnas web ajenas: Este lbro puede nclur enlaces a stos web gestonados por terceros y ajenos a PEARSON EDUCACIÓN S.A. que se ncluyen sólo con fnaldad nformatva. PEARSON EDUCACIÓN S. A. no asume nngún tpo de responsabldad por los daños y perjucos dervados del uso de los datos personales que pueda hacer un tercero encargado del mantenmento de las págnas web ajenas a PEARSON EDUCACIÓN S. A y del funconamento, accesbldad o mantenmento de los stos web no gestonados por PEARSON EDUCACIÓN S. A. Las referencas se proporconan en el estado en que se encuentran en el momento de publcacón sn garantías, expresas o mplíctas, sobre la nformacón que se proporcone en ellas. IMPRESO EN ESPAÑA PRINTED IN SPAIN Este lbro ha sdo mpreso con papel y tntas ecológcos

5 A nuestras famlas

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7 CONTENIDO CAPÍTULO I LA MEDIDA Y SU INCERTIDUMBRE El concepto de medda.... El proceso de medcón en el laboratoro Incertdumbre en meddas drectas Incertdumbre en meddas ndrectas Representacones gráfcas Ajuste por mínmos cuadrados...8 CAPÍTULO II MECÁNICA TEORÍA 1. Cnemátca y dnámca del punto Cnemátca del punto en dos dmensones Dnámca del punto materal Ley de Hooke. Osclador armónco Péndulo smple Dnámca de sstemas Dnámca del sóldo rígdo con eje de rotacón fjo Cnemátca del sóldo rígdo Centro de masas y momento de nerca Teoremas fundamentales de la dnámca de rotacón Ejemplo de dnámca de sstemas Movmento groscópco PRÁCTICAS PR1. Estudo del movmento unformemente acelerado con el carrl de are PR. Determnacón de la constante elástca de un muelle helcodal PR3. Determnacón de la aceleracón local de la gravedad medante un péndulo smple PR4. Relacón entre los movmentos de rotacón

8 CAPÍTULO III ELECROMAGNETISMO TEORÍA 1. Campo eléctrco Campo magnétco PRÁCTICAS PR5. Medda de la resstenca de un hlo conductor en funcón de su longtud PR6. Varacón de la resstenca con la temperatura en un flamento ncandescente PR7. Determnacón de la resstenca nterna de un voltímetro PR8. Determnacón del campo magnétco en el nteror de un solenode y de la permeabldad magnétca del are CAPÍTULO IV TERMODINÁMICA Y TRANSFERENCIA DE CALOR TEORÍA 1. Termodnámca Introduccón Defncones termodnámcas Prncpo cero de la termodnámca Leyes de los gases deales Transferenca de calor Transferenca de calor por radacón PRÁCTICAS PR9. Comprobacón expermental de la ley de Boyle Marotte PR10. Comprobacón expermental de la ley de Stefan Boltzmann PR11. Determnacón de la emsvdad de dstntos materales con el cubo de Lesle

9 PRÓLOGO La Físca es una cenca expermental, por lo que las práctcas de laboratoro son un complemento mprescndble en la enseñanza de esta dscplna. El laboratoro pone en contacto a los alumnos con los fenómenos físcos estudados en la clase de teoría. Esta actvdad contrbuye a una formacón más completa del alumno, facltándole la compresón de los conceptos y la adquscón y afanzamento de los conocmentos, por lo que es fundamental aprovechar al máxmo las posbldades de formacón que ofrece la realzacón de práctcas de laboratoro, ntentando que sean de la mayor caldad posble, tanto centífca como pedagógca. Sn embargo, no sempre es posble la realzacón de práctcas de caldad y su segumento por parte de los profesores, ya sea por el coste que ello supone o por el elevado número de alumnos que hay en los prmeros cursos unverstaros de certas dscplnas. Esta obra es una herramenta nteractva que, usando la tecnología de la nformacón y la comuncacón (TIC), puede ser utlzada como una alternatva on-lne a la realzacón presencal de las práctcas de laboratoro, destnada a complementar las enseñanzas de la Físca General de prmeros cursos de Grados en Cencas o Ingenería, e ncluso últmos cursos de bachllerato. Consta de dferentes recursos pedagógcos y materales ddáctcos a los que se accede on-lne a través de una plataforma de tele-enseñanza Moodle, e ncluye un lbro de apoyo, de forma que puedan ser utlzados tanto en enseñanza a dstanca (e-learnng) como en enseñanza mxta (b-learnng) El lbro se ha estructurado en tres capítulos, sobre Mecánca, Electromagnetsmo y Termodnámca en los que prmeramente se recogen los fundamentos teórcos necesaros, presentando a contnuacón la descrpcón detallada de dferentes práctcas. Se ncluye, a su vez, una sere de cuestones que oblgan a los alumnos a reflexonar sobre los resultados obtendos y sacar conclusones de los msmos, de esta manera se ntenta r ntroducendo al alumno en el método centífco. Por otro lado y dado que uno de los objetvos del laboratoro de Físca es que los alumnos tomen concenca de que toda medda vene afectada por una certa ncertdumbre y que aprendan a expresar los resultados expermentales correctamente, se ha ncludo un prmer capítulo dedcado a la medda y su ncertdumbre. Este es un tema al que se presta especal atencón dado que en todas las práctcas se exge una correcta presentacón de los resultados que ncluya el tratamento de ncertdumbres y el ajuste de gráfcas por el método de los mínmos cuadrados. Los contendos de este lbro complementan a los materales ddáctcos ncludos en la plataforma de tele-enseñanza Moodle, en la que en cada práctca se presenta de nuevo su desarrollo detallado, añadendo vdeos y otros elementos multmeda e ncluyendo el tratamento de datos expermentales reales. Así msmo, se proporconan, nuevos datos expermentales para que el estudante trabaje con ellos, realzando el tratamento de datos, la obtencón de los resultados y

10 x PRÓLOGO conclusones. Además se ha ncludo en cada práctca un test con varas preguntas de respuestas múltples sobre aspectos concretos de la msma, que puede ser utlzado por el alumno como materal nteractvo de autoevaluacón, o por el profesor como evaluacón de las capacdades desarrolladas por el estudante. El objetvo de los autores es ntroducr al alumnado en la forma de trabajar en el laboratoro, de forma que los alumnos que utlcen estos materales puedan centrar su aprendzaje en la profundzacón de los fundamentos físcos de las experencas práctcas, en domnar el tratamento de los datos expermentales y la elaboracón de nformes. Así, sn obtener de forma drecta los datos, pueden acercarse a la práctca tal como se realza en el laboratoro de una forma más cómoda, sn las lmtacones de espaco o tempo habtuales, de forma que puedan desarrollar competencas que tradconalmente se adqueren medante el trabajo en el laboratoro, como pueden ser conocer cómo se mde la aceleracón de la gravedad, el momento de nerca de un gróscopo o la resstenca nterna de un voltímetro; saber estmar correctamente la ncertdumbre en las meddas o manejar las herramentas gráfcas y estadístcas de programas de ordenador muy usuales. Así msmo este tpo de metodología nteractva de enseñanza-aprendzaje, permte desarrollar competencas transversales que serán útles al alumno en otras asgnaturas, como el uso de programas de ordenador para la realzacón de ajustes, gráfcas, etc. y en general todas las relaconadas con el uso las TIC en la enseñanza. El Laboratoro de Físca con apoyo nteractvo en Moodle puede utlzarse como apoyo a la docenca presencal o en la mpartcón de cursos completos de Físca on-lne, que de esta forma ncluyen aspectos expermentales que en prncpo solo estarían dsponbles en la enseñanza presencal. Este materal tene la ventaja de que permte al alumno un aprendzaje autónomo con los materales on-lne proporconados y un segumento personalzado por parte del profesor, utlzando las dferentes herramentas que poseen las plataformas de teleenseñanza.

11 I LA MEDIDA Y SU INCERTIDUMBRE Contendo del capítulo 1. El concepto de medda. El proceso de medcón en el laboratoro 3. Incertdumbre en meddas drectas 4. Incertdumbre en meddas ndrectas 5. Representacones gráfcas 6. Ajuste por mínmos cuadrados

12 LABORATORIO DE FÍSICA CON APOYO INTERACTIVO EN MOODLE 1. EL CONCEPTO DE MEDIDA 1 En Físca solo tene sentdo aquello que se puede medr. Se llama magntud físca a cualquer cualdad susceptble de ser medda: longtud, masa, resstenca eléctrca, Por el contraro, cantdad es el observable concreto que tene un objeto de una certa magntud: la longtud de una regla es la cantdad de la magntud longtud que tene la regla. Para cualquer magntud, su undad es la cantdad de esa magntud que se toma como referenca. Así, una posble undad de volumen es el volumen de un determnado recpente. Medr sgnfca comparar la cantdad de la magntud que tene el mensurando (aquello que se mde) con la undad. S una mesa tene una cantdad de longtud 3 veces mayor que la de la regla que tomemos como undad, dremos que la medda de la mesa es 3 undades, o que la mesa mde 3 reglas. Al expresar una medda como un número y una undad (5 N, 80 s, 145 km/h) hay que acostumbrarse a emplear el Sstema Internaconal de Undades (SI) y ajustarse a sus normas. Las magntudes en Físca tenen una propedad que se llama dmensón, ntroducda por Joseph Fourer, que se defne como una certa cualdad de la magntud que mpde que puedan compararse magntudes con dstnta dmensón. No podemos comparar masas con tempos porque son magntudes que tenen dstnta dmensón. Sn entrar más a fondo en el campo del análss dmensonal, convene nsstr en que en los cálculos en Físca no solo ntervenen números, sno magntudes y dmensones que hay que expresar correctamente.. EL PROCESO DE MEDICIÓN EN EL LABORATORIO El resultado de cualquer medcón, por elemental que sea, no debe ser smplemente un número y una undad: 3 mm, 7 kg. Las meddas en el laboratoro están sempre afectadas por una ncertdumbre. En algunos casos, la ncertdumbre del resultado de la medda será debda al aparato de medda. S estamos cronometrando los tempos de caída de un objeto, la ncertdumbre no será la msma s empleamos nuestro reloj o un buen cronómetro. En otros casos, la ncertdumbre tendrá su orgen en el propo operador. Dos personas dstntas, mdendo el msmo objeto con el msmo aparato, pueden obtener resultados dstntos. Incluso, en cuanto la medda es sufcentemente precsa, mdendo varas veces el msmo objeto, la msma persona con el msmo aparato, se obtenen valores dstntos para la medda. La ncertdumbre se defne como parámetro asocado al resultado de una medda que caracterza la dspersón de los valores que razonablemente se pueden asgnar al mensurando. Hay que dstngurlo del error, que sería la dferenca entre el valor verdadero y el meddo del mensurando. Por defncón, el error no se puede determnar, porque el valor verdadero no se puede conocer con absoluta certeza. En su lugar, se habla de valor convenconalmente verdadero como aquel al que tratamos de acercarnos medante el proceso de medda. 1 Para las defncones que sguen y la forma de calcular la ncertdumbre, se toma como referenca la Guía para la expresón de la ncertdumbre en la medda y el Vocabularo Internaconal de Metrología, normas nternaconales publcadas por el BIPM (Ofcna Internaconal de Pesas y Meddas) y respaldadas por ISO y otras organzacones centífcas. Están dsponbles en

13 CAPÍTULO I LA MEDIDA Y SU INCERTIDUMBRE 3 La determnacón de la ncertdumbre es uno de los objetvos prncpales del trabajo en el laboratoro. Para ello, hay que establecer un procedmento de medcón que nos permta dentfcar las fuentes prncpales de ncertdumbre. En prmer lugar, hay que tratar de dentfcar y controlar posbles magntudes de nfluenca en la medda. Por ejemplo, la temperatura puede nflur en una medda de longtud, s el materal tene un coefcente de dlatacón no desprecable; o el lugar en que hagamos la medda puede perturbarla s alguna magntud depende de la aceleracón local de la gravedad. A contnuacón hay que conocer la ncertdumbre asocada a los aparatos de medda, tanto la asocada a su calbracón como la asocada a la dvsón de escala del aparato, es decr, el ntervalo mínmo de valores de la magntud que puede dstngur (1 mm en una regla, 0,1 grados en un termómetro, ). Un aparato de medda mal calbrado ntroduce un error sstemátco en los resultados que en ocasones se puede observar en el tratamento de los datos. En lo que sgue supondremos sempre que los nstrumentos de medda están correctamente calbrados y que la ncertdumbre asocada a ellos se calcula a partr de la dvsón de escala. Por últmo, hay que tratar de controlar los errores sstemátcos, que son aquellos que se deben a manpulacones poco cudadosas de los aparatos o a gnorar las magntudes de nfluenca. Reducr los errores sstemátcos será sempre necesaro antes de obtener los datos expermentales que vayamos a tratar. Se dce que se mde en condcones de repetbldad o de referenca cuando se ha establecdo correctamente el procedmento de toma de datos expermentales para controlar las magntudes de nfluenca y los errores sstemátcos. Incluso entonces se obtene certa varabldad en los resultados, pero esas varacones se pueden tratar estadístcamente. Esto expresa el hecho fundamental de que no podemos conocer el valor real del mensurando. El resultado de la medda será x u, donde x es el valor convenconalmente verdadero y u es su ncertdumbre, o ncertdumbre absoluta. S la dferenca entre el valor real (al que nos podríamos aproxmar más con una medda mejor o un aparato de mayor caldad) y el valor convenconalmente verdadero es pequeña, decmos que la medda es exacta. S la ncertdumbre es pequeña, decmos que la medda es precsa. Hay que dstngur entre exacttud y precsón, aunque el objetvo de la medcón es obtener resultados más exactos y más precsos. En realdad, la ncertdumbre no expresa el rango de valores que contenen con segurdad al valor real. Es decr, el valor real no se encuentra sempre entre x u y x u. Lo máxmo que podemos asegurar es que se encuentra en ese rango con bastante probabldad. De hecho, s los resultados de una medcón se ajustan a una dstrbucón normal de probabldad (dstrbucón gaussana, a la que se ajustan datos completamente aleatoros) la probabldad de que el valor real esté en el ntervalo dado por x u es de un 68,%. Por eso con frecuenca se multplca por o por 3 la ncertdumbre (para obtener una probabldad del 95,4% o del 99,7%). Este factor se conoce como factor de cobertura. Sempre debemos conocer el nvel de confanza de la ncertdumbre que hayamos determnado, aunque no menconemos explíctamente el factor de cobertura empleado. Para expresar correctamente el resultado y su ncertdumbre se deben respetar las sguentes reglas. La ncertdumbre se expresa con una (o a veces dos, partcularmente s la prmera es un 1) cfras sgnfcatvas. S como resultado de los cálculos obtenemos para una certa ncertdumbre

14 4 LABORATORIO DE FÍSICA CON APOYO INTERACTIVO EN MOODLE el valor 0,00457, ese número tene en prncpo 4 cfras sgnfcatvas (los ceros a la zquerda no son sgnfcatvos). El msmo valor redondeado a dos cfras sería 0,0045 o redondeado a una cfra sería 0,005. Convene recordar que, al redondear, s la prmera cfra desprecada es mayor o gual a 5, la cfra que se retene se aumenta en una undad y en otro caso no se modfca. EJEMPLO Al medr la velocdad de un móvl, se obtene v 3,5867 m/s. La ncertdumbre resulta ser u 0,058 m/s. Expresar correctamente el resultado de la medda. En prmer lugar, la ncertdumbre se debe expresar con una únca cfra sgnfcatva. Redondeando se obtene u 0,06 m/s. A contnuacón se debe ajustar el número de cfras sgnfcatvas del valor meddo para que la últma sea la afectada por la ncertdumbre. En este caso, la afectada por la ncertdumbre es el segundo decmal. Por tanto el resultado correcto es: v (3,59 0,06) m/s Para aprecar más fáclmente la caldad de una medda se puede emplear la ncertdumbre relatva que se calcula como el cocente entre la ncertdumbre absoluta y el valor meddo w = u. x S multplcamos w por 100, expresamos la ncertdumbre relatva como un tanto por cento. Utlzando la ncertdumbre relatva podemos comparar la precsón de dos meddas dstntas. Valores parecdos de la ncertdumbre relatva corresponden a meddas de parecda precsón, aunque los valores de la ncertdumbre absoluta o ncluso la magntud medda sean muy dstntos. 3. INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS DIRECTAS Una medda drecta es aquella en la que obtenemos drectamente el resultado de la medda a partr de la lectura de un aparato de medda, sn necesdad de realzar otros cálculos con el resultado que proporcona ese nstrumento. Como se ha expuesto antes, antes de realzar la medda se deben dentfcar las magntudes de nfluenca y dsponer el mensurando y el aparato de medda de la forma más cudadosa posble. S el nstrumento de medda está calbrado correctamente y los valores que podemos obtener de él (sea analógco o dgtal) tenen una separacón mínma, que se llama dvsón de escala (que corresponde al ntervalo entre valores de una escala graduada o al últmo dígto de un nstrumento con pantalla dgtal) se debe tomar como ncertdumbre asocada a la dvsón de escala el valor u = E, donde E es el valor de la dvsón de escala. d 3 En nstrumentos analógcos no tene sentdo tratar de aprecar valores entre dos puntos separados por una dvsón de escala, es decr, tratar de aprecar décmas de mlímetro con una regla cuya

15 CAPÍTULO I LA MEDIDA Y SU INCERTIDUMBRE 5 dvsón de escala es 1 mm. La calbracón de un nstrumento ncluye determnar la dvsón de escala que debe mostrar, y no se debe pensar que por ntentar aprecar con más fnura en qué punto entre dos valores consecutvos de la escala graduada se encuentra el valor a medr se va a obtener una medda mejor. Lo que sí debe aprecar el operador es a qué valor de la escala corresponde una medda. Tenendo en cuenta que en condcones de repetbldad se obtendrán meddas dstntas al repetr el proceso de medda, sempre se debe realzar más de una medda. En general se comprobará que los valores meddos no dferen demasado, s estamos mdendo correctamente. Pero la dspersón de las meddas realzadas en esas condcones nfluye en la ncertdumbre y se debe tratar estadístcamente. S se realzan N meddas de un msmo mensurando en condcones de repetbldad y se obtene los valores { x }, se tomará como valor convenconalmente verdadero, o resultado de la med- N =1 da, la meda N x (I-1) x = = 1 N y como ncertdumbre asocada a la dspersón estadístca la desvacón típca de la meda σ = N ( x x) = 1 N( N 1) (I-) s donde, sendo s la desvacón típca muestral. Se puede demostrar que la desvacón típca de la meda es el mejor estmador de la dspersón de los datos. N Por tanto, en una medda drecta repetda N veces, la ncertdumbre se calculará como s E u= σ + u = + d N 1 (I-3) Como se puede aprecar, la ncertdumbre dsmnuye aumentando el número de meddas. El crtero que nos permtrá decdr cuántas meddas tomar será comparar la ncertdumbre asocada a la dspersón de las meddas repetdas con la asocada a la dvsón de escala. Cuando sea consderablemente menor que u d el número de meddas será sufcente. EJEMPLO Se mde con un calbre la longtud de una barra cnco veces y se obtenen los sguentes valores, expresados en mm: {7,05; 7,03; 7,04; 7,05; 7,04} Expresar correctamente el resultado de la medda con su ncertdumbre.

16 6 LABORATORIO DE FÍSICA CON APOYO INTERACTIVO EN MOODLE El valor de la dvsón de escala es E 0,01 mm. La meda de los valores meddos es L = 7, 04mm. La desvacón típca resulta 0,0037 mm. Por tanto, u 0,0047 y el valor de la medda es (7,04 0,005) mm 4. INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS INDIRECTAS Una medda ndrecta es aquella cuyo resultado se obtene a partr de otras meddas drectas relaconadas medante una ley físca. Así por ejemplo, s queremos medr el área de un rectángulo mdendo sus lados a y b, tendremos que utlzar la relacón A ab. En general, s una ley físca relacona varas magntudes y se puede expresar una de ellas en funcón de las demás como y f (x 1,, x q ) podremos calcular la ncertdumbre en la medda ndrecta u y conocdas las ncertdumbres en las meddas drectas u x medante la ley de propagacón de ncertdumbres u y = q = 1 f x u x (I-4) α1 q y= x... x q, la ley de propaga- S la ley físca se expresa como una relacón de potencas cón de ncertdumbres se puede escrbr como 1 α u y = y q α ux x = 1 (I-5) que tene una expresón más senclla en térmnos de ncertdumbres relatvas w q = w y α = 1 (I-6) Esencalmente, lo que quere decr la ley de propagacón de ncertdumbres así expresada es que las ncertdumbres que más afectan al resultado fnal son las de aquellas magntudes que en la ley físca tengan mayor exponente. Se debe tener en cuenta sempre una regla de oro: en una medda ndrecta nunca podremos tener una ncertdumbre relatva menor que la mayor ncertdumbre relatva de las meddas drectas. O dcho de otra manera, el resultado de una medda drecta nunca podrá tener más cfras sgnfcatvas que las de la medda drecta que menos tenga.

17 CAPÍTULO I LA MEDIDA Y SU INCERTIDUMBRE 7 EJEMPLO Para medr una pla clíndrca, se mde su dámetro y su altura, obtenéndose D = (13,90 0,03) mm y H = (48,80 0,04) mm. Determnar el volumen de la pla con su ncertdumbre. La relacón que nos permte obtener el volumen en funcón de D y H es 7405,4 mm 3. Aplcando la ley de propagacón de ncertdumbres se obtene π V = D H = 4 u V u u D H = 4 + = 3, 53mm D H 3 Por tanto, V = ( 7, 41± 0, 03) 10 3 mm 3 Se puede observar que las meddas drectas tenen 4 cfras sgnfcatvas y el resultado fnal solo REPRESENTACIONES GRÁFICAS Frecuentemente es de gran utldad presentar los datos expermentales de forma gráfca. De esta forma se puede aprecar mejor una tendenca que puede provenr de una ley físca que relacone las magntudes representadas. Por ejemplo, s al representar la velocdad de un móvl en funcón del tempo se obtene un conjunto de puntos que se puede aproxmar por una recta, podemos decr con certo fundamento que se cumple la ley del movmento unformemente acelerado, v(t) at. Al representar gráfcamente los resultados de meddas expermentales se deben segur algunas reglas báscas. En prmer lugar, los ejes de la gráfca se deben etquetar con la correspondente magntud y la undad en que se expresan los resultados. El rango de valores que abarca cada eje se debe tomar de forma que los datos ocupen la mayor parte del espaco vsble. Además, los datos expermentales no se deben unr por segmentos o líneas de nngún tpo, y en su caso se deben nclur las barras de error que muestren las ncertdumbres asocadas. S no se utlzan barras de error, el tamaño de los símbolos que representan a los datos expermentales se puede escoger de forma que reflejen de alguna manera la ncertdumbre. N se deben utlzar puntos gordos n puntos demasado pequeños. Estas recomendacones tenen mportanca sobre todo porque las herramentas nformátcas más habtuales (por ejemplo, Excel) permten obtener gráfcos de buena caldad, pero frecuentemente se utlzan de modo ncorrecto o con las opcones nadecuadas. A contnuacón se presentan una forma ncorrecta y otra más correcta de representar la msma sere de datos.

18 8 LABORATORIO DE FÍSICA CON APOYO INTERACTIVO EN MOODLE FIGURA I-1 Representacón gráfca de datos. La gráfca nferor es más correcta que la superor. 6. AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS El método de los mínmos cuadrados es un método estadístco que permte encontrar la recta que mejor ajusta a una sere de datos expermentales. El método se basa en mnmzar las dferencas entre los datos expermentales y los que proporconaría la recta que susttuye a los datos. Como es lógco, el método solo tene utldad s se aplca a seres de datos que presentan una tendenca lneal, aunque se puede generalzar para ajustar datos a funcones arbtraras.

19 CAPÍTULO I LA MEDIDA Y SU INCERTIDUMBRE 9 Dada una sere de datos ( x, y ) y mx b, donde la pendente es N { } =1, la recta de mejor ajuste a esos datos está dada por m N x y x y = N x x ( ) (I-7) y la ordenada en el orgen es b = x y x y x ( ) N x x (I-8) En el caso frecuente en el que la recta deba pasar por el orgen, su ecuacón será y la pendente es m La bondad del ajuste por mínmos cuadrados se puede estmar calculando el coefcente de correlacón xy x = (I-9) R = N b y m x y y N y y + ( ) ( ) (I-10) Un coefcente de correlacón próxmo a la undad ndca un buen ajuste. Debe tenerse en cuenta que los datos expermentales estarán afectados por sus ncertdumbres y por tanto los valores de m y b tendrán tambén ncertdumbre. Para determnarla de forma senclla, se supone que los datos en x no tenen ncertdumbre y que los datos en y tenen todos la msma u y. Entonces la ncertdumbre en la pendente está dada por ( N 1) U σ m = ( N ) x x ( ) (I-11) donde U es el valor mayor entre u y y e ( y yˆ ) N 1 σ e = (I-1) con ŷ = mx + b.

20 10 LABORATORIO DE FÍSICA CON APOYO INTERACTIVO EN MOODLE La ncertdumbre en la ordenada en el orgen es: σ b = ( N 1) U ( ) ( ) ( N ) N y / y (I-13) donde U es el valor mayor entre u y y e. En el caso de una recta que pasa por el orgen, la ncertdumbre en la pendente es σ m U = x (I-14) donde U es el valor mayor entre u y y e. Los cálculos anterores pueden ser tedosos s se hacen a mano o con calculadora. Lo más recomendable es utlzar una hoja de cálculo (por ejemplo, Excel) para todo el proceso, tanto las operacones como las representacones gráfcas. De hecho, en Excel se dspone de muchas funcones estadístcas, entre ellas una que se llama ESTIMACION.LINEAL que calcula medante el método de los mínmos cuadrados la recta de mejor ajuste a una tabla de datos, y devuelve los valores de la pendente m, la ordenada en el orgen b, el coefcente de correlacón R y alguna otra nformacón. Tambén en las representacones gráfcas, en partcular en los gráfcos de dspersón, se puede añadr una línea de tendenca para mostrar la recta obtenda por el método de mínmos cuadrados. En el ejemplo sguente se detalla el proceso. EJEMPLO Se mde con un multímetro la dferenca de potencal entre los extremos de una resstenca eléctrca para dstntos valores de la ntensdad de corrente y se obtenen los sguentes datos: Intensdad (A) Dferenca de potencal (V) 0,1 0,9 0,3 3,1 0,6 5,9 0,7 7,1 0,9 8,9 1 10,1

21 CAPÍTULO I LA MEDIDA Y SU INCERTIDUMBRE 11 La ntensdad se supone sn ncertdumbre y para la dferenca de potencal u = 0,1 V. Determnar el valor de la resstenca medante un ajuste por mínmos cuadrados. S los datos anterores se ntroducen en una hoja Excel y se representan medante un gráfco de dspersón el resultado es el mostrado en la Fgura I-. FIGURA I- Ajuste de una sere de datos utlzando Excel. En la gráfca se ha añaddo la recta de ajuste por mínmos cuadrados, que se puede añadr en Excel como línea de tendenca. Al hacerlo así hay que ndcar que la línea de tendenca pasa por el orgen y se puede presentar la ecuacón y el valor del coefcente de correlacón en la gráfca. En este caso, la pendente es m 10,014. El valor del coefcente de correlacón, R 0,994, ndca que el ajuste es muy bueno. S calculamos la ncertdumbre en la pendente como se ha ndcado más arrba, V 0,0995, que práctcamente concde con la ncertdumbre en los datos de V, u 0,1. Con σ V ese dato se calcula σ = = 0, R I El valor de V lo proporcona la funcón ESTIMACION.LINEAL de Excel. Para obtener todos los valores que da la funcón ESTIMACION.LINEAL se debe selecconar un bloque de tres flas y dos columnas y escrbr en la barra de fórmulas esa funcón con el rango de celdas que contene los datos. A contnuacón presonar a la vez CTRL+MAY+ ENTRAR.

22 1 LABORATORIO DE FÍSICA CON APOYO INTERACTIVO EN MOODLE Fnalmente, el valor de la resstenca, expresado correctamente, es: R (10,01 0,06) Debe tenerse en cuenta que la ncertdumbre así calculada es engañosamente pequeña. S en vez de realzar el ajuste, calculamos la resstenca a partr de cada dato expermental de V e I y hacemos el tratamento estadístco habtual (cálculo de la meda y desvacón típca) el resultado es: R (9,88 0,19) En este últmo resultado, se cumple que la medda ndrecta tendría dos cfras sgnfcatvas, como tenen las meddas drectas. Debe recordarse una vez más que la determnacón de la ncertdumbre tene unas reglas precsas y un certo arte o sentdo común que nos hace escoger fnalmente aquella que mejor nos va a ndcar la caldad de nuestra medda.

23 Laboratoro de Físca con soporte nteractvo en Moodle

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25 Laboratoro de Físca con soporte nteractvo en Moodle Javer Ablanque Ramírez Rosa María Bento Zafrlla Juan Carlos Losada González Departamento de Físca y Mecánca Fundamentales y Aplcadas a la Ingenería Agroforestal ETSI Agrónomos UPM Unversdad Poltécnca de Madrd Lus Sedel Gómez de Quero Departamento de Físca Aplcada a la Ingenería Industral Escuela Técnca Superor de Ingeneros Industrales Unversdad Poltécnca de Madrd Prentce Hall es un sello edtoral de Harlow, England London New York Boston San Francsco Toronto Sydney Sngapore Hong Kong Tokyo Seoul Tape New Delh Cape Town Madrd Mexco Cty Amsterdam Munch Pars Mlan

26 LABORATORIO DE FÍSICA CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLE Javer Ablanque Ramírez; Rosa María Bento Zafrlla; Juan Carlos Losada González; Lus Sedel Gómez de Quero PEARSON EDUCACIÓN, S.A. 010 ISBN: Matera: 53, Físca. Formato: mm Págnas: 158 Cualquer forma de reproduccón, dstrbucón, comuncacón públca o transformacón de esta obra sólo puede ser realzada con la autorzacón de sus ttulares, salvo excepcón prevsta por la ley. La nfraccón de los derechos menconados puede ser consttutva de delto contra la propedad ntelectual (arts. 70 y sgts. Códgo penal). Dríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográfcos: s necesta fotocopar o escanear algún fragmento de esta obra. DERECHOS RESERVADOS 010, PEARSON EDUCACIÓN S.A. Rbera del Lora, Madrd (España) PRENTICE HALL es un sello edtoral autorzado de PEARSON EDUCACIÓN ISBN: Depósto Legal: Equpo edtoral: Edtor: Mguel Martín-Romo Técnco Edtoral: Esther Martín Equpo de produccón: Drector: José A. Clares Técnco: Isabel Muñoz Dseño de cuberta: Equpo de dseño de Pearson Educacón, S. A. Composcón: Vuelapluma, S. L. U. Impreso por: Nota sobre enlaces a págnas web ajenas: Este lbro puede nclur enlaces a stos web gestonados por terceros y ajenos a PEARSON EDUCACIÓN S.A. que se ncluyen sólo con fnaldad nformatva. PEARSON EDUCACIÓN S. A. no asume nngún tpo de responsabldad por los daños y perjucos dervados del uso de los datos personales que pueda hacer un tercero encargado del mantenmento de las págnas web ajenas a PEARSON EDUCACIÓN S. A y del funconamento, accesbldad o mantenmento de los stos web no gestonados por PEARSON EDUCACIÓN S. A. Las referencas se proporconan en el estado en que se encuentran en el momento de publcacón sn garantías, expresas o mplíctas, sobre la nformacón que se proporcone en ellas. IMPRESO EN ESPAÑA PRINTED IN SPAIN Este lbro ha sdo mpreso con papel y tntas ecológcos

27 I LA MEDIDA Y SU INCERTIDUMBRE Contendo del capítulo 1. El concepto de medda. El proceso de medcón en el laboratoro 3. Incertdumbre en meddas drectas 4. Incertdumbre en meddas ndrectas 5. Representacones gráfcas 6. Ajuste por mínmos cuadrados

28 LABORATORIO DE FÍSICA CON APOYO INTERACTIVO EN MOODLE 1. EL CONCEPTO DE MEDIDA 1 En Físca solo tene sentdo aquello que se puede medr. Se llama magntud físca a cualquer cualdad susceptble de ser medda: longtud, masa, resstenca eléctrca, Por el contraro, cantdad es el observable concreto que tene un objeto de una certa magntud: la longtud de una regla es la cantdad de la magntud longtud que tene la regla. Para cualquer magntud, su undad es la cantdad de esa magntud que se toma como referenca. Así, una posble undad de volumen es el volumen de un determnado recpente. Medr sgnfca comparar la cantdad de la magntud que tene el mensurando (aquello que se mde) con la undad. S una mesa tene una cantdad de longtud 3 veces mayor que la de la regla que tomemos como undad, dremos que la medda de la mesa es 3 undades, o que la mesa mde 3 reglas. Al expresar una medda como un número y una undad (5 N, 80 s, 145 km/h) hay que acostumbrarse a emplear el Sstema Internaconal de Undades (SI) y ajustarse a sus normas. Las magntudes en Físca tenen una propedad que se llama dmensón, ntroducda por Joseph Fourer, que se defne como una certa cualdad de la magntud que mpde que puedan compararse magntudes con dstnta dmensón. No podemos comparar masas con tempos porque son magntudes que tenen dstnta dmensón. Sn entrar más a fondo en el campo del análss dmensonal, convene nsstr en que en los cálculos en Físca no solo ntervenen números, sno magntudes y dmensones que hay que expresar correctamente.. EL PROCESO DE MEDICIÓN EN EL LABORATORIO El resultado de cualquer medcón, por elemental que sea, no debe ser smplemente un número y una undad: 3 mm, 7 kg. Las meddas en el laboratoro están sempre afectadas por una ncertdumbre. En algunos casos, la ncertdumbre del resultado de la medda será debda al aparato de medda. S estamos cronometrando los tempos de caída de un objeto, la ncertdumbre no será la msma s empleamos nuestro reloj o un buen cronómetro. En otros casos, la ncertdumbre tendrá su orgen en el propo operador. Dos personas dstntas, mdendo el msmo objeto con el msmo aparato, pueden obtener resultados dstntos. Incluso, en cuanto la medda es sufcentemente precsa, mdendo varas veces el msmo objeto, la msma persona con el msmo aparato, se obtenen valores dstntos para la medda. La ncertdumbre se defne como parámetro asocado al resultado de una medda que caracterza la dspersón de los valores que razonablemente se pueden asgnar al mensurando. Hay que dstngurlo del error, que sería la dferenca entre el valor verdadero y el meddo del mensurando. Por defncón, el error no se puede determnar, porque el valor verdadero no se puede conocer con absoluta certeza. En su lugar, se habla de valor convenconalmente verdadero como aquel al que tratamos de acercarnos medante el proceso de medda. 1 Para las defncones que sguen y la forma de calcular la ncertdumbre, se toma como referenca la Guía para la expresón de la ncertdumbre en la medda y el Vocabularo Internaconal de Metrología, normas nternaconales publcadas por el BIPM (Ofcna Internaconal de Pesas y Meddas) y respaldadas por ISO y otras organzacones centífcas. Están dsponbles en

29 CAPÍTULO I LA MEDIDA Y SU INCERTIDUMBRE 3 La determnacón de la ncertdumbre es uno de los objetvos prncpales del trabajo en el laboratoro. Para ello, hay que establecer un procedmento de medcón que nos permta dentfcar las fuentes prncpales de ncertdumbre. En prmer lugar, hay que tratar de dentfcar y controlar posbles magntudes de nfluenca en la medda. Por ejemplo, la temperatura puede nflur en una medda de longtud, s el materal tene un coefcente de dlatacón no desprecable; o el lugar en que hagamos la medda puede perturbarla s alguna magntud depende de la aceleracón local de la gravedad. A contnuacón hay que conocer la ncertdumbre asocada a los aparatos de medda, tanto la asocada a su calbracón como la asocada a la dvsón de escala del aparato, es decr, el ntervalo mínmo de valores de la magntud que puede dstngur (1 mm en una regla, 0,1 grados en un termómetro, ). Un aparato de medda mal calbrado ntroduce un error sstemátco en los resultados que en ocasones se puede observar en el tratamento de los datos. En lo que sgue supondremos sempre que los nstrumentos de medda están correctamente calbrados y que la ncertdumbre asocada a ellos se calcula a partr de la dvsón de escala. Por últmo, hay que tratar de controlar los errores sstemátcos, que son aquellos que se deben a manpulacones poco cudadosas de los aparatos o a gnorar las magntudes de nfluenca. Reducr los errores sstemátcos será sempre necesaro antes de obtener los datos expermentales que vayamos a tratar. Se dce que se mde en condcones de repetbldad o de referenca cuando se ha establecdo correctamente el procedmento de toma de datos expermentales para controlar las magntudes de nfluenca y los errores sstemátcos. Incluso entonces se obtene certa varabldad en los resultados, pero esas varacones se pueden tratar estadístcamente. Esto expresa el hecho fundamental de que no podemos conocer el valor real del mensurando. El resultado de la medda será x u, donde x es el valor convenconalmente verdadero y u es su ncertdumbre, o ncertdumbre absoluta. S la dferenca entre el valor real (al que nos podríamos aproxmar más con una medda mejor o un aparato de mayor caldad) y el valor convenconalmente verdadero es pequeña, decmos que la medda es exacta. S la ncertdumbre es pequeña, decmos que la medda es precsa. Hay que dstngur entre exacttud y precsón, aunque el objetvo de la medcón es obtener resultados más exactos y más precsos. En realdad, la ncertdumbre no expresa el rango de valores que contenen con segurdad al valor real. Es decr, el valor real no se encuentra sempre entre x u y x u. Lo máxmo que podemos asegurar es que se encuentra en ese rango con bastante probabldad. De hecho, s los resultados de una medcón se ajustan a una dstrbucón normal de probabldad (dstrbucón gaussana, a la que se ajustan datos completamente aleatoros) la probabldad de que el valor real esté en el ntervalo dado por x u es de un 68,%. Por eso con frecuenca se multplca por o por 3 la ncertdumbre (para obtener una probabldad del 95,4% o del 99,7%). Este factor se conoce como factor de cobertura. Sempre debemos conocer el nvel de confanza de la ncertdumbre que hayamos determnado, aunque no menconemos explíctamente el factor de cobertura empleado. Para expresar correctamente el resultado y su ncertdumbre se deben respetar las sguentes reglas. La ncertdumbre se expresa con una (o a veces dos, partcularmente s la prmera es un 1) cfras sgnfcatvas. S como resultado de los cálculos obtenemos para una certa ncertdumbre

30 4 LABORATORIO DE FÍSICA CON APOYO INTERACTIVO EN MOODLE el valor 0,00457, ese número tene en prncpo 4 cfras sgnfcatvas (los ceros a la zquerda no son sgnfcatvos). El msmo valor redondeado a dos cfras sería 0,0045 o redondeado a una cfra sería 0,005. Convene recordar que, al redondear, s la prmera cfra desprecada es mayor o gual a 5, la cfra que se retene se aumenta en una undad y en otro caso no se modfca. EJEMPLO Al medr la velocdad de un móvl, se obtene v 3,5867 m/s. La ncertdumbre resulta ser u 0,058 m/s. Expresar correctamente el resultado de la medda. En prmer lugar, la ncertdumbre se debe expresar con una únca cfra sgnfcatva. Redondeando se obtene u 0,06 m/s. A contnuacón se debe ajustar el número de cfras sgnfcatvas del valor meddo para que la últma sea la afectada por la ncertdumbre. En este caso, la afectada por la ncertdumbre es el segundo decmal. Por tanto el resultado correcto es: v (3,59 0,06) m/s Para aprecar más fáclmente la caldad de una medda se puede emplear la ncertdumbre relatva que se calcula como el cocente entre la ncertdumbre absoluta y el valor meddo w = u. x S multplcamos w por 100, expresamos la ncertdumbre relatva como un tanto por cento. Utlzando la ncertdumbre relatva podemos comparar la precsón de dos meddas dstntas. Valores parecdos de la ncertdumbre relatva corresponden a meddas de parecda precsón, aunque los valores de la ncertdumbre absoluta o ncluso la magntud medda sean muy dstntos. 3. INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS DIRECTAS Una medda drecta es aquella en la que obtenemos drectamente el resultado de la medda a partr de la lectura de un aparato de medda, sn necesdad de realzar otros cálculos con el resultado que proporcona ese nstrumento. Como se ha expuesto antes, antes de realzar la medda se deben dentfcar las magntudes de nfluenca y dsponer el mensurando y el aparato de medda de la forma más cudadosa posble. S el nstrumento de medda está calbrado correctamente y los valores que podemos obtener de él (sea analógco o dgtal) tenen una separacón mínma, que se llama dvsón de escala (que corresponde al ntervalo entre valores de una escala graduada o al últmo dígto de un nstrumento con pantalla dgtal) se debe tomar como ncertdumbre asocada a la dvsón de escala el valor u = E, donde E es el valor de la dvsón de escala. d 3 En nstrumentos analógcos no tene sentdo tratar de aprecar valores entre dos puntos separados por una dvsón de escala, es decr, tratar de aprecar décmas de mlímetro con una regla cuya

31 CAPÍTULO I LA MEDIDA Y SU INCERTIDUMBRE 5 dvsón de escala es 1 mm. La calbracón de un nstrumento ncluye determnar la dvsón de escala que debe mostrar, y no se debe pensar que por ntentar aprecar con más fnura en qué punto entre dos valores consecutvos de la escala graduada se encuentra el valor a medr se va a obtener una medda mejor. Lo que sí debe aprecar el operador es a qué valor de la escala corresponde una medda. Tenendo en cuenta que en condcones de repetbldad se obtendrán meddas dstntas al repetr el proceso de medda, sempre se debe realzar más de una medda. En general se comprobará que los valores meddos no dferen demasado, s estamos mdendo correctamente. Pero la dspersón de las meddas realzadas en esas condcones nfluye en la ncertdumbre y se debe tratar estadístcamente. S se realzan N meddas de un msmo mensurando en condcones de repetbldad y se obtene los valores { x }, se tomará como valor convenconalmente verdadero, o resultado de la med- N =1 da, la meda N x (I-1) x = = 1 N y como ncertdumbre asocada a la dspersón estadístca la desvacón típca de la meda σ = N ( x x) = 1 N( N 1) (I-) s donde, sendo s la desvacón típca muestral. Se puede demostrar que la desvacón típca de la meda es el mejor estmador de la dspersón de los datos. N Por tanto, en una medda drecta repetda N veces, la ncertdumbre se calculará como s E u= σ + u = + d N 1 (I-3) Como se puede aprecar, la ncertdumbre dsmnuye aumentando el número de meddas. El crtero que nos permtrá decdr cuántas meddas tomar será comparar la ncertdumbre asocada a la dspersón de las meddas repetdas con la asocada a la dvsón de escala. Cuando sea consderablemente menor que u d el número de meddas será sufcente. EJEMPLO Se mde con un calbre la longtud de una barra cnco veces y se obtenen los sguentes valores, expresados en mm: {7,05; 7,03; 7,04; 7,05; 7,04} Expresar correctamente el resultado de la medda con su ncertdumbre.

32 6 LABORATORIO DE FÍSICA CON APOYO INTERACTIVO EN MOODLE El valor de la dvsón de escala es E 0,01 mm. La meda de los valores meddos es L = 7, 04mm. La desvacón típca resulta 0,0037 mm. Por tanto, u 0,0047 y el valor de la medda es (7,04 0,005) mm 4. INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS INDIRECTAS Una medda ndrecta es aquella cuyo resultado se obtene a partr de otras meddas drectas relaconadas medante una ley físca. Así por ejemplo, s queremos medr el área de un rectángulo mdendo sus lados a y b, tendremos que utlzar la relacón A ab. En general, s una ley físca relacona varas magntudes y se puede expresar una de ellas en funcón de las demás como y f (x 1,, x q ) podremos calcular la ncertdumbre en la medda ndrecta u y conocdas las ncertdumbres en las meddas drectas u x medante la ley de propagacón de ncertdumbres u y = q = 1 f x u x (I-4) α1 q y= x... x q, la ley de propaga- S la ley físca se expresa como una relacón de potencas cón de ncertdumbres se puede escrbr como 1 α u y = y q α ux x = 1 (I-5) que tene una expresón más senclla en térmnos de ncertdumbres relatvas w q = w y α = 1 (I-6) Esencalmente, lo que quere decr la ley de propagacón de ncertdumbres así expresada es que las ncertdumbres que más afectan al resultado fnal son las de aquellas magntudes que en la ley físca tengan mayor exponente. Se debe tener en cuenta sempre una regla de oro: en una medda ndrecta nunca podremos tener una ncertdumbre relatva menor que la mayor ncertdumbre relatva de las meddas drectas. O dcho de otra manera, el resultado de una medda drecta nunca podrá tener más cfras sgnfcatvas que las de la medda drecta que menos tenga.

33 CAPÍTULO I LA MEDIDA Y SU INCERTIDUMBRE 7 EJEMPLO Para medr una pla clíndrca, se mde su dámetro y su altura, obtenéndose D = (13,90 0,03) mm y H = (48,80 0,04) mm. Determnar el volumen de la pla con su ncertdumbre. La relacón que nos permte obtener el volumen en funcón de D y H es 7405,4 mm 3. Aplcando la ley de propagacón de ncertdumbres se obtene π V = D H = 4 u V u u D H = 4 + = 3, 53mm D H 3 Por tanto, V = ( 7, 41± 0, 03) 10 3 mm 3 Se puede observar que las meddas drectas tenen 4 cfras sgnfcatvas y el resultado fnal solo REPRESENTACIONES GRÁFICAS Frecuentemente es de gran utldad presentar los datos expermentales de forma gráfca. De esta forma se puede aprecar mejor una tendenca que puede provenr de una ley físca que relacone las magntudes representadas. Por ejemplo, s al representar la velocdad de un móvl en funcón del tempo se obtene un conjunto de puntos que se puede aproxmar por una recta, podemos decr con certo fundamento que se cumple la ley del movmento unformemente acelerado, v(t) at. Al representar gráfcamente los resultados de meddas expermentales se deben segur algunas reglas báscas. En prmer lugar, los ejes de la gráfca se deben etquetar con la correspondente magntud y la undad en que se expresan los resultados. El rango de valores que abarca cada eje se debe tomar de forma que los datos ocupen la mayor parte del espaco vsble. Además, los datos expermentales no se deben unr por segmentos o líneas de nngún tpo, y en su caso se deben nclur las barras de error que muestren las ncertdumbres asocadas. S no se utlzan barras de error, el tamaño de los símbolos que representan a los datos expermentales se puede escoger de forma que reflejen de alguna manera la ncertdumbre. N se deben utlzar puntos gordos n puntos demasado pequeños. Estas recomendacones tenen mportanca sobre todo porque las herramentas nformátcas más habtuales (por ejemplo, Excel) permten obtener gráfcos de buena caldad, pero frecuentemente se utlzan de modo ncorrecto o con las opcones nadecuadas. A contnuacón se presentan una forma ncorrecta y otra más correcta de representar la msma sere de datos.

34 8 LABORATORIO DE FÍSICA CON APOYO INTERACTIVO EN MOODLE FIGURA I-1 Representacón gráfca de datos. La gráfca nferor es más correcta que la superor. 6. AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS El método de los mínmos cuadrados es un método estadístco que permte encontrar la recta que mejor ajusta a una sere de datos expermentales. El método se basa en mnmzar las dferencas entre los datos expermentales y los que proporconaría la recta que susttuye a los datos. Como es lógco, el método solo tene utldad s se aplca a seres de datos que presentan una tendenca lneal, aunque se puede generalzar para ajustar datos a funcones arbtraras.

35 CAPÍTULO I LA MEDIDA Y SU INCERTIDUMBRE 9 Dada una sere de datos ( x, y ) y mx b, donde la pendente es N { } =1, la recta de mejor ajuste a esos datos está dada por m N x y x y = N x x ( ) (I-7) y la ordenada en el orgen es b = x y x y x ( ) N x x (I-8) En el caso frecuente en el que la recta deba pasar por el orgen, su ecuacón será y la pendente es m La bondad del ajuste por mínmos cuadrados se puede estmar calculando el coefcente de correlacón xy x = (I-9) R = N b y m x y y N y y + ( ) ( ) (I-10) Un coefcente de correlacón próxmo a la undad ndca un buen ajuste. Debe tenerse en cuenta que los datos expermentales estarán afectados por sus ncertdumbres y por tanto los valores de m y b tendrán tambén ncertdumbre. Para determnarla de forma senclla, se supone que los datos en x no tenen ncertdumbre y que los datos en y tenen todos la msma u y. Entonces la ncertdumbre en la pendente está dada por ( N 1) U σ m = ( N ) x x ( ) (I-11) donde U es el valor mayor entre u y y e ( y yˆ ) N 1 σ e = (I-1) con ŷ = mx + b.