INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA

Transcripción

1 INTROUIÓN L GOMTRÍ GOMTRÍ: s un rm de ls mtemátis que se oup del estudio de propieddes de puntos, rets. polígonos, et.proviene del Griego GO (tierr) MTROS (medid). Podemos lsifir l Geometrí den dos lses: - GOMTRÍ PLN: studi ls porpieddes de elementos on un o dos dimensiones. s deir, solo se oup de todo lo que puede pude sueder en un plno. - GOMTRÍ SPIL: Tmién se llm geometrí desriptiv y estudi ls figurs y todo lo que puede sueder en ls tres dimensiones. undmentlmente se oup de l representión de ojetos o figurs tridimensionles sore un plno (el ppel) que tiene únimente dos dimensiones. PUNTO, RT, SMIRT Y SGMNTO PUNTO: Geométrimente podemos definir un punto de tres forms: - Interseion de dos rets o ros. - Interseión de un ret on un plno. - irunfereni de rdio 0. RT: Un ret es un sueión de puntos en un mism direión. Según est definiión un ret es infinit y solo l podemos oneir virtulmente y no relmente, y que todos los soportes (ppeles, lienzos, l pizrr de lse) son finitos. Un ret puede ser definid geométrimente por dos plnos que se ortn (geometrí desriptiv) o por dos puntos (geometrí pln). SMIRT: Un semiret es un porión de ret delimitd por un punto SGMNTO: Un segmento es un porión de ret delimitd por dos puntos. Por tnto un segmento tiene un prinipio y un fin y es finito y se puede medir. Relmente tods ls rets que diujmos son segmentos, pues empiezn y n en lgun sitio. Por eso pr diujr un segmento se suelen mrr lrmente lso puntos de prinipio y fin. RLIONS NTR RTS O SGMNTOS os rets o segmentos pueden gurdr tres tipos diferentes de reliones: - PRLLS: Todos los puntos de ls dos rets están siempre l mism distni. s deir, dos rets prlels nun se ortn. - PRPNIULRS: os rets son perpendiulres undo se ortn formndo utro ángulos retos. ste onepto est reliondo on un djetivo importnte, ortogonl, deimos que dos rets son son ortogonles undo formán ángulos de 90º,son retos o perpendiulres. - OLIUS: dos rets olius se ortn sin formr ángulos rets TRS PUNTOS determinn en el plno un irunfereni. dos tres puntos siempre podremos trzr un irunfereni. n términos tridimensionles tres puntos definen un plno. Un sill on tres pts nun estrá oj. L IRUNRNI Un irunfereni es un onjunto de puntos que están l mism distni de otro punto llmdo entro. s un urv errd y pln uyos puntos QUIISTN (están l mism distni) del entro. Llmmos RIO l distni entre el entro y ulquier de los puntos d el irunfereni. IRULO: s l porión de plno omprendid dentro de l irunfereni RLIONS IRUNRNI - IRUNRNI / IRUNRNI - RT SNTS: Se ortn. undo dos irunferenis o un ret y un irunfereni se ortn produen dos puntos de interseión. Pr un irunfereni y un segmento sentes enontrmos: - uerd: s l porión de ret que qued dentro de l irunfereni siempre y undo no pse por el entro. - iámetro: s un segmento que ort l irunfereni en dos puntos psndo por el entro. - ro: s l porión de irunfereni que qued entre los dos puntos de interseión on otr irunfereni o ret. - leh: se llm sí l rdio perpendiulr un uerd de irunfereni. TNGNTS: Un ret y un irunfereni son tngentes undo se ton pero no se ortn. n esos so mos elementos omprten en omún un punto llmdo punto de tngeni. XTRIORS: Se llm sí dos irunferenis o un irunfereni y un ret que no se ton ni se ortn. INTRIORS: Se llmn irunfereni "interior otr" undo está dentro de otr myor y ni se ton ni se ortn. ONNTRIS: Se llmn sí ls irunferenis que omprten el mismo entro. º SO: Trzdos Geométrios ásios INIIONS IMPORTNTS

2 Pr relizr operiones on segmentos se suele empler siempre el ompás pr tomr medids, opirls o trsldrls. Tmién se h de empler un regl que puede estr grdud o no, y que el ompás será l herrmient on l que se mide. OPI UN SGMNTO: do el segmento, opirlo on l mism mgnitud. º- Trzmos un semiret desde un punto '. º- Tommos l medid on el ompás. º- Trsldmos l distni sore l semiret que hemos trzdo. on l medid tomd nteriormente on el ompás hremos entro en el punto ' de l semiret y l mrremos oteniendo '. º- inlmente psmos tint el resultdo (IMPORTNT). ' ' ' ' ' ' SUM SGMNTOS: dos los segmento, y, sumrlos gráfimente. º- Trzmos un semiret desde un punto '. º- Tommos l medid on el ompás y l opimos en l semiret, prtir de ', oteniendo '. (opir el segmento ) º- prtir de ' repetimos l operión on el siguiente segmento sumr (). º- n este so tenemos tres segmentos pr sumr, repetimos on el último. º- L soluión es l totlidd d elos segmentos opidos uno detrás de otro, es deir, ''. Psmos tint l soluión (IMPORTNT). ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' RST SGMNTOS: -,restrlos gráfimente. º- Trzmos un semiret desde un punto '. º- Tommos l medid, el myor, on el ompás y l opimos en l semiret, prtir de ', oteniendo '. (opir el segmento ) º- prtir de ', de nuevo, repetimos l operión on el segmento. s deir, opiremos el segmento menor dentro del myor que y hemos opido. º- L difereni entre los dos segmentos (distni de ' ') es l soluión. L psmos tint. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' º SO: Trzdos Geométrios ásios OPRIONS ON SGMNTOS

3 Meditriz de un segmento: do un segmento, hllr l meditriz. L meditriz de un segmento es un ret perpendiulr este por su punto medio. Tmién se puede definir omo "el lugr geométrio de los puntos del plno que equidistn de los extremos de un segmento" Proedimiento: º- Se trzn dos ros de igul rádio on entro en mos extremos y. Se otienen sí los puntos y donde mos ros se ortn. º- Se unen los puntos y pr otener l meditriz. º- Se ps el resultdo tint. Perpendiulr un segmento o semiret por un extremo: do un segmento, trzr l perpendiulr por el punto. º-on entro en se trz un ro (si un semiirunfereni) que ort l segmento en el punto. º-on entro en el punto se trz otro ro on el mismo rdio que ort l nterior ro en el punto. º-on entro en el punto y mismo rdio se trz otro ro que ort l primero en el punto. º-on entro en el punto trzmos otro ro, de mismo rdio, que ort l último en el punto. º-Se une el punto on el punto. Psmos tint l ret. Perpendiulr un ret por un punto exterior ell: º-on entro en P se trz un ro de irunfereni que orte l ret en dos puntos: y. º-on entro en los puntos y, se trzn dos ros de rdio myor l mitd de l distni entre ellos.onde mos ros se ortn otenemos el punto. º-Se une el punto y el punto P. P P P P º SO: Trzdos Geométrios ásios PRPNIULRI on regl y ompás

4 Prlel un ret por un punto exterior, dos métodos: º- Se elige un punto X entrdo en l ret omo entro y se trz un semiirunfenerni de rdio XP que l ort en dos puntos: y. º- on entro en el punto se tom el rdio P y desde el punto se trz un ro que ort l primero en el punto. º- Seune el punto on P. P P P X X X TORM THLS MILTO Tod ret prlel un ldo de un triángulo que ort los otros dos ldos, determin otro triángulo semejnte l triángulo iniil. /''=/'=/' ' Si se ortn dos rets onurrentes on un hz de rets prlels, l rzón de dos segmentos ulesquier de un de ells es igul l rzón de los orrespondientes de l otr. IVISIÓN UN SGMNTO N n (7) prtes igules: l proedimiento siempre es el mismo unque vrie el númenro de prtes en ls que quermos dividir el segmento. º- esde un extremodel segmento ddo trzmos un ret uxilir. No import l ertur del ángulo que est forme on el segmento ddo. ' º- Tommos un rdio de ompás ( no import l ertur del ompás, solo que quep tnts vees omo divisiones nos pide el prolem sore l ret uxilir) y on entro en el vértie del ángulo trzmos un mr sore l ret uxilir. º- on entro en es primer mr, y on el mismo rdio de ompás repetimos l operion hst tener tnts prtes omo nos pide el prolem en l ret uxilir. º- Trzmos prlels l últim ret psd. ests psn por ls divisiones que hemos trzdo sore l rt uxilir y ortn l segmento ddo den el enunido del prolem. 7 7 º- Trzmos un segmento que une l ÚLTIM IVISIÓN de l ret uxilir on L XTRMO del segmento ddo. º- Los puntos de orte de ls prlels on el segmento ddo son l soluión, ls divisiones del segmento en el nº de prtes que pedí el enunido. 7 7 º SO: Trzdos Geométrios ásios PRLLISMO on regl y ompás / Teorem de THLS

5 ÁNGULO: s l porión de plno omprendid entre dos semirets llmds ldos que prten de un punto en omún llmdo vértie. UNIS MI: xisten vris uniddes pr medir los ángulos: - Rdines: un irunfereni enter mide rdines. - Grdos entesimles: Un irunfereni enter mide 00 g. - Grdos sexgesimles: Un irunfereni enter mide 0º. Generlmente en geometrí se emplen los grdos sexgesimles. TIPOS ÁNGULOS SGÚN SU MGNITU Llno = 80º Otuso + de 90º Reto = 90º gudo - de 90º ónvo - de80º y + de 0º 80º 00 g rd /rd 70º 00 g 90º 00 g /rd rd 0º 00 g onvexo + de 80º y - de 0º RLIONS NGULRS Reliones ngulres SGÚN SU POSIIÓN Ángulos dyentes: Son quellos que omprten un ldo y el vértie, pero no tienen ningún punto en omún. Ángulos onseutivos: Son los que omprten un vértie y un ldo (se superponen). Ángulos Opuestos: Son los formdos por semirets opuests. YNTS ONSUTIVOS OPUSTOS Reliones ngulres SGÚN SU MGNITU Ángulos omplementrios: Son quellos que sumn 90º Ángulos Suplementrios: Son los que sumn 80º. Ángulos onjugdos: Son los que sumn 0º. YNTS (no tienen por qué serlo) OMPLMNTRIOS SUPLMNTRIOS ISTRIZ UN ÁNGULO: s l semiret que divide un ángulo en dos prtes igules psndo por el vértie. Todos los puntos de l isetriz equidistn (están l mism distni)de los ldos del ángulo. L isetriz es el lugr geométrio de los puntos de un plno que equidistn de los ldos de un ángulo. TRZO L ISTRIZ: do un ngulo, trzr su isetriz. º- on entro en el vértie y un rdio ulquier (sufiientemente mplio) se trz un ro que ort mos ldos del ángulo en los puntos y. º- on entros en los puntos y dos se trzn dos ros de igul rdio (myor l mitd de l distni entre y ) que se ortán en el punto. º- Se une el punto on el vértie del ángulo ddo. º SO: Trzdos Geométrios ásios Ángulos, oneptos teoríos / isetriz

6 OPI ÁNGULOS ON OMPÁS Y RGL: ddo un ángulo () trzr otro ángulo (') igul. º- Se trz un segmento o semiret y se indi v' que será el vertie del nuevo ángulo opido. º- on entro en el punto v se trz un ro de rdio ulquier que ort los ldos de este en los puntos y. on entro en v' se trz un ro de igul rádio que ortrá l ldo y diujdo en el punto '. º- esde el punto del ángulo ddo, se mide on el omps l distni desde hst. n el nuevo ángulo opido on entro en ' se trz un ro que orte l nterior oteniendo ' º- Se une v' on '. v v v v ' ' v' ' v' ' ' SUM ÁNGULOS ON OMPÁS Y RGL: ddos los ángulos () y () trzr otro ángulo () = (+) Se trt de opir un ángulo enim del otro, omprtiendo mos un ldo que finlmente no será prte del resultdo. º- Se trz un segmento o semiret y se indi v' que será el vertie del nuevo ángulo resultdo +. º- on entros en los puntos (v) y (), se trz un ro de rdio ulquier pero igul, que ort mos ldos de los ángulos en los ptos y. on entro en v' se trz un ro de igul rádio que ortrá l ldo y diujdo en el punto '. º- esde el punto, se mide on el ompás l distni desde -, oloándol en el resultdo desde ', oteniendo sí el pto. '. º- Se mide, on ompás, l distni -.esde ' trzmos un ro de rdio - pr otener '. º- Se une v' on '. v' ' ' v' ' ' v v v ' ' ' ' v' ' v' ' v' ' RST ÁNGULOS ON OMPÁS Y RGL: ddos los ángulos () y () trzr otro ángulo () = (-) Se trt de opir el ángulo menor dento del myor, omprtiendo mos un ldo que finlmente no será prte del resultdo. º- Se trz un segmento o semiret y se indi v' que será el vertie del nuevo ángulo resultdo -. º- on entros en los puntos (v) y (), se trz un ro de rdio ulquier pero igul, que ort mos ldos de los ángulos en los ptos. on entro en v' se trz un ro de igul rádio que ortrá l ldo y diujdo en el punto '. º- esde el punto, se mide on el ompás l distni desde -, oloándol en el resultdo desde ', oteniendo sí el pto. '. º- Se mide, on ompás, l distni -.esde ' trzmos un ro, situdo entre ' y ', de rdio - pr otener '. º- Se une v' on '. v v' ' v ' ' v' ' v ' ' v' ' º SO: Trzdos Geométrios ásios Operiones ásis on Ángulos: OPI SUM Y RST

7 R IRUNRNIS Se trt de llenr l lámin de irunferenis de ' m. de rdio. Pero hs de seguir un orden y uns puts onrets: º- Trz un irunfereni de ' m de rdio en ulquier lugr de l lámin. º-Trz otr irunfereni de ' m de rdio hiendo entro en ulquier punto de l primer irunfereni. º- los dos puntos donde se ortn ls irunferenis son nuevos puntos pr her entro y trzr nuevs irunferenis del mismo rdio. º medid vys hiendo irunferenis irás oteniendo nuevos puntos donde deerás her entro pr trzr más irunferenis ( TOS ' m.!!) º Rellen tod l lámin. unque ls irunferenis se slgn del mrgen diujlás, pues donde se orten tendrás nuevos puntos donde her entros de otrs irunferenis, prte de ls ules si quedrn dentro del mrgen. º orr todo lo que qued fuer del mrgen. 7º OLOR TO L LÁMIN: Si sigues un orden onreto (por ejemplo: triángulos rquedos de un olor y "petlos" de otro olor) otendrás un red de irunferenis olored. MUY IMPORTNT: ees de tener l min del ompás ien fild. s muy importnte que mntengs siempre l mism ertur de ompás y que hgs entro en el punto exto. º SO: Trzdos Geométrios ásios nunido, Uso del omás: Red de irunferenis

8 º- istriuye puntos por tod l lámin. No he flt que los situes de form ordend o que mids. NO te olvides de poner lgunos puntos sore el mrgen. º Une los puntos, on yud de l regl, on los puntos más ernos. -Los segmentos que los unen no deen de ruzr otros segmentos, si lo hes te sldrán más triángulos de los que quieres. -Los segmentos que unen los puntosno deen de psr por enim de otros puntos -s deir: d segmento que une los puntos v solo de un punto otro y no ruz ningún otro segmento -NO te olvides de los puntos del mrgen º Si sigues orretmente estos dos primeros psos hrs llendo de triángulos l lámin. º ees de rellenr on rotuldores de olores los triángulos de prlels on l esudr y el rtón: -Los triángulos que omprten el mismo ldo no pueden tener el mismo olor -ees de rellenr TOOS los triángulos -Tienes que rellenrlos on distints inliniones y distints sepriones -Puedes distriuir los olores de los tringulos on el fin de relizr un diseño, pero tmien puedes her un diujo strto º SO: Trzdos Geométrios ásios nunido, Uso de esudr y rtón: Tringulos y prlels.