MATE3012 Lección 12. Funciones Logarítmicas. 1/19/2013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 19

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1 MATE30 Lección Funciones Logarítmicas /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9

2 Actividades. Teto: Capítulo 6 - Sección 6.3 Logaritmos. Ejercicios de Práctica: Páginas 6, 7; problemas impares al 60; Use GRAPH par las gráficas de Asignación.: Página 7, problema ; problemas 63 y 6 resuelva y use GRAPH para imprimir gráficas de las funciones; Página 8, problemas 83 y 8, resuelva y use GRAPH para imprimir las graficas de la funciones para los valores de 0. Ajuste las escalas para que se despliegue el patrón general de la gráfica. Referencias del Web: Julio Profe. Net - Ver: Función Logarítmica ; Propiedades de Logaritmos - Ejercicio ; Ecuaciones Logarítmicas Ejercicio ; Ejercicio Purple Math: Solving Eponential Equations; Solving Logarithmic Equations. Paul's Online Math Notes: Solving Eponential Equations; Solving Logarithmic Equations /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9

3 Definición de aritmos Sea a > 0 and a. Entonces, el aritmo con base a de un número a y a y Observe que es siempre un número positivo Ejemplos: /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 3 de 9

4 Ejemplo Escriba los siguientes enunciados en forma arítmica: Escriba los siguientes enunciados en forma eponencial y determine el valor de : e 0.5 t 3 3 t 0. t 0. 5 e /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9

5 Resuelva: Ejemplo ( ) /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de 9

6 Cálculo de aritmos La mayoría de calculadoras realizan el cálculo de aritmos de base 0 ( ) o de base e ( ). (0.5) (0.005) Para calcular aritmos de otras base usamos la siguiente igualdad: a M M a M b M a b a 5 63 = 5 63 = /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de 9

7 La Función Logarítmo (base > ) Si a >, la función arítmo es creciente. f ( ) a Si 0< a <, la función arítmo es decreciente. f ( ) f ( ) / f ( ) f ( ) / 0 f ( ) 5 f ( ) 5 En GRAPH entre () para la función con base 0 y use el formato b(, a) para la función con base a. /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de 9

8 Características de las funciones con arítmos Dominio = (0,), Rango = (-, ) El intercepto en ocurre en (,0). No hay intercepto en y. El eje vertical, = 0, es un asíntota vertical de su gráfica. Es una función uno a uno a> 0<a< /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de 9

9 Función Logaritmo natural y = si y sólo si e y = f ( ) En GRAPH entre () para la función con base e. En EXCEL entre LN() para la función aritmo con base e. /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de 9

10 Ejemplo 3 Una companía está ampliando sus instalaciones y la función costo está dado por: C = ( + ) donde representa la tasa de producción. Encuentre el costo de producir: (a) 5 unidades, (b) el costo etra de aumentar la tasa de producción de 5 a 0 unidades (c) Grafique la función. Solución: a) C 5 = ((5) + ) = $.5 b) Como C 0 = ((0) + ) = $.8 El costo etra fue de $0.8. /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 0 de 9

11 Propiedades de Logaritmos. a = 0. a a = 3. Si a (u) = a (v) si y sólo si u = v. a (uv) = a u + a v 5. a (u/v) = a u - a v 6. a (/v) = - a v 7. a (u n ) = n a (u) /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9

12 Ejemplo Epande las siguientes epresiones arítmicas a) 3 (9 ) b) c) 3 5 ( y 5 y z ) y y 5 z y y 5 z / 5 z 5 y /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9

13 Ejemplo 5 Combine las epresiónes a un solo arítmo: ( ) ( ( ) ) 3 ( ( ( ) ) ) 3 3 ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) 3 /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 3 de 9

14 Ecuaciones Eponenciales Resuelva: ( ) /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9

15 Resuelva: Ecuaciones Logarítmicas ( ) ( 5) e e /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de 9

16 Ejemplo 6 Resuelva: ( ) e e( ) e e e ( e ) e e e e e e /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de 9

17 Ejemplo 7 Aproimadamente, cuánto tiempo tomará una inversión de $5,000 alcanzar $0,000, si invertimos esta cantidad en una cuenta que paga interés de 5% anual compuesto trimestralmente? Solución: P= 5000, C = 0,000, r = 5% compuesto trimestralmente. De manera que n = Según la fórmula de valor futuro para interés compuesto: nt C = P + r n 0,000 = 5, /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de 9 r n t = i tasa periódica nt = N Número total de periodos

18 Ejemplo 7 0,000 = 5, t =.05 t =.05 t = t.05 (.05) = t t t Tomará aproimadamente años. /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de 9

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