ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones

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1 ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones 1. Indica las características de la siguiente función: Dominio:, 1 1,1 1, 1,1 Imagen o recorrido:,0 1, Monotonía: - Creciente:, 1 1,0 - Decreciente: 0,11, - Máimos relativos: 0,0 - Mínimos relativos: No tiene Simetrías: Es par. Simétrica respecto del eje OY. Continuidad: Continua en, 1 1,1 1, 1,1 Periodicidad: No es periódica Acotación: No está acotada (la función completa) Curvatura: - Cotas, supremo (ínfimo) y etremos absolutos en 1,1: - Cóncava: 1,1 - Convea:, 1 1, Cotas superiores: 0,1,,... Supremo: 0 Máimo absoluto: 0, 0 Tendencias: Cuando 0 0 f 1 1. Indica las características de la siguiente función: Cipri Matemáticas I 1

2 Dominio: Imagen o recorrido: 0.5, 0.15 Monotonía: - Creciente:, 1.8 0, Decreciente: 1.8, 01.8, - Máimos relativos: 1.8, 0.15 y 1.8, Mínimos relativos: 0, 0.5 Simetrías: Par. Simétrica respecto del eje OY Continuidad: Continua en Periodicidad: No es periódica Acotación: Acotada - Cotas, supremo (ínfimo) y etremos absolutos: Cotas superiores: 0.15, 0.,... Supremo: 0.15 Máimos absolutos: 1.8, 0.15 y 1.8, 0.15 Cotas inferiores: 0.5, 0.,... Ínfimo: 0.5 Mínimo absoluto: 0, 0.5 Curvatura: - Cóncava:.5, ,.5 - Convea:,.5 0.9, 0.9.5, Tendencias: Cuando f 0 0. Indica las características de la siguiente función: Departamento de Matemáticas

3 Dominio:,,,, Imagen o recorrido: Monotonía: - Creciente: Nunca - Decreciente:,,,, - Máimos relativos: No tiene - Mínimos relativos: No tiene Simetrías: Impar. Simétrica respecto del origen de coordenadas Continuidad: Continua en,,,, Periodicidad: No es periódica Acotación: No está acotada - Cotas, supremo (ínfimo) y etremos absolutos: No tiene Curvatura: - Cóncava:, 0, - Convea:, 0, Tendencias: Cuando 0 0 cuando ya que f cuando cuando f ya que f cuando 0 0 Cipri Matemáticas I

4 4. Indica las características de la siguiente función: Dominio: Imagen o recorrido: 0.5, 1 Monotonía: - Creciente: 0, - Decreciente:,0 - Máimos relativos: No tiene - Mínimos relativos: 0, 0.5 Simetrías: Par. Simétrica respecto del eje OY Continuidad: Continua en Periodicidad: No es periódica Acotación: Acotada - Cotas, supremo (ínfimo) y etremos absolutos: Cotas superiores: 1,,,... Supremo: 1 Máimo absoluto: No tiene Cotas inferiores: 0.5, 0.5,... Ínfimo: 0.5 Mínimo absoluto: 0, 0.5 Curvatura: - Cóncava:, 1. 1., - Convea: 1., 1. Tendencias: Cuando f Indica las características de la siguiente función: Departamento de Matemáticas 4

5 Dominio: 6,6 Imagen o recorrido: 0, 4 Monotonía: - Creciente: 6, 0, - Decreciente:, 0, 6 - Máimos relativos:, 4 y, 4 - Mínimos relativos: 0,0 Simetrías: Par. Simétrica respecto del eje OY Continuidad: Continua en 6,6 Periodicidad: Periódica de período 6 Acotación: Acotada - Cotas, supremo (ínfimo) y etremos absolutos: Cotas superiores: 4,5,6,... Supremo: 4 Máimo absoluto:, 4 y, 4 Cotas inferiores: 0, 1,,... Ínfimo: 0 Mínimo absoluto: 0,0 Curvatura: - Cóncava: 6,, 6 - Convea:, Tendencias: Cuando f Una determinada empresa nos formula la siguiente oferta para conectarnos a Internet: Cuota mensual de abono: 6 Cada hora de coneión: 1 a) Encuentra la función que nos indique el precio a pagar mensualmente, según las horas que se haya establecido coneión. b) Representa gráficamente esta función. Cipri Matemáticas I 5

6 Sea c) La empresa carga un 18 % de IVA. Cómo afecta esto a la función anterior y a su gráfica? P t precio a pagar dependiendo del número t de horas de coneión. a) P t 6 t b) Representación gráfica: y c) P t 1,18P t 1,18 6 t IVA Todas las ordenadas de esta función quedan multiplicadas por 1,18. Aclaración: Lo que se paga por un producto es el 100 %, o escrito en forma decimal, 1. Si además tenemos que pagar un 18 % de IVA, en forma decimal 0,18, al final tenemos que pagar el 118 %, es decir, 1, Queremos encuadernar todos los libros de la biblioteca de nuestro centro y nos cobran 7 por cada libro si el número de páginas no supera las 00. A partir de 00 páginas, por cada página más se incrementa el precio en 0,0. Responde a las siguientes cuestiones: a) Encuentra la función que nos da el precio a pagar por la encuadernación de un libro dependiendo del número de páginas de este. b) Representa gráficamente esta función. c) Es continua dicha función? a) La función que nos da el precio a pagar (en función del número de páginas) por cada libro es: 7 si 00 P 7 0,0 si 00 b) Representación gráfica P 7,04 7, Para ser completamente rigurosos, en el intervalo 0,00 habría que representar puntos, en vez de un segmento de recta. Departamento de Matemáticas 6

7 c) Es una función discontinua. 8. Los costes de producción (en euros) de una empresa vienen dados por: Cq q q donde q es el número de unidades producidas. El precio de venta de cada unidad producida es de 50 euros. a) Epresa en función de q el beneficio de la empresa y represéntalo gráficamente. b) Cuántas unidades hay que producir para que el beneficio sea máimo? Indicaciones: (1) Recuerda que para representar una parábola f a b c, hay b b que calcular el vértice ( V, f a a y los puntos de corte con el eje OX, si los tiene, o construir una tabla de valores con dos valores a la izquierda del vértice y otros dos a la derecha del mismo. () Las funciones cuadráticas alcanzan su máimo o su mínimo en el vértice. a) La función beneficio (ganancias menos costes) viene dada por: B q 50qC q 50q qq q 500q b) Para obtener el máimo, calculamos el vértice: 500 q 50 Vértice Bq B El beneficio máimo es de 500 y se obtiene fabricando 50 unidades. 9. La dosis de un fármaco comienza con 10 mg y cada día debe aumentar mg hasta llegar a 0 mg. Debe seguir 15 días con esa cantidad y a partir de entonces ir disminuyendo 4 mg cada día. a) Representa gráficamente la función que describe el enunciado y determina su epresión algebraica. b) Indica su dominio y su recorrido. a) Ecuación del primer trozo de recta que pasa por (0, 0) y (5, 0): y10 El segundo trozo es constante: y 0 Cipri Matemáticas I 7

8 Ecuación del trozo de recta que pasa por (0, 0) y (5, 0) y4 100 Epresión analítica de la función: b) Dom f 0, 5 Img f Rec f 0, De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden. a) Escribe el área del octógono que resulta en función de. b) Cuál es el dominio de esa función? Y su recorrido? a) AOctógono ATotal 4ATriángulo b) Dom f 0, f f Img Rec 0,16 Aclaración: Tenemos la epresión algebraica de la función área, que es AOctógono ATotal 4ATriángulo El dominio abstracto de esa función es, ahora bien, como en este caso concreto representa el área de un octógono, tenemos que restringirlo para los valores de para los que tenga sentido el área. Cuáles son los valores positivos que puede tomar la función? Pues desde cero, abierto, hasta 16 0 de donde se obtiene el valor 8. Así, el dominio es el intervalo abierto 0,. Departamento de Matemáticas 8

9 Cómo determinamos la imagen? Dónde se mira la imagen? En el eje OY, no?, pues entonces lo que tenemos que ver es cuánto vale y (que es A ) cuando 0 y cuando. Para 0 obtenemos y 16, y para obtenemos y 0. Por eso la imagen es: Img f Rec f 0,16 De todas formas cuando tengamos dudas y la función no sea muy complicada, lo mejor es representarla gráficamente. 11. Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones, y cm. a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de. b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene 1 l de volumen. c) Cuál es su recorrido? Vprisma V a) b) DomV 0,10 V V Img Rec 0,1000 Para calcular el dominio en este caso hay que acordarse del sistema métrico decimal y de la siguiente igualdad (aproimada): 1 L=1 dm cm Por eso la imagen es Img V Rec V 0,1000 Si el volumen máimo es de 1 L. cuáles pueden ser las dimensiones del prisma? Sabemos que la y más grande es 1000, pero y de donde = y cm. y así Dom V 0,10 1. Calcula el dominio de las siguientes funciones: Cipri Matemáticas I 9

10 a) f f) f 5 b) f 5 g) f f h) f c) log d) f 4 i) f 1 e) f 4 si si 1 1 si 0 si 0 a) Dom f que anulan al denominador 0 0 Dom f 0 b) Como la función es una raíz de índice impar, solo nos tenemos que fijar en el radicando, y como en este caso es un polinomio, el dominio es. c) y esto es cierto siempre Dom f d) Como es una raíz de índice par el radicando tiene que ser 0, pero como además es una fracción algebraica, el denominador tiene que ser distinto de cero Dom f, 0 e) f 4 El radicando tiene que ser 0 : 0,, 40 0 o 4 0 (no se cumplen las dos condiciones a la vez) Por tanto, el dominio es: Dom f,,,, f), g), h) e i) Dom f Departamento de Matemáticas 10

11 1 y. 1 f g f g f g f g f g Cuidado!! Esto no quiere decir que la composición sea conmutativa. Ya sabemos que f g g f en general 1. Si f y g, halla f g g f 14. Dadas f 1 y g a) f g1 b) Dom g f 1 Alerta!! f 1, calcula: función inversa Calculamos en primer lugar la composición: 1 1 f g f g f 1 f 1 1 g 1 f g 1 f g f 0 a) b) Dom 1 f función recíproca 15. Considera las funciones f, g 1 y h a) g f b) g f h a) g f g f g b) Cipri Matemáticas I 11 1, y determina: g f h g f g g f h g f g Halla la función inversa de las siguientes funciones: a) y 1 b) y c) y 1 d) y

12 a) y y y 1 f b) y 1 y 1 1 y 1 f 1 c) y 1 y y 1 y 1 y y y 0 y f y 1 y 1 1 d) y y y 1 f 17. Sabiendo que f si 0 1 si 0 halla, si es posible, f 1. Analíticamente: 1 si 0 f 1 si 0 Gráficamente: 18. Estudia la simetría de las siguientes funciones: a) f 5 b) f c) f 1 Departamento de Matemáticas 1

13 a) 5 f 5 5 f Como f f f es impar b) f Como f f f es par f f f 4 4 c) f 1 1 Como es par Las representaciones gráficas de las funciones anteriores son: Cipri Matemáticas I 1