Juegos bipersonales de suma nula Juegos semi-infinitos. Mª Enriqueta Vercher González Universitat de València

Transcripción

1 Juegos bipersoales de suma ula Juegos semi-ifiitos Mª Eriqueta Vercher Gozález Uiversitat de Valècia

2 Ídice Itroducció Juego bipersoal de suma ula Pares de equilibrio Estrategias mixtas eorema del Miimax Determiació de estrategias óptimas Juegos semi-ifiitos Referecias Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

3 eoría de Juegos La eoría de Juegos es ua colecció de modelos matemáticos formulados para estudiar la toma de decisioes e ambiete de coflicto y/o cooperació. U uego costa de ugadores que debe elegir de ua lista de alterativas sobre las que tiee diferetes preferecias (Vo Neuma ad Morgester, 1944) U uego puede describirse mediate u árbol de decisió (forma extesiva) o mediate la descripció de todas las estrategias puras de cada ugador y los pagos asociados a cada estrategia pura (forma ormal). Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

4 Eemplos Juegos -persoales Juegos bipersoales fiitos rectagulares de suma ula cooperativos: dilema del prisioero multi-etápicos Juegos de supervivecia Juegos estocásticos ifiitos Juegos sobre el cuadrado uidad semi-ifiitos Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

5 Forma ormal de u uego Ua estrategia pura π i Ε i para u ugador J i, i=1,, es u programa completo de acció, que e cualquier istate del uego dicta la elecció a tomar. La fució de pago a cada ugador explicita el pago que recibe cada ugador para cada couto de estrategias puras: Ρ i : E 1 E 2 E R i=1,, U couto de estrategias π está e equilibrio si y solo si π Ε se tiee que P (π, π ( -1) ) Ρ (π ), =1 U ugador racioal o deseará separarse de este couto π1 E1 P1 ( π1, π 2) P1 ( π ) y π 2 E2 P2 ( π1, π 2) P2 ( π ) Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

6 Juego bipersoal de suma ula U uego bipersoal es de suma ula si y solo si para todo π E1 E2 P1( π ) + P2 ( π ) = 0 U uego bipersoal de suma ula (rectagular) queda defiido por los dos coutos de estrategias puras y la fució de pago al ugador J 1, respectivamete: E = α L, α, E = β, L, β y P( α, ) = a { 1, m} 2 { 1 } i i 1 β La fució de pago puede represetarse mediate ua matriz (m ), siedo J 1 (I) el ugador fila y J 2 (II) el ugador columa. Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

7 Juego bipersoal de suma ula Los pares de equilibrio (α i0, β 0 ) verifica que: i = 1,..., m ai a 0 i0 y = 1,..., a 0 i0 ai 0 0 Siedo el elemeto el máximo de la columa ( 0 ) y el a i0 0 míimo de la fila (i 0 ), es decir es u puto de silla de la fució de pago del ugador I: i = 1,..., m ai = P( αi, β ) ai ai = P( αi, β ) = 1,..., Los pares de equilibrio so equivaletes e itercambiables, y coduce al pago de equilibrio que se cooce como valor del uego. a i0 0 Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

8 Juegos si putos de silla Para uegos si putos de silla o se puede decidir que estrategia dará meor resultado al ugador. No se da ua situació de equilibrio y el uego o tiee valor. Eemplo: Cosideremos u uego dode co matriz de pagos 4 1 El beeficio máximo que puede asegurarse I 2 3 ' v I = max i= 1,.., m = 1,.., ai ' v II = mi = 1,.., i= 1,.., m ai { mi } = max{ 2,1} = 2 El tope a la gaacia de I que puede impoer II { max } = mi{ 4,3} = 3 E { α, α }, = { β β } 1 = 1 2 E 2 1, 2 Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

9 Estrategias mixtas Ua estrategia mixta es ua distribució de probabilidad sobre el couto de estrategias puras. Respectivamete: m m X = x R : xi 0, xi = 1 e Y = y R : y 0, y i= 1 = 1 = 1 El pago esperado si se elige las estrategias x e y es P( x, y) = m i= 1 = 1 x a i i y = x Ay El valor maximi v I y la estrategia maximi x X so, resp. v )} y v( x) = I = max x X v( x) = max x X {mi = 1,.., P( x, β El valor miimax v II y la estrategia miimax y Y so, resp. v, y)} y v( y) = II = mi y Y v( y) = mi y Y {max i= 1,.., m P( α i Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat v v I II

10 Estrategias mixtas El valor maximi v I es la gaacia esperada que puede asegurarse el ugador I si elige ua estrategia maximi x X, tal que v(x)=v I. El valor miimax v II es el tope a la gaacia esperada del ugador I si elige ua estrategia miimax y Y, tal que v(y)=v II. E particular, v(y 0 ) es la pérdida máxima del ugador II si elige ua estrategia y 0 Y. Se tiee, además, que: v ' I v I v II v ' II Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

11 eorema del Miimax U resultado fudametal e la eoría de Juegos es el eorema del Miimax v I = v II mediate el cual se establece la optimalidad de las estrategias maximi y miimax para ambos ugadores. La primera demostració de este teorema se debe a Vo Neuma (1928), que utilizó u teorema de separació estricta y u teorema de alterativa (véase Owe, 1968). E el libro de Parthasarathy ad Raghava (1971) puede ecotrarse ua colecció exhaustiva de teoremas geerales del miimax. Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

12 eorema Geeral del Miimax Sea X m R, Y R covexos o vacíos y sea dos coutos compactos Sea f x (.) ua fució covexa y sc if para todo x X, f : Y R, f ( y) f ( x, y) x x = Sea f y (.) ua fució cócava y sc sup para todo y Y, f : X R, f ( x) f ( x, y) y y = Etoces, se tiee que: max x X mi y Y f ( x, y) = mi f : X Y R y Y max x X f ( x, y) Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

13 eorema Geeral del Miimax Se sigue de la demostració que existe u puto de silla (x 0,y 0 ) de la fució f(x,y). Para u uego rectagular (X,Y,A) co fució de pago f(x,y)=x Ay, se demuestra que x 0 es ua estrategia maximi e y 0 es ua estrategia miimax, cumpliédose que max x 0 X f ( x, y ) = v = mi y Y f ( x 0, y) Los coutos de estrategias óptimas so: X m m = x R : xi 0, xi = 1, x A ( v,... v) e Y = y R : y 0, i= 1 = 1 y = 1, Ay ( v,... v) Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

14 Determiació de estrategias óptimas Dado que los coutos de estrategias óptimas so poliedros acotados o vacios, para su determiació será suficiete calcular las estrategias óptimas básicas. eorema (Shapley ad Sow, 1950) Para u uego rectagular (X,Y,A) co valor v 0. Las estrategias óptimas ( x, y) X Y so básicas si, y solo si, existe S {1,,m} y {1,,} tales que la submatriz A S es regular, x y i = 0 i S y x A = v = 0 y A y = v i S. i, Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

15 Determiació de estrategias óptimas Aplicado el siguiete procedimieto iterativo se determia tato el valor del uego como las estrategias óptimas básicas: Calcular todas las submatrices M (sxs) regulares de A Comprobar si se satisface simultáeamete: 1 ( i) v = 1 us M ( ii) Para ( iii) Para x s y s u s = vu = s vu M s M 1, completado co ceros 1 edríamos ua solució óptima, siedo básicas las estrategias óptimas obteidas. x A u, completado co ceros Ay u m v v Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

16 Juegos rectagulares y PL La equivalecia existete etre u uego rectagular y u par de programas lieales duales simétricos fue establecida por Datzig e Determiar las estrategias óptimas de los ugadores I y II se sigue de la resolució de los programas ( I) Mi x u ( II) Max u y s. a. x m A u x 0 m s. a. E particular, resulta más secillo obteer las estrategias optimas resolviedo el PL asociado al ugador II. Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat m Ay u y 0 m

17 Juegos semi-ifiitos U uego bipersoal de suma ula semi-ifiito está defiido por u couto de vectores { a, t } R Los coutos de estrategias puras so La matriz semi-ifiita de pagos seria Este tipo de uegos ha sido tratado por Soyster (1975), cuado es umerable, aplicado resultados de dualidad sobre coos. is (1979) aplica técicas de aproximació, usado subprogramas lieales fiitos, para dar ua demostració alterativa del teorema del miimax y prueba que el ugador II siempre tiee estrategias óptimas. t { 1 } E = E,..., 1 y 2 = P ( t, ) = a t Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

18 Juegos semi-ifiitos lieales Si los ugadores I y II elige ua distribució de probabilidad discreta sobre sus correspodietes coutos de estrategias puras, se sigue que los coutos de estrategias mixtas so: Jugador I: Γ={λ= (λ t ) t / º fiito de λ t 0, λ t 0 y t λ t =1} Jugador II: Y:={y R / i=1,.., y i =1, y i 0} Fució de pago del ugador I: P(λ, y)= t λ t a t y λ Γ, y Y Los valores maximi y miimax: v I :=sup λ Γ {mi =1,.., P(λ, e )} v II := if y Y {sup t a t y } Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

19 Juegos semi-ifiitos lieales Aplicado el eorema de alterativa geeralizado de Stiemke: (I) o (II) (López y Vercher, 1983), siedo ( I) ( II) { } 0 0 at x 0, t tiee ua solució x tal que at x 0 para algu t 0 it r( co{ a, t } ) t se demuestra que: eorema del miimax. Cualquier uego semi-ifiito lieal verifica v I =v II. Para cualquier uego co valor fiito el ugador II siempre tiee estrategias óptimas. Codicioes adicioales para que el ugador I tega estrategias óptimas. Por eemplo, que el couto de vectores {a t, t } sea compacto (Gobera et al, 1984). Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

20 Juegos semi-ifiitos covexos Sea F ={f t, t } familia de fucioes covexas. Ua estrategia pura del ugador I cosiste e elegir ua fució de F. Los coutos de estrategias mixtas se defie: Jugador I: Γ={λ= (λ t ) t /º fiito λ t 0, λ t 0, t λ t =1} Jugador II: C:=couto cerrado covexo o vacio de R Fució de pago del ugador I: P(λ, x)= t λ t f t (x) λ Γ, x C Los valores maximi y miimax so: v I :=sup l G {if x C P(λ, x)} v II := if x C {sup t f t (x)} Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

21 eorema del Miimax Codició (R). Las fucioes covexas e F o tiee igua direcció de recesió comú co las direccioes de recesió de C, i.e. 0 + C ( t rec f t ) = {0} eorema (López y Vercher, 1986) Sea (F, C) u uego semiifiito que verifique la codició (R), etoces ua y solo ua de las siguietes alterativas se cumple: Existe u vector x C tal que f t (x) 0 para todo t Existe λ= (λ t ) t /º fiito λ t 0, λ t 0, tales que para algu ξ>0 se tiee que t λ t f t (x) ξ, para todo x C Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

22 eorema del Miimax eorema del miimax (López y Vercher, 1986) Para cualquier uego semi-ifiito (F, C) que verifique la codició (R): v I =v II. Se ha demostrado que: Para cualquier (R)-uego semi-ifiito, cuyo valor del uego es fiito, el ugador II siempre tiee estrategias óptimas. E las codicioes ateriores, si el couto de vectores L(F ) es compacto (por eemplo), tambié el couto de estrategias óptimas del ugador I es o vacio. Siedo L( F ) = f u t *, ( ), * ( ) ut dom f t ut Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat 2010 t R

23 Estrategias óptimas Las estrategias óptimas de los uegos (F, C) que verifica la codició (R) y tiee valor cero admite ua curiosa iterpretació geométrica: Los úicos hiperplaos que separa L(F ) e hipo I C, siedo I C (u):= if x C u x, tiee la ecuació u ρ [ x *, 1 ] = 0 dode x* es ua estrategia óptima de II. Si L(F ) es compacto: hipo I C co(l(f ) ). Los vectores que perteece a esta itersecció so u ρ = t u dom ( f t u t λut c c ) f t ( u t ) t y λ=(λ t ) t es u estrategia óptima del ugador I. λ = u dom(f Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat 2010 t t c t ) λ u t 23

24 Estrategias puras óptimas Si es el couto de estrategias puras del ugador I. Si es u couto compacto covexo de R m hemos caracterizado la existecia de estrategias puras óptimas: Sea (F, C) u uego que verifica la codició (R), tal que (i) f t (x) es cócava e t y cot sobre, para x C. Etoces, el valor del uego es fiito y el ugador I tiee estrategias puras óptimas. Sea (F, C) u uego covexo, siedo C compacto tal que (i) f t (x) es cotiua sobre, para cada x C (ii) (x):={t /f t (x)=max t f t (x)} es covexo. Etoces, el valor del uego es fiito y el ugador I tiee estrategias puras óptimas. Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat

25 Referecias G. B. Datzig, e Activity Aalysis of Productio ad Allocatio, Koopmas (ed), Wiley M. A. Gobera, M.A.Lopez. J. Pastor ad E. Vercher (1984) Nieuw Archief voor Wiskude (4) 2, M. A. Lopez ad E. Vercher (1983) Cuaderos de Bioestadística y sus Aplicacioes Iformáticas I, M. A. Lopez ad E. Vercher (1986) Joural of Optimizatio heory ad Applicatios 50, G. Owe, Game heory, Sauders, Parthasarathy ad. E. S. Raghava, Some topics i two-perso games, America Elsevier R.. Rockafellar, Covex Aalysis, Priceto Uiv. Press, L. S. Shapley ad R. N. Sow, e Cotributios to the theory of games, vol. I, Kuh ad ucker (eds), Priceto Uiv. Press, A. L. Soyster (1975) Maagemet Sciece 21, S. H. is (1979) Nieuw Archief voor Wiskude 27, J. Vo Neuma (1928) Mathematische Aale 100, J. Vo Neuma ad O. Morgester, heory of games ad Ecoomic behavior, Priceto Uiv. Press, Homeae a Marco A. López Cerdá. Alacat